Atividade 2 (A2)_ Cálculo 2

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28/02/2022 12:47 Atividade 2 (A2): Revisão da tentativa
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Minhas Disciplinas 202210.ead-29782294.06 - CÁLCULO APLICADO � VÁRIAS VARIÁVEIS - GR0551 UNIDADE 2
Atividade 2 (A2)
Iniciado em segunda, 28 fev 2022, 12:18
Estado Finalizada
Concluída em segunda, 28 fev 2022, 12:46
Tempo
empregado
27 minutos 58 segundos
Avaliar 9,00 de um máximo de 10,00(90%)
Questão 1
Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções das variáveis e , isto é, e . A
derivada da função com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Já a
derivada de com relação à variável é obtida por meio da expressão . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação às variáveis e ,
sabendo que e . 
 
 
a.  e 
b.  e 
c.  e 
d.  e 
e.  e  Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Temos as seguintes
derivadas:  e . Trocando essas
expressões na regra da cadeia, temos:  e 
.
A resposta correta é:  e 
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Questão 2
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é,
quando o ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima para o vetor unitário
do vetor gradiente. 
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função no ponto
P(-1,1). 
 
 
a.
b.
c.
d.
e.  Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e o vetor
gradiente são: ,  e . Logo, 
. Como a direção de máximo crescimento se dá no vetor unitário com
mesma direção e sentido do vetor gradiente, temos que o vetor procurado é 
.
A resposta correta é: 
Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse
problema, outro recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento da função é o conceito de curva de nível. 
 
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta. 
 
 
a. Uma curva de nível é um
subconjunto do espaço .
 Resposta correta. A alternativa está correta. O grá�co de uma função de duas variáveis é
um conjunto de pontos do espaço , para poder visualizar uma representação
geométrica da função no plano  recorremos ao uso das curvas de nível, que são
curvas planas do plano . Portanto, uma curva de nível é um subconjunto do plano .
b. Chama-se curva de nível o conjunto de todas as ternas  tais que .
c. As curvas de nível representam cortes verticais feitos no grá�co da função.
d. Todos os pontos localizados em uma curva de nível possuem alturas diferentes.
e. Uma curva de nível também pode ser chamada de mapa de contorno.
A resposta correta é: Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
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Questão 4
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um
resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro
da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. 
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. 
 
I - O domínio da função é o conjunto . 
II - O domínio da função é o conjunto . 
III - O domínio da função é o conjunto . 
IV - O domínio da função é o conjunto . 
 
 
 
a. I, IV  Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando
as restrições de cada função, concluímos que:
A�rmativa I: Correta. O domínio da função 
 é o conjunto 
.
A�rmativa IV: Correta. O domínio da função 
 é o conjunto 
.
b. I, II, IV
c. I, III
d. II, III
e. I, III, IV
A resposta correta é: I, IV
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Questão 5
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções da variável , isto é, e . A derivada da
função com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar
que precisamos das derivadas parciais da função com relação às variáveis e e precisamos das derivadas das funções e com
relação à variável . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação à variável ,
sabendo que e . 
 
 
a.  Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas: , 
,  e . Aplicando a regra da cadeia, obtemos a expressão da
derivada desejada: . Trocando as
expressões de  e  temos 
.
b.
c.
d.
e.
A resposta correta é: 
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Questão 6
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 7
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis 
 quando fixadas as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da
função com relação a qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja
fornecida por um vetor unitário. 
 
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por . Assinale a alternativa que
corresponde à derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . 
 
 
a.
b.  Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  são: 
 e , que implicam que o vetor gradiente seja . Calculando o vetor
gradiente no ponto P, temos que . Para calcular a derivada direcional,
necessitamos de um vetor unitário, assim, tome . Logo, a
derivada direcional procurada é .
c. 2
d. 1
e. 3
A resposta correta é: 
O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de
aumento é definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade , medida em , em todos os
pontos de uma placa retangular no plano dada por , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de
aumento da densidade no ponto . 
 
 
a. A taxa máxima de aumento da densidade é .
b. A taxa máxima de aumento da densidade é .
c. A taxa máxima de aumento da densidade é .
d. A taxa máxima de aumento
da densidade é .
 Resposta correta. A alternativa está correta.A taxa máxima de aumento da densidade,
conforme o enunciado nos traz, é a norma do vetor gradiente no ponto considerado.
Dado que o vetor gradiente no ponto P(1,2) é  e sua norma é 
, concluímos que a taxa máxima de aumento da densidade
é .
e. A taxa máxima de aumento da densidade é .
A resposta correta é: A taxa máxima de aumento da densidade é .
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Questão 8
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada etapa. Esse tipo de função é derivada fazendo o uso da
chamada regra da cadeia. No caso de funções de duas variáveis, temos que observar quais são as variáveis independentes, as variáveis
intermediárias e a variável dependente. Sabemos que podemos escrever . Se e e . 
 
Com base no exposto, assinale a alternativa correta. 
 
 
a. As variáveis  e  são as variáveis dependentes.
b. A variável  é a variável independente.
c. As variáveis  e  são as variáveis intermediárias.
d. A variável  é a variável intermediária.
e. As variáveis  e  são as
variáveis independentes.
 Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que a variável  depende das
variáveis  e , pois . No entanto, as variáveis  e  dependem das variáveis 
 e  e essas últimas não possuem dependência de nenhuma outra variável. Dessa
forma, concluímos que as variáveis  e  são as variáveis independentes.
A resposta correta é: As variáveis  e  são as variáveis independentes.
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Questão 9
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 10
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e volume (V) de um gás ideal.
Expressando essa lei como a função , onde é uma constante dada, considere um gás com o volume de sob uma
pressão de . O volume está aumentando a uma taxa de e a pressão está decrescendo a uma taxa de por
segundo. 
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações anteriores. (Use ). 
 
 
a. A temperatura está
diminuindo a uma
taxa de  por segundo
no instante dado.
 Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideais , onde ,
temos . Pelas informações do enunciado, temos , , 
 e . Derivando a função  com relação ao tempo , pela regra da cadeia, temos: 
, onde  e . Assim, 
. Portanto, a temperatura está
diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
b. A temperatura está aumentando a uma taxa de  por segundo no instante dado.
c. A temperatura está aumentando a uma taxa de  por segundo no instante dado.
d. A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
e. A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
A resposta correta é: A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
Chamamos de curva de nível da função  o conjunto de todos os pares  pertencentes ao domínio de  tais que ,
onde  é uma constante real. Utilizamos as curvas de nível para visualizar geometricamente o comportamento de uma função de
duas variáveis. 
Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta.
a. A equação  é uma curva de nível para a função  para 
b. A equação  é uma curva de nível para a função  para .
c. A equação  é uma curva de nível para a função  para .
d. A equação  é uma curva de nível para a função  para .
e. A equação  é uma
curva de nível para a função 
 para .
 Resposta correta. A alternativa está correta. Pela de�nição de curva de nível, temos
que . Assim, igualando a função ao valor de , temos que 
. Portanto, a curva de nível da função 
 para  é dada pela equação .
A resposta correta é: A equação  é uma curva de nível para a função  para .
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