O QUE É PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Prévia do material em texto

O QUE É PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Progressão Aritmética (PA) é uma sequência numérica em que os termos, a partir do segundo, são formados pela soma de uma constante r (razão aritmética) com o termo antecessor.
Dessa forma, a progressão aritmética pode ser crescente ou decrescente, dependendo se a razão aritmética é positiva ou negativa.
Elementos da progressão aritmética:
· Termos: são os números que formam a PA
· Exemplo: PA(a1, a2, a3, a4) possui 4 termos
· Índice: indica a posição dos temos
· Exemplo: PA(a1, a2, a3, a4) o 4º termo é a4
· Razão: diferença entre os termos
· Exemplo: PA(a1, a2, a3, a4) a razão é igual a a4 – a3
Classificação de uma progressão aritmética
Além da classificação quanto ao comportamento, uma progressão pode ser finita, quando ela possui uma quantidade limitada de termos, ou infinita, quando ela possui quantidade infinita de termos. Uma progressão pode ser classificada como crescente, decrescente ou constante, e essa classificação depende diretamente do valor da razão r.
Para classificar a P.A., precisamos compreender o cálculo da razão. Dada a sequência, para encontrarmos a razão, basta fazer a subtração de um termo pelo seu antecessor. Quaisquer dois termos consecutivos da P.A. geram a razão, ou seja, a diferença de dois números consecutivos será sempre igual a r.
→ Crescente
(-9, -3, 3, 9, 15, 21)
r = 21-15 = 6
Essa é uma P.A. crescente de razão r = 6. Sempre que a razão for positiva, a P.A. será crescente. Note que o segundo termo é maior que o primeiro, o terceiro é maior que o segundo, e assim sucessivamente.
→ Constante
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
r = 1 – 1 = 0
Essa é uma P.A. constante de razão r = 0. Note que os termos são sempre iguais.
→ Decrescente
(10, 8, 6, 4, 2, 0, -2)
r = 8 – 10 = -2
Essa é uma P.A. decrescente, de razão r = - 2. Sempre que a razão for negativa, a progressão será decrescente.
Termos de uma P.A.
Para encontrar os termos de uma progressão aritmética, utilizamos a fórmula:
an = a1+ r (n – 1)
n: número do termo
r: razão
Exemplo 1
Encontre o 16º termo de uma P.A. que possui razão 3 e cujo primeiro termo é igual a 4.
Resolução:
an = a1 + (n – 1) r
Queremos o 16º termo, então n = 16. Além disso, sabemos que r = 3 e a1 = 4.
a16 = 4 + (16 – 1) 3
a16 = 4 + (15) 3
a16 = 4 + 45
a16 = 49
Exemplo 2
Qual é o primeiro termo de uma P.A. em que o termo do seu 12º termo é igual a 5 e a razão é -4.
Resolução
Dados r = -4 e a12 = 5
an = a1 + (n – 1) r
a12 = a1 + (12 – 1) (-4)
Mas sabemos que a12 = 5
5 = a1 + (12 – 1) (-4)
5 = a1 + 11 (-4)
5 = a1 -44
5 + 44 = a1
49 = a1
a1 = 49
Termo geral de uma P.A.
Conhecidos o primeiro termo e a razão de uma progressão, a fórmula para encontrar termos quaisquer de uma sequência pode ser simplificada, gerando o que conhecemos como termo geral de uma P.A., que é uma fórmula que depende só de n para encontrar os termos da progressão.
Exemplo
Encontre o termo geral de uma P.A. que possui r = 2 e a1 = 3.
Resolução
an = a1 + (n – 1) r
an = 3 + (n – 1) 2
an = 3 + 2n – 2
an = 1 + 2n
Esse é o termo geral de uma P.A., que serve para encontrar qualquer termo dessa progressão.
Soma dos termos de uma P.A.
Outra fórmula importante é a soma dos n termos consecutivos da sequência. Com ela é possível calcular a soma dos n termos de uma P.A. conhecendo apenas o primeiro e o n-ésimo. Representada por Sn, é dada por:
Exemplo
Encontre a soma de todos os números pares de 2 até 100.
Resolução
Sabemos que a1 = 100, além disso, sabemos que an=100.
De 1 até 100, existem 100 números, sendo que metade deles são pares. Então, de 1 até 50, existem 50 termos, logo, n = 50.
Propriedades de uma P.A.
1ª propriedade
Dada uma progressão aritmética qualquer, e um termo ak, a média aritmética entre o seu sucessor e o seu antecessor é igual ao próprio termo ak..
Exemplo
(-1, 1, 3, 5, 7, 9,11)
Seja ak = 5, seu sucessor é 7 e seu antecessor é 3.
Essa propriedade é válida para qualquer termo da P.A.
De forma geral, seja ak um termo qualquer das sequências, a média dos termos que então se encontram na posição k – n e k + n é sempre igual ao termo ak.
Exemplo:
(-1, 1, 3, 5, 7, 9, 11)
Os números que estão na mesma distância de 5 sempre preservam a propriedade 01, como mostramos com o 3 e 7. Ela é válida também para os outros valores:
Ela vale também para os números -1 e 11:
2ª propriedade
A soma dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes dos extremos.
Muito parecida com a primeira propriedade, nesta olhamos a progressão aritmética formando pares entre o primeiro e o último termo, entre o segundo e o penúltimo termo, e assim sucessivamente. A soma desses pares é sempre a mesma.
Exemplo 1
Quantidade par de termos:
(3, 8, 13, 18, 23, 28)
Exemplo 2
Quantidade ímpar de termos
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13)
Quando a progressão possuir quantidade ímpar de elementos, ela possuirá um termo central. Note que a soma dele com ele mesmo também é igual à soma dos extremos da P.A.
Exercícios resolvidos
Questão 1 - Qual é o 31º termo de uma progressão que possui razão 3 e cujo quarto termo é 21?
a) 100
b) 102
c) 12
d) 62
e) 52
Resolução
Alternativa b.
Sabemos que, para encontrarmos o termo da P.A., precisamos do primeiro termo e da sua razão.
1º Encontrar o termo a1, para isso vamos usar a informação que temos sobre o termo a4.
2º Agora que conhecemos a1 e r, vamos encontrar o termo a31.
Questão 2 - Calcule a soma de todos os números múltiplos de 3, de 0 até 150.
Resolução
Sabemos que se trata de uma progressão de razão 3, em que o primeiro termo é 0 e o último é 300. De 1 até 300, a cada três números, 1 é múltiplo de 3, logo, há 50 múltiplos de 3; incluindo-se o 0, há 51 números múltiplos de 3.
Questão 3 - Calcule o 35º termo da progressão aritmética PA(3,9,15,21,27…,a35).
	Solução
O primeiro passo é determinar a razão (r).
r = a2 -a1
r = 9 – 3
r = 6
Em seguida, utilizaremos a fórmula do termo geral da progressão aritmética.
an = a1 + (n – 1).r
a35 = 3 + (35 – 1).6
a35 = 3 + (34).6
a35 = 3 + 204
a35 = 207
Questão 4 - Qual a soma dos termos da progressão aritmética PA(8,15,22,29,…,a12)?
	Solução
Para podermos utilizar a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética precisamos encontrar o último termo da PA. Então, primeiro vamos calcular a12. Para isso, o primeiro passo é encontrar a razão (r).
r = a2 -a1
r = 15 – 8
r = 7
Assim como no exercício anterior, vamos colocar os dados na fórmula do termo geral da progressão aritmética.
an = a1 + (n – 1).r
a12 = 8 + (12 – 1).7
a12 = 8 + (11).7
a12 = 8 + 77
a12 = 85
Agora que temos o primeiro e o último termo da PA podemos aplicar a fórmula da soma dos termos da progressão aritmética.
Sn = (a1 + an).n/2
S12 = (8 + 85).12/2
S12 = (93).6 (simplifiquei 12/2 = 6)
S12 = 558