Física Matemática I - Funções de Variável Complexa

Prévia do material em texto

F́ısica Matemática I - FIS01207 - Unidade I
Lista 3 - Funções de Variável Complexa - FUNÇÕES ELEMENTARES
1. Determine todos os valores de z tais que
(a) ez = −2; (b) ez = 1 + i
√
3; e(2z−1) = 1
Resp: (a) z = log 2 + i(2n + 1)π; (b) z = log 2 + iπ(2n + 1/3); (c) z = (1/2) + inπ; com n inteiro
2. Determine a A e φ em:
sin(ωt) + sin(ωt + 60o) + sin(ωt− 30o) = A sin(ωt + φ).
Resp: A = 2, 4 ; φ = 8, 8o
3. Num circuito RLC em série ligado a uma fonte alternada de amplitude V0 e freqüência ω, a carga no
capacitor q(t) obedece a equação diferencial
L
d2q
dt2
+ R
dq
dt
+
q
C
= V0 cos(ωt).
(a) Substituindo cos(ωt) por eiωt na equação acima, mostre que a solução estacionária complexa é
q(t) =
V0 e
iωt
1/C − ω2L + iωR
.
(b) Utilizando o resultado acima e o fato de que a corrente é a derivada temporal da carga, mostre que a
corrente estacionária real no circuito é
I(t) =
V0
Z
cos(ωt− θ),
com
Z =
[
R2 + (ωL− 1/ωC)2
]1/2
e θ = arctan
(
ωL− 1/ωC
R
)
,
representando a impedâcia e o atraso de fase da corrente, respectivamente
4. Mostre que | sin z| ≥ | sinx| e | cos z| ≥ | cos x|.
5. Determine todas as ráızes das equações:
(a) cos z = 2; (b) cosh z = 1/2; (c) sinh z = i
Resp: (a) z = 2nπ + i arccosh 2; (b) z = iπ(2n± π/3); (c) z = iπ(2n + 1/2); com n inteiro.
6. Quando n = 0, 1, 2, ..., mostre que
(a) log 1 = ±2nπi; (b) log(−1) = ±(2n + 1)πi; (c) log i = 1
2
πi± 2nπi; (d)log(i1/2) = 1
4
πi± nπi
7. Mostre que
(a) Log (−ei) = 1− 1
2
πi; (b) Log (1− i) = 1
2
Log 2− 1
4
πi
8. Quando n = 0, 1, 2, ..., mostre que
(1 + i)i = exp
(
−1
4
π ± 2nπ
)
exp
(
1
2
iLog 2
)