ATIVIDADE 2 (A2) _Calculo Aplicado de varias variáveis

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Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2)
GRA1594 CÁLCULO APLICADO � VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551202 - 202020.ead-9317.03 Unidade 2
Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) 
Usuário NILSON FRANCISCO DOS SANTOS
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO � VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551202 - 202020.ead-9317.03
Teste ATIVIDADE 2 (A2)
Iniciado 28/10/20 22:21
Enviado 29/10/20 18:10
Status Completada
Resultado da tentativa 10 em 10 pontos 
Tempo decorrido 19 horas, 48 minutos
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Pergunta 1
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resposta:
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou
variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a
todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o
domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. 
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. 
 
I - O domínio da função é o conjunto . 
II - O domínio da função é o conjunto . 
III - O domínio da função é o conjunto . 
IV - O domínio da função é o conjunto .
 
 
 
I, IV
I, IV
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada função,
concluímos que: 
Afirmativa I: Correta. O domínio da função é o conjunto
. 
Afirmativa IV: Correta. O domínio da função é o conjunto
.
Pergunta 2
A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e volume
(V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a função , onde é uma constante dada,
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NILSON FRANCISCO DOS SANTOS
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Resposta
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resposta:
considere um gás com o volume de sob uma pressão de . O volume está aumentando
a uma taxa de e a pressão está decrescendo a uma taxa de por segundo. 
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações
anteriores. (Use ). 
 
 
A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado.
A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado.
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideais , onde
, temos . Pelas informações do enunciado, temos ,
, e . Derivando a função com relação ao tempo , pela
regra da cadeia, temos: , onde e . Assim,
. Portanto, a temperatura
está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado.
Pergunta 3
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Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções da variável , isto
é, e . A derivada da função com relação à variável é obtida por meio da regra da
cadeia expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das
derivadas parciais da função com relação às variáveis e e precisamos das derivadas das funções
 e com relação à variável . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função
 com relação à variável , sabendo que e . 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas: ,
, e . Aplicando a regra da cadeia, obtemos a expressão
da derivada desejada: .
Trocando as expressões de e temos
.
Pergunta 4
Suponha que seja uma função diferenciável de e , tal que . No entanto, e 
 são funções de expressas por e . Para se obter a derivada de com
relação a variável devemos fazer uso da regra da cadeia. 
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resposta:
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de em relação a
 , isto é, , para quando . 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que
, onde . Assim,
. Dado que , temos
.
Pergunta 5
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resposta:
Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software pode ser trabalhoso às
vezes. Para contornar esse problema, outro recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente
o comportamento da função é o conceito de curva de nível. 
 
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta. 
 
 
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
Resposta correta. A alternativa está correta. O gráfico de uma função de duas variáveis é um
conjunto de pontos do espaço , para poder visualizar uma representação geométrica da
função no plano recorremos ao uso das curvas de nível, que são curvas planas do plano
. Portanto, uma curva de nível é um subconjunto do plano .
Pergunta 6
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O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três variáveis. Nesse caso, a
mudança no cálculo se dá pela quantidade de componentes que o vetor gradiente e o vetor que dá a
direção apresentam, nesse caso, esses vetores possuem três componentes. Considere a seguinte
situação: O potencial elétrico num ponto do espaço tridimensional é expresso pela função
 . 
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a maior taxa de variação do
potencial elétrico no ponto . 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. A maior taxa de variação do potencial elétrico
ocorre na direção e no sentido do vetor gradiente calculado no ponto P, isto é,
Dado que o vetor gradiente no ponto P(2,2,-1) é
 e sua norma é
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, temos que a direção procurada é
.
Pergunta 7
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A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou decrescimento da
função em uma dada direção a partir de um ponto. Considere, então, a seguinte situação: A temperatura
em cada ponto de uma placa retangular é determinada por meio da função . 
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no ponto na direção do
vetor . 
 
 
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades.
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades.
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu vetor
gradiente são: , e . Assim, dado o ponto
(3,4), temos . O vetor é unitário, então a derivada direcional irá
nos fornecer a taxa de variação desejada:
.
Pergunta 8
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resposta:
A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor opostoao vetor gradiente, visto que esse representa a direção e o sentido de maior crescimento. Sabendo disso,
suponha que a função represente uma distribuição de temperatura no plano 
 (suponha medida em graus Celsius, e medidos em ). 
 
Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da
temperatura e sua taxa de variação mínima. 
 
 
Direção e taxa mínima de .
Direção e taxa mínima de .
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior decrescimento é oposta ao
vetor gradiente no ponto considerado, isto é . Já a variação de
temperatura é mínima em . (O sinal negativo apenas
indica que a temperatura é mínima).
Pergunta 9
De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função diferenciável pode
ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”. 
 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. 
 
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resposta:
De acordo com essa definição e considerando a função e o ponto P(0,1),
assinale a alternativa correta. 
 
 
 na direção de .
 na direção de .
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu vetor
gradiente são: , e 
. Assim, . Temos ainda que vetor unitário na direção de é o
vetor . Portanto, a derivada direcional é
.
Pergunta 10
O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto que o seu domínio é
uma região do plano . Para determinar o domínio da função de duas variáveis , precisamos
verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir. 
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir.
 
I. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
 
 
II. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
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resposta:
 
 
III. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
 
 
IV. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s). 
 
 
I, apenas.
I, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Verificando as restrições para a função, temos
que apenas a afirmativa I é verdadeira, pois: 
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Quinta-feira, 12 de Novembro de 2020 21h15min18s BRT
Afirmativa I: Correta. A função tem as seguintes restrições 
 e , portanto, o domínio da função é o conjunto
, que corresponde à região dada na
afirmativa.
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