Funções vetoriais

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FUNÇÕES VETORIAIS
EDDYGLEDSON SOUZA GAMA
MOTIVAÇÃO
ESSE TIPO DE FUNÇÃO APARECE NATURALMENTE NA DESCRIÇÃO DE VÁRIOS FENÔMENOS NA 
MECÂNICA CLÁSSICA. POR EXEMPLO, NA DECOMPOSIÇÃO DAS FORÇAS ATUANDO EM ALGUM 
CORPO, NA DESCRIÇÃO DO PERCURSO QUE UMA DETERMINADA PARTÍCULA ETC.
MOTIVAÇÃO
MOTIVAÇÃO
FUNÇÕES VETORIAIS EM ℝ𝟐
DEFINIÇÃO: UMA FUNÇÃO VETORIAL ( OU FUNÇÃO A VALORES VETORIAIS) EM ℝ𝟐 É UMA 
FUNÇÃO CUJO DOMÍNIO É UM CONJUNTO DE NÚMEROS REAIS E CUJA IMAGEM É UM 
CONJUNTO DE VETORES EM ℝ𝟐. MAIS PRECISAMENTE, 𝐹: 𝐼 → ℝ𝟐 É UMA FUNÇÃO A VALORES 
VETORIAIS EM ℝ𝟐, SE 
𝐹 𝑡 = 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 ,
ONDE 𝑓 E 𝑔: 𝐼 → ℝ SÃO FUNÇÕES REAIS CHAMADAS AS FUNÇÕES COORDENADAS DE 𝐹.
FUNÇÕES VETORIAIS EM ℝ𝟐
• SE Ԧ𝑖 = 1,0 E Ԧ𝑗 = 0,1 , ENTÃO 𝐹 𝑡 = 𝑓 𝑡 Ԧ𝑖 + 𝑔 𝑡 𝑗.
• EM GERAL, O CONJUNTO I ⊂ ℝ SERÁ UM INTERVALO ABERTO OU FECHADO. ESTE 
CONJUNTO É CHAMADO O DOMÍNIO DA FUNÇÃO VETORIAL 𝐹.
• OBSERVE QUE O DOMÍNIO DA FUNÇÃO VETORIAL 𝐹 É EXATAMENTE
I = 𝐷𝑜𝑚 𝐹 = 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔
• A IMAGEM (OU TRAJETÓRIA) DE 𝐹, DENOTADA POR 𝐼𝑚 𝐹, É O CONJUNTO EM ℝ2 DADO POR 
𝐼𝑚 𝐹 ≔ 𝐹 𝑡 𝑡 ∈ 𝐼}.
FUNÇÕES VETORIAIS EM ℝ𝟐
• O CONJUNTO 𝐼𝑚 𝐹 DEFINE UMA TRAJETÓRIA (OU CURVA) 𝐶 EM ℝ2. ALÉM DISSO, A FUNÇÃO 
VETORIAL 𝐹 É CHAMADA UMA PARAMETRIZAÇÃO DA CURVA 𝐶. A VARIÁVEL 𝑡 É CHAMADO O 
PARÂMETRO DA CURVA.
• SE 𝐼 = 𝑎, 𝑏 , ENTÃO 𝐹 𝑎 É CHAMADO O PONTO INICIAL DA PARAMETRIZAÇÃO 𝐹 E 𝐹 𝑏 É 
CHAMADO DO PONTO FINAL DA PARAMETRIZAÇÃO 𝐹.
• A PARAMETRIZAÇÃO 𝐹 DETERMINA UMA DIREÇÃO PARA A CURVA 𝐼𝑚 𝐹. 
𝐹(𝑎)
𝐹(𝑏)
FUNÇÕES VETORIAIS EM ℝ𝟐
𝐹(𝑎)
𝐹(𝑏)
𝐹(𝑏)
𝐹(𝑎)
𝐹 𝑎 = 𝐹(𝑏)
EXEMPLOS
• 𝐹 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡, 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 𝑡 ∈ ℝ;
• 𝐹 𝑡 = 𝑡, 𝑡2 , 𝑡 ∈ −1,2 ;
• 𝐹 𝑡 = 𝑒𝑡 , 𝑡𝑔𝑡2 − 𝑡2 , 𝑡 ∈ 0,2 ;
• 𝐺 𝑠 = 𝑠𝑒𝑛 𝑠, 𝑐𝑜𝑠𝑠2 .
COMO PODEMOS DESENHAR A IMAGEM DE UMA FUNÇÃO 
VETORIAL?
DESENHE A IMAGEM DA FUNÇÃO VETORIAL 𝐹 𝑡 = 𝑡2, 𝑡2 , 𝑡 ∈ −1,2 .
COMO PODEMOS DESENHAR A IMAGEM DE UMA FUNÇÃO 
VETORIAL?
DESENHE A IMAGEM DA FUNÇÃO VETORIAL 𝐹 𝑡 = 2𝑡 − 1, 𝑡 + 1 .
COMO PODEMOS DESENHAR A IMAGEM DE UMA FUNÇÃO 
VETORIAL?
DESENHE A IMAGEM DA FUNÇÃO VETORIAL 𝐹 𝑡 = 4𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑐𝑜𝑠𝑡 , 𝑡 ∈ ℝ.
COMO PODEMOS DESENHAR A IMAGEM DE UMA FUNÇÃO 
VETORIAL?
DESENHE A IMAGEM DA FUNÇÃO VETORIAL 𝐹 𝑡 = 𝑡3, 𝑡 , 𝑡 ∈ ℝ.
COMO DESENHAR A IMAGEM DE UMA FUNÇÃO VETORIAL?
EM GERAL, SE A FUNÇÃO VETORIAL NÃO TEM FUNÇÕES COORDENADAS “SIMPLES” , ENTÃO O 
DESENHO DA IMAGEM PODE SER MAIS COMPLICADO DE FAZER. POR EXEMPLO, A IMAGEM DA 
FUNÇÃO VETORIAL 𝐹 𝑡 = 𝑒𝑡, sen2 (tg(𝑡)) , 𝑡 ∈ (−
𝜋
2
,
𝜋
2
) É
FUNÇÕES VETORIAIS EM ℝ𝟑
• DEFINIÇÃO: UMA FUNÇÃO VETORIAL (OU FUNÇÃO A VALORES VETORIAIS) EM ℝ𝟑 É UMA 
FUNÇÃO CUJO DOMÍNIO É UM CONJUNTO DE NÚMEROS REAIS E CUJA IMAGEM É UM 
CONJUNTO DE VETORES EM ℝ𝟑. MAIS PRECISAMENTE, 𝐹: 𝐼 → ℝ𝟑 É UMA FUNÇÃO A VALORES 
VETORIAIS EM ℝ𝟑, SE 
𝐹 𝑡 = 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , ℎ 𝑡 ,
ONDE 𝑓, 𝑔 E ℎ: 𝐼 → ℝ SÃO FUNÇÕES REAIS DENOMINADAS AS FUNÇÕES COORDENADAS DE 𝐹.
FUNÇÕES VETORIAIS EM ℝ𝟑
SE Ԧ𝑖 = 1,0,0 , Ԧ𝑗 = 0,1,0 E 𝑘 = 0,0,1 , ENTÃO 
𝐹 𝑡 = 𝑓 𝑡 Ԧ𝑖 + 𝑔 𝑡 Ԧ𝑗 + ℎ 𝑡 𝑘.
• EM GERAL, O CONJUNTO I ⊂ ℝ SERÁ UM INTERVALO ABERTO OU FECHADO. ESTE 
CONJUNTO É CHAMADO O DOMÍNIO DA FUNÇÃO VETORIAL 𝐹.
• OBSERVE QUE O DOMÍNIO DA FUNÇÃO VETORIAL 𝐹 É EXATAMENTE
I = 𝐷𝑜𝑚 𝐹 = 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 ∩ 𝐷𝑜𝑚 ℎ
• A IMAGEM (OU TRAJETÓRIA) DE 𝐹, DENOTADA POR 𝐼𝑚 𝐹, É O CONJUNTO EM ℝ3 DADO POR 
𝐼𝑚 𝐹 ≔ 𝐹 𝑡 𝑡 ∈ 𝐼}.
FUNÇÕES VETORIAIS EM ℝ𝟑
• O CONJUNTO 𝐼𝑚 𝐹 DEFINE UMA TRAJETÓRIA (OU CURVA) 𝐶 EM ℝ3. ALÉM DISSO, A FUNÇÃO 
VETORIAL 𝐹 É CHAMADA UMA PARAMETRIZAÇÃO DA CURVA 𝐶. A VARIÁVEL 𝑡 É CHAMADO O 
PARÂMETRO DA CURVA.
• SE 𝐼 = 𝑎, 𝑏 , ENTÃO 𝐹 𝑎 É CHAMADO O PONTO INICIAL DA PARAMETRIZAÇÃO 𝐹 E 𝐹 𝑏 É 
CHAMADO DO PONTO FINAL DA PARAMETRIZAÇÃO 𝐹.
• A PARAMETRIZAÇÃO 𝐹 DETERMINA UMA DIREÇÃO PARA A CURVA 𝐼𝑚 𝐹. 
FUNÇÕES VETORIAIS EM ℝ𝟐
𝐹(𝑎)
𝐹(𝑏)
𝐹(𝑏)
𝐹(𝑎)
𝐹 𝑎 = 𝐹(𝑏)
EXEMPLOS
• 𝐹 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡, 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 1 , 𝑡 ∈ ℝ;
• 𝐹 𝑡 = 𝑡, 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡2 , 𝑡 ∈ ℝ;
• 𝐹 𝑡 = 0, 𝑒𝑡 , 𝑒𝑡 − 𝑡2 , 𝑡 ∈ ℝ;
• 𝐺 𝑠 = 𝑠𝑒𝑛 𝑠, 𝑒2𝑠, cosh(𝑠3) .
COMO PODEMOS DESENHAR A IMAGEM DE UMA FUNÇÃO 
VETORIAL?
EM GERAL, SE A FUNÇÃO VETORIAL NÃO TEM FUNÇÕES COORDENADAS “SIMPLES” , ENTÃO O 
DESENHO DA IMAGEM PODE SER COMPLICADO DE FAZER. POR EXEMPLO, A IMAGEM DA 
FUNÇÃO VETORIAL 𝐹 𝑡 = 𝑡2, 𝑠𝑖𝑛( 𝑡), cos(𝑡2) , 𝑡 ∈ (−
𝜋
2
,
𝜋
2
) É
FUNÇÕES VETORIAIS EM ℝ𝒏
• DEFINIÇÃO: UMA FUNÇÃO VETORIAL (OU FUNÇÃO A VALORES VETORIAIS) EM ℝ𝒏 É UMA 
FUNÇÃO CUJO DOMÍNIO É UM CONJUNTO DE NÚMEROS REAIS E CUJA IMAGEM É UM 
CONJUNTO DE VETORES EM ℝ𝒏. MAIS PRECISAMENTE, 𝐹: 𝐼 → ℝ𝒏 É UMA FUNÇÃO A VALORES 
VETORIAIS EM ℝ𝒏, SE 
𝐹 𝑡 = 𝑓1 𝑡 , 𝑓2 𝑡 , … , 𝑓𝑛 𝑡 ,
ONDE AS FUNÇÕES 𝑓𝒊: 𝐼 → ℝ SÃO DENOMINADAS AS FUNÇÕES COORDENADAS DE 𝐹.
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES VETORIAIS
• SEJAM 𝐹, 𝑒 𝐺: I → ℝ𝑛 DUAS FUNÇÕES VETORIAIS EM ℝ𝑛, 𝜆 ∈ ℝ E 𝑘: 𝐼 → ℝ
• SOMA: 𝐹 + 𝐺 𝑡 = 𝐹 𝑡 + 𝐺 𝑡 ;
• SUBTRAÇÃO: 𝐹 − 𝐺 𝑡 = 𝐹 𝑡 − 𝐺 𝑡 ;
• MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR: 
𝜆𝐹 𝑡 = 𝜆𝐹 𝑡 ; 
• MULTIPLICAÇÃO POR UMA FUNÇÃO REAL
𝑘𝐹 𝑡 = 𝑘 𝑡 𝐹 𝑡 ; 
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES VETORIAIS
• ⟨𝐹, 𝐺⟩ 𝑡 = ⟨𝐹 𝑡 , 𝐺 𝑡 ⟩ É UMA FUNÇÃO REAL;
• EM ℝ3, SE F1 E F2 SÃO DUAS FUNÇÕES VETORIAIS, ENTÃO 
F1 × 𝐹2 𝑡 = F1 𝑡 × 𝐹2 𝑡
É UMA FUNÇÃO VETORIAL EM ℝ3.
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES VETORIAIS
CONSIDERE 𝐹 𝑡 = (𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡2) E 𝐺 𝑡 = (𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑒𝑡). CALCULE:
• 𝐹 + 𝐺 𝑡
• 𝐹 − 𝐺 𝑡
• ⟨𝐹, 𝐺⟩ 𝑡
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES VETORIAIS
CONSIDERE 𝐹 𝑡 = (𝑠𝑒𝑛𝑡, 1, 𝑡) E 𝐺 𝑡 = (𝑡2022, 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑒3𝑡). CALCULE:
• 𝐹 + 𝐺 𝑡
• 𝐹 − 𝐺 𝑡
• ⟨𝐹, 𝐺⟩ 𝑡
• (𝐹 × 𝐺)(𝑡)
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES VETORIAIS
CONSIDERE 𝐹 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡2, 𝑐𝑜𝑠𝑡 , 𝐺 𝑡 = (𝑡 − 2, 𝑡 + 1,−1) E 𝐻 𝑡 = (𝑒𝑡, ln 𝑡 , 0). CALCULE
⟨ 𝐹 + 𝐺 ,𝐻⟩ E ⟨𝐹, 𝐺 × 𝐻⟩.
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES VETORIAIS
CONSIDERE 𝐹 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡2, 𝑐𝑜𝑠𝑡 , 𝐺 𝑡 = (𝑡 − 2, 𝑡 + 1, 4) E 𝐻 𝑡 = (𝑒𝑡, ln 𝑡 , 0). CALCULE
⟨ 𝐹 × 𝐺 ,𝐻⟩ E 𝐹 × 𝐺 × 𝐻.
LIMITE DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
SEJAM 𝐹: 𝐼 → ℝ𝑛 UMA FUNÇÃO VETORIAL E 𝑎 ∈ 𝐼.
DEFINIÇÃO: DIZEMOS QUE O VETOR Ԧ𝑣 ∈ ℝ𝑛 É O LIMITE DA FUNÇÃO VETORIAL 𝐹 QUANDO 
𝑡 TENDE A 𝑎, E ESCREVEMOS 
lim
𝑡→𝑎
𝐹 𝑡 = Ԧ𝑣,
SE PARA TODO 𝜖 > 0 EXISTE 𝛿 > 0 TAL QUE, PARA TODO 𝑡 ∈ 𝐼 SATISFAZENDO
0 < 𝑡 − 𝑎 < 𝛿,
VALE
𝐹 𝑡 − Ԧ𝑣 < 𝜖.
PROPRIEDADES DO LIMITE
ASSUMA lim
𝑡→𝑎
𝐹 𝑡 = Ԧ𝑣, 𝑙𝑖𝑚
𝑡→𝑎
𝐺 𝑡 = 𝑤, 𝑙𝑖𝑚
𝑡→𝑎
𝑘 𝑡 = 𝐿, 𝑘 É UMA FUNÇÃO REAL, E 𝜆 ∈ ℝ ENTÃO,
• lim
𝑡→𝑎
𝐹 ± 𝐺 𝑡 = Ԧ𝑣 ± 𝑤;
• lim
𝑡→𝑎
𝜆𝐹 𝑡 = 𝜆 Ԧ𝑣;
• lim
𝑡→𝑎
𝑘𝐹 𝑡 = 𝐿 Ԧ𝑣;
• SE 𝐿 ≠ 0, ENTÃO 𝑙𝑖𝑚
𝑡→𝑎
𝐹
𝑘
=
𝑣
𝐿
;
• lim
𝑡→𝑎
⟨𝐹, 𝐺⟩ 𝑡 = ⟨ Ԧ𝑣, 𝑤⟩;
PROPRIEDADES DO LIMITE
• EM ℝ3 VALE
lim
𝑡→𝑎
(𝐹 × 𝐺) 𝑡 = Ԧ𝑣 × 𝑤;
• SE 𝐹 𝑡 ≤ 𝐶, PARA TODO 𝑡 ∈ 𝐼 ∖ {𝑎} E 𝑙𝑖𝑚
𝑡→𝑎
𝑘 𝑡 = 0, ENTÃO
lim
𝑡→𝑎
𝑘𝐹 𝑡 = 0;
• SE 𝑘 𝑡 ≤ 𝐶, PARA TODO 𝑡 ∈ 𝐼 ∖ {𝑎} E lim
𝑡→𝑎
𝐹 𝑡 = 0, ENTÃO
lim
𝑡→𝑎
(𝑘𝐹) 𝑡 = 0 .
TEOREMA
TEOREMA: SEJAM 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2 UMA FUNÇÃO VETORIAL EM ℝ
2 E Ԧ𝑣 = 𝑣1, 𝑣2 ∈ ℝ
2. ENTÃO
lim
𝑡→𝑎
𝐹 𝑡 = Ԧ𝑣, SE E SÓ SE, lim
𝑡→𝑎
𝑓𝑖 𝑡 = 𝑣𝑖 .
TEOREMA
TEOREMA: SEJAM 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3 UMA FUNÇÃO VETORIAL EM ℝ
3 E Ԧ𝑣 = 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 ∈ ℝ
3. 
ENTÃO
lim
𝑡→𝑎
𝐹 𝑡 = Ԧ𝑣, SE E SÓ SE, lim
𝑡→𝑎
𝑓𝑖 𝑡 = 𝑣𝑖 .
TEOREMA
TEOREMA: SEJAM 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛 UMA FUNÇÃO VETORIAL EM ℝ
𝑛 E Ԧ𝑣 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 ∈ ℝ
𝑛. 
ENTÃO
lim
𝑡→𝑎
𝐹 𝑡 = Ԧ𝑣, SE E SÓ SE, lim
𝑡→𝑎
𝑓𝑖 𝑡 = 𝑣𝑖 .
EXEMPLO
CALCULE lim
𝑡→2
𝑡2 − 2, 𝑒𝑡
2−4 .
EXEMPLO
CALCULE lim
𝑡→1
𝑡8 + 𝑡4 − 𝑡2 + 1,
5
𝑡2 + 3, ln 𝑡 + 𝑡 .
EXEMPLO
CALCULE lim
𝑡→1
𝑡8 − 𝑡2, 𝑡sent, 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑡2 + 𝑡, 𝑡 .
EXEMPLO
CALCULE lim
𝑡→2
sen 𝑡 , 𝑡 +
1
𝑡
+ ln 𝑡 + 𝑡3 .
EXEMPLO
CALCULE lim
𝑡→−1
𝑡 − 𝑒𝑡,
𝑡2−1
𝑡+1
,
𝑡3+1
𝑡+1
.
EXEMPLO
CONSIDERE A FUNÇÃO VETORIAL 𝐹 𝑡 ≔ 𝑡 − 1, 𝑡 + 1 , 𝑠𝑒 𝑡 ≥ 0 E 𝐹 𝑡 ≔ 𝑡, 𝑡 + 1 , 𝑠𝑒 𝑡 < 0.
JUSTIFIQUE PORQUÊ lim
𝑡→0
𝐹(𝑡) NÃOEXISTE.
EXEMPLO
CONSIDERE 𝐹 𝑡 =
𝑡
𝑡+1
+ 1,
𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡
, 𝑠𝑒 𝑡 > 0 E 𝐹 𝑡 = 𝑡2021, 2021 , 𝑠𝑒 𝑡 ≤ 0. JUSTIFIQUE 
PORQUÊ lim
𝑡→0
𝐹(𝑡) NÃO EXISTE.
EXEMPLO
CONSIDERE 𝐹 𝑡 =
𝑡
𝑡+1
+ 1,
𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡
, 𝑠𝑒 𝑡 > 0 E 𝐹 𝑡 = 𝑡2021 + 1, 2021 , 𝑠𝑒 𝑡 ≤ 0. JUSTIFIQUE 
PORQUÊ lim
𝑡→0
𝐹(𝑡) NÃO EXISTE.
EXEMPLO
CONSIDERE 𝐹 𝑡 = 𝑡. 𝑙𝑛|𝑡| − 𝑒𝑡,
𝑡2−2
𝑡+1
,
𝑡3−1
𝑡+1
. JUSTIFIQUE PORQUÊ lim
𝑡→−1
𝐹(𝑡) NÃO EXISTE.
EXEMPLO
CONSIDERE 𝐹 𝑡 = 3𝑡 + 1, ln(2 + 𝑡), cosh(𝑡 + 1) , 𝑠𝑒 𝑡 < −1, E 𝐹 𝑡 = −
2
2+𝑡
, tg 𝑡 + 1 , 3 + 𝑡 , 𝑠𝑒 𝑡 >
− 1. JUSTIFIQUE PORQUÊ lim
𝑡→−1
𝐹(𝑡) NÃO EXISTE.
LIMITE LATERAIS DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
SEJAM 𝐹: 𝐼 → ℝ𝑛 UMA FUNÇÃO VETORIAL E 𝑎 ∈ 𝐼.
DEFINIÇÃO: DIZEMOS QUE O VETOR Ԧ𝑣 ∈ ℝ𝑛 É O LIMITE À ESQUERDA DA FUNÇÃO VETORIAL 𝐹
QUANDO 𝑡 TENDE A 𝑎 PELA ESQUERDA, E ESCREVEMOS 
lim
𝑡→𝑎−
𝐹 𝑡 = Ԧ𝑣,
SE PARA TODO 𝜖 > 0 EXISTE 𝛿 > 0 TAL QUE, PARA TODO 𝑡 ∈ 𝐼 SATISFAZENDO
0 < 𝑡 − 𝑎 < 𝛿,
VALE
𝐹 𝑡 − Ԧ𝑣 < 𝜖.
LIMITE LATERAIS DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
SEJAM 𝐹: 𝐼 → ℝ𝑛 UMA FUNÇÃO VETORIAL E 𝑎 ∈ 𝐼.
DEFINIÇÃO: DIZEMOS QUE O VETOR Ԧ𝑣 ∈ ℝ𝑛 É O LIMITE À DIREITA DA FUNÇÃO VETORIAL 𝐹
QUANDO 𝑡 TENDE A 𝑎 PELA DIREITA, E ESCREVEMOS 
lim
𝑡→𝑎+
𝐹 𝑡 = Ԧ𝑣,
SE PARA TODO 𝜖 > 0 EXISTE 𝛿 > 0 TAL QUE, PARA TODO 𝑡 ∈ 𝐼 SATISFAZENDO
0 < 𝑎 − 𝑡 < 𝛿,
VALE
𝐹 𝑡 − Ԧ𝑣 < 𝜖.
TEOREMA
TEOREMA: SEJAM 𝐹: 𝐼 → ℝ𝑛 UMA FUNÇÃO VETORIAL EM ℝ𝑛 E Ԧ𝑣 ∈ ℝ𝑛. ENTÃO
lim
𝑡→𝑎
𝐹 𝑡 = Ԧ𝑣, SE E SÓ SE, lim
𝑡→𝑎±
𝐹 𝑡 = Ԧ𝑣.
TEOREMA
TEOREMA: SEJAM 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2 UMA FUNÇÃO VETORIAL EM ℝ
2 E Ԧ𝑣 = 𝑣1, 𝑣2 ∈ ℝ
2. ENTÃO
lim
𝑡→𝑎±
𝐹 𝑡 = Ԧ𝑣, SE E SÓ SE, lim
𝑡→𝑎±
𝑓𝑖 𝑡 = 𝑣𝑖 .
TEOREMA
TEOREMA: SEJAM 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3 UMA FUNÇÃO VETORIAL EM ℝ
3 E Ԧ𝑣 = 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 ∈ ℝ
3. 
ENTÃO
lim
𝑡→𝑎±
𝐹 𝑡 = Ԧ𝑣, SE E SÓ SE, lim
𝑡→𝑎±
𝑓𝑖 𝑡 = 𝑣𝑖 .
TEOREMA
TEOREMA: SEJAM 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛 UMA FUNÇÃO VETORIAL EM ℝ
𝑛 E Ԧ𝑣 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 ∈ ℝ
𝑛. 
ENTÃO
lim
𝑡→𝑎±
𝐹 𝑡 = Ԧ𝑣, SE E SÓ SE, lim
𝑡→𝑎±
𝑓𝑖 𝑡 = 𝑣𝑖 .
EXEMPLO
CONSIDERE 𝐹 𝑡 =
(𝑡+2)ln(𝑡+1)
𝑡+1
,
𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡
− 1 , 𝑠𝑒 𝑡 ≥ 0 E 𝐹 𝑡 = 𝑡2021, 𝑡 + 1 , 𝑠𝑒 𝑡 < 0.
JUSTIFIQUE SE lim
𝑡→0
𝐹(𝑡) EXISTE OU NÃO.
EXEMPLO
CONSIDERE 𝐹 𝑡 = 𝑡. 𝑙𝑛|𝑡| − 𝑒𝑡,
𝑡2−2
𝑡+1
,
𝑡3−1
𝑡+1
. JUSTIFIQUE SE lim
𝑡→0
𝐹(𝑡) EXISTE OU NÃO.
CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
SEJAM 𝐹: 𝐼 → ℝ𝑛 UMA FUNÇÃO VETORIAL E 𝑎 ∈ 𝐼.
DEFINIÇÃO: DIZEMOS QUE 𝐹 É CONTÍNUA EM 𝑎, SE
lim
𝑡→𝑎
𝐹 𝑡 = 𝐹 𝑎 .
PROPRIEDADES DA CONTINUIDADE
SEJAM 𝐹, 𝐺: 𝐼 → ℝ𝑛 DUAS FUNÇÕES VETORIAIS CONTÍNUAS EM 𝑎 ∈ 𝐼. ASSUME QUE 𝑘: 𝐼 → ℝ É 
UMA FUNÇÃO REAL CONTÍNUA EM 𝑎 E 𝜆 ∈ ℝ ENTÃO:
• 𝐹 ± 𝐺 É CONTÍNUA EM 𝑎;
• 𝜆𝐹 É CONTÍNUA EM 𝑎;
• 𝑘𝐹 É CONTÍNUA EM 𝑎;
• SE 𝑘 𝑎 ≠ 0, ENTÃO 
𝐹
𝑘
É CONTÍNUA EM 𝑎;
• A FUNÇÃO REAL 𝐹, 𝐺 É CONTÍNUA EM 𝑎;
• SE 𝑛 = 3, ENTÃO 𝐹 × G É CONTÍNUA EM 𝑎.
PROPRIEDADES DA CONTINUIDADE
• ASSUME QUE 𝑘: 𝐽 → 𝐼 É UMA FUNÇÃO REAL CONTÍNUA EM 𝑏 ∈ 𝐽 E 𝐹: 𝐼 → ℝ𝑛 É UMA FUNÇÃO 
VETORIAL CONTÍNUA EM 𝑘 𝑏 ∈ 𝐼. ENTÃO 𝐹 ∘ 𝑘: 𝐽 → ℝ𝑛 É CONTÍNUA EM 𝑏.
TEOREMA
TEOREMA: SEJAM 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2 UMA FUNÇÃO VETORIAL EM ℝ
2 E 𝑎 ∈ 𝐼. ENTÃO
𝐹 É CONTÍNUA EM 𝑎, SE E SÓ SE, CADA FUNÇÃO COORDENADA 𝑓𝑖 FOR CONTÍNUA EM 𝑎.
TEOREMA
TEOREMA: SEJAM 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3 UMA FUNÇÃO VETORIAL EM ℝ
3 E 𝑎 ∈ 𝐼. ENTÃO
𝐹 É CONTÍNUA EM 𝑎, SE E SÓ SE, CADA FUNÇÃO COORDENADA 𝑓𝑖 FOR CONTÍNUA EM 𝑎.
TEOREMA
TEOREMA: SEJAM 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛 UMA FUNÇÃO VETORIAL EM ℝ
𝑛 E 𝑎 ∈ 𝐼. ENTÃO
𝐹 É CONTÍNUA EM 𝑎, SE E SÓ SE, CADA FUNÇÃO COORDENADA 𝑓𝑖 FOR CONTÍNUA EM 𝑎.
EXEMPLO
VERIFIQUE SE A FUNÇÃO VETORIAL F t = 𝑡2 − 2, 𝑒𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡 É CONTÍNUA EM TODA A RETA. 
EXEMPLO
ENCONTRE O CONJUNTO DOS PONTOS TAIS QUE A FUNÇÃO VETORIAL 
F t = 𝑡3 − 𝑡2 + 1,
4
𝑡2 + 3, ln 𝑡 + 𝑡
SEJA CONTÍNUA.
EXEMPLO
ENCONTRE O CONJUNTO DOS PONTOS TAIS QUE A FUNÇÃO VETORIAL 
F t =
𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡
, 𝑡 +
1
𝑡
+ 𝑡𝑔(𝑡)
SEJA CONTÍNUA.
EXEMPLO
A FUNÇÃO VETORIAL 𝐹 𝑡 ≔ 𝑡 − 1, 𝑡 + 1 , 𝑠𝑒 𝑡 ≥ 0 E 𝐹 𝑡 ≔ 𝑡, 𝑡 + 1 , 𝑠𝑒 𝑡 < 0, NÃO É 
CONTÍNUA EM 0.
EXEMPLO
A FUNÇÃO VETORIAL 𝐹 𝑡 =
𝑡
𝑡+1
+ 1,
𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡
, 𝑠𝑒 𝑡 ≥ 0 E 𝐹 𝑡 = 𝑡2021, 2021 , 𝑠𝑒 𝑡 < 0, NÃO É 
CONTÍNUA EM 0.
EXEMPLO
A FUNÇÃO VETORIAL 𝐹 𝑡 = 3𝑡 + 1, ln(2 + 𝑡), cosh(𝑡 + 1) , 𝑠𝑒 𝑡 < −1, E 𝐹 𝑡 =
−
2
2+𝑡
, tg 𝑡 + 1 , 3 + 𝑡 , 𝑠𝑒 𝑡 > −1, NÃO É CONTÍNUA EM −1.
A DERIVADA DE PRIMEIRA ORDEM DE UMA FUNÇÃO 
VETORIAL
SEJAM 𝐹: 𝐼 → ℝ𝑛 UMA FUNÇÃO VETORIAL E 𝑎 ∈ 𝐼.
DEFINIÇÃO: DIREMOS QUE 𝐹 É DERIVÁVEL EM 𝑎, SE O SEGUINTE LIMITE EXISTE
𝑙𝑖𝑚
𝒕→𝒂
𝐹 𝑡 − 𝐹(𝑎)
𝑡 − 𝑎
QUANDO TAL LIMITE EXISTIR, USAREMOS A NOTAÇÃO 𝐹′(𝑎) PARA INDICÁ-LO.
NOTAÇÃO: NA LITERATURA PODE APARECER AS SEGUINTES NOTAÇÕES PARA A DERIVADA DE 
PRIMEIRA ORDEM DE UMA FUNÇÃO 𝐹 EM 𝑎 ∈ 𝐼:
𝑑𝐹
𝑑𝑡
(𝑎) OU ሶ𝐹(𝑎).
PROPRIEDADES
SEJAM 𝐹 𝑒 𝐺: 𝐼 → ℝ𝑛 DUAS FUNÇÕES VETORIAIS DERIVÁVEIS EM 𝑎 ∈ 𝐼 E 𝑘: 𝐼 → ℝ UMA FUNÇÃO 
REAL DERIVÁVEL EM 𝑎 . ENTÃO
• 𝐹 ± 𝐺 ′ 𝑎 = 𝐹′(𝑎) ± 𝐺′ 𝑎 ;
• 𝐹. 𝐺 ′(𝑎) = 𝐹′ 𝑎 , 𝐺 𝑎 + ⟨𝐹(𝑎), 𝐺′(𝑎)⟩;
• 𝑘. 𝐹 ′ 𝑎 = 𝑘′ 𝑎 𝐹 𝑎 + 𝑘 𝑎 𝐹′(𝑎);
•
𝐹
𝑘
′
𝑎 =
𝑘 𝑎 𝐹′ 𝑎 −𝑘′ 𝑎 𝐹 𝑎
𝑘 𝑎 2
PROPRIEDADES
SE 𝑛 = 3, ENTÃO
𝐹 × 𝐺 ′ 𝑎 = 𝐹′ 𝑎 × 𝐺 𝑎 + 𝐹 𝑎 × 𝐺′(𝑎)
PROPRIEDADES
SEJAM 𝑘: 𝐽 → 𝐼 UMA FUNÇÃO REAL DERIVÁVEL EM 𝑎 ∈ 𝐽 E F: 𝐼 → ℝ𝑛 UMA FUNÇÃO VETORIAL 
DERIVÁVEL EM 𝑘(𝑎) ∈ 𝐼 . ENTÃO F ∘ 𝑘 É DERIVÁVEL EM 𝑎 ∈ 𝐽 E VALE
𝐹 ∘ 𝑘 ′ 𝑎 = 𝐹′ 𝑘 𝑎 . 𝑘′(𝑎);
TEOREMA
TEOREMA: SEJAM 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2 : 𝐼 → ℝ
2 UMA FUNÇÃO VETORIAL E 𝑎 ∈ 𝐼 . ENTÃO,
𝐹 É DERIVÁVEL EM 𝑎, SE E SÓ SE, CADA 𝑓𝑖 FOR DERIVÁVEL EM 𝑎. ALÉM DISSO, VALE A SEGUINTE 
IGUALDADE
𝐹′ 𝑎 = 𝑓1
′ 𝑎 , 𝑓2
′ 𝑎 .
TEOREMA
TEOREMA: SEJAM 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3 : 𝐼 → ℝ
3 UMA FUNÇÃO VETORIAL E 𝑎 ∈ 𝐼 . ENTÃO,
𝐹 É DERIVÁVEL EM 𝑎, SE E SÓ SE, CADA 𝑓𝑖 FOR DERIVÁVEL EM 𝑎. ALÉM DISSO, VALE A SEGUINTE 
IGUALDADE
𝐹′ 𝑎 = 𝑓1
′ 𝑎 , 𝑓2
′(𝑎), 𝑓3
′ 𝑎 .
TEOREMA
TEOREMA: SEJAM 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛 : 𝐼 → ℝ
𝑛 UMA FUNÇÃO VETORIAL E 𝑎 ∈ 𝐼 . ENTÃO,
𝐹 É DERIVÁVEL EM 𝑎, SE E SÓ SE, CADA 𝑓𝑖 FOR DERIVÁVEL EM 𝑎. ALÉM DISSO, VALE A SEGUINTE 
IGUALDADE
𝐹′ 𝑎 = 𝑓1
′ 𝑎 , 𝑓2
′ 𝑎 ,… , 𝑓𝑛
′ 𝑎 .
EXEMPLO
CONSIDERE 𝐹 𝑡 = (𝑡2, ln(𝑡2 + 1)). CALCULE 𝐹′ 1 E 𝐹′ −1 .
EXEMPLO
CONSIDERE 𝐹 𝑡 = (𝑡2, ln(𝑡2 + 1)) E 𝑘 𝑠 =
𝑠4
16
. CALCULE 𝐹 ∘ 𝑘 ′(2) E 𝐹 ∘ 𝑘 ′(−2).
EXEMPLO
CONSIDERE 𝐹 𝑡 = (𝑒𝑡+1, 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑡3 + 2021 , 𝑠𝑒𝑛 (𝑡2 + 1)). CALCULE 𝐹′ 𝑡 .
EXEMPLO
CONSIDERE 𝐹 𝑡 = (𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 1 , 𝑡2 + 1) E G 𝑡 = (4𝑡 + 1, 𝑡, 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑡) . CALCULE 
⟨𝐹, 𝐹 × 𝐺 ′⟩ 𝑡 .
COMO PODEMOS CONCLUIR SE UMA DETERMINADA FUNÇÃO VETORIAL NÃO 
POSSUI DERIVADA?
A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
ASSIM COMO NO CÁLCULO I, O SEGUINTE RESULTADO NOS FORNECE UMA MANEIRA PRÁTICA DE 
CONCLUIR A NÃO EXISTÊNCIA DA DERIVADA A PARTIR DA NÃO CONTINUIDADE DA FUNÇÃO. MAIS 
PRECISAMENTE:
TEOREMA: SE 𝐹: 𝐼 → ℝ𝑛 É UMA FUNÇÃO VETORIAL DERIVÁVEL EM 𝑎 ∈ 𝐼 , ENTÃO, 𝐹 É CONTÍNUA EM 𝑎.
EXEMPLO
A FUNÇÃO VETORIAL 𝐹 𝑡 ≔ 𝑡 − 1, 𝑡 + 1 , 𝑠𝑒 𝑡 ≥ 0 E 𝐹 𝑡 ≔ 𝑡, 𝑡 + 1 , 𝑠𝑒 𝑡 < 0, NÃO É 
DERIVÁVEL EM 0.
EXEMPLO
A FUNÇÃO VETORIAL 𝐹 𝑡 =
𝑡
𝑡+1
+ 1,
𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡
, 𝑠𝑒 𝑡 ≥ 0 E 𝐹 𝑡 = 𝑡2021, 2021 , 𝑠𝑒 𝑡 < 0, NÃO É 
DERIVÁVEL EM 0.
EXEMPLO
A FUNÇÃO VETORIAL 𝐹 𝑡 = 3𝑡 + 1, ln(2 + 𝑡), cosh(𝑡 + 1) , 𝑠𝑒 𝑡 < −1, E 𝐹 𝑡 =
−
2
2+𝑡
, tg 𝑡 + 1 , 3 + 𝑡 , 𝑠𝑒 𝑡 > −1, NÃO É DERIVÁVEL EM −1.
EXEMPLO
A FUNÇÃO VETORIAL 𝐹 𝑡 = |𝑡|, 1 É CONTÍNUA EM ℝ, PORÉM NÃO É DERIVÁVEL EM 0.
DERIVADAS DE ORDENS SUPERIORES DE UMA FUNÇÃO 
VETORIAL
SEJA 𝐹: 𝐼 → ℝ𝑛 UMA FUNÇÃO VETORIAL DERIVÁVEL EM 𝐼. ASSUMA 𝐹′: 𝐼 → ℝ𝑛 SEJA UMA 
FUNÇÃO VETORIAL DERIVÁVEL EM 𝑎 ∈ 𝐼.
DEFINIÇÃO: DEFINIMOS A DERIVADA DE SEGUNDA ORDEM DE 𝐹 EM 𝑎, DENOTADA POR 𝐹′′(𝑎), 
COMO SENDO A DERIVADA DA DERIVADA DE PRIMEIRA ORDEM DE 𝐹 EM 𝑎. ISTO É, 
𝐹′′ 𝑎 = 𝐹′ ′ 𝑎 .
NOTAÇÃO: NA LITERATURA PODE APARECER AS SEGUINTES NOTAÇÕES PARAA DERIVADA DE 
SEGUNDA ORDEM DE UMA FUNÇÃO 𝐹 EM 𝑎 ∈ 𝐼:
𝑑2𝐹
𝑑𝑡2
(𝑎) OU 𝐹 2 (𝑎) OU ሷ𝐹(𝑎).
DERIVADAS DE ORDENS SUPERIORES DE UMA FUNÇÃO 
VETORIAL
USANDO INDUÇÃO, PODEMOS DEFINIR A DERIVADA DE 𝑘 −ÉSIMA ORDEM DE UMA FUNÇÃO 
VETORIAL COMO SEGUE: ASSUMA QUE A FUNÇÃO VETORIAL 𝐹: 𝐼 → ℝ𝑛 SEJA DERIVÁVEL EM 𝐼,
TODAS AS DERIVADAS DE ORDENS MENORES QUE 𝑘 − 1 EXISTAM EM 𝐼 E 𝐹(𝑘−1): 𝐼 → ℝ𝑛 SEJA 
UMA FUNÇÃO VETORIAL DERIVÁVEL EM 𝑎 ∈ 𝐼.
DEFINIÇÃO: DEFINIMOS A DERIVADA DE 𝑘 −ÉSIMA ORDEM DE 𝐹 EM 𝑎, DENOTADA POR 𝐹(𝑘)(𝑎), 
COMO SENDO A DERIVADA DA DERIVADA DE PRIMEIRA ORDEM DE 𝐹(𝑘−1) EM 𝑎. ISTO É,
𝐹(𝑘) 𝑎 = 𝐹(𝑘−1)
′
𝑎 .
NOTAÇÃO: NA LITERATURA PODE APARECER A SEGUINTE NOTAÇÃO PARA A DERIVADA DE 
𝑘 −ÉSIMA ORDEM DE UMA FUNÇÃO 𝐹 EM 𝑎 ∈ 𝐼:
𝑑𝑘𝐹
𝑑𝑡𝑘
𝑎 .
TEOREMA
TEOREMA: SEJA 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2 : 𝐼 → ℝ
2 UMA FUNÇÃO VETORIAL E 𝑎 ∈ 𝐼 . ENTÃO,
EXISTE A DERIVADA DE 𝑘 −ÉSIMA ORDEM DE 𝐹 EM 𝑎, SE E SÓ SE, EXISTE A DERIVADA DE 
𝑘 −ÉSIMA ORDEM DE CADA 𝑓𝑖 EM 𝑎. ALÉM DISSO, VALE A IGUALDADE
𝐹(𝑘) 𝑎 = 𝑓1
(𝑘)
𝑎 , 𝑓2
(𝑘)
𝑎 .
TEOREMA
TEOREMA: SEJA 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3 : 𝐼 → ℝ
3 UMA FUNÇÃO VETORIAL E 𝑎 ∈ 𝐼 . ENTÃO,
EXISTE A 𝑘 −ÉSIMA DERIVADA DE 𝐹 EM 𝑎, SE E SÓ SE, EXISTE A 𝑘 −ÉSIMA DERIVADA DE CADA 𝑓𝑖
EM 𝑎. ALÉM DISSO, VALE A IGUALDADE
𝐹(𝑘) 𝑎 = 𝑓1
𝑘
𝑎 , 𝑓2
𝑘
(𝑎), 𝑓3
(𝑘)
𝑎 .
TEOREMA
TEOREMA: SEJA 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2, . . , 𝑓𝑛 : 𝐼 → ℝ
𝑛 UMA FUNÇÃO VETORIAL E 𝑎 ∈ 𝐼 . ENTÃO,
EXISTE A 𝑘 −ÉSIMA DERIVADA DE 𝐹 EM 𝑎, SE E SÓ SE, EXISTE A 𝑘 −ÉSIMA DERIVADA DE CADA 𝑓𝑖
EM 𝑎. ALÉM DISSO, VALE A IGUALDADE
𝐹(𝑘) 𝑎 = 𝑓1
𝑘
𝑎 , 𝑓2
𝑘
𝑎 ,… , 𝑓𝑛
(𝑘)
𝑎 .
EXEMPLO
CONSIDERE 𝐹 𝑡 = (𝑡2, ln(𝑡2 + 1)). CALCULE 𝐹 2 (𝑡).
EXEMPLO
CONSIDERE 𝐹 𝑡 = (𝑒𝑡+1, 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑡 + 1 , 𝑠𝑒𝑛 (𝑡2)). CALCULE 𝐹(3) 𝑡 .
A RETA TANGENTE A UMA CURVA
SEJA 𝐶 UMA CURVA EM ℝ𝑛 PARAMETRIZADA PELA FUNÇÃO VETORIAL 𝐹: 𝐼 → ℝ𝑛. ASSUMA QUE 
EM 𝑎 ∈ 𝐼 VALE 𝐹′(𝑎) ≠ 0.
DEFINIÇÃO: O VETOR 𝐹′(𝑎) É CHAMADO DO VETOR TANGENTE À CURVA 𝐶 EM 𝐹(𝑎). ALÉM 
DISSO, A RETA PARAMÉTRICA 
𝑟 𝑡 ≔ 𝐹 𝑎 + 𝑡𝐹′ 𝑎 , 𝑡 ∈ ℝ
É CHAMADA A RETA TANGENTE À CURVA 𝐶 EM 𝐹(𝑎).
EXEMPLO
CONSIDERE 𝐹 𝑡 = cos t , 𝑡 −
1
𝑒𝑡+1
. OBTENHA A EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DA RETA TANGENTE 
DA CURVA 𝐶 = 𝐼𝑚 𝐹 EM 𝐹 2 .
EXEMPLO
CONSIDERE 𝐹 𝑡 =
1
𝑡2+1
, 𝑡2 − 𝑡3, 𝑐𝑜𝑠 𝑒𝑡 . OBTENHA A EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DA RETA 
TANGENTE DA CURVA 𝐶 = 𝐼𝑚 𝐹 EM 𝐹 0 .
A INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
SEJA 𝐹: 𝑎, 𝑏 → ℝ𝑛 UMA FUNÇÃO VETORIAL. CONSIDERE UMA PARTIÇÃO 
𝑃 = {𝑎 = 𝑡0 < 𝑡1 < ⋯ < 𝑡𝑘 = 𝑏}.
PARA CADA SUBINTERVALO DA PARTIÇÃO [𝑡𝑖 , 𝑡𝑖+1] ESCOLHA UM PONTO 𝑐𝑖 .
DEFINIÇÃO(SOMA DE RIEMANN): O VETOR 
෍
𝑖=1
𝑘
𝐹 𝑐𝑖 Δ𝑡𝑖 ,
ONDE Δ𝑡𝑖 = 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 , É CHAMADA A SOMA DE RIEMANN DA FUNÇÃO VETORIAL 𝐹 RELATIVO A 
PARTIÇÃO P.
A INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
DEFINIÇÃO(INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO VETORIAL): DIREMOS QUE σ𝑖=1
𝑘 𝐹 𝑐𝑖 Δ𝑡𝑖 TENDE AO 
VETOR 𝐿 QUANDO maxΔ𝑡𝑖 → 0, E ESCREVEMOS 
𝑙𝑖𝑚
max Δ𝑡𝑖→0
෍
𝑖=1
𝑘
𝐹 𝑐𝑖 Δ𝑡𝑖 = 𝐿,
SE PARA TODO 𝜖 > 0 EXISTE 𝛿 > 0 TAL QUE
෍
𝑖=1
𝑘
𝐹 𝑐𝑖 Δ𝑡𝑖 − 𝐿 < 𝜖
PARA TODA PARTIÇÃO 𝑃 DE [𝑎, 𝑏] TAL QUE 𝑚𝑎𝑥Δ𝑡𝑖 < 𝛿.
A INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
QUANDO O LIMITE
𝑙𝑖𝑚
max Δ𝑡𝑖→0
෍
𝑖=1
𝑘
𝐹 𝑐𝑖 Δ𝑡𝑖 = 𝐿
EXISTIR, VAMOS DENOTÁ-LO POR: 
න
𝑎
𝑏
𝐹 𝑡 𝑑𝑡 .
RESULTADO
TEOREMA: TODA FUNÇÃO VETORIAL CONTÍNUA É INTEGRÁVEL.
A PRIMITIVA DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
SEJA 𝐹: [𝑎, 𝑏] → ℝ𝑛 UMA FUNÇÃO VETORIAL EM ℝ𝑛 CONTÍNUA EM [𝑎, 𝑏].
DEFINIÇÃO: DIREMOS QUE UMA FUNÇÃO VETORIAL DIREVÁVEL 𝐺: [𝑎, 𝑏] → ℝ𝑛 É UMA PRIMITIVA 
PARA 𝐹, SE
𝐹 = 𝐺′.
UNICIDADE DA PRIMITIVA
TEOREMA: SEJAM 𝐺1 𝑒 𝐺2: 𝐼 → ℝ
𝑛 DUAS PRIMITIVAS PARA UMA FUNÇÃO VETORIAL 𝐹: 𝐼 → ℝ𝑛. 
ENTÃO,
𝐺2 = 𝐺1 + 𝑤,
ONDE 𝑤 É UM VETOR EM ℝ𝑛.
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO PARA FUNÇÕES 
VETORIAIS
TEOREMA: SEJAM 𝐹: [𝑎, 𝑏] → ℝ𝑛 UMA FUNÇÃO VETORIAL CONTÍNUA EM [𝑎, 𝑏] E G: [𝑎, 𝑏] → ℝ𝑛
UMA PRIMITIVA PARA 𝐹. ENTÃO,
න
𝑎
𝑏
𝐹 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐺 𝑏 − 𝐺 𝑎 .
A INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
A PARTIR DA DEFINIÇÃO DE INTEGRAL, PODEMOS CONCLUIR QUE QUANDO 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2 , ENTÃO
න
𝑎
𝑏
𝐹 𝑡 𝑑𝑡 = න
𝑎
𝑏
𝑓1 𝑡 𝑑𝑡 , න
𝑎
𝑏
𝑓2 𝑡 𝑑𝑡 .
ALÉM DISSO, SE 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3 , ENTÃO
න
𝑎
𝑏
𝐹 𝑡 𝑑𝑡 = න
𝑎
𝑏
𝑓1 𝑡 𝑑𝑡 , න
𝑎
𝑏
𝑓2 𝑡 𝑑𝑡 , න
𝑎
𝑏
𝑓3 𝑡 𝑑𝑡 .
A INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
SE 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛 , ENTÃO
න
𝑎
𝑏
𝐹 𝑡 𝑑𝑡 = න
𝑎
𝑏
𝑓1 𝑡 𝑑𝑡 , න
𝑎
𝑏
𝑓2 𝑡 𝑑𝑡 , … , න
𝑎
𝑏
𝑓𝑛 𝑡 𝑑𝑡 .
EXEMPLO
CALCULE A INTEGRAL
න
−1
2
(𝑡2, 𝑠𝑒𝑛(𝑡 + 1))𝑑𝑡 .
EXEMPLO
CALCULE A INTEGRAL
න
0
1
(𝑒𝑡, 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡, 𝑡3 𝑡4 + 2021)𝑑𝑡 .
EXEMPLO
CALCULE A INTEGRAL
න
0
𝜋
2
(𝑠𝑒𝑛3𝑡,
𝑡
𝑡2 + 1
, 𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑡))𝑑𝑡 .
COMO PODEMOS DETERMINAR UMA FUNÇÃO VETORIAL 
SABENDO SUA DERIVADA?
SEJA 𝐹: 𝐼 → ℝ UMA FUNÇÃO VETORIAL CONTÍNUA DESCONHECIDA. ASSUMA QUE CONHECEMOS 
𝐹′ E QUE 𝐹 𝑎 = 𝑣, 𝑎 ∈ 𝐼. ENTÃO, PELO TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO A FUNÇÃO 𝐹 É 
DADA POR
𝐹 𝑡 = 𝑣 + න
𝑎
𝑡
𝐹′ 𝑠 𝑑𝑠
EXEMPLO
SABENDO QUE 𝐹′ 𝑡 =
1
𝑡+2
, 𝑡3 E 𝐹 1 = 3,1 . DETERMINE A FUNÇÃO VETORIAL F.
EXEMPLO
SABENDO QUE 𝐹′ 𝑡 = (𝑡2 − 1, 𝑒𝑡+1, 𝑡2 𝑡3 + 1) E 𝐹 1 = 0,1,2 . DETERMINE A FUNÇÃO 
VETORIAL F.
O COMPRIMENTO DE UMA CURVA PARAMETRIZADA
SEJA 𝐶 UMA CURVA PARAMETRIZADA PELA FUNÇÃO VETORIAL 𝐹: 𝑎, 𝑏 → ℝ𝑛, 𝑛 = 2 𝑜𝑢 𝑛 = 3.
CONSIDERE UMA PARTIÇÃO 𝑃 = {𝑎 = 𝑡0 < 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑘 = 𝑏} E DEFINA
𝐿 𝐹, 𝑃 =෍
𝑖=1
𝑘
|𝐹(𝑡𝑖−1) − 𝐹(𝑡𝑖)| .
O COMPRIMENTO DE UMA CURVA PARAMETRIZADA
GEOMETRICAMENTE, A SOMA ACIMA DENOTA O COMPRIMENTO DA POLIGONAL
𝐹 𝑡0 𝐹(𝑡1)…𝐹 𝑡𝑘−1 𝐹(𝑡𝑘)
𝐹 𝑡0 = 𝐹(𝑎)
𝐹 𝑡1
𝐹 𝑡2
𝐹 𝑡3
𝐹 𝑡4
𝐹 𝑡6
𝐹 𝑡5
𝐹 𝑡7
𝐹 𝑡8 = 𝐹(𝑏)
O COMPRIMENTO DE UMA CURVA PARAMETRIZADA
DEFINIÇÃO: DIZEMOS QUE O NÚMERO REAL 𝐿 É O COMPRIMENTO DA CURVA 𝐶, SE PARA TODO 
𝜖 > 0 EXISTE 𝛿 > 0 TAL QUE, SE P = 𝑚𝑎𝑥Δ𝑡𝑖 < 𝛿, ENTÃO
𝐿 𝐹, 𝑃 − 𝐿 < 𝜖.
QUANDO ESTE LIMITE EXISTIR, VAMOS DENOTÁ-LO POR:
𝐿(𝐶) OU 𝐿 𝐹 .
RESULTADO
TEOREMA: SEJA 𝐶 UMA CURVA PARAMETRIZADA PELA FUNÇÃO VETORIAL 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2 : 𝑎, 𝑏 → ℝ
2.
ASSUMA QUE 𝑓1′ E 𝑓2′ SÃO CONTÍNUAS EM [𝑎, 𝑏]. ENTÃO
𝐿 𝐶 = න
𝑎
𝑏
𝑓1
′ 𝑡 2 + 𝑓2
′ 𝑡 2𝑑𝑡.
RESULTADO
TEOREMA: SEJA 𝐶 UMA CURVA PARAMETRIZADA PELA FUNÇÃO VETORIAL 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3 : 𝑎, 𝑏 → ℝ
3.
ASSUMA QUE 𝑓1
′, 𝑓2′ E 𝑓3′ SÃO CONTÍNUAS EM [𝑎, 𝑏]. ENTÃO
𝐿 𝐶 = න
𝑎
𝑏
𝑓1
′ 𝑡 2 + 𝑓2
′ 𝑡 2 + 𝑓3
′ 𝑡 2𝑑𝑡.
RESULTADO
TEOREMA: SEJA 𝐶 UMA CURVA PARAMETRIZADA PELA FUNÇÃO VETORIAL 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛 : 𝑎, 𝑏 →
ℝ𝑛. ASSUMA QUE 𝑓1
′, 𝑓2′ ..., 𝑓𝑛−1′ E 𝑓𝑛′ SÃO CONTÍNUAS EM [𝑎, 𝑏]. ENTÃO
𝐿 𝐶 = න
𝑎
𝑏
𝑓1
′ 𝑡 2 + 𝑓2
′ 𝑡 2 +⋯+ 𝑓𝑛
′ 𝑡 2𝑑𝑡.
EXEMPLO
CALCULE O COMPRIMENTO DA CURVA 𝐶 = { 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑡 ∈ 0, 𝜋 .
EXEMPLO
CALCULE O COMPRIMENTO DA CURVA 𝐶 = { 𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 𝑒𝑡 𝑡 ∈ 0,1 .