GCÁLCULO APLICADO varias variáveis

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28/03/2021 Fazer teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 CÁLCULO APLICADO...
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PERGUNTA 1
De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função
diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor
unitário na direção e sentido desejados”. 
  
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. 
  
De acordo com essa definição e considerando a função  e o ponto
P(0,1), assinale a alternativa correta. 
  
  
 para .
 na direção de .
 para .
 para .
 para .
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PERGUNTA 2
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis  e  são funções da
variável , isto é,  e . A derivada da função  com relação à variável  é
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obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Pela regra da cadeia,
podemos notar que precisamos das derivadas parciais da função  com relação às
variáveis  e  e precisamos das derivadas das funções  e  com relação à variável . 
  
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função
  com relação à variável , sabendo que  e . 
  
  
PERGUNTA 3
A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção
no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso, essa direção de maior crescimento
corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma unitária. Já a direção oposta ao
vetor gradiente irá denotar a direção de maior decrescimento da função. 
  
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função
  no ponto P(1,2).
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PERGUNTA 4
A l i d id i é f ã l i d d t t (T)
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A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T),
pressão (P) e volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a função 
, onde  é uma constante dada, considere um gás com o volume de  sob uma
pressão de . O volume está aumentando a uma taxa de  e a pressão está
decrescendo a uma taxa de  por segundo. 
  
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as
informações anteriores. (Use ). 
  
  
A temperatura está aumentando a uma taxa de  por segundo no instante dado.
A temperatura está aumentando a uma taxa de  por segundo no instante dado.
A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado. 
  
  
 
A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
PERGUNTA 5
Suponha que  seja uma função diferenciável de  e , tal que . No
entanto,  e  são funções de  expressas por  e . Para se obter a
derivada de  com relação a variável  devemos fazer uso da regra da cadeia. 
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de
  em relação a , isto é, , para quando . 
  
  
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PERGUNTA 6
A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor
oposto ao vetor gradiente, visto que esse representa a direção e o sentido de maior crescimento.
Sabendo disso, suponha que a função  represente uma distribuição de temperatura
no plano  (suponha  medida em graus Celsius,  e  medidos em ). 
  
Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da
temperatura e sua taxa de variação mínima. 
  
 
Direção  e taxa mínima de .
Direção  e taxa mínima de .
Direção  e taxa mínima de .
Direção  e taxa mínima de .
Direção  e taxa mínima de .
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PERGUNTA 7
A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou
decrescimento da função em uma dada direção a partir de um ponto. Considere, então, a
seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma placa retangular é determinada
por meio da função . 
  
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no ponto  na
direção do vetor . 
  
  
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,82 unidades.
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,38 unidades.
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 8,39 unidades.
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 8,93 unidades.
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades.
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PERGUNTA 8
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no
lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em
funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor
negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos
os valores que não zeraram o denominador. 
  
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. 
  
I - O domínio da função  é o conjunto
 . 
II - O domínio da função  é o conjunto . 
III - O domínio da função  é o conjunto . 
IV - O domínio da função  é o conjunto . 
  
  
  
I, II, IV
I, IV
I, III, IV
I, III
II, III
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PERGUNTA 9
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis  e  são funções das
variáveis  e , isto é,  e . A derivada da função  com
relação à variável  é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Já
a derivada de  com relação à variável  é obtida por meio da expressão . 
  
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função
  com relação às variáveis  e , sabendo que  e . 
  
  
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 e 
 e 
 e 
 e 
 e 
PERGUNTA 10
Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas variáveis
  temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o conjunto de
pares ordenados  pertencentes ao plano  que satisfazem a lei de formação da
função . Assim, para determinar o domínio da função  precisamos verificar se não
há restrições para os valores que  e  podem assumir. 
  
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta. 
  
  
O domínio da função  é o conjunto .
O domínio da função  é o conjunto .
O domínio da função  é o conjunto 
.
O domínio da função  é o conjunto .
O domínio da função  é o conjunto .
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