Torção de Eixos Circulares

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DESCRIÇÃO
Aplicação das equações matemáticas e dos princípios físicos no estudo da torção de eixos circulares (maciços ou
tubulares) e de paredes finas não circulares.
PROPÓSITO
No dimensionamento de estruturas mecânicas, o fenômeno da torção é recorrente. Dessa forma, o conhecimento
das relações matemáticas é fundamental para o desenvolvimento do aluno.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora
de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Reconhecer as deformações de torção para seções circulares ou tubulares
MÓDULO 2
Formular o dimensionamento de barras sujeitas à torção
MÓDULO 3
Calcular a transmissão de potência
MÓDULO 4
Calcular a torção de tubos de seção fechada não circular e parede fina
INTRODUÇÃO
APRESENTAÇÃO DO EFEITO DE TORÇÃO SOBRE
EIXOS E SUAS APLICAÇÕES
AVISO: Orientações sobre unidades de medida
ORIENTAÇÕES SOBRE UNIDADES DE MEDIDA
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por questões de
tecnologia e didáticas. No entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o número e a
unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e demais materiais escritos por você devem seguir o
padrão internacional de separação dos números e das unidades.
MÓDULO 1
 Reconhecer as deformações de torção para seções circulares ou tubulares
javascript:void(0)
AS DEFORMAÇÕES DE TORÇÃO PARA SEÇÕES
CIRCULARES OU TUBULARES
INTRODUÇÃO
A primeira parte do estudo da torção tomará duas premissas:
As estruturas são circulares (maciças ou tubulares).
O carregamento sobre a estrutura é tal que as deformações são elásticas, ou seja, temporárias.
A partir das premissas adotadas, serão apresentadas as principais expressões matemáticas aplicáveis.
TORQUE SOBRE EIXOS CIRCULARES
O torque é o momento que tende a fazer um elemento estrutural rotacionar em torno de seu eixo longitudinal.
A figura 1 apresenta um eixo circular maciço em que um par de torques (de mesmo módulo e sentidos opostos)
atua em suas extremidades.
 
Imagem: Beer, Johnston, 1995, p. 195
 Figura 1 – Par de torques aplicado em eixo circular.
A atuação dos torques no eixo da figura 1 provoca o deslizamento entre as seções vizinhas.
 DICA
Esse efeito, denominado de cisalhamento, está associado à deformação de cisalhamento
γ
.
Supondo uma malha desenhada sobre o eixo, com linhas longitudinais e circulares, quando o par de torques atua
sobre a estrutura, há uma deformação dessas linhas.
Linhas circulares
Mantêm a forma.

Linhas longitudinais
Apresentam-se na forma helicoidal (espiral).
Observe a figura 2:
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 125
 Figura 2 – Deformação de um eixo sob torção.
A deformação por cisalhamento em cada seção reta do eixo varia linearmente ao longo do raio, sendo seu valor
máximo na periferia da seção. Matematicamente, a expressão da deformação cisalhante a uma distância
ρ
do centro do círculo de raio c é dada pela equação 1.
γ =
ρ
c
⋅ γm á xima
(1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
A equação 1 é válida para eixos circulares maciços ou tubulares. Para os tubos, a partir da parede interna, ou
seja,
ρ ≥ raio interno
.
EXEMPLO
Seja um tubo maciço de seção circular e diâmetro 100mm. Suponha que esse eixo esteja engastado e, na
extremidade livre, atue um torque de intensidade 200kN.m. Considere que, em consequência do torque, a
deformação cisalhante máxima seja de 0,002rad. Em uma seção reta do eixo, a um ponto situado a 20mm do
centro, determine a deformação cisalhante.
A deformação ao longo do raio tem variação linear, ou ainda, é proporcional à distância ao centro, conforme a
equação 1:
γ =
ρ
c
⋅ γm á xima
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O diâmetro é de 100mm. Logo, o raio c vale 50mm. A distância
ρ
vale 20mm. Substituindo na equação, tem-se:
γ =
20
50
⋅ 0, 002 = 0, 0008rad
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TENSÃO DE CISALHAMENTO ASSOCIADA AO
TORQUE APLICADO
Um eixo circular, maciço ou tubular, está submetido a uma série de torques externos e em equilíbrio estático.
Adotando a hipótese que as deformações sejam elásticas, a lei de Hooke para o cisalhamento é válida, ou seja, a
equação 2 pode ser aplicada:
τ = G ⋅ γ
(2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
τ
– Tensão cisalhante.
G
– Módulo de elasticidade do material ao cisalhamento.
γ
– Deformação cisalhante.
Por meio de manipulações algébricas entre as equações 1 e 2, é possível escrever a equação 3, que mostra
como a tensão cisalhante varia ao longo do raio, em uma dada seção interna do eixo.
τ =
ρ
c
. τm á xima
(3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
c
– Raio da seção.
ρ
– Distância do centro.
A partir da análise da equação 3, é possível inferir que a tensão cisalhante varia ao longo do raio linearmente,
sendo nula no centro da seção reta circular.
 DICA
A figura 3 mostra, esquematicamente, a atuação das tensões cisalhantes nas seções retas de um eixo circular
maciço e de um eixo tubular.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 3 - Distribuição da tensão cisalhante ao longo do raio.
Analisando a figura 3, é fato que:
Eixo circular
A tensão cisalhante no eixo circular maciço varia linearmente, desde zero (no centro) até o valor máximo, na
periferia.

Eixo tubular
A região “oca” apresenta tensão cisalhante nula e, a partir do raio interno
(cint)
, a tensão varia linearmente até atingir seu valor máximo em
cext
(raio externo).
Assim, para o eixo tubular, as equações 2 e 3 são aplicáveis a partir do raio interno. Também é possível observar
na figura 3 a coincidência no sentido do torque (T) atuante na seção e no sentido da representação das tensões
cisalhantes.
 ATENÇÃO
Para a seção tubular de raio interno
(cinterno)
e raio externo
(cexterno)
, a tensão cisalhante atuante na seção de estudo varia segundo a função a seguir:
τ = 
0, 0 ≤ ρ < cinterno
ρ
c . τmáxima, cinterno ≤ ρ ≤ cexterno
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
Considere um eixo circular maciço de raio 80mm, em equilíbrio sob a ação de torques externos. Em uma dada
seção de estudo, o torque atuante apresenta intensidade de 15kN.m. A tensão cisalhante máxima na seção é de
48MPa. Determine as tensões de cisalhamento no centro da seção circular e em um ponto afastado 30mm do
centro.
Admitindo que o regime plástico não tenha sido atingido, a tensão cisalhante varia, ao longo do raio, segundo a
equação 3, ou seja,
τ =
ρ
c
⋅ τm á xima
. Assim, para
ρ = 0
e
{
ρ = 30 mm
, tem-se que:
τ =
ρ
c ⋅ τm á xima → τ =
0
80 ⋅ 48 = 0
τ =
ρ
c
⋅ τm á xima → τ =
30
80
⋅ 48 = 18MPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
Um eixo tubular é utilizado para transmitir potência de um motor para um sistema mecânico. Considere que o eixo
apresente raios interno e externo iguais a 50mm e 90mm. Na condição de potência igual a 60kW, em uma dada
seção, a tensão cisalhante máxima na seção é de 45MPa. Determine as tensões de cisalhamento:
a) No centro da seção tubular.
b) A 40mm do centro.
c) Na parede interna do tubo.
d) Na parede externa do tubo.
Inicialmente, será adotada a premissa que a transmissão de potência ocorra no regime elástico. Dessa forma, a
tensão cisalhante varia, ao longo do raio, da seguinte maneira:
τ = 
0, 0 ≤ ρ < cinterno
ρ
c . τmáxima, cinterno ≤ ρ ≤ cexterno
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
a) Logo, no centro
(ρ = 0)
a tensão cisalhante é igual a zero.
b) Para
ρ = 40 mm(0 ≤ ρ< 50 mm)
, a tensão cisalhante é nula.
c) Na parede interna,
ρ = 50 mm(50 mm ≤ ρ ≤ 90 mm)
, a tensão cisalhante é
{
ρ
c
⋅ τm á xima =
50
90
.45 = 25MPa
.
d) Na parede externa, a tensão cisalhante é a máxima, ou seja,
45MPa
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. UM EIXO TUBULAR DE RAIOS 90 E 120MM ESTÁ SUBMETIDO À TORÇÃO. EM UMA
DADA SEÇÃO, O TORQUE ATUANTE É DE 20KN.M. CONSIDERE QUE O FENÔMENO
OCORRA INTEIRAMENTE NO REGIME ELÁSTICO. A RESPEITO DAS TENSÕES
CISALHANTES ATUANTES NA SEÇÃO, SÃO FEITAS AS SEGUINTES AFIRMAÇÕES: 
 
I – A RELAÇÃO Τ = 
Ρ
C . ΤMÁXIMA SEMPRE É VALIDA AO LONGO DO RAIO; 
II – A RELAÇÃO Τ = 
Ρ
C . ΤMÁXIMA É VALIDA AO LONGO DO RAIO, NA PAREDE DO TUBO; 
III – A VARIAÇÃO DA TENSÃO CISALHANTE SEGUE UMA RELAÇÃO QUADRÁTICA, NA
PAREDE DO TUBO. 
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas a afirmativa II.
C) Apenas a afirmativa I e II.
D) Apenas a afirmativa I e III.
E) Apenas a afirmativa II e III.
2. A FIGURA REPRESENTA A SEÇÃO CIRCULAR DE UM EIXO MACIÇO DE DIÂMETRO
240MM, SOB A AÇÃO DE UM TORQUE. A TENSÃO DE CISALHAMENTO ATUANTE A
40MM É DE 150MPA. A TENSÃO CISALHANTE MÁXIMA É IGUAL A: 
 
A) 50MPa
B) 150MPa
C) 200MPa
D) 300MPa
E) 450MPa
3. UM EIXO TUBULAR É PARTE DE UMA ESTRUTURA. O PRINCIPAL EFEITO ATUANTE
NO EIXO É A TORÇÃO. SUPONHA QUE O RAIO EXTERNO SEJA IGUAL A 100MM E A
PAREDE DO TUBO IGUAL A 60MM. SE A TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA
ATUANTE EM UMA DADA SEÇÃO É 80MPA, DETERMINE A TENSÃO ATUANTE A 20MM
DO CENTRO.
A) 16MPa
B) 12MPa
C) 8MPa
D) 4MPa
E) 0MPa
4. CONSIDERE UMA ESTRUTURA NA FORMA TUBULAR SUJEITA À TORÇÃO,
TRABALHANDO EXCLUSIVAMENTE NO REGIME ELÁSTICO. SUPONDO QUE A
RELAÇÃO ENTRE A PAREDE DO TUBO E SEU RAIO INTERNO VALHA 4, DETERMINE A
RAZÃO ENTRE AS DEFORMAÇÕES CISALHANTES NAS PAREDES EXTERNA E
INTERNA DO TUBO.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) Faltam informações.
5. UM EIXO MACIÇO APRESENTA ALGUMAS INFORMAÇÕES, DENTRE AS QUAIS UM
GRÁFICO QUE RELACIONA A DEFORMAÇÃO CISALHANTE, QUANDO AÇÃO DE UM
TORQUE T, COM A DISTÂNCIA AO CENTRO DO EIXO. A PARTIR DO GRÁFICO A
SEGUIR, QUAL É A DEFORMAÇÃO MÁXIMA EM UMA DADA SEÇÃO DE ESTUDO,
SABENDO QUE O DIÂMETRO DESSE EIXO É DE 120MM? 
 
A) 4·10-3rad
B) 6·10-3rad
C) 8·10-3rad
D) 9·10-3rad
E) 12·10-3rad
6. O GRÁFICO A SEGUIR MOSTRA A VARIAÇÃO DA TENSÃO CISALHANTE NA SEÇÃO
RETA DE UM TUBO CIRCULAR AO LONGO DO RAIO, QUANDO SOB AÇÃO DE UM
TORQUE T. SUPONDO QUE O TUBO ESTEJA EM EQUILÍBRIO SOB TORÇÃO E NO
REGIME ELÁSTICO, DETERMINE A ESPESSURA DO TUBO EM ESTUDO. 
 
A) 10mm
B) 12mm
C) 15mm
D) 20mm
E) 30mm
GABARITO
1. Um eixo tubular de raios 90 e 120mm está submetido à torção. Em uma dada seção, o torque atuante é
de 20kN.m. Considere que o fenômeno ocorra inteiramente no regime elástico. A respeito das tensões
cisalhantes atuantes na seção, são feitas as seguintes afirmações: 
 
I – A relação τ = 
ρ
c . τmáxima sempre é valida ao longo do raio; 
II – A relação τ = 
ρ
c . τmáxima é valida ao longo do raio, na parede do tubo; 
III – A variação da tensão cisalhante segue uma relação quadrática, na parede do tubo. 
A alternativa "B " está correta.
Considerando o regime elástico, a tensão cisalhante em um tubo devido à torção apresenta variação linear a
partir da parede interna. Na região “vazia”, a tensão cisalhante é nula. Assim, as afirmativas I e III estão
incorretas.
2. A figura representa a seção circular de um eixo maciço de diâmetro 240mm, sob a ação de um torque. A
tensão de cisalhamento atuante a 40mm é de 150MPa. A tensão cisalhante máxima é igual a: 
 
A alternativa "E " está correta.
O diâmetro é de 240mm. Logo, o raio vale 120mm. A figura mostra uma variação linear da tensão ao longo do
raio. Assim, é possível utilizar a expressão da equação 3:
Τ =
Ρ
C
⋅ ΤM Á XIMA → 150 =
40
120 ⋅ ΤM Á XIMA → ΤM Á XIMA = 450MPA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Um eixo tubular é parte de uma estrutura. O principal efeito atuante no eixo é a torção. Suponha que o
raio externo seja igual a 100mm e a parede do tubo igual a 60mm. Se a tensão de cisalhamento máxima
atuante em uma dada seção é 80MPa, determine a tensão atuante a 20mm do centro.
A alternativa "E " está correta.
Para um tubo sujeito à torção, a relação τ = 
ρ
c . τmáxima é válida na parede do tubo, ou seja, para distâncias 
⍴ ≥ cinterno. Para distância menores que o raio interno, a tensão cisalhante é nula. Sendo o raio externo igual a
100mm e a parede do tubo de 60mm, o raio interno vale 40mm. Logo, a tensão cisalhante a 20 mm do centro
será igual a 0.
4. Considere uma estrutura na forma tubular sujeita à torção, trabalhando exclusivamente no regime
elástico. Supondo que a relação entre a parede do tubo e seu raio interno valha 4, determine a razão entre
as deformações cisalhantes nas paredes externa e interna do tubo.
A alternativa "D " está correta.
A deformação cisalhante (no regime elástico), ao longo do raio de uma seção tubular, tem variação linear quando
sob ação de um torque, conforme a equação 1.
Γ =
Ρ
C
⋅ ΓM Á XIMA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembrando-se que essa relação é válida para toda a parede do tubo.
O problema apresenta que:
T
CINT
= 4 → Τ = 4. CINT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Além disso, cext – cint = t. Denominando cint de x e t = 4x, cext = 5x.
Substituindo na equação 1 e, lembrando-se de que a deformação máxima ocorre na parede externa, tem-se que:
Γ =
X
5X ⋅ ΓM Á XIMA →
ΓM Á XIMA
Γ
=
ΓPAREDE EXTERNA 
ΓPAREDE INTERNA 
= 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Um eixo maciço apresenta algumas informações, dentre as quais um gráfico que relaciona a
deformação cisalhante, quando ação de um torque T, com a distância ao centro do eixo. A partir do
gráfico a seguir, qual é a deformação máxima em uma dada seção de estudo, sabendo que o diâmetro
desse eixo é de 120mm? 
 
A alternativa "E " está correta.
O diâmetro apresentado é de 120mm. Logo, o raio c vale 60mm. O gráfico mostra que
γ
e
ρ
são grandezas diretamente proporcionais. A partir da equação 1, pode-se escrever que:
Γ =
Ρ
C
⋅ ΓM Á XIMA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No gráfico, a uma distância
ρ
= 20mm a deformação cisalhante
γ
vale 4·10-3rad. Substituindo os valores na expressão anterior:
Γ =
Ρ
C
⋅ ΓM Á XIMA → 4.10
− 3 =
20
60 ⋅ ΓM Á XIMA → ΓM Á XIMA = 12 ⋅ 10
− 3RAD
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. O gráfico a seguir mostra a variação da tensão cisalhante na seção reta de um tubo circular ao longo
do raio, quando sob ação de um torque T. Supondo que o tubo esteja em equilíbrio sob torção e no
regime elástico, determine a espessura do tubo em estudo. 
 
A alternativa "C " está correta.
CÁLCULO DA ESPESSURA DE UM TUBO SOB TORÇÃO
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Em uma empresa de engenharia, um projeto prevê que um eixo tubular será utilizado como elemento estrutural
submetido à torção de um torque T. Um estagiário ficou designado a determinar uma função matemática para
estabelecer a tensão de cisalhamento atuante na parede do tubo, ao longo de OA, considerando o eixo x
mostrado no croqui da seção reta do tubo. Os valores de projeto são a tensão máxima atuante
τm á xima( )
, os raios interno (r) e externo (R).
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
SOLUÇÃO
CÁLCULO DE UMA FUNÇÃO QUE DETERMINA A TENSÃO
CISALHANTE AO LONGO DA PAREDE DE UM TUBO SOB
TORÇÃO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA UM EIXO MACIÇO, CUJA SEÇÃO RETA É REPRESENTADA NA FIGURA.
CONSIDERE QUE O REGIME É ELÁSTICO E QUE O EIXO SE ENCONTRA SOB TORÇÃO.
A VARIAÇÃO DA TENSÃO AO LONGO DO RAIO É CRESCENTE LINEAR. SUPONDO
DOIS PONTOS DA SEÇÃO, AFASTADOS DO CENTRO DO CÍRCULO, 40MM E 70MM. A
RAZÃO ENTRE AS TENSÕES CISALHANTES ATUANTES NOS PONTOS É: 
 
A)
4
7
B)16
49
C)
1
D)
1
7
E)
1
4
2. CONSIDERE UM TUBO EM EQUILÍBRIO, NO REGIME ELÁSTICO, SUBMETIDO A UM
CONJUNTO DE TORQUES. UMA DADA SEÇÃO É ESTUDADA. O TORQUE INTERNO
ATUANTE TEM MÓDULO TINTERNO. CONSIDERANDO QUE AS TENSÕES MÁXIMA E
MÍNIMA VALEM 60MPA E 20MPA, DETERMINE A RAZÃO ENTRE O RAIO INTERNO E A
ESPESSURA DA PAREDE.
A)
1
3
B)
1
4
C)
1
D)
1
2
E)
1
9
GABARITO
1. Seja um eixo maciço, cuja seção reta é representada na figura. Considere que o regime é elástico e que
o eixo se encontra sob torção. A variação da tensão ao longo do raio é crescente linear. Supondo dois
pontos da seção, afastados do centro do círculo, 40mm e 70mm. A razão entre as tensões cisalhantes
atuantes nos pontos é: 
 
A alternativa "A " está correta.
 
A figura mostra que a variação da tensão cisalhante ao longo do raio é linear. A partir da equação 3:
Τ =
Ρ
C
⋅ ΤM Á XIMA → Τ =
40
C
⋅ ΤM Á XIMA
Τ =
Ρ
C
⋅ ΤM Á XIMA → T
′ =
70
C
⋅ ΤM Á XIMA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dividindo as duas equações anteriores:
Τ
Τ′
=
40
C ⋅ ΤM Á XIMA
70
C ⋅ ΤM Á XIMA
=
4
7
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Considere um tubo em equilíbrio, no regime elástico, submetido a um conjunto de torques. Uma dada
seção é estudada. O torque interno atuante tem módulo Tinterno. Considerando que as tensões máxima e
mínima valem 60MPa e 20MPa, determine a razão entre o raio interno e a espessura da parede.
A alternativa "D " está correta.
 
Sejam r e R os raios interno e externo do tubo e t a espessura da parede (t = R – r). Considerando a equação 3,
pode-se escrever que:
Τ =
Ρ
C
⋅ ΤM Á XIMA
ΤM Í NIMA =
R
R
⋅ ΤM Á XIMA →
ΤM Í NIMA
ΤM Á XIMA
=
R
R
20
60 =
R
R
→
R
R
=
1
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível escrever que r = x e R = 3x. Assim, a espessura t será 3x – x = 2x. Portanto, a razão pedida é
1
2
.
MÓDULO 2
 Formular o dimensionamento de barras sujeitas à torção
O DIMENSIONAMENTO DE BARRAS SUJEITAS À
TORÇÃO
INTRODUÇÃO
Uma das vertentes do engenheiro é o dimensionamento de projetos. Neste módulo, será apresentado o
dimensionamento de pequenas estruturas sujeitas à torção. Em particular, será considerado o regime elástico e
as seções circulares maciças ou tubulares.
TENSÃO MÁXIMA EM EIXOS CIRCULARES NO
REGIME ELÁSTICO
Considere um eixo maciço de raio c submetido a um carregamento externo de torques, tal que se encontre em
equilíbrio no regime elástico. Seccionando-se o eixo, uma área A circular fica “exposta” e nela atua um torque de
intensidade T, conforme a figura 4:
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 125
 Figura 4 – Deformação de um eixo sob torção.
Na seção reta da figura 4, é possível identificar um pequeno elemento de área
dA
na qual atua a tensão cisalhamento
τ
. A partir da definição de tensão cisalhante média, é possível escrever a equação 4:
τm =
F
A
(4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Adequando a equação 4 para a situação da figura 4, tem-se que:
ΤM =
F
A
→ F = ΤM ⋅A → DF = Τ. DA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A força infinitesimal
dF
provoca um torque
dT
, dado pela multiplicação
ρ ⋅ dF
. Assim,
dT = ρ ⋅ dF
. Mas,
dF = τ ⋅ dA
. Manipulando-se algebricamente as relações matemáticas anteriores, tem-se a equação 5:
DT = Ρ ⋅ Τ ⋅ DA
(5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas a equação 3 afirma que:
τ =
ρ
c
⋅ τm á xima
. Substituindo a expressão de
τ
na equação 5, temos que
dT = ρ ⋅
ρ
c
⋅ τm á xima
, ou seja, o torque infinitesimal provocado por
dF
associada à tensão na área infinitesimal
dA
. Considerando toda seção reta, deve-se integrar:
DT = Ρ ⋅
Ρ
C
⋅ ΤM Á XIMA ⋅ DA
∫DT = ∫Ρ ⋅
Ρ
C
⋅ ΤM Á XIMA ⋅ DA
T = ∫
Ρ2
C
⋅ ΤM Á XIMA ⋅ DA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 DICA
Como a tensão cisalhante e o raio c da seção são valores constantes para uma dada situação, podem ser
retirados do integrando.
Além disso, o momento polar de inércia da região circular, em relação ao centro (polo), é definido por
J0 = ∫ρ2 ⋅ dA
. Assim, tem-se a equação 6:
T =
ΤM Á XIMA
C ∫Ρ
2DA
T =
ΤM Á XIMA
C
⋅ J0
ΤM Á XIMA =
T ⋅ C
J0
(6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação 6, é possível determinar a tensão cisalhante máxima em uma dada seção circular de raio c
submetida a um torque T. Observe que
J0
e
τm á xima
são inversamente proporcionais.
 ATENÇÃO
A partir das equações 3
τ =
ρ
c
. τm á xima
e 6, é possível escrever a equação 7, que determina a tensão cisalhante em qualquer ponto da seção circular.
ΤM Á XIMA =
T ⋅ C
J0
→
Τ ⋅ C
Ρ
=
T ⋅ C
J0
→ Τ =
T ⋅ Ρ
J0
(7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
A peça de uma estrutura é um eixo maciço de seção circular. Supondo que, na seção de estudo, o torque
aplicado tenha intensidade 900kN.mm, determine a tensão de cisalhamento máxima atuante nessa seção,
considerando o raio c = 80mm.
( )
Inicialmente as unidades serão apresentadas no S.I:
1 mm4 = 10 − 3
4
 m4 → 1 mm4 = 10 − 12 m4
1 kN. mm = 103 N. 10 − 3 m = 1N. m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
J0 =
π ⋅ R4
2 = 6, 43.10
7 mm4 = 6, 43.107 ⋅ 10 − 12 m4 = 6, 43 ⋅ 10 − 5 m4
900kN. mm = 900N. m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Utilizando a equação 6, tem-se:
ΤM Á XIMA =
T ⋅ C
J0
→ ΤM Á XIMA =
900 ⋅ (0, 08)
6, 43 ⋅ 10 − 5
= 1, 12MPA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DIMENSIONAMENTO DE EIXOS CIRCULARES SOB
TORÇÃO
Considerando um eixo maciço ou tubular em regime elástico e equilíbrio, é possível escrever expressões
matemáticas para a determinação da tensão máxima como função exclusiva do torque atuante na seção e dos
parâmetros geométricos (raios interno e externo).
 EXEMPLO
( )
É possível dimensionar seções circulares a partir do conhecimento do torque atuante e do material utilizado
(tensão cisalhante admissível).
Para seções tubulares, também há necessidade de algum parâmetro geométrico. Dado o raio interno, determina-
se o raio externo e vice-versa.
Inicialmente, serão escritas as relações que determinam o momento polar de inércia de seções circulares e
tubulares. O círculo será caracterizado apenas pelo seu raio (c) enquanto o tubo, pelos seus raios externo
(cext)
e interno
(cint)
. Observe as expressões a seguir:
Momento de inércia da seção circular
J0 =
Π ⋅ C4
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Momento de inércia da seção tubular
J0 =
Π ⋅ C 4EXT − C
4
INT
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para a seção circular, utilizando a equação 6, demonstra-se a equação 8:
( )
ΤM Á XIMA =
T ⋅ C
J0
ΤM Á XIMA =
T ⋅ C
Π ⋅C4
2
ΤM Á XIMA =
2T ⋅ C
Π ⋅ C4
ΤM Á XIMA =
2T
Π ⋅ C3
(8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já para a seção tubular, tem-se a equação 9:
ΤM Á XIMA =
T ⋅ C
J0
ΤM Á XIMA =
T ⋅ CEXT
Π ⋅ C 4EXT − C
4
INT
2
ΤM Á XIMA =
2T ⋅ CEXT
Π ⋅ C 4EXT − C
4
INT
(9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, as equações 8 e 9 auxiliarão no dimensionamento de eixos circulares/tubulares.
EXEMPLO
Considere um eixo circular maciço engastado em uma das extremidades e, na extremidade livre um torque, no
sentido horário. Supondo que o material que constitui o eixo tenha tensão cisalhante admissível de 120MPa e a
intensidade do torque seja de 3kN.m, determine o diâmetro mínimo, em mm, a ser utilizado no eixo.
Inicialmente, será feita uma adequação das unidades: 120MPa = 120·106 Pa e 3kN.m = 3.000N.m. A partir daequação 8, tem-se que:
ΤM Á XIMA =
2T
Π ⋅ C3
( )
( )
120.106 =
2. (3000)
Π ⋅ C3
→ C3 =
6000
Π.120.106
→ C =
3 6000
Π ⋅ 120.106
= 0, 02516M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, o diâmetro será dado por 2 · (0,02516) = 0,05032 m = 50,32mm
EXEMPLO
Em determinado projeto, um eixo apresenta uma série de engrenagens com torques aplicados. Suponha que o
regime elástico seja mantido, que a seção reta apresente raio constante de 20mm e o eixo se encontre em
equilíbrio. Um engenheiro precisa saber qual é a tensão de cisalhamento máxima que ocorre no eixo. A figura a
seguir representa o eixo em estudo.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
A partir da análise da figura, o eixo encontra-se em equilíbrio. Fazendo-se cortes no eixo, a partir da extremidade
esquerda, tem-se:
1O CORTE
2O CORTE
3O CORTE
4O CORTE
1O CORTE
√
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Para o equilíbrio, tem-se que Ta = 300N.m
2O CORTE
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Para o equilíbrio, tem-se que Tb + 300 = 400. Logo, Tb = 100N.m
3O CORTE
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Para o equilíbrio, tem-se que 300 + 200 = 400 + Tc. Logo, Tc = 100N.m
4O CORTE
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Para o equilíbrio, tem-se que 300 + 200 + Td = 400 + 500. Logo, Td = 400N.m
A partir da equação 8, tem-se que:
ΤM Á XIMA =
2T
Π ⋅ C3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como c é constante, o maior valor de T implicará em maior tensão cisalhante. Da análise anterior, o maior valor
de T é 400N.m. Substituindo os valores, tem-se:
ΤM Á XIMA =
2 ⋅ (400)
Π ⋅ (0, 02)3
= 31, 8MPA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. SEJA O EIXO DE TRANSMISSÃO DE UM MOTOR CIRCULAR MACIÇO DE 50MM DE
RAIO. SUPONDO QUE EM DADA SEÇÃO O TORQUE TENHA INTENSIDADE DE 20KN.M,
DETERMINE O A TENSÃO MÁXIMA CISALHANTE.
A) 80MPa
B) 90MPa
C) 102MPa
D) 110MPa
E) 120MPa
2. UM EIXO TUBULAR APRESENTA RAIO EXTERNO IGUAL A 80MM E PAREDE DE
50MM. EM DADA SEÇÃO, O TORQUE INTERNO APRESENTA MÓDULO DE 2000KN.MM.
DETERMINE A TENSÃO DE CISALHAMENTO ATUANTE A 10MM DO CENTRO.
A) 0
B) 0,157MPa
C) 0,528MPa
D) 0,872MPa
E) 1,256MPa
3. UM ESTAGIÁRIO DESEJA FAZER O DIMENSIONAMENTO DE UM PEQUENO EIXO
MACIÇO QUE UTILIZARÁ EM UM SISTEMA MECÂNICO. INICIALMENTE, ELE
SELECIONA UM AÇO, CUJA TENSÃO CISALHANTE ADMISSÍVEL É DE 90MPA. O
TORQUE MÁXIMO NAS SEÇÕES INTERNAS A QUE O EIXO FICARÁ SUBMETIDO É DE
0,4KN.M. DETERMINE O DIÂMETRO MÍNIMO DO EIXO.
A) 18,7mm
B) 21,8mm
C) 25,4mm
D) 28,3mm
E) 30,4mm
4. UMA ESTRUTURA É CONSTRUÍDA COM ELEMENTOS METÁLICOS MACIÇOS E
CIRCULARES. UMA DESSAS PEÇAS ESTÁ SUBMETIDA À TORÇÃO, RESPEITADO O
REGIME ELÁSTICO DO MATERIAL. O ENGENHEIRO QUER FAZER UMA MODELAGEM
DO SISTEMA E, PARA ISSO, PRECISA ESCREVER UMA FUNÇÃO QUE DETERMINE A
TENSÃO DE CISALHAMENTO
(Τ)
EM UMA DADA SEÇÃO, A PARTIR APENAS DA DISTÂNCIA
(Ρ)
DO CENTRO. CONSIDERE QUE, NA SEÇÃO DE ESTUDO, O TORQUE APLICADO SEJA
DE 900N.M E RAIO 50MM. DETERMINE A FUNÇÃO
Τ(Ρ)
, SENDO
Ρ
APRESENTADO EM M E
Τ
EM MPA. UTILIZE
Π = 3
.
A)
τ(ρ) = 48. ρ
B)
τ(ρ) = 96 ⋅ ρ
C)
τ(ρ) = 48. ρ2
D)
τ(ρ) = 96 ⋅ ρ2
E)
τ(ρ) = 96 ⋅ ρ3
5. CONSIDERE QUE UM EIXO TUBULAR DE DIÂMETRO EXTERNO IGUAL A 150MM E
RAIO INTERNO 10MM ESTEJA SENDO UTILIZADO PARA TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA
DE UM MOTOR PARA UM SISTEMA MECÂNICO DE PÁS. UMA SEÇÃO DO EIXO É
ESCOLHIDA PARA ESTUDO. CONSIDERE QUE O TORQUE INTERNO APRESENTA
MÓDULO DE 5 KN.M. DETERMINE A TENSÃO DE CISALHAMENTO NA PAREDE
INTERNA DO TUBO, NESSA SEÇÃO.
A) 1,00MPa
B) 1,57MPa
C) 1,92MPa
D) 6,25MPa
E) 7,55MPa
6. (ANO: 2015 BANCA: CESGRANRIO ÓRGÃO: PETROBRAS PROVA: CESGRANRIO ‒
2015 ‒ PETROBRAS ‒ TÉCNICO DE MANUTENÇÃO JÚNIOR ‒ MECÂNICA) NA TORÇÃO
DE UM EIXO DE SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR, A TENSÃO CISALHANTE MÁXIMA
VALE
Τ
. SE O DIÂMETRO DESSE EIXO É DUPLICADO, O VALOR DESSA TENSÃO CISALHANTE
MÁXIMA É:
A) Multiplicado por dois.
B) Multiplicado por quatro.
C) Multiplicado por oito.
D) Dividido por quatro.
E) Dividido por oito.
GABARITO
1. Seja o eixo de transmissão de um motor circular maciço de 50mm de raio. Supondo que em dada seção
o torque tenha intensidade de 20kN.m, determine o a tensão máxima cisalhante.
A alternativa "C " está correta.
Inicialmente, as unidades apresentadas serão adequadas ao Sistema Internacional. Dessa forma, o raio de 50mm
será 0,05m e o torque de 20kN.m será 20.000N.m. Substituindo os valores na equação 8, tem-se que:
ΤM Á XIMA =
2T
Π ⋅ C3
=
2 ⋅ (20.000)
Π ⋅ (0, 05)3
= 102MPA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um eixo tubular apresenta raio externo igual a 80mm e parede de 50mm. Em dada seção, o torque
interno apresenta módulo de 2000kN.mm. Determine a tensão de cisalhamento atuante a 10mm do centro.
A alternativa "A " está correta.
Ajuste das unidades ao S.I.
Torque: 2.000N.m
Raio externo: 0,08m
Raio interno: 0,03m
A partir da equação 9:
ΤM Á XIMA =
2 ⋅ (2000) ⋅ (0, 08)
Π ⋅ 0, 084 − 0, 034
= 2, 54MPA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na parede do tubo, a variação da tensão cisalhante é linear. Como a distância do centro (10mm) está na região
“vazia” do tubo, a tensão cisalhante é nula.
( )
3. Um estagiário deseja fazer o dimensionamento de um pequeno eixo maciço que utilizará em um
sistema mecânico. Inicialmente, ele seleciona um aço, cuja tensão cisalhante admissível é de 90MPa. O
torque máximo nas seções internas a que o eixo ficará submetido é de 0,4kN.m. Determine o diâmetro
mínimo do eixo.
A alternativa "D " está correta.
Primeiramente, as unidades serão homogeneizadas para o S.I.
Torque: 400N.m;
τmáxima = 90 · 10
6 Pa
O raio pode ser determinado a partir da equação 8:
ΤM Á XIMA =
2T
Π ⋅ C3
90.106 =
2.400
Π ⋅ C3
→ C = 14, 15MM
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, o diâmetro mínimo será 2.(14,15) = 28,3mm.
4. Uma estrutura é construída com elementos metálicos maciços e circulares. Uma dessas peças está
submetida à torção, respeitado o regime elástico do material. O engenheiro quer fazer uma modelagem do
sistema e, para isso, precisa escrever uma função que determine a tensão de cisalhamento
(τ)
em uma dada seção, a partir apenas da distância
(ρ)
do centro. Considere que, na seção de estudo, o torque aplicado seja de 900N.m e raio 50mm. Determine
a função
τ(ρ)
, sendo
ρ
apresentado em m e
τ
em MPa. Utilize
π = 3
.
A alternativa "B " está correta.
Inicialmente, será determinada a tensão de cisalhamento máxima atuante na seção, a partir da equação 8:
ΤM Á XIMA =
2T
Π ⋅ C3
→ ΤM Á XIMA =
2 ⋅ (900)
3 ⋅ (0, 05)3
= 4, 8MPA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na equação 3, tem-se:
Τ =
Ρ
C ⋅ ΤM Á XIMA → Τ =
Ρ
0, 05 ⋅ 4, 8 = 96 ⋅ Ρ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Considere que um eixo tubular de diâmetro externo igual a 150mm e raio interno 10mm esteja sendo
utilizado para transmissão de potência de um motor para um sistema mecânico de pás. Uma seção do
eixo é escolhida para estudo. Considere que o torque interno apresenta módulo de 5 kN.m. Determine a
tensão de cisalhamento na parede interna do tubo, nessa seção.
A alternativa "A " está correta.
CÁLCULO DA TENSÃO CISALHANTE NA PAREDE
INTERNA DE UM TUBO
6. (Ano: 2015 Banca: CESGRANRIO Órgão: Petrobras Prova: CESGRANRIO ‒ 2015 ‒ Petrobras ‒ Técnico
de Manutenção Júnior ‒ Mecânica) Na torção de um eixo de seção transversal circular, a tensão
cisalhante máxima vale
τ
. Se o diâmetro desse eixo é duplicado, o valor dessa tensão cisalhante máxima é:
A alternativa "E " está correta.
Escrevendo a tensão de cisalhamento em função do diâmetro, tem-se:
ΤM Á XIMA =
2T
Π ⋅
D
2
3
→ ΤM Á XIMA =
16T
Π ⋅ D3
 Atenção! Para visualização completa daequação utilize a rolagem horizontal
Logo, se o diâmetro for multiplicado por 2, a tensão máxima ficará:
Τ ′M Á XIMA =
16T
Π ⋅ (2D)3
=
2T
Π ⋅ D3
 (OITO VEZES MENOR) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
( )
TEORIA NA PRÁTICA
Em um pequeno projeto de sistema mecânico, um engenheiro deverá dimensionar um eixo para compor a
estrutura. O eixo deverá ser tubular de um aço cuja tensão admissível é 60MPa e resistir, sob torção, a um torque
de 800N.m. A razão entre os raios externo e interno deve ser igual a 1,10. Ele deve determinar as características
geométricas do eixo, ou seja, seus raios e sua parede. A figura a seguir mostra o tubo sob ação de um par de
torques.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESOLUÇÃO
DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS GEOMÉTRICOS DE
UM TUBO SOB TORÇÃO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE QUE O EIXO TUBULAR DE DIÂMETRO EXTERNO IGUAL A 200MM E
PAREDE DE 80MM ESTEJA SENDO UTILIZADO PARA TRANSMISSÃO DE 20KW DE
POTÊNCIA DE UM MOTOR. EM DADA SEÇÃO, O TORQUE INTERNO APRESENTA
MÓDULO DE 400N.M. DETERMINE A TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA.
A) 0,112MPa
B) 0,157MPa
C) 0,180MPa
D) 0,255MPa
E) 0,347MPa
2. (ANO: 2014 BANCA: CESGRANRIO ÓRGÃO: LIQUIGÁS PROVA: CESGRANRIO ‒ 2014
‒ LIQUIGÁS ‒ ENGENHEIRO JÚNIOR ‒ MECÂNICA) AO SE APLICAR UM TORQUE A UM
EIXO DE SEÇÃO CIRCULAR MACIÇA, O VALOR DA TENSÃO CISALHANTE MÁXIMA
QUE ATUA NOS PONTOS DA SUPERFÍCIE DO EIXO:
A) Independe do diâmetro do eixo.
B) Aumenta se o comprimento do eixo aumentar.
C) Diminui se o diâmetro do eixo aumentar.
D) Diminui se o diâmetro do eixo diminuir.
E) Diminui se o comprimento do eixo diminuir.
GABARITO
1. Considere que o eixo tubular de diâmetro externo igual a 200mm e parede de 80mm esteja sendo
utilizado para transmissão de 20kW de potência de um motor. Em dada seção, o torque interno apresenta
módulo de 400N.m. Determine a tensão de cisalhamento máxima.
A alternativa "D " está correta.
 
Primeiramente, as unidades serão homogeneizadas para o S.I.
Torque: 400N.m
Potência: 20.000W
Diâmetro externo: 0,2m. Logo, raio externo 0,1m
Parede: 0,08m. Assim, raio interno igual a 0,1 – 0,08 = 0,02m
A tensão cisalhante máxima pode ser determinada a partir da equação 9.
ΤM Á XIMA =
2 ⋅ (400) ⋅ (0, 1)
Π ⋅ 0, 14 − 0, 024
= 0, 255MPA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. (Ano: 2014 Banca: CESGRANRIO Órgão: LIQUIGÁS Prova: CESGRANRIO ‒ 2014 ‒ LIQUIGÁS ‒
Engenheiro Júnior ‒ Mecânica) Ao se aplicar um torque a um eixo de seção circular maciça, o valor da
tensão cisalhante máxima que atua nos pontos da superfície do eixo:
A alternativa "C " está correta.
 
A tensão cisalhante na seção reta de um eixo circular maciço é dada pela expressão
τm á xima =
2T
π. c3
. Escrevendo em função do diâmetro, tem-se:
ΤM Á XIMA =
2T
Π ⋅
D
2
3
→ ΤM Á XIMA =
16T
Π ⋅ D3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, para T constante, a tensão cisalhante máxima aumenta com a diminuição do diâmetro e vice-versa.
( )
( )
MÓDULO 3
 Calcular a transmissão de potência
A TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA
INTRODUÇÃO
Os elementos circulares metálicos podem ser utilizados com a função estrutural e, sob a ação de torção, em suas
seções internas ocorre o fenômeno do cisalhamento. Outra possibilidade é a utilização dos eixos circulares
(maciços ou tubulares) para a transmissão da potência de um motor para um sistema mecânico.
TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA
Considere um motor elétrico e um sistema mecânico, por exemplo, e um conjunto de pás que devem girar em
determinada frequência. A “união” desses dois elementos pode ser feita por meio de um eixo circular, seja ele
maciço ou tubular. Assim, será feita a transmissão do movimento de rotação do motor às pás ou, de outra forma,
será transmitida a potência do motor ao conjunto mecânico.
A figura 5 mostra o acoplamento de um motor M a um sistema mecânico por meio de um eixo AB, uma polia e
sua correia.
 
Imagem: Imagem: Hibbeler, 2010, p. 133
 Figura 5 – Transmissão de potência.
Qualitativamente, na transmissão de potência por meio de eixos, estes ficam submetidos a torques que
dependem de dois parâmetros:
A POTÊNCIA DO MOTOR
A VELOCIDADE ANGULAR
 COMENTÁRIO
A seguir, demonstraremos a relação entre as grandezas potência, torque e velocidade angular.
Considere um caso particular em que um sistema tenha velocidade v (módulo) e uma força F (módulo) atuante,
tal que as grandezas vetoriais envolvidas apresentam mesma direção e mesmo sentido. A potência
(Pot)
, em dado instante, é dada por:
POT = F. V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Contudo, a velocidade linear v pode ser apresentada pelo produto da velocidade angular
(ω)
pelo raio R da trajetória circular. Substituindo na equação anterior, tem-se que:
POT = F ⋅ W ⋅ R
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas,
F ⋅ R = T
. Logo, a potência transmitida
(Pot)
será apresentada na equação a seguir.
POT = T ⋅ W
(10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde, no Sistema Internacional (S.I.):
Pot
– Expressa em watt (W)
T
– Expresso em N.m
w
- Expresso em rad/s
 ATENÇÃO
A velocidade angular
(w)
pode ser expressa em função da frequência (número de voltas por unidade do tempo), ou seja,
ω = 2πf
. Assim, a equação 10 pode ser apresentada como a equação 11.
POT = 2 ⋅ Π ⋅ F ⋅ T
(11)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
A unidade para a frequência no S.I. é rotações por segundo (rps) ou Hertz (Hz). É usual a sua apresentação em
rotações por minuto (rpm). A conversão de rpm em Hz, e vice-versa, é mostrada no esquema a seguir:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
EXEMPLO
Um eixo circular está sendo utilizado para transmitir potência de um motor M para um sistema mecânico.
Considere que a potência do motor seja de 4kW e a frequência do motor, de 180rpm. Determine:
a) A velocidade angular do eixo.
b) O torque aplicado ao eixo.
Inicialmente, as unidades serão ajustadas para o S.I.
Pot = 4.000W
e
f = 3Hz (180 ÷ 60)
Velocidade angular w = 2πf → w = 2π · (3) = 18,84 rad /s
Pot = T · w → 4.000 = T · (18,84) → T = 212,3N. m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DIMENSIONAMENTO DE EIXOS
O dimensionamento de eixos utilizados para transmissão de potência avalia alguns parâmetros, como potência,
torque, material utilizado etc. E, utilizando as equações adequadas, é possível chegar a parâmetros geométricos
dos eixos.
 EXEMPLO
O diâmetro mínimo em um eixo circular ou a espessura mínima da parede de um eixo tubular.
Suponha uma situação em que um eixo circular maciço deva ter seu diâmetro dimensionado. A potência a ser
transmitida e a frequência de rotação são apresentadas. Assim, esquematicamente, tem-se:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Ademais, escolhe-se o material a ser utilizado na fabricação do eixo circular maciço, ou seja, o valor de tensão
cisalhante admissível é conhecido, pois é tabelado (valor máximo).
Portanto, a partir do conhecimento da intensidade (T) do torque chega-se ao raio mínimo, ou ao diâmetro mínimo 
(D = 2. c). Veja o esquema a seguir:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 ATENÇÃO
O esquema apresentado foi para um eixo maciço. Para a situação de um eixo tubular, algum parâmetro
geométrico deve ser conhecido. Ou, então, a saída será uma relação matemática entre os raios interno e externo
que flexibiliza uma série de escolhas que satisfazem à relação.
Agora, será vista a expressão que processa os dados do último esquema. Considere as equações 8, 9 e 11:
ΤM Á XIMA =
2T
Π. C3
(8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ΤM Á XIMA =
2T ⋅ CEXT
Π ⋅ C 4EXT − C
4
INT
(9)
 Atenção! Para visualização completada equação utilize a rolagem horizontal
( )
POT = 2 ⋅ Π ⋅ F ⋅ T
(10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o eixo circular maciço, será feita a manipulação algébrica entre as equações 8 e 11. Assim:
POT = 2 ⋅ Π ⋅ F ⋅ T → Τ =
POT
2 ⋅ Π ⋅ F
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na equação 8:
ΤM Á XIMA =
2T
Π ⋅ C3
→ ΤM Á XIMA =
2 ⋅
POT
2 ⋅Π ⋅F
Π ⋅ C3
→ ΤM Á XIMA =
POT
Π2 ⋅ F ⋅ C3
ΤM Á XIMA =
POT
Π2 ⋅ F ⋅ C3
→ C =
3 POT
Π2 ⋅ F ⋅ ΤM Á XIMA
(12)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o eixo circular tubular, será feita a manipulação algébrica entre as equações 9 e 11. Assim:
√
 POT = 2 ⋅ Π ⋅ F ⋅ T → Τ =
POT
2 ⋅ Π ⋅ F
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na equação 9:
τm á xima =
2T ⋅ cext
π ⋅ c 4ext − c
4
int
→ τm á xima =
2 ⋅
Pot
2 ⋅π ⋅ f ⋅ cext
π ⋅ c 4ext − c
4
int 
→ τm á xima =
 Pot ⋅ cext 
π2 ⋅ f ⋅ c 4ext − c
4
int 
τm á xima =
 Pot. cext
π2 ⋅ f ⋅ c 4ext − c
4
int
c 4ext − c
4
int
cext
=
Pot
π2 ⋅ f ⋅ τm á xima
(13)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 COMENTÁRIO
Reafirmando o que já foi descrito, para o eixo tubular, uma relação matemática (equação 13) entre os raios
interno e externo será apresentada.
Conhecendo um parâmetro geométrico do tubo (raio interno, por exemplo), o raio externo pode ser calculado. Ou,
no dimensionamento do eixo, pode-se arbitrar um valor para c interno e determinar o c externo. Da última
maneira, há um rol de possibilidades.
EXEMPLO
Um eixo maciço é utilizado para transmitir 4,5kW de potência a um conjunto de pás que devem girar à frequência
de 120rpm. O material a ser utilizado apresenta tensão cisalhante admissível de 90MPa. Determine o raio mínimo
a ser utilizado para o eixo, considerando o regime elástico.
Adequação das unidades: Potência igual a 4.500W, frequência igual a 2Hz e tensão admissível 90.106 Pa. A
partir da equação 12, temos que:
( ) ( ) ( )
( )
( )
C =
3 POT
Π2 ⋅ F ⋅ ΤM Á XIMA
→ C =
3 4500
Π2 ⋅ 2.90 ⋅ 106
= 0, 0136M = 13, 6 MM
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
Um projeto acoplará um sistema mecânico a um motor por meio de um eixo tubular. A potência transmitida é de
150kW e o material utilizado tem tensão cisalhante admissível de 30MPa. O eixo deverá girar a uma frequência
de 25Hz e seu diâmetro externo será igual a 60mm. Determine a parede mínima para esse tubo.
Homogeneização das unidades: potência igual a 150.103W, tensão admissível 30.106Pa e raio externo igual a
0,03m. A partir da equação 13, temos que:
C 4EXT − C
4
INT
CEXT
=
POT
Π2 ⋅ F ⋅ ΤM Á XIMA
(0, 03)4 − C 4INT
0, 03 =
150.103
Π2 ⋅ 25 ⋅ 30 ⋅ 106
(0, 03)4 − C 4INT = 0, 61 ⋅ 10
− 6
√ √
( )
( )
C 4INT = 0, 2 ⋅ 10
− 6 → CINT = 0, 021M = 21MM
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a parede do tubo será t = 30mm – 21mm = 9mm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE A FIGURA A SEGUIR EM QUE UM MOTOR DE POTÊNCIA 3KW É
ACOPLADO A UM EIXO CIRCULAR MACIÇO DE AÇO. A FREQUÊNCIA DE ROTAÇÃO É
1800RPM E O AÇO UTILIZADO TEM TENSÃO CISALHANTE ADMISSÍVEL DE 60MPA.
QUAL É O RAIO MÍNIMO DA SEÇÃO DO EIXO? 
 
A) 4,73mm
B) 5,12mm
C) 5,53mm
D) 6,82mm
E) 7,91mm
2. UM PROJETO DE UM EIXO MACIÇO FOI DIMENSIONADO PARA OS PARÂMETROS
POTÊNCIA, FREQUÊNCIA DE ROTAÇÃO E O TIPO DE MATERIAL. COM ISSO, CHEGOU-
SE AO RAIO MÍNIMO DE 15MM. PARA UM NOVO PROJETO EM QUE APENAS A
POTÊNCIA É MODIFICADA (PASSA A TER VALOR 8 VEZES MAIOR), QUAL É O NOVO
RAIO MÍNIMO?
A) 30mm
B) 25mm
C) 20mm
D) 15mm
E) 7,5mm
3. UM TUBO SERÁ UTILIZADO COMO EIXO DE TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA DE UM
MOTOR. A GEOMETRIA DO TUBO APRESENTA OS VALORES PARA RAIO EXTERNO DE
50MM E PAREDE IGUAL A 10MM. A FREQUÊNCIA DE ROTAÇÃO É DE 1800RPM E A
POTÊNCIA A TRANSMITIR DE 120KW. QUAL É A TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA
QUE ATUA NO EIXO?
A) 2,8MPa
B) 3,7MPa
C) 4,5MPa
D) 5,5MPa
E) 6,4MPa
4. UM EIXO MACIÇO TRANSMITE POTÊNCIA DE UM MOTOR ELÉTRICO PARA UM
SISTEMA DE ENGRENAGENS. A POTÊNCIA É DE 4.000W E A FREQUÊNCIA DE
ROTAÇÃO 40HZ. A TENSÃO CISALHANTE MÁXIMA ATUANTE EM UMA DADA SEÇÃO
DO EIXO É DE 20MPA. QUAL É A TENSÃO CISALHANTE ATUANTE A 5MM DO CENTRO
DO CÍRCULO?
A) 4,00MPa
B) 10,86MPa
C) 12,53MPa
D) 15,50MPa
E) 18,30MPa
5. UM MOTOR DE UM EXAUSTOR TEM POTÊNCIA DE 1000W. MANTENDO CONSTANTE
A POTÊNCIA E VARIANDO A FREQUÊNCIA DE ROTAÇÃO DE F1 = 1800RPM PARA F2 =
1200RPM, QUAL É A RAZÃO
Τ1
Τ2
DOS TORQUES (EM INTENSIDADE) QUE ATUAM NO EIXO NOS INSTANTES EM QUE AS
FREQUÊNCIAS SÃO, RESPECTIVAMENTE, F1 = 1800RPM PARA F2 = 1200RPM?
A)
4
9
B)
8
27
C)
1
D)
1
3
E)
2
3
6. SEJA UM MOTOR
M1
, CUJA POTÊNCIA É IGUAL A POT. SUPONHA DOIS EIXOS 1 E 2, CIRCULARES
MACIÇOS DE MESMO MATERIAL, CUJOS RAIOS SEJAM, RESPECTIVAMENTE,
C1
= 100MM E
C2
= 200MM. O MOTOR
M1
SERÁ ACOPLADO EM CADA UM DOS EIXOS, ALTERNADAMENTE. QUANDO
CONECTADO AO PRIMEIRO, A FREQUÊNCIA DE ROTAÇÃO
F1
É 2400RPM. QUAL É A FREQUÊNCIA DE ROTAÇÃO
F2
, SUPONDO QUE O REGIME SEJA ELÁSTICO E A TENSÃO CISALHANTE ATUANTE
SEJA A ADMISSÍVEL PARA O MATERIAL?
A) 300rpm
B) 1000rpm
C) 1200rpm
D) 2400rpm
E) 4800rpm
GABARITO
1. Considere a figura a seguir em que um motor de potência 3kW é acoplado a um eixo circular maciço de
aço. A frequência de rotação é 1800rpm e o aço utilizado tem tensão cisalhante admissível de 60MPa.
Qual é o raio mínimo da seção do eixo? 
 
A alternativa "C " está correta.
Sendo o eixo maciço, pode-se utilizar a equação 12, ou seja,
C =
3 POT
Π2 ⋅F ⋅ΤM Á XIMA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ajustando as unidades, Pot = 3.000W, f = 30 Hz e tensão cisalhante = 60.106.
C =
3 3.000
Π2 ⋅ 30 ⋅ 60 ⋅ 106
= 0, 00553M = 5, 53MM
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um projeto de um eixo maciço foi dimensionado para os parâmetros potência, frequência de rotação e
o tipo de material. Com isso, chegou-se ao raio mínimo de 15mm. Para um novo projeto em que apenas a
potência é modificada (passa a ter valor 8 vezes maior), qual é o novo raio mínimo?
A alternativa "A " está correta.
Considerando para o projeto inicial os parâmetros:
Pot
,
f
e
τm á xima
, o raio mínimo é
c1 = 15mm
. A partir da equação 12,
c =
3 Pot
π2 ⋅ f ⋅ τm á xima
os parâmetros citados se relacionam. Utilizando a mesma expressão para o segundo projeto alterando-se apenas
a potência (Pot’ = 8. Pot), o raio mínimo
c2
√
√
√
é determinado. Observe:
C1 =
3 POT
Π2 ⋅ F ⋅ ΤM Á XIMA
C2 =
3 8. POT
Π2 ⋅ F ⋅ ΤM Á XIMA
= 2 ⋅
3 POT
Π2 ⋅ F ⋅ ΤM Á XIMA
→ C2 = 2 ⋅ C1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, o novo raio é igual a 30mm.
3. Um tubo será utilizado como eixo de transmissão de potência de um motor. A geometria do tubo
apresenta os valores para raio externo de 50mm e parede igual a 10mm. A frequência de rotação é de
1800rpm e a potência a transmitir de 120kW. Qual é a tensão de cisalhamento máxima que atua no eixo?
A alternativa "D " está correta.
A parede do tubo circular é dada pela expressão
t = cext – cint
Assim, o raio interno cint = 40mm = 0, 04m. O raio externo cext vale 0,05m. Adequando as unidades de
potência e frequência, e substituindo na equação 13, temos que:
0, 054 − 0, 044
0, 05 =
120.000
Π2 ⋅ 30 ⋅ ΤM Á XIMA
√
√ √
( )
( )
0, 054 − 0, 044 ⋅ Π2 ⋅ 30 ⋅ ΤM Á XIMA = 120.000. (0, 05)
ΤM Á XIMA = 5, 5MPA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Um eixo maciço transmite potência de um motor elétrico para um sistema de engrenagens. A potência
é de 4.000W e a frequência de rotação 40Hz. A tensão cisalhantemáxima atuante em uma dada seção do
eixo é de 20MPa. Qual é a tensão cisalhante atuante a 5mm do centro do círculo?
A alternativa "C " está correta.
Inicialmente será determinado o raio do eixo, utilizando a equação 12:
C =
3 POT
Π2 ⋅ F ⋅ ΤM Á XIMA
C =
3 4.000
Π2 ⋅ 40.20.106
C =
3 4.000
Π2 ⋅ 40 ⋅ 20 ⋅ 106
= 7, 98MM
( )
√
√
√
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a variação da tensão cisalhante é linear, ao longo do raio, temos que:
20MPa
-------
 7,98mm 
τ
 -------
 5,00mm 
Assim,
τ
= 12,53MPa
5. Um motor de um exaustor tem potência de 1000W. Mantendo constante a potência e variando a
frequência de rotação de f1 = 1800rpm para f2 = 1200rpm, qual é a razão
τ1
τ2
dos torques (em intensidade) que atuam no eixo nos instantes em que as frequências são,
respectivamente, f1 = 1800rpm para f2 = 1200rpm?
A alternativa "E " está correta.
A partir da equação 11
(Pot = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ T)
e, pelo fato de a potência ser constante, é possível escrever que:
POT = 2Π ⋅ F1 ⋅ Τ1 = Π ⋅ F2 ⋅ Τ2
F1 ⋅ Τ1 = F2 ⋅ Τ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores:
1800 ⋅ Τ1 = 1200 ⋅ Τ2
Τ1
Τ2
=
1200
1800 =
2
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Seja um motor
M1
, cuja potência é igual a Pot. Suponha dois eixos 1 e 2, circulares maciços de mesmo material, cujos raios
sejam, respectivamente,
c1
= 100mm e
c2
= 200mm. O motor
M1
será acoplado em cada um dos eixos, alternadamente. Quando conectado ao primeiro, a frequência de
rotação
f1
é 2400rpm. Qual é a frequência de rotação
f2
, supondo que o regime seja elástico e a tensão cisalhante atuante seja a admissível para o material?
A alternativa "A " está correta.
CÁLCULO DA FREQUÊNCIA DE ROTAÇÃO NA
TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Um estagiário de Engenharia foi incumbido de auxiliar no dimensionamento de um eixo tubular para um projeto
que transmitirá potência de um motor para um sistema mecânico, por meio desse eixo. A empresa possui em seu
estoque o aço X, cuja tensão de cisalhamento admissível é de 20MPa. Durante a transmissão de potência, o eixo
fica submetido a um torque de 680N.m e a frequência de rotação do eixo de 360rpm. Por questões de projeto, o
diâmetro externo deve ser de 60mm. Qual é a espessura mínima da parede?
RESOLUÇÃO
CÁLCULO DA ESPESSURA MÍNIMA DA PAREDE DE UM
TUBO SOB TORÇÃO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UM MOTOR TRANSMITE POTÊNCIA DE 2.000W POR MEIO DE UM EIXO QUE TEM
FREQUÊNCIA DE ROTAÇÃO DE 3HZ. O TORQUE A QUE FICA SUBMETIDO É IGUAL A:
A) 66,67N.m
B) 92,10N.m
C) 100,45N.m
D) 106,16N.m
E) 125,12N.m
2. A TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA DE UM MOTOR POR MEIO DE UM EIXO MACIÇO SE
RELACIONA COM A FREQUÊNCIA (F) DE ROTAÇÃO E O TORQUE ATUANTE (T). DESSE
MODO, SÃO FEITAS AS SEGUINTES AFIRMATIVAS: 
 
I – PARA UM VALOR CONSTANTE DE T, A POTÊNCIA DEPENDE DO QUADRADO DA
FREQUÊNCIA DE ROTAÇÃO; 
II – PARA UM VALOR CONSTANTE DE F, A POTÊNCIA VARIA INVERSAMENTE COM O
MÓDULO DE T; 
III – PARA POTÊNCIA CONSTANTE, O TORQUE ATUANTE E A FREQUÊNCIA DE
ROTAÇÃO SÃO GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. 
 
SÃO CORRETAS:
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas a afirmativa II.
C) Apenas a afirmativa III.
D) Apenas as afirmativas I e III.
E) Apenas a afirmativa II e III.
GABARITO
1. Um motor transmite potência de 2.000W por meio de um eixo que tem frequência de rotação de 3Hz. O
torque a que fica submetido é igual a:
A alternativa "D " está correta.
 
A partir das equações
 Pot = T ⋅ w
e
w = 2πf
, é possível escrever que:
 POT = T ⋅ 2ΠF
2.000 = T ⋅ 2Π ⋅ 25
T = 106, 16 N ⋅ M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A transmissão de potência de um motor por meio de um eixo maciço se relaciona com a frequência (f)
de rotação e o torque atuante (T). Desse modo, são feitas as seguintes afirmativas: 
 
I – Para um valor constante de T, a potência depende do quadrado da frequência de rotação; 
II – Para um valor constante de f, a potência varia inversamente com o módulo de T; 
III – Para potência constante, o torque atuante e a frequência de rotação são grandezas inversamente
proporcionais. 
 
São corretas:
A alternativa "C " está correta.
 
A potência (Pot), o torque atuante no eixo (T) e a frequência de rotação (f) são relacionadas matematicamente
por:
POT = T. W → POT = 2Π. F. T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da expressão anterior, podemos inferir que:
I – Quando T é constante, a potência depende diretamente da frequência; 
II – Quando f é constante, a potência depende diretamente de T; 
III – Para potência constante, T e f são inversamente proporcionais.
MÓDULO 4
 Calcular a torção de tubos de seção fechada não circular e parede fina
A TORÇÃO DE TUBOS DE SEÇÃO FECHADA NÃO
CIRCULAR E PAREDE FINA
INTRODUÇÃO
Como nos ensina Hibbeler (2010), tubos com paredes finas e seção reta não circular têm grande utilização em
estruturas leves.
 COMENTÁRIO
Neste módulo, será abordado o efeito da torção sobre tubos de paredes finas e seção fechada.
Observe a figura 6, em que um torque T é aplicado a um elemento (com as características descritas
anteriormente) de uma estrutura.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 158
 Figura 6 – Tubo de paredes finas.
FLUXO DE CISALHAMENTO
Considere uma seção reta de um tubo fechado não circular de paredes finas, conforme ilustrado na figura 7:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 7 – Seção reta de um tubo não circular de paredes finas.
 ATENÇÃO
Para o entendimento da tensão cisalhante atuante nas paredes finas, será abordada uma nova grandeza
denominada fluxo de cisalhamento (q).
Alguns autores, como Hibbeler (2010) e Beer & Johnston (1995), fazem analogia com o fluxo de água em um
canal de profundidade constante, mas de largura variável.
 SAIBA MAIS
A água apresenta velocidades diferentes para larguras distintas, contudo, o seu fluxo não varia.
Observe a figura 8:
 
Imagem: Beer, Johnston, 1995, p. 286
 Figura 8 – Fluxo de cisalhamento em tubos de paredes finas.
Do exposto anteriormente, é possível escrever a equação 14:
ΤA ⋅ ΤA = ΤB ⋅ ΤB = ΤC ⋅ ΤC = …
(14)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
ti – espessura da parede em algum ponto da seção.
τi – tensão de cisalhamento média na parede, na região em que a espessura é ti.
Da análise da equação 14, percebe-se que o produto da espessura pela tensão cisalhante é constante ao longo
de uma seção reta do tubo. Esse produto é denominado fluxo de cisalhamento (q), expresso pela equação 15:
Q = ΤM É DIA ⋅ T
(15)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação 15, como o fluxo q é constante, as grandezas tensão cisalhante média e espessura são
inversamente proporcionais.
 RESUMINDO
Quando uma aumenta, a outra diminui.
Logo, a maior tensão de cisalhamento média ocorre para a menor espessura e, a menor, para a maior espessura.
 ATENÇÃO
Em termos de unidades, perceba que o fluxo q “mede” a força aplicada por unidade de comprimento ao longo da
área da seção reta do tubo.
Q =
N
M2
⋅ M =
N
M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
Suponha uma seção de um tubo de paredes finas sujeito a um torque de intensidade T. Uma dada seção reta
será estudada. Duas regiões dessa seção (A e B) apresentam espessuras
τB = 5mm
e
τB = 8mm
. O fluxo de cisalhamento na seção é igual a
80
N
mm
. Determine as tensões cisalhantes médias em A e B.
Da equação 15,
Q = ΤM É DIA ⋅ T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A tensão média em A:
80 = ΤM É DIA.5
ΤA = 16
N
MM2
= 16MPA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o fluxo q é constante, temos que:ΤA ⋅ ΤB = ΤB ⋅ ΤB → 16.5 = ΤB.8 → ΤB = 10MPA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note que o aumento da espessura leva à diminuição da tensão cisalhante média.
TENSÃO CISALHANTE MÉDIA
(ΤM É DIA)
Nesse ponto, a pergunta a ser feita é: como o torque aplicado a um tubo de seção reta de paredes finas se
relaciona com a tensão cisalhante média?
 RESPOSTA
A partir do conceito de momento de uma força, é possível chegar-se a uma expressão que responde à
indagação.
Um pequeno elemento da seção reta em estudo é individualizado e determina-se o elemento infinitesimal do
torque
dT
. Integrando-se, chega-se à expressão do T dada pela equação 16:
ΤM É DIA =
T
 2.T. AM É DIA
(16)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
T
– Torque resultante na seção
t
– Espessura do tubo onde a tensão será determinada
Am é dia
– Área média (a ser definida)
A área média que aparece na equação 16 é definida conforme a figura 9.
 
Imagem: Beer, Johnston, 1995, p. 288
 Figura 9 – Área média num tubo de paredes finas.
Portanto,
Am é dia
é a área da seção limitada pela linha tracejada na figura 9.
EXEMPLO
Seja um tubo retangular engastado em uma estrutura e livre na outra extremidade. As dimensões externas do
tubo são 30mm e 60mm e as paredes têm espessura constante e igual a 4mm. Quando na extremidade livre do
tubo é aplicado um torque de 40N.m, determine:
a) A tensão média nas paredes;
b) O fluxo de cisalhamento na seção em estudo.
Inicialmente, será feita uma representação esquemática da seção reta do tubo.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
AMÉDIA = 56 · 26 = 1456MM2 = 1456 · 10 - 6M2
T = 4MM = 0, 004M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
a) Substituindo os valores de t, Amédia e T na equação 16, temos:
ΤM É DIA =
T
2 ⋅ T ⋅ AM É DIA
ΤM É DIA =
40
2 ⋅ (0, 004) ⋅ 1456 ⋅ 10 − 6
= 3, 4MPA
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
b) A partir da equação que determina o fluxo de cisalhamento q, temos que:
Q = ΤM É DIA ⋅ T
Q = (3, 4) ⋅ 4 =
14N
MM
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note as unidades utilizadas:
MPA =
N
MM2
N
MM2
⋅ MM =
N
MM
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE UM TUBO DE SEÇÃO QUADRANGULAR QUE ESTEJA SUBMETIDO A UM
PAR DE TORQUES (INTENSIDADE 144N.M). A ÁREA MÉDIA DA SEÇÃO DO TUBO É
IGUAL A 3.600MM2 E A ESPESSURA DO TUBO É CONSTANTE, E BEM MENOR QUE AS
DIMENSÕES EXTERNA E INTERNA. NESSAS CONDIÇÕES, A TENSÃO CISALHANTE
MÉDIA ATUANTE NA PAREDE DO TUBO É 2MPA. DETERMINE A ESPESSURA DO TUBO.
A) 8mm.
B) 10mm.
C) 11mm.
D) 12mm.
E) 15mm
2. UM TUBO DE SEÇÃO FECHADA E PAREDES FINAS NÃO CONSTANTES SOB
TORÇÃO APRESENTA FLUXO DE CISALHAMENTO
Q =
20 N
MM
. EM UMA DADA SEÇÃO DE ESTUDO, AS ESPESSURAS MÁXIMA E MÍNIMA VALEM 5MM
E 4MM. DETERMINE AS TENSÕES CISALHANTES MÉDIAS NESTA SEÇÃO DO TUBO.
A) 80MPa e 100MPa.
B) 20MPa e 100MPa.
C) 9MPa e 100MPa.
D) 2MPa e 2,5MPa.
E) 4MPa e 5MPa.
3. UM TUBO DE PAREDES FINAS E ESPESSURA VARIÁVEL ENCONTRA-SE SOB
TORÇÃO, EM UM REGIME ELÁSTICO. AS SEGUINTES AFIRMATIVAS SÃO FEITAS: 
 
I – O FLUXO DE CISALHAMENTO É VARIÁVEL, AUMENTANDO À MEDIDA QUE A
ESPESSURA DA PAREDE AUMENTA. 
II – A TENSÃO CISALHANTE MÉDIA, AO LONGO DA PAREDE, VARIA DE MANEIRA
DIRETAMENTE PROPORCIONAL À ESPESSURA. 
III – A TENSÃO CISALHANTE MÉDIA MÁXIMA OCORRE NA REGIÃO COM MENOR
ESPESSURA DA PAREDE. 
 
SÃO CORRETAS:
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas a afirmativa II.
C) Apenas a afirmativa III.
D) Apenas as afirmativas I e II.
E) Apenas as afirmativas I e III.
4. CONSIDERE UM TUBO RETANGULAR SUBMETIDO À TORÇÃO. UMA SEÇÃO RETA
DESSE TUBO É REPRESENTADA NA FIGURA. SUPONHA QUE A ESPESSURA EM AB
SEJA O DOBRO DA ESPESSURA EM BC E QUE O FLUXO DE CISALHAMENTO SEJA Q.
A RAZÃO ENTRE AS TENSÕES DE CISALHAMENTO (MÉDIA) NOS RAMOS AB E BC É: 
 
A)
q
2
B)
q
C)
q2
4
D)
1
2
E)
1
4
5. UM TUBO DE SEÇÃO QUADRANGULAR ESTÁ EM EQUILÍBRIO SOB A AÇÃO DE
TRÊS TORQUES. AS DIMENSÕES DA SEÇÃO RETA SÃO: LADO EXTERNO DO
QUADRADO 30MM E PAREDE 5MM. CONSIDERANDO O REGIME ELÁSTICO, QUAL É A
TENSÃO DE CISALHAMENTO QUE ATUA NA PAREDE DA SEÇÃO ENTRE OS PONTOS A
E B? 
 
A) 4MPa
B) 8MPa
C) 16MPa
D) 32MPa
E) 64MPa
6. CONSIDERE UM TUBO DE SEÇÃO RETA TRIANGULAR (TRIÂNGULO EQUILÁTERO),
CONFORME FIGURA. SUPONHA QUE O TUBO ESTEJA EM EQUILÍBRIO NO REGIME
ELÁSTICO. A SEÇÃO EM ESTUDO APRESENTA TORQUE INTERNO DE MÓDULO
1,5KN.M E A PAREDE DO TUBO TEM 5MM DE ESPESSURA. DETERMINE A TENSÃO
CISALHANTE MÉDIA QUE AGE NAS PAREDES DO TUBO. DESCONSIDERE O FATOR DE
CONCENTRAÇÃO DOS VÉRTICES. 
 
A) 17,42MPa
B) 34,68MPa
C) 8,25MPa
D) 42,58MPa
E) 64,02MPa
GABARITO
1. Considere um tubo de seção quadrangular que esteja submetido a um par de torques (intensidade
144N.m). A área média da seção do tubo é igual a 3.600mm2 e a espessura do tubo é constante, e bem
menor que as dimensões externa e interna. Nessas condições, a tensão cisalhante média atuante na
parede do tubo é 2MPa. Determine a espessura do tubo.
A alternativa "B " está correta.
Inicialmente, as unidades serão homogeneizadas (Amédia = 3600mm
2 = 0,0036m2) e a tensão cisalhante igual a
2.106Pa. A partir da equação 16, temos que:
ΤM É DIA =
T
2 ⋅ T ⋅ AM É DIA
2 ⋅ 106 =
144
2 ⋅ T ⋅ (0, 0036) → Τ =
144
2 ⋅ (2.106) ⋅ (0, 0036)
= 0, 01M = 10MM
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um tubo de seção fechada e paredes finas não constantes sob torção apresenta fluxo de cisalhamento
q =
20 N
mm
. Em uma dada seção de estudo, as espessuras máxima e mínima valem 5mm e 4mm. Determine as
tensões cisalhantes médias nesta seção do tubo.
A alternativa "E " está correta.
O fluxo de cisalhamento é constante e dado por:
Q = ΤM É DIA ⋅ T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para a parede de maior espessura, a tensão cisalhante será mínima, e para a parede de menor espessura, a
tensão cisalhante será máxima. Assim:
20 = ΤMÉDIA MÍNIMA ⋅ 5 → ΤMÉDIA MÍNIMA = 4MPA
20 = ΤMÉDIA MÁXIMA ⋅ 4 → ΤMÉDIA MÁXIMA = 5MPA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Um tubo de paredes finas e espessura variável encontra-se sob torção, em um regime elástico. As
seguintes afirmativas são feitas: 
 
I – O fluxo de cisalhamento é variável, aumentando à medida que a espessura da parede aumenta. 
II – A tensão cisalhante média, ao longo da parede, varia de maneira diretamente proporcional à
espessura. 
III – A tensão cisalhante média máxima ocorre na região com menor espessura da parede. 
 
São corretas:
A alternativa "C " está correta.
O fluxo de cisalhamento em tubos de paredes finas (regime elástico) é constante e dado pela seguinte expressão:
Q = ΤM É DIA ⋅ T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, as grandezas tensão cisalhante média e espessura são inversamente proporcionais. Logo, a tensão
cisalhante máxima ocorre para a espessura mínima.
4. Considere um tubo retangular submetido à torção. Uma seção reta desse tubo é representada na figura.
Suponha que a espessura em AB seja o dobro da espessura em BC e que o fluxo de cisalhamento seja q.
A razão entre as tensões de cisalhamento (média) nos ramos AB e BC é: 
 
A alternativa "D " está correta.
O fluxo de cisalhamento q é constante, mesmo com variação da espessura da parede. Assim, é possível
escrever, a partir da equação 15, que:
Q = ΤM É DIA ⋅ T AB = ΤM É DIA ⋅ T BC
ΤAB ⋅ ΤAB = ΤBC ⋅ ΤBC
ΤAB ⋅ 2Τ = ΤBC. T →
ΤAB
ΤBC
=
1
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Um tubo de seção quadrangular está em equilíbrio sob a ação de três torques. As dimensões da seção
reta são: lado externo do quadrado 30mm e parede 5mm. Considerando o regime elástico,qual é a tensão
de cisalhamento que atua na parede da seção entre os pontos A e B? 
 
A alternativa "D " está correta.
O tubo encontra-se em equilíbrio sob a ação dos torques. Fazendo um corte entre os pontos A e B, a parte do
todo estará em equilíbrio, sendo representada a seguir:
( ) ( )
Do equilíbrio: 100 +
τinterno
= 300. Assim, =
τinterno
= 200N.m
Área média = (30 - 5) x (30 - 5) = 625mm2 = 625 · 10-6m2.
t = 5mm = 0,005m
Substituindo na expressão 16, tem-se:
ΤM É DIA =
200
2 ⋅ (0, 005) ⋅ 625 ⋅ 10 − 6
ΤM É DIA = 32MPA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Considere um tubo de seção reta triangular (triângulo equilátero), conforme figura. Suponha que o tubo
esteja em equilíbrio no regime elástico. A seção em estudo apresenta torque interno de módulo 1,5kN.m e
( )
a parede do tubo tem 5mm de espessura. Determine a tensão cisalhante média que age nas paredes do
tubo. Desconsidere o fator de concentração dos vértices. 
 
A alternativa "B " está correta.
DETERMINAÇÃO DA TENSÃO CISALHANTE MÉDIA EM
TUBO DE SEÇÃO TRIANGULAR
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
(Questão 3.128 do livro Fonte: Resistência dos Materiais, BEER, F.P., JOHNSTON, E.R.J., 1995, p. 298/299) 
Um eixo cilíndrico vazado foi projetado com a seção transversal mostrada na figura (1) para resistir a um torque
máximo T0. Um defeito na fabricação, no entanto, resultou em uma pequena excentricidade e, entre as
superfícies cilíndricas, interna e externa, como mostrado na figura (2). Expressar o torque máximo T que pode ser
aplicado com segurança ao eixo defeituoso, em termos de T0, e e t.
 
Imagem: Beer, Johnston, 1995, p. 299
RESOLUÇÃO
CÁLCULO DO TORQUE MÁXIMO EM EIXOS TUBULARES
COM EXCENTRICIDADE
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UM TUBO É UTILIZADO PARA TRANSMITIR POTÊNCIA DE UM MOTOR. EM DADO
INSTANTE, FICA SUBMETIDO A UM TORQUE DE INTENSIDADE T. CONSIDERE O
REGIME ELÁSTICO E AS PAREDES DO TUBO FINAS. AS PAREDES VARIAM SUA
ESPESSURA AO LONGO DA “VOLTA” DA SEÇÃO, DE ACORDO COM O GRÁFICO A
SEGUIR. 
 
A RAZÃO ENTRE AS TENSÕES CISALHANTES MÉDIA MÍNIMA E MÁXIMA É:
A) 0,500
B) 0,850
C) 0,900
D) 0,947
E) 0,950
2. PARA UM TUBO DE PAREDES FINAS SUJEITO AO ESFORÇO DE TORÇÃO, SÃO
FEITAS AS SEGUINTES AFIRMATIVAS: 
 
I – A TENSÃO CISALHANTE MÉDIA DEPENDE DIRETAMENTE DA ÁREA MÉDIA DA
SEÇÃO. 
II – A TENSÃO DE CISALHAMENTO AUMENTA COM A ESPESSURA DA PAREDE. 
III – A TENSÃO CISALHANTE MÉDIA DEPENDE DIRETAMENTE DA INTENSIDADE DO
TORQUE T ATUANTE NA SEÇÃO. 
IV – O FLUXO DE CISALHAMENTO É CONSTANTE, INDEPENDENTEMENTE DA
ESPESSURA DA PAREDE. 
 
SÃO CORRETAS:
A) Apenas as afirmativas I e II.
B) Apenas as afirmativas II e III.
C) Apenas as afirmativas III e IV.
D) Apenas as afirmativas II, III e IV.
E) Apenas as afirmativas I, II e III.
GABARITO
1. Um tubo é utilizado para transmitir potência de um motor. Em dado instante, fica submetido a um
torque de intensidade T. Considere o regime elástico e as paredes do tubo finas. As paredes variam sua
espessura ao longo da “volta” da seção, de acordo com o gráfico a seguir. 
 
A razão entre as tensões cisalhantes média mínima e máxima é:
A alternativa "C " está correta.
 
A partir do gráfico, é possível inferir que a menor espessura da parede do tubo é igual a 90mm e a maior, 100mm.
Como o fluxo de cisalhamento é constante, a tensão máxima ocorre na parede com menor espessura e a tensão
mínima, na parede com maior espessura. Assim:
ΤM Á XIMA ⋅ ΤM Í NIMA = ΤM Í NIMA ⋅ ΤM Á XIMA
ΤM Á XIMA.90 = ΤM Í NIMA.100
ΤM Í NIMA
ΤM Á XIMA
=
90
100 = 0, 90
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Para um tubo de paredes finas sujeito ao esforço de torção, são feitas as seguintes afirmativas: 
 
I – A tensão cisalhante média depende diretamente da área média da seção. 
II – A tensão de cisalhamento aumenta com a espessura da parede. 
III – A tensão cisalhante média depende diretamente da intensidade do torque T atuante na seção. 
IV – O fluxo de cisalhamento é constante, independentemente da espessura da parede. 
 
São corretas:
A alternativa "C " está correta.
 
Em um tubo de paredes finas, sob torção, o fluxo de cisalhamento
q = τm é dia ⋅ t
é constante.
Analisando a equação
τm é dia =
T
2. t ⋅ Am é dia
:
A tensão cisalhante média depende diretamente da intensidade do torque.
A tensão cisalhante média depende inversamente da área média.
A tensão cisalhante média depende inversamente da espessura da parede.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste conteúdo, foram abordados os principais aspectos da torção em elementos estruturais. Inicialmente, foi
feita uma abordagem geométrica da deformação cisalhante devido à torção, em eixos circulares maciços ou
tubulares, concluindo com a expressão para a determinação da deformação. Posteriormente, foi feito o estudo do
cálculo da tensão cisalhante a partir do torque interno atuante na seção. Outro aspecto abordado foi a
( )
transmissão de potência de um motor para um sistema mecânico, utilizando-se eixos circulares maciços ou
tubulares. A partir dos aspectos estudados, foi possível apresentar o dimensionamento de eixos circulares. No
último tópico, o estudo ampliou a determinação da tensão cisalhante para estruturas não circulares de paredes
finas.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. J. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1995.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
MARTHA, L. F. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. Rio de Janeiro: Elsevier, 2010.
EXPLORE+
Para desenvolver os conceitos abordados, são sugeridas as seguintes fontes:
Complementar o estudo de deformações e tensões cisalhante em eixos circulares (páginas 195 a 210) pela fonte
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. J. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1995.
Complementar o estudo de torção em tubos de parede fina com seções transversais fechadas (páginas 157 a
165) pela fonte HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
Complementar o estudo de transmissão de potência (páginas 133 e 134) pela fonte HIBBELER, R. C.
Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
CONTEUDISTA
Julio Cesar José Rodrigues Junior