Aula 05 - Caderno 02 - ONLINE - PERMUTACOES - Marconi Sousa - 2021

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PERMUTAÇÕES (SIMPLES & REPETIDAS) 
 
Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre si 
pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares. 
 
Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos. 
 
Fórmula: 
 
Exemplo: Seja C={A,B,C} e n=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem 
ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os 
agrupamentos estão no conjunto: 
Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA} 
 
Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que 
existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m. 
 
Fórmula: 
 
Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de 
posição. 
 
Exemplo 1: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a 
letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto 
C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C 
aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: 
Pr= {AAARRT, AAATRR, AAARTR, AARRTA, AARTTA, AATRRA, AARRTA, ARAART, ARARAT, ARARTA, 
ARAATR, ARAART, ARAATR, ATAARA, ATARAR}. 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01) Considerando os anagramas da palavra ALUNO, 
a) Quantos começam por vogal? 
b) Quantos começam por vogal e terminam por consoante? 
c) Quantos começam e terminam por consoante? 
d) Quantos apresentam as vogais AUO juntas nesta ordem? 
e) Quantos apresentam as vogais juntas, porém em qualquer ordem? 
 
02) (UNICAMP 1º FASE 2020) Cinco pessoas devem ficar em pé, uma ao lado da outra, para tirar uma fotografia, 
sendo que duas delas se recusam a ficar lado a lado. O número de posições distintas para as cinco pessoas 
serem fotografadas juntas é igual a 
a) 48 b) 72 c) 96 d) 120 
 
03) O número de anagramas que podem ser formados com as letras de PAPAGAIO, começando por consoante e 
terminando por O, é igual a: 
a) 120. b) 180. c) 240. d) 300. e) 320. 
 
04) (ENEM) Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro 
caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem 
estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra 
maiúscula difere da minúscula em uma senha. 
Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012. 
 
O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por 
a) 102 ⋅ 262 b) 102 ⋅ 522 c) 102 ⋅ 522 ⋅
4!
2!
 d) 102 ⋅ 262 ⋅
4!
2!2!
 e) 102 ⋅ 522 ⋅
4!
2!2!
 
 
!nPn 




!!!
!n
P
,,,
n
 
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05) (UNINASSAU 2020.1) Na festa de confraternização no final do ano de 2018, os médicos de um hospital 
resolveram fazer uma foto em que todos eles estariam lado a lado, de modo que as extremidades seriam 
ocupadas pelos cardiologistas, os ortopedistas vão estar juntos, e os neurocirurgiões também vão estar juntos. 
Sabe-se que a equipe médica desse hospital é composta por 4 cardiologistas, 3 ortopedistas, 2 neurocirurgiões, 
e 4 outros médicos de áreas distintas das citadas anteriormente. De quantas formas essa fotografia pode ser 
tirada? 
a) 211. 34 . 5 . 7 b) 28 . 35 . 52 . 11 c) 29 . 36 . 5 . 7 
d) 26 . 37 . 52 . 7 e) 210 . 3 . 5 . 7. 11 
 
06) Uma criança possui 6 blocos de encaixe, sendo 2 amarelos, 2 vermelhos, 1 verde e 1 azul. 
 
 
Usando essas peças, é possível fazer diferentes pilhas de três blocos. A seguir, são exemplificadas quatro das 
pilhas possíveis. 
 
 
Utilizando os blocos que possui, o total de pilhas diferentes de três blocos, incluindo as exemplificadas, que a 
criança pode fazer é igual a 
a) 58 b) 20 c) 42 d) 36 e) 72 
 
07) Num episódio de uma série policial de televisão, um agente secreto encontra-se 
diante do desafio de descobrir a senha de quatro dígitos digitada no teclado 
numérico, instalado na porta de entrada de um laboratório. Para isso, o agente 
utiliza o seguinte artifício: borrifa um spray sobre o teclado, fazendo com que os 
algarismos recém-digitados para abrir a porta fiquem destacados, como mostra a 
figura. Para sua surpresa, apenas três dígitos são ressaltados pelo spray, 
indicando que um dos dígitos aparece duas vezes na senha. Com base nestas 
informações, a quantidade de sequências de quatro dígitos que podem ser 
encontradas utilizando o artifício do agente secreto é a seguinte: 
a) 4 b) 13 c) 16 d) 24 e) 36 
 
08) Os Vingadores é um grupo de super heróis com 
extraordinários poderes que defendem a terra e o universo de 
toda e qualquer ameaça. Na saga Guerras Infinitas, um vilão 
chamado Thanos deseja unir as joias do infinito, que são 
consideradas o maior poder do universo quando juntas, numa 
luva chamada Manopla do Infinito se tornando assim 
praticamente invencível. Os vingadores são: Homem de 
ferro, Capitão América, Hulk, Viúva Negra, Gavião Arqueiro, 
Falcão, Máquina de Combate, Feiticeira Escarlate, Homem 
Formiga, Thor, Pantera Negra, Homem Aranha, Visão, 
Doutor Estranho.Esperando a vinda de Thanos, os 
vingadores resolveram formar uma fila de combate constituída de 14 pessoas onde o primeiro e último lugares 
sejam ocupados por mulheres, Capitão América, Thor, Homem aranha , Doutor Estranho e Pantera Negra 
sentem juntos e o restante do grupo deve sentar junto porém numa ordem fixa. Quantas filas de combate distintas 
podemos formar afim de combater o vilão Thanos. 
a) 120 
b) 240 
c) 360 
d) 480 
e) 960 
 
 
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09) Em cada ingresso vendido para um show de música, é impresso o número da mesa onde o 
comprador deverá se sentar. Cada mesa possui seis lugares, dispostos conforme o esquema a 
seguir. O lugar da mesa em que cada comprador se sentará não vem especificado no ingresso, 
devendo os seis ocupantes entrar em acordo. Os ingressos para uma dessas mesas foram 
adquiridos por um casal de namorados e quatro membros de uma mesma família. Eles acordaram 
que os namorados poderiam sentar-se um ao lado do outro. Nessas condições, o número de 
maneiras distintas em que as seis pessoas poderão ocupar os lugares da mesa é 
a) 96. b) 120. c) 192. d) 384. e) 720. 
 
10) Um aluno sai de sua casa em direção à escola andando pelo menor percurso 
possível, isto é, conforme o esquema a seguir, andando somente para a direita e 
para cima. No esquema encontra-se demarcado um dos possíveis caminhos que 
o aluno faz. Considerando-se as informações do texto e do esquema anterior, o 
número possível de caminhos distintos que esse aluno pode fazer é: 
a) 3.003 
b) 6.006 
c) 14! 
d) 
14!
8!
 
e) 
14!
2!
 
 
11) (INSPER 2019.2) Na figura, M, E e H indicam, respectivamente, o mercado 
municipal, a escola pública e o hospital geral de uma cidade. As linhas da 
malha quadriculada indicam as únicas ruas da cidade, sendo todas de mão 
dupla. Há na cidade um projeto de construção de um rodoanel conectando 
M, E e H por uma autopista em forma de circunferência, como mostra a linha 
tracejada. 
Com a atual configuração de ruas da cidade, de quantas formas diferentes 
é possível ir, pelo menor caminho possível, do mercado para o hospital, 
passando antes pela escola? 
a) 224. b) 168. c) 432. 
d) 540. e) 620. 
 
12) Um projeto piloto desenvolvido em um curso de Engenharia Mecânica prevê a 
construção do robô “Eddie”, cujos movimentos estão limitados apenas a andar para 
frente (F) e para a direita (D). Suponha que Eddie está na posição A e deseja-se que 
ele se desloque até chegar à posição B, valendo-se dos movimentos que lhe são 
permitidos. Admitaque cada movimento feito por Eddie o leve a uma posição 
consecutiva, conforme ilustra um esquema a seguir, em que foram realizados 10 
movimentos (as posições possíveis estão marcadas por pontos e o percurso executado 
de A até B, é representado pela sequência ordenada de movimentos D F D D F F D F 
F D). Com base nas informações acima, o número de maneiras possíveis de Eddie se 
deslocarem de A até B, sem passar pelo ponto C, é igual a 
a) 192 b) 60 c) 15 d) 252 e) 360 
 
13) (ENEM) O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma 
vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números 
em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do 
computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares 
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é 
a) 24 . b) 31. c) 32. d) 88. e) 89 
 
14) Com as 6 letras da palavra FUVEST podem ser formadas 6! =720 "palavras" (anagramas) de 6 letras distintas 
cada uma. Se essas "palavras" forem colocadas em ordem alfabética, como num dicionário, a 250a "palavra" 
começa com 
a) EV b) FU c) FV d) SE e) SF 
 
15) Um anagrama de uma palavra é obtido trocando-se a ordem de suas letras, não importando se o resultado tem 
ou não significado em nosso idioma. Colocando em ordem alfabética todos os anagramas da palavra PROVA, 
a posição ocupada pela palavra PROVA é a 
a) 62a. b) 63a. c) 64a. d) 65a. e) 66a. 
 
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16) Se todos os anagramas da palavra ESPCEX forem colocados em ordem alfabética, a palavra ESPCEX ocupará, 
nessa ordenação, a posição 
a) 144 b) 145 c) 206 d) 214 e) 215 
 
17) Leia atentamente a tira a seguir. 
 
De quantas maneiras diferentes Chico poderia tirar dez, na soma das notas das três disciplinas, considerando-
se apenas valores inteiros? 
a) 54 b) 55 c) 63 d) 66 e) 69 
 
18) Existe quantidade ilimitada de bolas de três cores diferentes (branca, preta, azul) em um depósito, sendo que 
as bolas se diferenciam apenas pela cor. Oito dessas bolas serão colocadas em uma caixa. A quantidade de 
caixas diferentes que podem ser compostas com oito bolas é igual a 
a) 38. b) 336. c) 56. d) 45. e) 25. 
 
19) (HUMANITAS 2019.2) Em um clube, cinco troféus esportivos, A, B, C, D e E, devem ser posicionados lado a 
lado em uma prateleira, formando uma fileira. O número de maneiras pelas quais os cinco troféus podem estar 
distribuídos nessa fileira, de modo que A e B fiquem sempre juntos, é igual a 
a) 24. b) 48. c) 16. d) 32. e) 46. 
 
20) (UNICAMP 2021) O número de anagramas da palavra REFLORESTAMENTO que começam com a sequência 
FLORES é 
a) 9!. b) 9! 2!. c) 9! (2!2!). d) 9! (2!2!2!). 
 
21) (ENEM DIGITAL 2020) Eduardo deseja criar um e-mail utilizando um anagrama exclusivamente com as sete 
letras que compõem o seu nome, antes do símbolo @ . 
O e-mail terá a forma *******@site.com.br e será de tal modo que as três letras “edu” apareçam sempre juntas e 
exatamente nessa ordem. 
Ele sabe que o e-mail eduardo@site.com.br já foi criado por outro usuário e que qualquer outro agrupamento 
das letras do seu nome forma um e-mail que ainda não foi cadastrado. 
 
De quantas maneiras Eduardo pode criar um e-mail desejado? 
a) 59 b) 60 c) 118 d) 119 e) 120 
 
22) Boa parte das personagens de Toy Story foi inspirada em brinquedos reais, que 
fizeram sucesso nos EUA (e no mundo). Criado em 1952, o Sr. Cabeça de Batata foi 
o primeiro brinquedo a aparecer em um comercial na TV. 
O Sr. Cabeça de Batata é um brinquedo composto por uma “base” com formato de 
batata e diversos furos, onde podem ser afixadas “partes do corpo”, como: olhos, boca, 
nariz, braços, pernas, cabelo ou chapéu, entre outros. 
Considere um conjunto composto por seis pares de olhos, cinco bocas, quatro narizes, 
três cabelos, dois pares de braços e duas batatas que servem como base do 
brinquedo. Utilizando uma das bases, uma criança escolhe uma peça de cada um dos 
tipos citados para montar um dos bonecos. Em seguida, ela utiliza a outra base e o 
restante das peças para montar o outro boneco também com um elemento de cada 
tipo citado. Considerando que braços e olhos distintos não formam um par, o número 
de possibilidades de montagem do primeiro boneco a mais que o do segundo boneco 
equivale a 
a) P6 + P5 b) P6 – P5 c) P6 d) P5 e) 
𝑃6
𝑃5
 
 
 
 
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23) (FGV 2021) Uma fila é formada por dez homens e nove mulheres. O número de maneiras diferentes de se fazer 
essa fila sabendo-se que homens e mulheres devem sempre estar intercalados é igual a: 
a) 9! . 10! b) 2 . 9! . 10! c) 19! d) 2 . 19! e) 99 . 1010 
 
24) (ENEM 2020) Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” 
gerou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”. 
Suponha que Harry quisesse formar todos os anagramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma que as vogais 
e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as letras. Nessas 
condições, o número de anagramas formados é dado por 
a) 9! b) 4!5! c) 2 4!5! d) 
9!
2
 e) 
4!5!
2
 
 
25) Oito amigos entraram em um restaurante para jantar e sentaram-se numa mesa 
retangular, com oito lugares, como mostra a figura a seguir: Dentre todas as 
configurações possíveis, quantas são as possibilidades de dois desses amigos, Amaro 
e Danilo, ficarem sentados em frente um do outro? 
a) 1 440 b) 1 920 c) 2 016 
d) 4 032 e) 5 760 
 
26) A figura seguinte mostra um mapa que representa uma parte das ruas 
que seguem a direção norte-sul e das avenidas que seguem a direção 
Leste-Oeste de uma cidade. Ana encontra-se no ponto A e precisa ir até 
a casa de Daniel representada pelo ponto D. Só que, para isso, deverá 
passar antes nas casas de Beatriz (ponto B) e Caio (ponto C) nessa 
ordem. Quantos caminhos de comprimento mínimo, sempre usando ruas 
ou avenidas, Ana poderá fazer para cumprir seu objetivo? 
a) 189 b) 10.080 c) 96.440 
d) 123.480 e) 144.400 
 
27) Colocando em ordem alfabética as letras da palavra CORTINA, conseguimos formar 5.040 anagramas. 
Seguindo essa sequência, o milésimo anagrama é: 
a) CNIROTA b) CITOARN c) IATRNOC d) ICARTON e) NAICRTO 
 
28) As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de 
cinco letras em um dicionário. A 73a palavra nessa lista é 
a) PROVA. b) VAPOR. c) RAPOV. d) ROVAP. e) RAOPV. 
 
29) Considere todos os anagramas da palavra FORTAL. Supondo que cada anagrama seja uma palavra, então, 
colocando todas as palavras obtidas em ordem alfabética, a que ocupará a 244ª posição é: 
a) ATLORF. b) FALTOR. c) LAFRTO. d) LAFROT. e) LFAORT. 
 
30) (ESPEM 2020) A figura abaixo mostra dois exemplos diferentes de como distribuir 3 discos idênticos em 3 
pinos. 
 
O número total de maneiras de se fazer essa distribuição é: 
a) 12 
b) 6 
c) 27 
d) 8 
e) 10 
 
 
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31) (ENEM 2020) Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um 
condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das 
ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse 
condomínio, em que nos pontos A, B e C estão localizadas as casas de André, 
Bernardo e Carlos, respectivamente. André deseja deslocar-seda sua casa até 
a casa de Bernardo, sem passar pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas 
do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita ( ) ou para cima 
( ), segundo o esquema da figura.O número de diferentes caminhos que André 
poderá utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é 
a) 4. b) 14. c) 17. d) 35. e) 48. 
 
32) Colocando em ordem [crescente] os números resultantes das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, que 
posição ocupará o número 35241? 
a) 55ª b) 70ª c) 56ª d) 69ª e) 72ª 
 
33) A tabela abaixo apresenta os critérios adotados por dois países para a formação de placas de automóveis. Em 
ambos os casos, podem ser utilizados quaisquer dos 10 algarismos de 0 a 9 e das 26 letras do alfabeto romano. 
 
País Descrição Exemplo de placa 
X 3 letras e 3 algarismos, em qualquer ordem 
 
 
Y 
Um bloco de 3 letras, em qualquer ordem, à esquerda de 
outro bloco de 4 algarismos, também em qualquer ordem 
 
 
 
Considere o número máximo de placas distintas que podem ser confeccionadas no país X igual a n e no país Y 
igual a p. A razão corresponde a: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
 
 
34) (UEA 2020) Para assistir a uma peça em determinado teatro, 5 amigos devem ocupar 5 poltronas posicionadas 
de forma consecutiva em uma mesma fileira. Aline, a única mulher do grupo, decidiu ocupar a poltrona do meio. 
Nesse caso, o número de maneiras diferentes que os 4 rapazes têm de se distribuírem nas poltronas restantes 
é 
a) 60. b) 24. c) 120. d) 48. e) 40. 
 
35) Cinco casais resolvem ir ao teatro e compram os ingressos para ocuparem todas as 10 poltronas de uma 
determinada fileira. O número de maneiras que essas 10 pessoas podem se acomodar nas 10 poltronas, se um 
dos casais brigou, e eles não podem se sentar lado a lado é 
a) b) c) d) e) 
 
 
GABARITO 
 
01- a) 72 b) 36 c) 12 
d) 06 e) 36 
06-C 11-D 16-B 21-D 26-D 31-C 
02-B 07-E 12-A 17-D 22-B 27-A 32-B 
03-B 08-D 13-E 18-D 23-A 28-E 33-B 
04-E 09-C 14-D 19-B 24-E 29-C 34-B 
05-A 10-A 15-C 20-C 25-E 30-E 35-B 
 
 
n
p
 9 9!  8 9!  8 8!
10!
2
10!
4