-matemática 2-Ângulos na circunferência e propriedades-26-03-2021-

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Matemática 
 
 
Ângulos na circunferência e suas propriedades 
Objetivo 
Saber classificar corretamente os ângulos obtidos a partir de uma circunferência. Ser capaz de perceber quais 
arcos determinam um ângulo na circunferência. Aplicar corretamente as relações conhecidas sobre esses 
ângulos. 
Curiosidade 
Um arco, apesar de ter um comprimento, também pode ser expresso em termos de uma unidade angular. 
Essa possibilidade nos será muito útil no futuro, ao estudarmos radianos e círculo trigonométrico. 
Teoria 
 
Ângulos na circunferência 
 
Ângulo central: seu vértice está no centro da circunferência. 
 
𝛼 = 𝐴�̂� 
Ângulo inscrito: seu vértice é um ponto da circunferência. 
 
𝛼 =
𝐴𝐵
2
̂
 
 
 
 
 
 
2 
Matemática 
 
Ângulo de segmento: formado por uma reta tangente e uma corda com um dos extremos no ponto de 
tangência (com vértice no ponto de tangência). 
 
𝛼 =
𝐴�̂�
2
 
 
Ângulo excêntrico interno: formado por duas cordas. 
 
 
𝛼 =
𝐴�̂�+𝐶�̂�
2
 
 
Ângulo excêntrico externo: formado por duas retas secantes à circunferência. 
 
𝛼 =
𝐹�̂�−𝐷�̂�
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Polígonos inscritíveis 
Quadrilátero 
Um quadrilátero é inscritível se, e somente se, seus ângulos opostos são suplementares. 
 
 
 
𝛼 + 𝛾 = 𝛽 + 𝛿 = 180° 
 
 
Triângulo retângulo 
Se um triângulo retângulo é inscrito em meia circunferência, então sua hipotenusa coincide com o diâmetro 
da circunferência. 
 
Obs.: Relembrando elementos de uma circunferência 
 
• Centro: Ponto equidistante dos pontos da circunferência. 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
• Raio: Distância entre o centro e qualquer ponto da circunferência. 
• Arco: Parte da circunferência delimitada por dois de seus pontos. 
• Corda: Segmento de reta que une dois pontos distintos da circunferência. 
• Diâmetro: É a corda que passa pelo centro (vale duas vezes o raio). É o maior tamanho que uma corda 
pode ter. 
• Flecha: segmento de reta que une o ponto médio da corda ao ponto médio do arco correspondente. Esse 
segmento é perpendicular à corda. 
 
 
 
 
 
 
5 
Matemática 
 
Exercícios de Fixação 
 
1. Qual a relação entre os ângulos 𝛼 e 𝛽 na figura abaixo? 
 
 
 
 
 
 
 
a) Os ângulos 𝛼 e 𝛽 possuem mesma medida. 
b) O ângulo 𝛼 é o dobro do ângulo 𝛽. 
c) O ângulo 𝛽 é o dobro do ângulo 𝛼. 
d) O ângulo 𝛼 é o quádruplo do ângulo 𝛽. 
e) O ângulo 𝛽 é o quádruplo do ângulo 𝛼. 
 
 
2. Qual a relação entre os ângulos 𝛼 e 𝛽 na figura abaixo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Os ângulos 𝛼 e 𝛽 possuem mesma medida. 
b) O ângulo 𝛼 é o dobro do ângulo 𝛽. 
c) O ângulo 𝛽 é o dobro do ângulo 𝛼. 
d) O ângulo 𝛼 é complementar ao ângulo 𝛽. 
e) O ângulo 𝛼 é suplementar ao ângulo 𝛽. 
 
 
 
 
 
 
 
6 
Matemática 
 
3. Qual o valor de 𝛼 + 𝛽 na figura abaixo? 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
𝑥 + 𝑦
2
 
b) 𝑥 − 𝑦 
c) 2𝑥 
d) 2𝑦 
e) 𝑥 
 
 
4. Qual a relação entre os ângulos 𝛼 e 𝛽 na circunferência de centro 𝑂 abaixo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Os ângulos 𝛼 e 𝛽 possuem mesma medida. 
b) O ângulo 𝛼 é o dobro do ângulo 𝛽. 
c) O ângulo 𝛽 é o dobro do ângulo 𝛼. 
d) O ângulo 𝛼 é complementar ao ângulo 𝛽. 
e) O ângulo 𝛼 é suplementar ao ângulo 𝛽. 
 
 
5. Na figura abaixo temos uma circunferência de centro 𝑂. Se o ângulo 𝛼 excede o ângulo 𝛽 em 28°, 
determine 𝛼 e 𝛽. 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Exercícios de Vestibulares 
 
 
 
1. O ângulo 𝑥, na figura a seguir, mede: 
 
 
 
 
 
 
 
a) 60°. 
b) 80°. 
c) 90°. 
d) 100°. 
e) 120°. 
 
 
2. Na figura, os triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐵𝐶𝐷 estão inscritos na circunferência. A soma das medidas 𝑚 + 𝑛, em 
graus, é: 
a) 70. 
b) 90. 
c) 110. 
d) 130. 
e) 150. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Matemática 
 
3. Na figura a seguir, 𝑅, 𝑆 e 𝑇 são pontos sobre a circunferência de centro 𝑂. Se 𝑥 é o número real, tal que 
𝑎 = 5𝑥 e 𝑏 = 3𝑥 + 42° são as medidas dos ângulos 𝑅�̂�𝑆 e 𝑅�̂�𝑆, respectivamente, pode-se dizer que: 
 
 
a) 𝑎 = 30° e 𝑏 = 60°. 
b) 𝑎 = 80° e 𝑏 = 40°. 
c) 𝑎 = 60° e 𝑏 = 30°. 
d) 𝑎 = 40° e 𝑏 = 80°. 
e) 𝑎 = 30° e 𝑏 = 80°. 
 
 
 
4. Um atleta faz seu treinamento de corrida em uma pista circular que tem 400 metros de diâmetro. Nessa 
pista, há seis cones de marcação indicados pelas letras 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 e 𝐹, que dividem a circunferência 
em seis arcos, cada um medindo 60 graus. 
Observe o esquema: 
 
O atleta partiu do ponto correspondente ao cone 𝐴 em direção a cada um dos outros cones, sempre 
correndo em linha reta e retornando ao cone 𝐴. Assim, seu percurso correspondeu a 𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴. 
Considerando √3 = 1,7, o total de metros percorridos pelo atleta nesse treino foi igual a: 
a) 1480 
b) 2960 
c) 3080 
d) 3120 
e) 3240 
 
 
 
 
 
9 
Matemática 
 
5. Na figura, 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐷 são pontos de uma circunferência, a corda 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ é bissetriz do ângulo 𝐴�̂�𝐵 e as 
cordas 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ têm o mesmo comprimento. Se o ângulo 𝐵�̂�𝐷 mede 40°, a medida α do ângulo 𝐵�̂�𝐶 é: 
 
a) 10°. 
b) 15°. 
c) 20°. 
d) 25°. 
e) 30°. 
 
6. O triângulo 𝐴𝐵𝑉 está inscrito em uma circunferência de centro 𝐶 e o segmento 𝑉𝐷̅̅ ̅̅ tangencia a 
circunferência em 𝑉, como representado na figura a seguir. Sabendo que a 𝐴�̂�𝐷 = 30° e que a medida 
do raio da circunferência é igual a √5 𝑐𝑚 o comprimento do arco 𝑉𝐸𝐹, em 𝑐𝑚, é: 
 
 
a) 
𝜋
3
√5 
b) 
2𝜋
3
√5 
c) 
𝜋
6
√5 
d) 2𝜋 
e) 3𝜋 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
Matemática 
 
7. A figura a seguir mostra uma circunferência em que os arcos 𝐴𝐷�̂� e 𝐴𝐸�̂� são congruentes e medem 
160° cada um. 
 
A medida em graus, do ângulo 𝛼 é: 
a) 10° 
b) 20° 
c) 30° 
d) 40° 
e) 50° 
 
 
8. A figura abaixo apresente uma semicircunferência de diâmetro 𝐴𝐵, com raio igual a √3 e com o ponto 
𝐶 sobre a semicunferência. 
 
Sabendo-se que o segmento 𝐴𝐶 mede 3 𝑐𝑚, o comprimento do arco 𝐴𝐶 é: 
a) 
3𝜋√3
2
 𝑐𝑚 
b) 
𝜋√3
3
 𝑐𝑚 
c) 
4𝜋√3
3
 𝑐𝑚 
d) 
2𝜋√3
3
 𝑐𝑚 
e) 3𝜋 𝑐𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
Matemática 
 
 
9. A medida do ângulo 𝐴�̂�𝐶 inscrito na circunferência de centro 𝑂 é: 
 
 
a) 125° 
b) 110° 
c) 120° 
d) 100° 
e) 135° 
 
 
10. Durante seu treinamento, um atleta percorre metade de uma pista circular de raio 𝑅, conforme figura a 
seguir. A sua largada foi dada na posição representada pela letra 𝐿, a chegada está representada pela 
letra 𝐶 e a letra 𝐴 representa o atleta. O segmento 𝐿𝐶 é um diâmetro da circunferência e o centro da 
circunferência está representado pela letra 𝐹. Sabemos que, em qualquer posição que o atleta esteja 
na pista, os segmentos 𝐿𝐴 e 𝐴𝐶 são perpendiculares. Seja 𝜃 o ângulo que o segmento 𝐴𝐹 faz com o 
segmento 𝐹𝐶. 
 
Quantos graus mede o ângulo 𝜃 quando o segmento 𝐴𝐶 medir 𝑅 durante a corrida? 
a) 15° 
b) 30° 
c) 60° 
d) 90° 
e) 120° 
 
 
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Matemática 
 
Gabaritos 
 
Exercícios de fixação 
 
1. B 
Os ângulos 𝛼 e 𝛽 são determinados pelo mesmo arco (suas extremidades limitam o mesmo arco de 
circunferência). Digamos que esse arco tenha 𝑥 graus. Como 𝛼 é ângulo central, 𝛼 = 𝑥. Como 𝛽 é ângulo 
inscrito, 𝛽 =
𝑥
2
. Logo, 𝛼 é o dobro de 𝛽. 
 
2. A 
Os ângulos 𝛼 e 𝛽 são determinados pelo mesmo arco (suas extremidades limitam o mesmo arco de 
circunferência). Digamos que esse arco tenha 𝑥 graus. Como 𝛼 e 𝛽 são ambos ângulos inscritos, 𝛼 = 𝛽 =
𝑥. Logo, esses ângulos possuem mesma medida. 
 
3. E 
Os ângulos 𝛼 e 𝛽 são classificados como excêntrico interno e excêntrico externo, respectivamente. Dessa 
forma,𝛼 =
𝑥 + 𝑦
2
, 𝛽 =
𝑥 − 𝑦
2
→ 𝛼 + 𝛽 =
𝑥 + 𝑦
2
+
𝑥 − 𝑦
2
=
𝑥 + 𝑦 + 𝑥 − 𝑦
2
=
2𝑥
2
= 𝑥 
 
4. D 
O ângulo 𝛼 é inscrito. Dessa forma, o arco que o determina é o dobro dessa medida. Isto é, 2𝛼. Como 𝑂 é 
centro da circunferência, a vertical que forma o ângulo 𝛼 também é diâmetro da circunferência. Assim, 
concluimos que o ângulo 𝛽 enxerga um arco de 180 − 2𝛼 graus. Como 𝛽 é inscrito, 𝛽 =
180−2𝛼
2
= 90 − 𝛼. 
Ou seja, 𝛼 e 𝛽 são complementares, já que 𝛼 + 𝛽 = 𝛼 + 90° − 𝛼 = 90° (ângulos complementares são 
aqueles que somam 90°). 
 
5. O ângulo α mede 59° e o ângulo β mede 31°. 
Como 𝑂 é centro da circunferência, a corda horizontal que é mostrada também é diâmetro da 
circunferência. Assim, o triângulo restante (sem ser os ângulos 𝛼 e 𝛽) é inscrito a um arco de 180°. Dessa 
forma, ele deve medir 
180
2
= 90°. 
Como 𝛼, 𝛽 e esse ângulo de 90° estão dentro de um triângulo, 𝛼 + 𝛽 + 90° = 180° → 𝛼 + 𝛽 = 180° − 90° →
𝛼 + 𝛽 = 90° (guarde essa informação). 
Se 𝛼 excede o ângulo 𝛽 em 28°, isso significa que 𝛼 é 28° maior que 𝛽. Ou seja, 𝛼 = 𝛽 + 28°. Portanto, da 
informação guardada, segue que: 
𝛼 + 𝛽 = 90° → 𝛽 + 28° + 𝛽 = 90° → 2𝛽 = 62° → 𝛽 = 31° → 𝛼 = 31° + 28° = 59° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
Matemática 
 
Exercícios de vestibulares 
 
1. B 
O ângulo inscrito de 35° é determinado por um arco de 2 ∙ 35° = 70°. O ângulo inscrito de 45° é 
determinado por um arco de 2 ∙ 35° = 90°. O ângulo 𝑥 é excêntrico interno e determinado por esses arcos 
de 70° e 90°. Assim, 𝑥 =
70+90
2
= 80°. 
 
2. A 
O ângulo central, que determina a medida do ângulo do arco 𝐴𝐵 tem ângulo com medida 2 ∙ 65° = 130° 
(ângulo central = 2 ∙ ângulo inscrito). 
De maneira análoga, a medida do ângulo do arco 𝐵𝐶 é 2 ∙ 45° = 90°. 
 
A soma dos ângulos dos arcos de uma circunferência é igual a 360°, assim: 
360
360 120 140
AD CD BC AB
AD CD
+ + + = 
+ = −  =  
 
Note que: 
2AD m= e 2CD n= 
Assim: 
2 2 140
70
m n
m n
+ = 
+ =  
 
 
3. A 
De acordo com as propriedades do ângulo inscrito, pode-se escrever que: 
2
3 42 2 5
7 42
6
b a
x x
x
x
=
+  = 
= 
=  
 
Logo, 
5 6 30
3 6 42 60
a
b
=  = 
=  +  =  
 
4. B 
Se o raio da circunferência mede 200 𝑚, então as medidas em metros dos segmentos 𝐴𝐵, 𝐴𝐷 e 𝐴𝐹 são, 
respectivamente, iguais a 200, 400 e 200. 
Os segmentos 𝐴𝐶 e 𝐴𝐸 têm a mesma medida do segmento 𝐵𝐹, que corresponde ao dobro da altura ℎ de 
um triângulo equilátero. Assim, 
3
2 2 200 3 200 1,7 340
2
l
BF h
 
= = = =  =  
  
onde 𝑙 é a medida do lado do triângulo. 
 
Ao final do treinamento, o atleta percorreu uma distância 𝑑, em metros, que corresponde a duas vezes a 
soma dos segmentos, considerando os retornos ao cone 𝐴. Logo, 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
( )
( )
2
2 200 340 400 340 200 2960
d AB AC AD AE AF
d
= + + + +
= + + + + =
 
 
5. C 
O ângulo 𝐷Â𝐵 transcrito na circunferência é o mesmo de 𝐷𝐶𝐵, portanto, os dois ângulos equivalem a 40°. 
O ângulo 𝐷�̂�𝐵 é o mesmo de 𝐷�̂�𝐴, uma vez que 𝐶𝐷 é bissetriz, portanto, os dois equivalem a 40° e , juntos, 
equivalem a 80°. O ângulo 𝐴�̂�𝐶 é o mesmo de 𝐵�̂�𝐴, pois o triângulo 𝐴𝐵𝐶 é isósceles, assim, os dois 
equivalem a 80° e juntos equivalem a 160°. 
A junção dos três ângulos do triangulo 𝐴𝐵𝐶 deve ser 180°. Se já temos 160°, para 180 faltam 20, portanto 
𝛼 deverá ser 20°. 
 
6. B 
Sabendo que todo triângulo inscrito na semicircunferência é retângulo, temos que o triângulo 𝐴𝐵𝑉 
possuirá ângulos: Â = 90°, �̂� = 60° e �̂� = 30°. 
Observe que o ângulo �̂� = 60° tem essa medida devido ao fato de que 𝐴�̂�𝐷 = 30°. 
Dessa maneira, temos que o ângulo  ou 𝐶Â𝐵 será igual a 30° pois 𝐴𝐶 = 𝐶𝐵 e assim temos que o ângulo 
𝐴�̂�𝐵 = 𝐸�̂�𝑉 = 120°. Assim o comprimento do arco buscado será um terço (
120°
360°
=
1
3
) da circunferência 
toda. Logo: 
1 2 5
2 5
3 3
C



=   =
 
 
7. B 
O arco de extremos 𝐶 e 𝐵, determinado pelo ângulo 𝑥 na circunferência mede 2𝑥. Portanto, 
2 160 160 360
2 40
20
x
x
x
+ +  = 
= 
=  
 
8. D 
 
𝐴𝐵 é diâmetro. Logo, 𝐴�̂�𝐵 =
180
2
= 90°. 
Considerando 𝐴�̂�𝐶 = 𝛼, temos: 
𝑠𝑒𝑛𝛼 =
3
2√3
=
√3
2
→ 𝛼 = 60° 
Portanto, a medida do arco com extremidadesnos pontos 𝐴 e 𝐶 será 2𝛼 = 120°. 
 
Logo, o comprimento pedido será: 
2 ∙ 𝜋 ∙ √3 ∙ 120°
360°
=
2 ∙ 𝜋 ∙ √3
3
 
 
 
 
 
 
15 
Matemática 
 
9. A 
Como 𝐶Â𝐵 = 35°, então 𝐶Ô𝐵 = 70°, pois o ângulo central vale o dobro do ângulo inscrito. O arco 𝐶𝐵𝐴 
mede 180 + 70 = 250. Como 𝐴𝐷𝐶 é um ângulo inscrito ele vale 
250
2
= 125°. 
 
10. C 
Se 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑅, temos que o triângulo 𝐴𝐹𝐶 é equilátero, com todos os lados medindo 𝑅 e ângulos de mesma 
medida. Logo, 𝜃 =
180
3
= 60°.