Funções vetoriais

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Funções vetoriais
Prof. Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
Descrição
Você vai estudar a aplicação do conceito de funções vetoriais.
Propósito
Compreender as funções vetoriais e suas operações, explorando os
conceitos de limite, derivada e integral, para aplicá-los na resolução de
problemas de cálculo vetorial.
Preparação
Antes de iniciar o conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma
calculadora científica, ou use a calculadora de seu smartphone
computador.
Objetivos
Módulo 1
Definição e operações básicas
Identificar as funções vetoriais e suas operações matemáticas
básicas.
Módulo 2
Limite, derivada e integral
30/05/2025, 14:56 Funções vetoriais
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Aplicar as operações de limite, da derivada e da integral nas funções
vetoriais.
Módulo 3
Estudo das curvas e dos
movimentos
Empregar as funções vetoriais no estudo das curvas no plano e no
espaço, bem como no movimento de um objeto.
Módulo 4
Coordenadas polares
Aplicar o sistema de coordenadas polares ao estudo das curvas
polares.
Introdução
Olá! Neste conteúdo você vai estudar as funções vetoriais e suas
operações essenciais, como limites, derivadas e integrais.
Compreenda o uso de coordenadas polares para analisar curvas
e movimentos, e obtenha uma visão completa dos conceitos e
técnicas apresentados. Assista ao vídeo!
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1 - Definição e operações básicas
Ao final deste módulo, você será capaz de identificar as funções
vetoriais e suas operações matemáticas básicas.
Definição de funções
vetoriais
Explore neste vídeo o conceito de funções vetoriais, suas definições e
aplicações. Descubra as principais características dessas funções e
analise exemplos práticos que mostram sua utilização em diversos
contextos matemáticos e científicos.
No cálculo de uma variável, trabalhamos com funções que têm domínio
e imagem no conjunto dos números reais. Elas são denominadas
funções reais à variável real, ou simplesmente funções reais.
Há um elemento matemático de grande aplicação prática: o vetor,
definido não apenas por seu valor (módulo), mas também por sua
direção e seu sentido.
Um vetor é representado por suas coordenadas. O número de
coordenadas de um vetor depende do conjunto ao qual pertence.
Considerando o vetor pertencente será representado por 
coordenadas:
→v aRn, →v n
→v = ⟨v1, v2, … , vn⟩
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javascript:CriaPDF()
No exemplo, são números reais que representam a
projeção do vetor na direção e no sentido de cada uma das dimensões
do .
Estamos trabalhando com coordenadas cartesianas. Nosso interesse
está em e . Assim, um vetor , pertencente ao , é representado
por três coordenadas. Na imagem, o vetor projetado na direção do
eixo apresenta um tamanho ; na direção do eixo , um tamanho ;
na direção do eixo , um tamanho .
Gráfico: Representação do vetor no espaço.
Caso a projeção em relação a um dos eixos seja contrária ao sentido
positivo do eixo, o sinal da coordenada será negativo. Portanto, o vetor 
terá coordenadas ( ), em que e são números reais. No
caso do , caso particular do , o vetor não terá a componente .
Assim, precisamos definir funções que tenham elementos vetoriais em
seus domínios e/ou em suas imagens. Iniciaremos com as funções que
têm como imagens, isto é, como saídas, elementos vetoriais.
Vamos estudar funções com domínio no conjunto real
e imagem no conjunto . Isso significa que a entrada
é um número real e a saída é um vetor. Essas funções
são chamadas de funções vetoriais ou função de uma
variável real a valores vetoriais.
Uma função de uma variável real a valores vetoriais em é uma
função , com n inteiro e , em que é um
subconjunto dos números reais. Assim, para cada valor real, pertencente
ao domínio de , teremos como resultante uma imagem que será um
vetor pertencente a . Logo:
Como a imagem da função é um vetor, cada componente desse vetor
dependerá da variável de entrada. Portanto, a variável de entrada pode
ser considerada um parâmetro e a função pode ser também
representada por uma equação paramétrica.
Observe que a entrada da função vetorial será um número real e a saída
será um vetor.
v1, v2, … , vn
v
Rn
R2 R3
→v R3
→v
x vx y vy
z vz
→v
vx, vy, vz vx, vy vz
R2 R3 vz
R
n
Rn
→F : S ⊂ R → Rn n > 1 S
→F
Rn
Im
→
F = {t ∈ S ⊂ R ∣
→
F(t) = ⟨f1(t), f2(t), … , fn(t)⟩ ∈ Rn}
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Exemplo
Note que cada vetor da imagem dependerá do elemento do domínio,
que, neste caso, será o parâmetro .
Existem funções denominadas campos vetoriais que apresentam, tanto
no domínio quanto na imagem, vetores. Assim, seriam funções
, com e inteiros maiores do que 1. Por exemplo:
Perceba que as coordenadas dos elementos vetoriais da saída
dependem das coordenadas dos elementos vetoriais da entrada. Aqui,
não abordaremos este tipo de funções.
Equações paramétricas
A função vetorial pode ser representada por sua forma vetorial, já
exemplificada, ou por sua forma paramétrica.
Seja . Como já vimos, cada
componente do vetor de saída depende da variável de entrada,
denominada parâmetro. Dessa forma, a função pode ser representada
por:
Observe que e são funções reais, que relacionam cada
coordenada ao parâmetro . Esse tipo de equação é chamado de
equação paramétrica. Para funções com imagem no inteiro maior
do que 1, a equação paramétrica terá equações.
Sendo a função , definida para .
Teremos a determinação do valor para e da seguinte forma:
A função é uma função de variável real a valores vetoriais de
Em que:
Logo, temos:
→F : R → R
3, tal que  →F(m) = (2m + 3, 5m, 2 − m), com m real
m
→F : Rn → Rm m n
→F : R3 → R4, tal que  →F(x, y, z) = (2x + 3y, 2x + 5, y + 3z, 4x +
→F(t) : t ∈ S ⊂ R → →F(t) ∈ R3
→F(t) =
⎧⎪⎨⎪⎩x = f(t)
y = g(t),  t real 
z = h(t)
f(t), g(t) h(t)
t
Rn,n
n
→F(t) = ⟨t, t2 + 5, ln t⟩ t > 0
→F(1) →F(e)
R3, →F(t) = ⟨f(t), g(t),h(t)⟩
f(t) = t
g(t) = t2 + 5
h(t) = ln t
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Então:
Portanto, para uma entrada , o resultado da função será o vetor
Para :
Por fim, para uma entrada , o resultado da função será o vetor
.
Funções vetoriais e traçados de curva
Para o caso de e , a imagem da função vetorial pode ser
analisada como a trajetória de uma curva (lugar geométrico) em ou
 descrita pela equação paramétrica da função. Em outras palavras, a
função vetorial definirá uma curva plana, no caso de sua imagem em 
, ou uma curva espacial, quando sua imagem estiver no .
Se considerarmos que a imagem da função vetorial é um vetor com
extremidade inicial na origem, a trajetória da curva será definida pela
extremidade final dos vetores obtidos pela imagem da função vetorial.
Exemplo 1
Considere a função , definida para . Determine a
trajetória definida pela imagem da função.
Trata-se de uma função de variável real a valores vetoriais de .
Repare que a componente x do vetor determinado pela imagem de 
vale e componente vale . Então, se , temos a
seguinte representação paramétrica:
Essa é a equação de uma parábola vertical. Assim, a imagem da função
será a parábola de equação , representada a seguir.
→F(t) =
⎧⎪⎨⎪⎩ x = t
y = t2 + 5,  para trealet > 0
z = ln t
→F(1) = ⟨f(1), g(1),h(1)⟩ = ⟨1, 1 + 5, ln 1⟩ = ⟨1, 6, 0⟩
t = 1
⟨1, 6, 0⟩
t = e
→
−(e) = ⟨f(e), g(e),h(e)⟩ = ⟨e, e2 + −, ln e⟩ = ⟨e, e2 + −−⟩
t = e
⟨e, e2 + 5, 1⟩
R2 R3
→F
R2
R3
R2
R3
→F(u) = ⟨u,u2⟩ u ∈ R
R2
→Fparagraph'%3EAssim%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%20%5Cbegin%7Baligned%7D%26%20k(t)%3D%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7BF%7D(t)%20%5Ct
Questão 6
Assinale a alternativa que apresenta a parametrização da curva
gerada pela função por meio de
seu comprimento de arco:
→F(t) = ⟨√2t, et, e−t⟩
t = 0
A .√2
B .3√2
C .4√2
D .2√2
E .6√2
→F(u) = ⟨4 sen u, −4 cosu, 3u⟩
A →F(s) = ⟨4 sen s, −4 cos s, 3s⟩
B →F(s) = ⟨4 sen ( s
5 ), −4 cos ( s
5 ), 3
5 s⟩
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Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs-
video-
player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Fplayer%3Ftoken%3D795a9e4d07ca43e3b60
NC5%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-
video-
player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Considere a funçăo , definida para
. Qual é o versor normal principal à curva para ?
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%20%5Cvec%7BH%7D%20%5Cprime(u)%3D%5Clangle(-4%20%5Ccos%20u)%20%5Ciota%2C
paragraph'%3EComo%20calculado%20nos%20exemplos%20anteriores%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%20%5C%7C%5Coverrightarrow%7BH%20%5Cprime%7D(u)%5C%7C%3D%5Csqrt%7B16%20
paragraph'%3EAssim%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
C →F(s) = ⟨4 cos ( s
5 ), 4 sen ( s
5 ), 3
5 s⟩
D →F(s) = ⟨sen ( s
5 ), − cos ( s
5 ), 3s⟩
E →F(s) = ⟨sen ( s
4 ), − cos ( s
4 ), 3s⟩
→H(u) = ⟨−4 cosu, 8, 4 senu⟩
u ∈ [0, 2π] u = π
6
A ⟨− 1
2 , 0, √3
2 ⟩
B ⟨ 1
2 , 0, − √3
2 ⟩
C ⟨ √3
2 , 0, − 1
2 ⟩
D ⟨− √3
2
, 0, 1
2
⟩
E ⟨− √4
6 , 0, 3
2 ⟩
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paragraph%20c-
table'%3E%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
%5Coperatorname%7Bsen%7D%20u%5Crangle%20%5C%5C%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20
%5Coperatorname%7Bsen%7D%20u)%5E2%7D%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
paragraph'%3EPortanto%2C%20o%20vetor%20unit%C3%A1rio%20principal%20ser%C3%A1%3A%20%3Cspan%
table%22%3E%5C(%5Cvec%7BN%7D(u)%3D%5Cfrac%7B%5Coverrightarrow%7BT%5E%7B%5Cprime%7D%7D(u
%5Coperatorname%7Bsen%7D%20u%5Crangle%5C)%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2
table%22%3E%5C(u%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%20%5Crightarrow%20%5Cvec%7BN%7D(u)%3D%5C
%5Coperatorname%7Bsen%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%5Cright%5Crangle%3D%5Cleft%5Clangle
%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%5Crangle%5C)%3C%2Fspan%3E%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20
Questão 2
Considere a função , definida para
. Qual é a curvatura da curva?
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
2%20%5Coperatorname%7Bsen%7D%202%20t%2C%202%20%5Ccos%202%20t%5Crangle%20%5C%5C%5C%5
4%20%5Ccos%202%20t%2C-
4%20%5Coperatorname%7Bsen%7D%202%20t%5Crangle%20%5C%5C%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%
2%20%5Coperatorname%7Bsen%7D%202%20t%20%26%202%20%5Ccos%202%20t%20%5C%5C%5C%5C%0A%
4%20%5Ccos%202%20t%20%26%20-
4%20%5Coperatorname%7Bsen%7D%202%20t%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
8%20%5Ccos%202%20t%20%5Chat%7Bz%7D%2B8%20%5Ccos%20%5E2%202%20t%20%5Cwidehat%7Bx%7D%
8%20%5Ccos%202%20t%20%5Chat%7Bz%7D%20%5C%5C%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph'%3EAssim%2C%3Cbr%2F%3E%20%24%24%20k(t)%3D%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7BF%7D(t)%20%5C
→F(t) = ⟨2t, cos 2t, sen 2t⟩
t ∈ [0,π]
A t
2
B t
C 2
D 1
2
E 2
3
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4 - Coordenadas polares
Ao final deste módulo, você será capaz de aplicar o sistema de
coordenadas polares ao estudo das curvas polares.
Coordenadas e curvas
polares
Confira neste vídeo a aplicação prática das coordenadas polares no
plano com a resolução de um exemplo detalhado.
Um sistema de coordenadas é um sistema de referência para que
possamos identificar a posição de um ponto no plano ou no espaço por
meio da definição de suas coordenadas.
Até aqui, trabalhamos com coordenadas cartesianas no , em que as
coordenadas de um ponto eram definidas por meio de ( ), que eram,
respectivamente, as distâncias do ponto ao eixo e ao eixo .
Outro sistema que pode ser utilizado para as curvas no plano é o
sistema de coordenadas polares. Para defini-lo, precisaremos de um
ponto (origem) e de uma semirreta que parta dessa origem, denominada
eixo polar.
Usando os eixos cartesianos e , colocamos a origem do sistema
polar na origem do sistema cartesiano, isto é, no ponto , que é a
interseção dos dois eixos. O eixo polar será o eixo positivo do eixo .
As coordenadas polares de um ponto serão:
A distância do ponto à origem do sistema polar, representada por .
O ângulo que a reta OP faz com o eixo polar, representada por ,
medido no sentido anti-horário.
R2
x, y
y x
x y
θ
x
ρ
θ
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Dessa forma, o ponto P em coordenadas polares será representado por
, como mostra o gráfico:
Gráfico: Coordenadas polares.
Como é uma distância, ele será um número real não negativo, porém,
no sistema polar, também se trabalha com . O ponto 
será o ponto simétrico ao ponto . O ponto também poderia
ser representado por .
Consideraremos negativo se ele for medido no sentido horário. Assim,
o ponto poderia ser representado no plano por ,
como mostra o gráfico:
Gráfico: Representação dos pontos em coordenadas polares.
Conforme observamos, diferentemente do sistema cartesiano, onde
cada ponto tem apenas uma representação, o mesmo ponto pode ser
representado de diversas formas no sistema de coordenada polar.
Relação entre sistema polar e cartesiano
Pode ser obtida uma relação entre as coordenadas cartesianas de um
ponto e suas coordenadas polares . Veja:
Gráfico: Relação entre sistema cartesiano e polar.
P(ρ, θ)
ρ
ρpolar:
Portanto, a equação polar será .
Exemplo 2
Determine a equação cartesiana da figura no plano cuja equação polar é
dada por .
Para obtermos a reta tangente a uma curva polar com equação
, teremos de considerar como um parâmetro. Assim:
O valor do coeficiente angular da reta tangente à curva será dado por 
.
Logo:
Se , com , a reta terá , sendo uma reta
horizontal.
Se , com , a reta não terá , sendo uma reta vertical.
Exemplo 3
Obtenha a equação da reta tangente à curva polar de equação
, no ponto que .
Vamos obter a inclinação da reta.
Se 
→F(t) = ⟨2 cos t, 2 ⟩
{ → x2 + y2 = 4
x = 2 cos t
y = 2 sent 
(0, 0)
x2 + y2 = 4 = (ρ cos θ)2 + (ρ sen θ)2 = ρ2 → ρ = 2
ρ = 2
ρ = 4 cos θ
ρ = f(θ) θ
{x = ρ cos θ = f(θ) cos θ
y = ρ sen θ = f(θ) sen θ
dy
dx
dy
dx
=
dy
dθ
dx
dθ
=
f ′(θ) sen θ + f(θ) cos θ
f ′(θ) cos θ − f(θ) sen θ
dy
dθ
= 0 dx
dθ
≠ 0 dy
dx
= 0
dx
dθ
= 0 dy
dθ
≠ 0 dy
dx
ρ = 2 + sem θ θ = π
ρ = f(θ) = 2 + sen θ → f ′(θ) = cos θ :
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Para , temos:
O ponto da curva será o ponto:
Consequentemente, em coordenadas cartesianas, a equação da reta de
inclinação , passando no ponto , será:
Área e comprimento de
uma curva polar
A área de uma curva polar, definida pela equação ,
compreendida entre dois valores de , é obtida pela equação:
Esta fórmula se baseia na divisão da figura em setores circulares
infinitesimal e monta um somatório semelhante à soma de Riemann.
Caso seja de seu interesse, a demonstração pode ser estudada nos
livros que constam na lista de referências ao final deste conteúdo.
Soma de Riemann
Exemplo 1
m =
dy
dx
=
dy
dy
dx
dθ
=
f ′(θ) sen θ + f(θ) cos θ
f ′(θ) cos θ − f(θ) sen θ
=
cos θ sen θ + (2 +
cos θ cos θ − (2 +
θ = π
dy
dx
==
cosπ senπ + (2 + senπ) cosπ
cosπ cosπ − (2 + senπ) senπ
=
(2 + 0)(−1)
(−1)(−1)
= −2
{ →
x = f(θ) cos θ = (2 + sen θ) cos θ
y = f(θ) sen θ = (2 + sen θ) sen θ
{x = (2 + senπ) cosπ = (2 + 0)(−1) = −2
y = (2 + senπ) senπ = (2 + 0) ⋅ 0 = 0
m = –2 (−2, 0)
y − y0 = m (x − x0) → y = −2(x − (−2) = −2(x + 2)
y = −2x − 4 → 2x + y + 4 = 0
ρ = f(θ)
θ
A = ∫
θ1
θ0
1
2
(f(θ))2dθ
∫ b
a
f(x)dx = limΔumax→0 ∑n
i=1 f (pi)Δui
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Determine a área da figura definida pela equação para o
intervalo .
Para resolver essa integral, precisamos usar a relação trigonométrica:
Portanto: 
Em relação ao comprimento da curva dada por uma equação polar,
utilizaremos a mesma equação já apresentada:
Acontece que, para as curvas polares, o parâmetro será o ângulo .
Assim:
Mas:
Então:
ρ = 2 sen 2θ
− π
4%5Crho%20%5Coperatorname%7Bsen%7D%20%5Ctheta%20%5C%5C%0A%3D(%5Coperatorname%7Bsen%7D%
(1-
%5Ccos%20%5Ctheta)%20%5Coperatorname%7Bsen%7D%20%5Ctheta%20%5C%5C%0A%3D%5Coperatornam
%5Coperatorname%7Bsen%7D%20%5Ctheta%20%2B%20%5Coperatorname%7Bsen%7D%20%5Ctheta%20%5C
%5Coperatorname%7Bsen%7D%20%5Ctheta%20%5C%5C%5C%5C%0Ad%20y%20%2F%20d%20%5Ctheta%3Dd
%5Ccos%20%5Ctheta)%20%5Ccos%20%5Ctheta%3D%5Coperatorname%7Bsen%7D%5E2%20%5Ctheta%2B%5
%5Ccos%20%5E2%20%5Ctheta%20%20%5C%5C%5C%5C%0Ad%20y%20%2F%20d%20x%3D(d%20y%20%2F%2
%5Ccos%20%5E2%20%5Ctheta%5Cright)%20%2F(2%20%5Coperatorname%7Bsen%7D%20%5Ctheta%20%5Cc
%5Coperatorname%7Bsen%7D%20%5Ctheta)%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bgathered%7D%20%24%24%3C%
paragraph%20u-text--
medium'%3EQuando%20%5C(%5Ctheta%3D%5Cpi%20%2F%202%3A%5C)%3C%2Fp%3E%20%20%0A%3Cp%20
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%0A%20%20%20%20%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%20%20%20%20d%20%5Crho%
%5Coperatorname%7Bsen%7D(%5Cpi%20%2F%202)%3D2(1)
(0)-1%3D-
1%20%5C%5C%5C%5C%0A%20%20%20%20d%20y%20%2F%20d%20%5Ctheta%3D%5Coperatorname%7Bsen%
%5Ccos%20%5E2(%5Cpi%20%2F%202)%3D1%5E2%2B0-
0%5E2%3D1%20%5C%5C%5C%5C%0A%20%20%20%20d%20y%20%2F%20d%20x%3D1%20%2F(-1)%3D-
1%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bgathered%7D%20%24%24%3C%2Fp%3E%0A%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20u-text--
medium'%3EA%20equa%C3%A7%C3%A3o%20da%20reta%20tangente%20%C3%A9%20%5C(y-
ρ = 1 − cos θ θ = π
2
A x + 2y − 1 = 0
B x − y + 1 = 0
C x + y − 1 = 0
D x − y − 1 = 0
E x + y − 2 = 0
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y_1%3Dm%5Cleft(x-
x_1%5Cright)%5C)%2C%20onde%20%5C(%5Cleft(x_1%2C%20y_1%5Cright)%5C)%20%C3%A9%20o%20ponto%2
1%5C)%20%C3%A9%20a%20inclina%C3%A7%C3%A3o.%3C%2Fp%3E%0A%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%0A%20%20%20%20%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0Ay-
1%3D-1(x-0)%20%5C%5C%0Ay-1%3D-x%20%5C%5C%0Ax%2By-
1%3D0%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bgathered%7D%20%24%24%3C%2Fp%3E%0A%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20u-text--
medium'%3EA%20alternativa%20correta%20%C3%A9%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%24%24%0A%5Cmathbf%7BC%7D~~x%2B%5Cmathrm%7By%7D-
1%3D0%0A%24%24%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 4
Qual é o comprimento da curva definida pela equação polar
 entre os pontos e ?
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ESe%20%5C(f(%5Ctheta)%3D%5Crho%3De%5E%7B-
%5Ctheta%7D%20%5Crightarrow%20f%5E%7B%5Cprime%7D(%5Ctheta)%3D-
e%5E%7B-
%5Ctheta%7D%5C)%20%3A%3Cbr%2F%3E%3Cbr%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
paragraph'%3EAssim%2C%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%20L(%5Ctheta)%3D%5Cint_0%5E%5Cpi%20%5Csqrt%7B%5Cleft(e%5E%7B-
%5Ctheta%7D%5Cright)%5E2%2B%5Cleft(-e%5E%7B-
%5Ctheta%7D%5Cright)%5E2%7D%20d%20%5Ctheta%3D%5Cint_0%5E%5Cpi%20%5Csqrt%7B2%20e%5E%7B-
2%20%5Ctheta%7D%7D%20d%20%5Ctheta%3D%5Cint_0%5E%5Cpi%20%5Csqrt%7B2%7D%20e%5E%7B-
%5Ctheta%7D%20d%20%5Ctheta%3D-
%5Cleft.%5Csqrt%7B2%7D%20e%5E%7B-
%5Ctheta%7D%5Cright%7C_0%20%5E%5Cpi%3D%5Csqrt%7B2%7D%5Cleft(1-
e%5E%7B-
%5Cpi%7D%5Cright)%20%24%24%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 5
Qual é a área da figura definida pela equação para o
intervalo ?
ρ = e−θ θ = 0 θ = π
A (1 − eπ)
B √2 (1 − e−π)
C (1 + e−π)
D √2 (1 + eπ)
E (2 − e−π)
ρ = 3 − sen θ
0u y u2
→F(u) = ⟨x, y⟩
→F(u) = { → y = x2x = u
y = u2
y = x2
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Gráfico: Imagem da função .
Conforme o valor do parâmetro se altera, a imagem obtida pela
função vetorial também muda, traçando uma curva que, neste exemplo,
será uma parábola vertical de vértice na origem.
Exemplo 2
Seja a função . Determine a trajetória definida
pela imagem da função.
Trata-se de uma função de variável real a valores vetoriais de .
Seja 
Repare que:
A imagem da função representará uma circunferência pertencente ao
plano . Assim, será uma circunferência de centro em e
raio 1:
Gráfico: Imagem da função .
Se quisermos atribuir um sentido à trajetória, ele pode ser definido como
o sentido de crescimento ou decrescimento do parâmetro. No caso do
exemplo de , a trajetória da parábola é percorrida no
sentido da esquerda para direita, quando cresce o parâmetro :
→
F(u) = ⟨u,u2⟩
u
→F(t) = ⟨sen t, cos t, 5⟩
R3
→F(t) = ⟨x, y, z⟩
→F(t) : → x2 + y2 = 1 e z = 5
⎧⎪⎨⎪⎩x = sen t
y = cos t
z = 5
z = 5 ⟨0, 0, 5⟩
→
F(t) = ⟨sen t, cos t, 5⟩
→F(u) = ⟨u,u2⟩
u
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Gráfico: Sentido da trajetória pelo crescimento do parâmetro.
Operações com funções
vetoriais
Assista ao vídeo e fique por dentro das funções vetoriais com um
exemplo prático.
Uma função de uma variável real a valores do , conforme definida,
será composta por funções reais, definindo cada uma de suas
coordenadas. Assim, temos:
Tais funções , são denominadas funções componentes da
função .
Como a imagem da função será um vetor, ela atende todas as
propriedades e operações que um vetor possui.
Considerando que uma função real e uma
constante real, é possível definir as seguintes propriedades:
Rn
n
→F(t) = ⟨f1(t), f2(t), … , fn(t)⟩ ∈ Rn, com t real 
f1, f2, … fn
→F
→F(t)
→F , →G : S ⊂ R → Rn, p(t) k
Soma 
→H(t) = ( →F + →G)(t) = →F(t) + →G(t)
→H(t) = ⟨f1(t) + g1(t), f2(t) + g2(t), … , fn(t) + gn(t)⟩ ∈
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Cuidado! Não existe produto (multiplicação) entre duas funções
vetoriais.
Exemplo 1
Considerando as funções
e , determine o valor para da função
Produto por um escalar k 
→H(t) = (k →F)(t) = k →F(t)
→H(t) = ⟨kf1(t), kf2(t), … , kfn(t)⟩ ∈ Rn
Produto por uma função real p(t) 
→H(t) = (p ⋅ →F)(t) = p(t) →F(t)
→H(t) = ⟨p(t)f1(t), p(t)f2(t), … , p(t)fn(t)⟩ ∈ Rn
Produto escalar entre e →F →G 
m(t) = ( →F ⋅ →G)(t) = →F(t) ⋅ →G(t)
m(t) = f1(t) ⋅ g1(t) + f2(t) ⋅ g2(t) + … + fn(t) ⋅ gn(t),m
Para ( , produto vetorial entre ( e )n = 3) →F →G 
→H(t) = ( →F × →G)(t) = →F(t) × →G(t)
→H(t) = ∣ x̂ ŷ ẑ
f1(t) f2(t) f3(t)
g1(t) g2(t) g3(t)∣→F(u) = ⟨u + 5, cosu,u2⟩, →G(u) = ⟨2 − u2, senu, 3u⟩
p(u) = 2eu t = 0
m(t) = (2 →F(t)) ⋅ (p(t) →G(t))
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Se , então
Se e , então:
Portanto:
Assim:
Exemplo 2
Considerando as funções ,
 determine a função e seu valor para
.
Assim:
Teoria na prática
Vamos traçar uma curva espacial denominada toroide espiral. A função vetorial que define essa curva espacial é a seguinte:
Sabendo que o módulo de , para , vale 5 , determine o valor de .
→F(u) = ⟨u + 5, cosu,u2⟩
2 →F(u) = ⟨2(u + 5), 2 cosu, 2u2⟩
→G(u) = ⟨2 − u2, senu, 3u⟩ p(u) = 2eu
p(u) →G(u) = ⟨2eu (2 − u2), 2eu senu, 2eu3u⟩
m(u) = 2(u + 5) ⋅ 2eu (2 − u2) + 2 cosu ⋅ 2eu senu + 2u2 ⋅ 2eu3
m(0) = 2(0 + 5) ⋅ 2e0 (2 − 02) + 2 cos 0 ⋅ 2e0 sen 0 + 202 ⋅ 2e03 ⋅
→F(u) = ⟨u, cosu, 3u⟩ ∈ →G(u) = ⟨u2
sen u,u⟩ →F(t) = →F(t) × →G(t)
t = π
→H(t) = ( →F × →G)(t) = →F(t) × →G(t)
→H(t) = = t cos tx̂ + t sen tẑ + 3tt2ŷ − t2 cos tẑ
→H(t) = (t cos t − 3t sen t)x̂ + (3t3 − t2)ŷ + (t sen t − t
→H(t) = ⟨t cos t − 3t sen t, 3t3 − t2, t sen t − t2 cos∣ x̂ ŷ ẑ
t cos t 3t
t2 sen(t) t ∣→H(π) = ⟨π ⋅ cosπ − 3.π senπ, 3π3 − π2,π senπ − π2 cosπ⟩ = ⟨
_black
→F(t) = ⟨(4 + sen(kt)) cos t, (4 + sen(kt)) sen t, cos(kt)⟩,  com k real e 02)%20%24%24%3C%2Fp%3E%0A%0A%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20u-text--
medium'%3EAgora%2C%20vamos%20calcular%20%5C(2%20%5Cmathbf%7BF%7D(-1)%3A%5C)%3C%2Fp%3E%
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%24%24%202%20%5Cmathbf%7BF%7D(-1)%3D2(-1%2C2%2C1)%3D(-2%2C4%2C2)%20%24%24%
paragraph%20u-text--
medium'%3EAgora%2C%20vamos%20calcular%20%5C(%5Cmathbf%7BH%7D(-1)%3D2%20%5Cmathbf%7BF%7
%5Cmathbf%7BG%7D(-1))%3A%5C)%3C%2Fp%3E%20%0A%0A%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%24%24%0A%5Cmathbf%7BH%7D(-1)%3D(-2%2C4%2C2)%20%5Ctimes(-1%2C1%2C-
2)%0A%24%24%3C%2Fp%3E%0A%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20u-text--
medium'%3ECalculando%20o%20produto%20vetorial%3A%3C%2Fp%3E%0A%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0Ai%3A(4%20%5Ccdot(-2))-
(2%20%5Ccdot%201)%3D-8-2%3D-
10%20%5C%5C%0Aj%3A(2%20%5Ccdot(-1))-
((-2)%20%5Ccdot(-2))%3D-2-4%3D-
6%20%5C%5C%0Ak%3A(-2%20%5Ccdot%201)-
(4%20%5Ccdot(-1))%3D-
2%2B4%3D2%0A%5Cend%7Bgathered%7D%20%24%24%3C%2Fp%3E%0A%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20u-text--
medium'%3EPortanto%2C%20%5C(%5Cmathbf%7BH%7D(-1)%3D(-10%2C-
(-6)%2C%202)%3D(-10%2C6%2C2)%5C)%3C%2Fp%3E%0A%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20u-text--
medium'%3EAgora%2C%20vamos%20calcular%20%3C%2Fp%3E%0A%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A2%20%5Cmathbf%7BF%7D(-1)%20%5Ctimes(-
%5Cmathbf%7BG%7D(-1))%3D(-2%2C4%2C2)%20%5Ctimes(-1%2C1%2C-
2)%3A%20%5C%5C%0Ai%3A(4%20%5Ccdot(-2))-
(2%20%5Ccdot%201)%3D-8-2%3D-
10%20%5C%5C%0Aj%3A(2%20%5Ccdot(-1))-
((-2)%20%5Ccdot(-2))%3D-2-4%3D-
6%20%5C%5C%0Ak%3A(-2%20%5Ccdot%201)-
(4%20%5Ccdot(-1))%3D-
2%2B4%3D2%20%0A%5Cend%7Bgathered%7D%20%24%24%3C%2Fp%3E%0A%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20u-text--
medium'%3EEnt%C3%A3o%2C%20%5C(2%20%5Cmathbf%7BF%7D(-1)%20%5Ctimes(-
%5Cmathbf%7BG%7D(-1))%3D(-10%2C6%2C2)%5C)%3C%2Fp%3E%0A%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20u-text--
medium'%3EA%20resposta%20dada%20nas%20alternativas%20n%C3%A3o%20se%20encaixa%20nesse%20re
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0AF(t)%3D%5Cleft(t%2C%203-
t%20%5Ccdot%20u%2C%20t%5E2%5Cright)%20%5Ctext%20%7B%20e%20%7D%20G(u)%3D%5Cleft(u%5E2%2C
1%2C3%2B(-1)%5Cright)%3D(1%2C-
1%2C2)%20%5C%5C%0AF(-1)%3D%5Cleft(-1%2C3-
(-1)%5E%7B%5Cstar%7D%20u%2C(-1)%5E2%5Cright)%3D(-1%2C3%2Bu%2C%201)%20%5C%5C%0AH(u)%3D2%
G(u))%20%5C%5C%0AH(-1)%3D2%20F(-1)%20%5Ctimes(-
G(-1))%20%5C%5C%0A2%20F(-1)%3D(-2%2C6%2B2%20u%2C%202)%20%5C%5C%0A-
G(-1)%3D(-1%2C1%2C-
2)%20%5C%5C%0AH(-1)%3D(-2%2C6%2B2%20%5Ccdot(-1)%2C%202)%20%5Ctimes(-1%2C1%2C-
2)%3D(-2%2C4%2C2)%20%5Ctimes(-1%2C1%2C-
2)%20%5C%5C%0AH(-1)%3D((4%20%5Ccdot(-2))-
(2%20%5Ccdot%201)%2C(2%20%5Ccdot(-1))-
(-2%20%5Ccdot(-2))%2C(-2%20%5Ccdot%201)-
(4%20%5Ccdot(-1))%20%5C%5C%0A%3D(-8-2%2C-2-4%2C-
2%2B4)%3D(-10%2C-6%2C2)%20%5C%5C%0A-H(-1)%3D(-18%2C-
6%2C6)%0A%5Cend%7Bgathered%7D%20%24%24%3C%2Fp%3E%0A%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20u-text--
medium'%3ESe%20a%20fun%C3%A7%C3%A3o%20correta%20for%3A%3C%2Fp%3E%0A%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%0A%20%20%20%20%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0AF(t)%3D%5Cleft(t%2C%203-
t%2C%20t%5E2%5Cright)%2C%20%5Ctext%20%7B%20ent%C3%A3o%20%7D%20F(-1)%3D(-1%2C4%2C1)%20%
1%2C2)%20%5C%5C%0AH(u)%3D2%20F(t)%20%5Ctimes(-
G(u))%20%5C%5C%0A2%20F(-1)%3D(-2%2C8%2C2)%2C-
G(-1)%3D(-1%2C1%2C-
2)%20%5C%5C%0AH(-1)%3D((8%20%5Ccdot(-2))-
(2%20%5Ccdot%201)%2C-1%20%5Ccdot(2%20%5Ccdot(-1)
(-2)%20%5Ccdot(-1))%2C-2%20%5Ccdot%201-
(-1%20%5Ccdot%208))%20%5C%5C%0A%3D(-16-2%2C-
1%20%5Ccdot(-2%2B2)%2C-
2%2B8)%3D(-18%2C0%2C6)%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bgathered%7D%20%24%24%3C%2Fp%3E%0A%20
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Questão 4
Assinale a alternativa que apresenta o valor de:
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs-
video-
player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Fplayer%3Ftoken%3D2b7c928271ad4dbf969
video-
player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 5
Considerando as funções:
e
Determine o limite de quando tende a zero.
∫
1
0
[ →H(t) × →F(t)]dt,  sendo  →H(t) = e →F(t) =
⎧⎪⎨⎪⎩y = t
z
A ⟨− 4
3 , 8
3 , − 9
2 ⟩
B ⟨− 4
3 , 8
3 , − 9
3 ⟩
C ⟨ 4
3 , 8
3 , − 9
2 ⟩
D ⟨− 4
3 , 8
3 , 9
2 ⟩
E ⟨ 4
3 , 8
3 , 9
3 ⟩
→F(u) = ⟨ u
2 senu
,
u2 + 6u − 1
u + 1
,
u + 8
u + 4
⟩
→G(u) = ⟨ u
(u − 1)2 − 1
,
2u
cosu
, 8⟩
→F(u) × →G(u) u
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Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs-
video-
player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Fplayer%3Ftoken%3D67922e0ecf324c1687b
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player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 6
Considerando as funções e
, definidas para e , qual
é a equação do lugar geométrico formado pela imagem da função
, sendo ?
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20u-text--
medium'%3EPrimeiro%2C%20vamos%20calcular%20%5C(%5Cmathbf%7BH%7D(%5Cmathrm%7Bt%7D)%3D2%
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%0A%20%20%20%20%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A2%20%5Cmathbf%7BF%7D(u)%
1%2C2%20t-
(1%20%2F%203)%20%5Coperatorname%7Bsen%7D%20t)%3D(2%20t%2C-
A −8x̂ − 5ŷ − 1
2 ẑ
B −8x̂ − 1
5 ŷ − 2ẑ
C 8x̂ + 5ŷ − 1
2 ẑ
D 8x̂ + ŷ + 1
2 ẑ
E x̂ + ŷ + ẑ
→F(u) = ⟨u + cosu, 1, 3u⟩
→G(t) = ⟨ 2t
3 , −1, 2t − 1
3 sen t⟩ u t ∈ [0, 2π]
→H(t) →H(t) = 2 →F(t) − 3 →G(t)
A 4x2 − z2 = 1  e  y = 3
B x2 + y2 + 4z2 = 4  e  y = 5
C x2 + 4z2 = 4  e  y = 5
D x2 + 4y2 = 1  e  z = 5
E 4x2 − z2 = 6  e  y = 2
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3%2C6%20t-
%5Coperatorname%7Bsen%7D%20t)%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bgathered%7D%20%24%24%3C%2Fp%3E
paragraph%20u-text--
medium'%3EEnt%C3%A3o%2C%3C%2Fp%3E%20%0A%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%0A%20%20%20%20%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%5Cmathbf%7BH%7D(%5Cmat
2%20%5Cmathrm%7Bt%7D%2C%202-
(-3)%2C%206%20%5Cmathrm%7Bu%7D-
(6%20%5Cmathrm%7Bt%7D-
%5Coperatorname%7Bsen%7D%20%5Cmathrm%7Bt%7D))%20%5C%5C%0A%3D(2%20%5Cmathrm%7Bu%7D%
2%20%5Cmathrm%7Bt%7D%2C%205%2C6%20%5Cmathrm%7Bu%7D-
6%20%5Cmathrm%7Bt%7D%2B%5Coperatorname%7Bsen%7D%20%5Cmathrm%7Bt%7D)%0A%20%20%20%20
paragraph%20u-text--
medium'%3EAgora%2C%20vamos%20chamar%20as%20componentes%20de%20%5C(%5Cmathbf%7BH%7D(%
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%0A%20%20%20%20%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%5Cmathrm%7Bx%7D%3D2%20
2%20%5Cmathrm%7Bt%7D%20%5C%5C%0Ay%3D5%20%5C%5C%0Az%3D6%20u-
6%20t%2B%5Coperatorname%7Bsen%7D%20t%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bgathered%7D%20%24%24%3C
paragraph%20u-text--
medium'%3EPrecisamos%20encontrar%20uma%20rela%C3%A7%C3%A3o%20entre%20%5C(x%2C%20y%5C)%
paragraph%20u-text--
medium'%3EObserve%20que%20%5C(2%20x%3D4%20u%2B4%20%5Ccos%20u-
4%20t%5C).%20Podemos%20expressar%20%5C(z%5C)%20em%20termos%20de%20%5C(6%20u%5C)%20e%2
6%20t%2B%5Coperatorname%7Bsen%7D%20t%5C).%3C%2Fp%3E%0A%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20u-text--
medium'%3EAgora%2C%20vamos%20tentar%20escrever%20o%20problema%20como%3A%3C%2Fp%3E%0A%
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%0A%20%20%20%20%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0Ax%3D2%20u%2B2%20%5Ccos%
6%20t%2B%5Coperatorname%7Bsen%7D(t)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bgathered%7D%20%2
paragraph%20u-text--
medium'%3EEnt%C3%A3o%2C%20%5C(3%20x%3D6%20u%2B6%20%5Ccos%20(u)-6%20t%5C)%3C%2Fp%3E%0
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%24%24%20z%3D3%20x-
6%20%5Ccos%20(u)%2B%5Coperatorname%7Bsen%7D(t)%20%24%24%3C%2Fp%3E%0A%0A%3Cp%20class%
paragraph%20u-text--
medium'%3EComo%20%5C(y%20%3D5%5C)%2C%20sabemos%20que%20%5C(y%5C)%20%C3%A9%20constan
paragraph%20u-text--medium'%3EComo%20a%20alternativa%20C%20%C3%A9%20%5C(x%5E2%2B4%20z%5E2%3D4~~e~~y%3D5%
paragraph%20u-text--
medium'%3ENo%20entanto%2C%20%5C(y%5C)%20%C3%A9%20definido%20como%20constante%2C%20ent%
paragraph%20u-text--
medium'%3EConsiderando%20que%20C%20%C3%A9%20a%20%C3%BAnica%20alternativa%20onde%20%5C(y
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%24%24%20%5Cmathbf%7BC%7D~~x%5E2%2B4%20z%5E2%3D4~~e~~y%3D5%20%24%24%3C
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Sejam as funções e
, com e reais. Assinale a
alternativa que representa o valor da função ,
para :
→G(t) = ⟨t2 − 1, 3 − t, t + 3⟩
→F(u) = ⟨u + 1, u2 + 2,u2⟩ u t
m(u) = →F(u) ⋅ →G(u)
u = 1
A 〈0,6,4〉
B 〈2,3,1〉
C 8
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Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20fun%C3%A7%C3%A3o%20%5C(m(u)%5C)%20%C3%A9%20o%20resultado%20de%20um%2
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
1%5Cright)(u%2B1)%2B(3-
u)%5Cleft(u%5E2%2B2%5Cright)%2B(u%2B3)%20u%5E2%20%5C%5C%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%2
u-1%2B3%20u%5E2%2B6-u%5E3-
2%20u%2Bu%5E3%2B3%20u%5E2%3Du%5E3%2B7%20u%5E2-
3%20u%2B5%20%5C%5C%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
3%2B5%3D10%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bgath
Questão 2
Considerando a função , definida para
 real maior do que 0 (zero), assinale a alternativa que apresenta a
equação da trajetória da curva espacial definida pela imagem da
função :
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EUsando%20as%20defini%C3%A7%C3%B5es%20de%20fun%C3%A7%C3%A3o%20vetorial%2C%2
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%20%5Cvec%7BF%7D(t)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%20%20%
paragraph'%3EEliminando%20a%20vari%C3%A1vel%20%5C(t%5C)%20na%20primeira%20e%20na%20terceira%
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%20%5Cleft(%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%2Bz%5E2%3D(t%20%5Coperatorna
paragraph'%3EPor%C3%A9m%2C%20pela%20segunda%20equa%C3%A7%C3%A3o%3A%20%5C(y%3D%5Cln%2
paragraph'%3ELogo%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%20%5Cleft(%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%2Bz%5E2%3Dt%5E2%3D%5Cleft(e%
paragraph'%3EEnt%C3%A3o%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%20x%5E2%2B4%20z%5E2%3D4%20e%5E2%20y%20%5Crightarrow%20x%5E2-
4%20e%5E%7B2%20y%7D%2B4%20z%5E2%3D0%20%24%24.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%
D 10
E 12
→F(t) = ⟨2t sen t, ln t, t cos t⟩
t
→F(t)
A x2 − 4e2y + 4z2 = 0
B x2 − e2y + z2 = 0
C x2 − y2 + 4z2 = 0
D x2 + 4 ln y + 4z2 = 1
E x2 ln y + 4z2 = 0
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2 - Limite, derivada e integral
Ao final deste módulo, você será capaz de aplicar as operações de
limite, da derivada e da integral nas funções vetoriais.
Limite e continuidade
Aprenda neste vídeo a resolver um exemplo de cálculo com funções
vetoriais.
O limite de uma função vetorial é alcançado obtendo-se o limite de cada
uma de suas funções componentes.
Assim, seja , com real.
O limite existirá se houver o limite de todas as funções componentes.
A existência do limite garante que, toda vez que se aproximar do valor
, a função vetorial se aproximará do valor do limite. No caso da
função real, a aproximação da função a seu valor do limite ocorre por
valores acima ou abaixo. No caso da função vetorial, essa aproximação
acontece por infinitos caminhos. Porém, existindo o limite , a função
sempre tenderá ao vetor , quando tender ao valor de .
A definição foi feita para , mas pode ser extrapolada para todos
os tipos de limite para - ou .
→F(t) = ⟨f1(t), f2(t), … , fn(t)⟩ ∈ Rn t
lim
t→a
→F(t) = ⟨lim
t→a
f1(t), lim
t→a
f2(t), … , lim
t→a
fn(t)⟩
t
a →F
→L
→L t a
t → a
t → a+, t → a t → ±∞
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Observe que o limite de cada função componente é um limite de uma
função real. Assim, todos os métodos e as propriedades já conhecidas
podem ser utilizados. A única diferença, neste caso, é que, para a função
vetorial, serão resolvidos limites diferentes, cada um relacionado a
uma das funções componentes.
Resolvendo os limites das funções componentes, temos:
Por substituição direta: 
Pelo limite trigonométrico fundamental:
Pelo teorema de Leibniz: 
Portanto:
Teorema de Leibniz
De acordo com este teorema:
Todo polinômio é equivalente a seu termo de maior grau, quando sua variável
independente tende a mais ou menos infinito (+∞ ou - ∞). 
Todo polinômio é equivalente a seu termo de menor grau, quando sua variável
independente tende a 0 (zero).
Algumas propriedades para o limite de funções vetoriais podem ser
demonstradas pela definição do limite e pelas operações das funções
vetoriais. Por exemplo:
onde e são números reais
Continuidade
De forma semelhante à função real, vamos definir a continuidade de
uma função vetorial em um ponto do seu domínio .
Considerando , com real, e 
um ponto do domínio da função, a função será contínua em 
n
n
lim
t→0
→F(t) = ⟨lim
t→0
2t + 1, lim
t→0
2 sen t
t
, lim
t→0
t3 − 3t + 2
t + 2
⟩
limt→0 2t + 1 = 2.0 + 1 = 1
limt→0
2 sen t
t = 2 limt→0
sen t
t = 2.1 = 2
limt→0
t3−3t+2
t+2 = 2
2 = 1
lim
t→0
→F(t) = ⟨1, 2, 1⟩ = x̂ + 2ŷ + ẑ
limt→a (k1
→F(t) ± k2
→G(t)) = k1 limt→a
→F(t) ± k2 limt→a
→G(t
k1 k2
limt→a
→F(t) ⋅ →G(t) = limt→a
→F(t) ⋅ limt→a
→G(t)
limt→a
→F(t) × →G(t) = limt→a
→F(t) × limt→a
→G(t)
t = t0
→F(t) = ⟨f1(t), f2(t), … , fn(t)⟩ ∈ Rn t t0
→F(t) t = t0
30/05/2025, 14:56 Funções vetoriais
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se e somente se: .
Em outras palavras, é necessário existir o limite para quando tende a
, e esse limite precisa ter o valor da função no ponto .
A função só será contínua em um ponto se todas as suas
funções componentes forem contínuas no ponto .
Vamos exemplificar! Considerando a função
, para real diferente de 0 (zero) e de
- 2, determine o valor de e para que a funçäo seja contínua
para todo real.
No exemplo anterior, já foi obtido o limite:
O limite existe. Para que seja contínua, a função deve ter valor em 
igual ao valor do limite no ponto. Portanto, temos:
Para o caso de , precisamos, inicialmente, verificar se o limite
existe. Vejamos:
Resolvendo os limites das funções componentes, temos:
Por substituição direta:
.
Por substituição direta:
.
Pelo método da substituição de funções:
.
Porém, .
Logo,
.
Portanto,
.
limt→t0
→F(t) = →F (t0)
t
t0 t = t0
→F(t) t0
t0
→F(t) = ⟨2t + 1, 2 sen t
t
, t3−3t+2
t+2 ⟩ t
→F(0) →F(−2)
t
lim
t→0
→F(t) = ⟨1, 2, 1⟩ = x̂ + 2ŷ + ẑ
t = 0
→F(0) = ⟨1, 2, 1⟩ = x̂ + 2ŷ + ẑ
t = –2
lim
t→−2
→F(t) = ⟨ lim
t→−2
2t + 1, lim
t→−2
2 sen t
t
, lim
t→−2
t3 − 3t + 2
t + 2
⟩
limt→−2 2t + 1 = 2 ⋅ (−2) + 1 = −3
limt→−2
2 sen t
t
= 2 sen(−2)
−2 = − sen(−2) = sen(2)
limt→−2
t3−3t+2
t+2 = −8+6+2
−2+2 = 0
0
t3 − 3t + 2 = (t + 2) (t2 − 2t + 1)
limt→−2
t3−3t+2
t+2 = limt→−2
(t+2)(t2−2t+1)
t+2 = limt→−2 (t2 − 2t + 1)
limt→−2
→F(t) = ⟨−3, sen(2), 9⟩ = −3x̂ + sen(2)ŷ + 9ẑ
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O limite existe. Para que seja contínua, a função deve ter valor em
 igual ao valor do limite no ponto. Assim:
Derivada de funções
vetoriais
Aprenda neste vídeo o processo de cálculo da derivada de uma função
vetorial.
A derivada de uma função vetorial será definida de forma similar às
funções reais.
Assim, seja , com real:
Se o limiteexistir, a função será derivável ou diferençável, e sua derivada
terá o valor fornecido pelo limite. Para ser derivável ou diferençável em
um intervalo, a função deve ser derivável para todos os pontos desse
intervalo.
A definição anterior pode ser obtida pela derivada das funções
componentes da seguinte forma:
Observe, portanto, que devemos empregar todas as formas e regras de
derivação aprendidas para as funções reais, com a única diferença de
que derivaremos funções componentes.
Exemplificando, vamos obter a derivada da função
 para :
t = −2
→F(−2) = ⟨−3, sen(2), 9⟩ = −3x̂ + sen(2)ŷ + 9ẑ
→F(t) = ⟨f1(t), f2(t), … , fn(t)⟩ ∈ Rn t
F ′(t) = ⟨f′1(t), f′2(t), … , f′n(t)⟩ ∈ Rn, com t real 
−→
F ′(t) = ⟨f′1(t), f′2(t), … , f′n(t)⟩ ∈ Rn, com t real 
−→
n
→G(u) = ⟨secu,u2 + 1, 3eu⟩ U = π
4
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Assim:
Geometricamente, a derivada de representará um vetor que será
tangente à trajetória definida pela função vetorial. Esse vetor será
denominado ”vetor tangente à curva de no ponto analisado”.
Propriedades da derivação
Por meio da definição da derivada e das operações das funções
vetoriais, podemos obter algumas propriedades para a derivação de
uma função vetorial. São elas:
Exemplo 1
Considerando uma função vetorial , tal que, para todo de seu
domínio, a norma (módulo) de seja sempre igual a uma constante
, determine o valor do produto escalar de .
Como é um vetor, então: .
Pelo enunciado, temos: .
G′(u) = ⟨g′
1(u), g′
2(u), g′
3(u)⟩
g1(u) = secu → g′
1(u) = secutgu
g2(u) = u2 + 1 → g′
3(u) = 2u
g3(u) = 3eu → g′
3(u) = 3eu
−→
G′(u) = ⟨secu tgu, 2u, 3e2⟩ = (secu tgu)x̂ + 2uŷ + 3eu
G′ ( π
4
) = ⟨sec
π
4
tg
π
4
, 2
π
4
4 , 3e
π
4 ⟩ = ⟨√2,
π
2
, 3e
π
4 ⟩ = √2x̂ +
π
2
−→
−→
→F(t)
→F(t)
✓
d
dt
[ →F(t) + →G(t)] =
d
dt
[ →F(t)] +
d
dt
[ →G(t)]
✓
d
dt
[k →F(t)] = k
d
dt
[ →F(t)], k real 
✓
d
dt
[u(t) →F(t)] = u′(t) →F(t) + u(t)
d
dt
[ →F(t)],u(t) função
✓
d
dt
[ →F(t) ⋅ →G(t)] =
d
dt
[ →F(t)] ⋅ →G(t) + →F(t) ⋅
d
dt
[ →G(t)
✓
d
dt
[ →F(t) × →G(t)] =
d
dt
[ →F(t)] × →G(t) + →F(t) ×
d
dt
[ →G(
✓
d
dt
[ →F(u(t))] =
d
dt
[ →F(u(t))]u′(t),  com u(t) função real - Regra
→G(t) t
→G(t)
k →G(t) ⋅ d
dt [ →G(t)]
→G(t) ∥ →G(t)∥2 = →G(t) ⋅ →G(t)
∥ →G(t)∥2 = →G(t) ⋅ →G(t) = k2
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Como é uma constante, então sua derivada é nula. Usando
a regra da derivada do produto escalar, temos:
Logo, .
Como o produto escalar será 0 (zero), o vetor e o vetor serão
ortogonais.
Por fim, as derivadas de ordem superior serão definidas de forma
semelhante, isto é, a derivada de ordem da função vetorial será obtida
pelas derivadas de ordem das funções componentes.
Exemplo 2
Vamos obter a derivada de segunda ordem da função
.
No exemplo anterior, foi obtido que: .
Assim, 
Portanto:
Integrais das funções
vetoriais
Descubra no vídeo como realizar o cálculo das integrais de funções
vetoriais.
→G(t) ⋅ →G(t)
d
dt
[ →G(t) ⋅ →G(t)] =
d
dt
[ →G(t)] ⋅ →G(t) + →G(t) ⋅
d
dt
[ →G(t)] = 2( →G(t)
→G(t) ⋅ d
dt [ →G(t)] = 0
→G(t) →G(t)
n
n
→G(u) = ⟨secu,u2 + 1, 3eu⟩
→G(u) = ⟨secu tgu, 2u, 3eu⟩
G′′(u) = (G′(u))
−→−→
g1(u) = secu → g′
1(u) = secu tgu → g′′
1(u) = secut2u + sec3 u
g2(u) = u2 + 1 → g′
3(u) = 2u → g′′
2(u) = 2
g3(u) = 3eu → g′
3(u) = 3eu → g′′
3(u) = 3eu
G′′(u) = ⟨secutg2u + sec3 u, 2, 3eu⟩
−→
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De forma semelhante à operação do limite e da derivada, a integração
de funções vetoriais segue a mesma definição da integração de uma
função real e será calculada por meio da integração de suas funções
componentes.
Assim, seja , com real,
definida em :
Portanto, a integração definida de uma função vetorial terá como
resultado um vetor. A função será integrável se existirem todas as
integrais definidas das funções componentes.
Também podemos utilizar o teorema fundamental do cálculo e verificar
que:
Teorema fundamental do cálculo
Sendo uma primitiva de , isto é, .
Considerando a função para ,
determine .
→F(t) = ⟨f1(t), f2(t), … , fn(t)⟩ ∈ Rn t
[a, b]
∫
b
a
→F(t)dt = ⟨∫
b
a
f1(t)dt,∫
b
a
f2(t)dt, … ,∫
b
a
fn(t)dt⟩ ∈ Rn
∫
b
a
f(x)dx = [F(x)]ba = F(b) − F(a)
∫
b
a
→F(t)dt = →G(t)
b
a
= →G(b) − →G(a)∣→G(t) →F(t) G′(t) = →F(t)
−→
→
H(u) = ux̂ + cosuŷ − sec2 uẑ u > 0
∫
π
4
0
→H(u)du
∫
π
4
0
→H(u)du = ∫
π
4
0
(ux̂ + cosuŷ − sec2 uẑ)du = ∫
π
4
0
udux̂ + ∫
∫
π
4
0
→H(u)du =
u2
2
π
4
0
x̂ + senu|
π
4
0 ŷ − tg
∫
π
4
0
→H(u)du = ( 1
2
( π
4
)
2
− 0)x̂ + (sen( π
4
) − sen(0))ŷ
∫
π
4
0
→H(u)du =
π2
32
x̂ +
√2
2
ŷ − ẑ∣_black
30/05/2025, 14:56 Funções vetoriais
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Teoria na prática
Um objeto se desloca em uma trajetória definida pela função
 com e as componentes medidas em
metro.
Considere como sentido positivo da trajetória o sentido do crescimento
do parâmetro . Determine o valor do módulo da velocidade e da
aceleração do objeto para o instante .
Como o enunciado informa, a posição do objeto será dada pela imagem
da função vetorial.
Como a velocidade será a taxa de variação instantânea da posição, a
velocidade será a derivada da posição em relação ao parâmetro .
Portanto, será derivada da função vetorial.
Assim, temos:
Como a aceleração será a taxa de variação instantânea da velocidade, a
aceleração será a derivada da velocidade em relação ao parâmetro .
Portanto, será derivada da função vetorial.
Assim, temos:
→F(t) =
⎧⎪⎨⎪⎩x = t3 − t2 + 1
y = t2 − 8t + 4
z = t + 8
t > 0
t
t = 2
t
→v(t) = F ′(t) = ⟨(t3 − t2 + 1)
′
, (t2 − 8t + 4)
′
, (t + 8)′⟩
→v(t) = F ′(t) = ⟨3t2 − 2t, 2t − 8, 1⟩m/s
 Para t = 2 → →v(2) = ⟨3.4 − 2.2, 2.2 − 8, 1⟩ = ⟨8, −4, 1⟩m/s
|→v(2)| = √82 + (−4)2 + 12 = √64 + 16 + 1 = √81 = 9m/s
−→
−→
t
→a(t) = F ′′
′′ (t) = ⟨(3t2 − 2t)
′
, (2t − 8)′, (1)′⟩
→a(t) = F ′′(t) = ⟨6t − 2, 2, 0⟩m/s2
 Para t = 2 → →a(2) = ⟨6.2 − 2, 2, 0⟩ = ⟨10, 2, 0⟩m/s2
|→a(2)| = √102 + 22 + 02 = √100 + 4 + 0 = √104 = 2√26m/s
−→
−→
Mostrar solução

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Mão na massa
Questão 1
Considerando a função , caso exista,
qual é o limite de quando tende a 2?
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%20%5Clim%20_%7Bt%20%5Crightarrow%202%7D%20%5Cvec%7BF%7D(t)%3D%5Cleft%5Cla
2%7D%2C%20%5Clim%20_%7Bt%20%5Crightarrow%202%7D%20%5Cfrac%7Bt%2B6%7D%7Bt%2B2%7D%2C%2
%5Csqrt%7B2%7D%7D%7Bt-
2%7D%5Cright%5Crangle%20%24%24%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
-%20Recurso%20Listas%20n%C3%A3o-ordenadas%20-
%20start%20--
%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
listas%20tamanho%3D%22small%22%20tipo%3D%22ul%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
list-ul%20color-neutral-
70%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
2%7D%3De%5E%7B2-
2%7D%3De%5E0%3D1%5C)%3C%2Fli%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
%5Csqrt%7B2%7D%7D%7Bt-
2%7D%3D%5Cfrac%7B0%7D%7B0%7D%5C)%3C%2Fli%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
listas%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
-%20Recurso%20Listas%20n%C3%A3o-ordenadas%20-%20end%20--
%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20mt-5'%3EPor%C3%A9m%2C%20%5C((t-
2)%3D(%5Csqrt%7Bt%7D%2B%5Csqrt%7B2%7D)(%5Csqrt%7Bt%7D-
%5Csqrt%7B2%7D)%5C)%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph'%3ELogo%2C%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph%20c-table'%3E%5C(%5Clim%20_%7Bt%20%5Crightarrow%202%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bt%7D-
%5Csqrt%7B2%7D%7D%7Bt-
2%7D%3D%5Clim%20_%7Bt%20%5Crightarrow%202%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bt%7D-
%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B(%5Csqrt%7Bt%7D%2B%5Csqrt%7B2%7D)
(%5Csqrt%7Bt%7D-
%5Csqrt%7B2%7D)%7D%3D%5Clim%20_%7Bt%20%5Crightarrow%202%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B(%5Csqrt
paragraph'%3EAssim%2C%20%5C(%5Clim%20_%7Bt%20%5Crightarrow%202%7D%20%5Cvec%7BF%7D(t)%3D%
Questão 2
→F(t) = ⟨et−2, t+6
t+2 , √t−√2
t−2 ⟩
→F(t) t
A O limite não existe
B .limt→2
→F(t) = ⟨1, 2, √2
4 ⟩
C .limt→2
→F(t) = ⟨∞, 2, √2
4 ⟩
D .limt→2
→F(t) = ⟨1, 2, 0⟩
E .limt→2
→F(t) = ⟨1, ⟩
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Considerando a função , , para
 real, assinale a alternativa que apresenta um vetor com direção
paralela à direção tangente à curva definida pela imagem da função
no ponto :
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20dire%C3%A7%C3%A3o%20tangente%20%C3%A0%20curva%20em%20um%20ponto%20%C
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
%5Coperatorname%7Bsen%7D%20u%5Cright%5Crangle%20%5C%5C%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%2
%5Coperatorname%7Bsen%7D%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%5Cright)%5Cright%5Crangle%3D%5C
paragraph'%3EQualquer%20vetor%20paralelo%20%C3%A0%20dire%C3%A7%C3%A3o%20tangente%20ter%C3%
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%20%5Cvec%7Bw%7D%3Dk%20%5Cvec%7BF%7D%2C%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%
paragraph'%3ESe%20%5C(k%20%3D2%20%5Crightarrow%20%5Coverrightarrow%7B%20w%20%7D%3D%5Clan
Questão 3
Assinale a alternativa que apresenta o valor de , sendo
:
→F(u) = ⟨tgu,u2 + 3 sen u + cosu⟩
u
u = π
4
A ⟨4,π, 0⟩
B ⟨−4, 2π, 0⟩
C ⟨4, 0, 8⟩
D ⟨0, 2π, 4⟩
E ⟨4, 2π, 4⟩
∫ π
0
→G(u)du
→G(u) =
⎧⎪⎨⎪⎩x = u − eu
y = 1 − u2,  u real: 
z = senu
A ( π2
2 + eπ − 1)x̂ + (π + π3
3 + 1)ŷ + (π + 2)ẑ
B (eπ + 1)x̂ + ( π3
3 )ŷ + cos 2ẑ
C (π3 + 1)x̂ + (π + 1)ŷ + 2ẑ
D ( π2
2 − eπ + 1)x̂ + (π − π3
3 )ŷ + 2ẑ
30/05/2025, 14:56 Funções vetoriais
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Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
e%5Eu%5Cright)%20d%20u%20%5Cwidehat%7Bx%7D%2B%5Cint_0%5E%5Cpi%5Cleft(1-
u%5E2%5Cright)%20d%20u%20%5Chat%7By%7D%2B%5Cint_0%5E%5Cpi%20%5Coperatorname%7Bsen%7D%2
%5Cleft.e%5Eu%5Cright%7C_0%20%5E%5Cpi%20%5Cwidehat%7Bx%7D%2B%5Cleft(u-
%5Cleft.%5Cfrac%7Bu%5E3%7D%7B3%7D%5Cright%7C_0%20%5E%5Cpi%20%5Chat%7By%7D%2B%5Cleft(-
%5Cleft.%5Ccos%20u%5Cright%7C_0%20%5E%5Cpi%20%5Chat%7Bz%7D%5Cright.%5Cright.%5Cright.%20%5C
e%5E%5Cpi-
0%2Be%5E0%5Cright)%20%5Cwidehat%7Bx%7D%2B%5Cleft(%5Cpi-
%5Cfrac%7B%5Cpi%5E3%7D%7B3%7D-
0%2B0%5Cright)%20%5Chat%7By%7D%2B(-
%5Ccos%20%5Cpi%2B%5Ccos%200)%20%5Chat%7Bz%7D%20%5C%5C%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%
e%5E%5Cpi%2B1%5Cright)%20%5Cwidehat%7Bx%7D%2B%5Cleft(%5Cpi-
%5Cfrac%7B%5Cpi%5E3%7D%7B3%7D%5Cright)%20%5Chat%7By%7D%2B2%20%5Chat%7Bz%7D%0A%20%20
Questão 4
Assinale a alternativa que apresenta o valor de ,
sendo e :
Parabéns! A alternativa A está correta.
%20%20%0A%3Cp%20class%3D'c-paragraph%20u-text--
medium'%3EPrimeiro%2C%20vamos%20calcular%20o%20produto%20vetorial%20%5C(%5Cmathbf%7BH%7D(%
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%0A%20%20%20%20%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%5Cmathbf%7BH%7D(%5Cmat
1%5Cright)%20%5C%5C%0A%5Cmathbf%7BH%7D(t)%20%5Ctimes%20%5Cmathbf%7BF%7D(t)%3D%5Cleft(2(2
1)-1%5Cleft(t%5E2%2B1%5Cright)%2C%201(3)-2%20t(2%20t-
1)%2C%202%20t%5Cleft(t%5E2%2B1%5Cright)-2(3)%5Cright)%20%5C%5C%0A%3D%5Cleft(4%20t-
2-t%5E2-1%2C3-
4%20t%5E2%2B2%20t%2C%202%20t%5E3%2B2%20t-
6%5Cright)%20%5C%5C%0A%3D%5Cleft(-t%5E2%20%2B%204%20t-
3%2C-4%20t%5E2%2B2%20t%2B3%2C2%20t%5E3%2B2%20t-
6%5Cright)%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bgathered%7D%20%24%24%3C%2Fp%3E%0A%20%3Cp%20class%3
paragraph%20u-text--
medium'%3EAgora%2C%20precisamos%20calcular%20a%20integral%20definida%20de%20%5C(0%5C)%20a%2
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%0A%20%20%20%20%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%20%20%20%20%5Ctext%7B1.
t%5E2%2B4%20t-3%3A%20%5C%5C%0A%5Cint%5Cleft(-
t%5E2%2B4%20t-3%5Cright)%20d%20t%3D-
t%5E3%20%2F%203%2B2%20t%5E2-
E (eπ + 3)x̂ + ( π2
2 )ŷ + cos 2ẑ
∫ 1
0 ( →H(t) × →F(t))dt
→H(t) = ⟨2t, 2, 1⟩ →F(t) =
⎧⎪⎨⎪⎩x = 3
y = t2 + 1,  t real: 
z = 2t − 1
A ⟨− 4
3 , 8
3 , − 9
2 ⟩
B ⟨ 2
3 , 1
3 , 7
2 ⟩
C ⟨ 4
3 , 8
3 , 9
2 ⟩
D ⟨− 2
3 , 5
3 , 1
2 ⟩
E ⟨− 3
3 , 6
3 , 2
1 ⟩
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3%20t%20%5C%5C%0ADe~~0~~a~~1%3A~~
(-1%20%2F%203%2B2-3)-(0)%3D-1%20%2F%203-1%3D-
4%20%2F%203%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bgathered%7D%20%24%24%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%0A%20%20%20%20%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%20%20%20%20%5Ctext%7B2.
4%20t%5E2%2B2%20t%2B3%3A%20%5C%5C%0A%5Cint%5Cleft(-4%20t%5E2%2B2%20t%2B3%5Cright)%20d%
4%20t%5E3%20%2F%203%2Bt%5E2%2B3%20t%20%5C%5C%0ADe~~0~~a~~1%3A~~%20(-4%20%2F%203%2
(0)%3D-
4%20%2F%203%2B4%3D8%20%2F%203%20%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bgathered%7D%20%24%24%3C%2
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%0A%20%20%20%20%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%5Ctext%7B3.%20Integral%20d
6%3A%20%5C%5C%0A%5Cint%5Cleft(2%20t%5E3%2B2%20t-
6%5Cright)%20d%20t%3Dt%5E4%20%2F%202%2Bt%5E2-
6%20t%20%5C%5C%0ADe~~0~~a~~1%3A~~%20(1%20%2F%202%2B1-
6)-(0)%3D1%20%2F%202-5%3D-
9%20%2F%202%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bgathered%7D%20%24%24%3C%2Fp%3E%0A%3Cp%20class%3
paragraph%20u-text--
medium'%3EPortanto%2C%20a%20integral%20de%20%5C(%5Cmathbf%7BH%7D(%5Cmathrm%7Bt%7D)%20%
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%24%24%0A(-4%20%2F%203%2C8%20%2F%203%2C-
9%20%2F%202)%0A%24%24%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
Questão 5
Considerando as funçōes e
, caso exista, qual será o limite de
 quando tende a 0 (zero)?
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs-
video-
player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Findex.html%3Ftoken%3D2d89dee0fa074410
NC6%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fy
video-
player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 6
Considerando as funçöes
definidas para e a função real , qual será a
derivada da funçāo para ?
→F(u) = ⟨ u
2 senu
, u2+6u−1
u+1 , u+8
u+4 ⟩
→G(u) = ⟨ u
(u−1)2−1
, 2u
cosu , 8⟩
→F(u) × →G(u) u
A ⟨−8, −5, − 1
2 ⟩
B ⟨−1, 2, 1
2 ⟩
C O limite não existe
D ⟨8, 5, 1
2 ⟩
E ⟨−1, 5, 1
2 ⟩
→F(u) = ⟨3u2 + eu, 2 sen 2u, √u⟩ ∈ →G(u) = ⟨4,u2 + 1,u + 1⟩,
u > 0 v(u) = u2
m(u) = →F(u) ⋅ →G(u(u)) m = 1
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Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs-
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NC7%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fy
video-
player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Sabendo que , para , qual é a
derivada de para ?
A 8 - 2e + 4 cos 2 - 16 sen 2
B 12 + 2e - 2 sen 2 - 8 cos 2
C 29 + 4e + 8 cos 2 + 16 sen 2
D 4e2 + sen 2 - cos 2
E 8e2 + sen 2 + cos 2
→G(u) = ⟨2 cos 2u,u3 + 2, lnu⟩ u > 0
→G(u) u = π
4
A ⟨4, π2
16 , 2
π
⟩
B ⟨−1, 3π2
8 , 4⟩
C ⟨−4, 3π2
16 , 4
π
⟩
D ⟨4, π2
6 , 1
π
⟩
E ⟨−4, π2
22 , 2
π
⟩
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Parabéns! A alternativa C está correta.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EDe%20acordo%20com%20o%20conceito%20da%20derivada%20de%20uma%20fun%C3%A7%C3
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
4%20%5Coperatorname%7Bsen%7D(2%20u)%2C%203%20u%5E2%2C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bu%7D%5Crigh
4%20%5Coperatorname%7Bsen%7D%5Cleft(2%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%5Cright)%2C%203%5Cleft
4%2C%20%5Cfrac%7B3%20%5Cpi%5E2%7D%7B16%7D%2C%20%5Cfrac%7B4%7D%7B%5Cpi%7D%5Cright%5C
Questão 2
Sabendo que , para real, qual é o módulo do
vetor , já que ?
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EDe%20acordo%20com%20o%20conceito%20da%20integral%20de%20uma%20fun%C3%A7%C3%
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
0%5Cright)%20%5Cwidehat%7Bx%7D%2B%5Cleft(%5Cfrac%7B64%7D%7B4%7D-
0%5Cright)%20%5Chat%7By%7D%2B(2-
0)%20%5Chat%7Bz%7D%20%5C%5C%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
→G(u) = ⟨u, 3u2
4 , 1
2 ⟩ u
→w →w = ∫ 4
0
→G(u)du
A 16
B 18
C 20
D 22
E 24
30/05/2025, 14:56 Funções vetoriais
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3 - Estudo das curvas e dos movimentos
Ao final deste módulo, você será capaz de empregar as funções
vetoriais no estudo das curvas no plano e no espaço, bem como no
movimento de um objeto.
Vetor e reta tangente à
curva
Aprenda neste vídeo como determinar o vetor tangente unitário para
uma função vetorial de forma prática e direta.
Sabemos que a imagem de uma função vetorial pode ser analisada
como a trajetória de uma curva no plano ou no espaço, e que a derivada
da função vetorial terá a direção tangente à trajetória da curva traçada
pela função. Assim, por meio da função derivada, podemos obter um
versor que definirá a direção tangente à curva no ponto .
Como a derivada da função é um vetor tangente à curva no ponto ,
então, conforme se estuda em geometria analítica, o versor que definirá
a direção tangente à curva será dado por:
Para .
Lembre-se de que o versor é um vetor unitário, isto é, de módulo igual a
1 .
Se soubermos um ponto da reta e sua direção (vetor diretor), poderemos
definir sua equação.
A reta tangente à curva passa pelo ponto e tem vetor diretor
dado pelo valor de . Portanto, a equação paramétrica da reta
tangente à curva pode ser obtida por:
Exemplo 1
Considerando a funçäo , definida para
, determine o vetor, de módulo 3, tangente à curva para
→F (t0)
t0
→
T (t0) =
→
F/ (t0)
→
F/ (t0)∣ ∣F ′ (t0) ≠ 0∣−→ ∣ →F (t0)
F/ (t0)
−→
→r(λ) − →F (t0) = λ →F (t0),λ real 
→F(t) = ⟨2 sen t, 2 cos t, 5⟩
t ∈ [0, 2π]
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.
Vamos obter a derivada da função vetorial:
Então:
Assim, o versor tangente à curva no ponto será:
Para
Como o vetor terá módulo 3, então:
Portanto, no ponto , isto é,
 o versor tangente
será e o vetor pedido será .
Exemplo 2
Considerando a funçäo , definida para
, determine a reta tangente à curva para .
Vamos obter a derivada da função vetorial:
Obtendo a equação da reta tangente à curva, temos:
t = π
4
→F ′(t) = ⟨(2 sen t)′, (2 cos t)′, (5)′⟩ = ⟨2 cos t, −2 sen t, 0⟩
∥F ′(t)∥ = √(2 cos t)2 + (−2 sen t)2 + 0 = √4 ((cos t)2 + (sen t
−→
t0
→T (t) =
→F(t)
| →F(t)|
=
1
2
⟨2 cos t, −2 sen t, 0⟩ = ⟨cos t, − sen t, 0⟩
t0 = π
4 → →T ( π
4 ) = ⟨cos π
4 , − sen π
4 , 0⟩ = ⟨ √2
2 , − √2
2 , 0⟩ = √2
2 x̂
→u
→u = 3 →T (
π
4
) = ⟨
3√2
2
, −
3√2
2
, 0⟩
t = π
4
→F ( π
4 ) = ⟨2 sen π
4 , 2 cos π
4 , 5⟩ = ⟨√2, √2, 5⟩,
→T ( π
4 ) = √2
2 x̂ − √2
2 ŷ →u = 3√2
2 x̂ − 3√2
2 ŷ
→F(t) = ⟨2 sen t, 2 cos t, 5⟩
t ∈ [0, 2π] t = π
4
F ′(t) = ⟨(2 sen t)′, (2 cos t)′, (5)′⟩ = ⟨2 cos t, −2 sen t, 0⟩
−→
→r(λ) − →F (t0) = λF ′ (t0) → →r(t) = →F (t0) + λF ′ (t0),λ real 
→r(λ) = ⟨2 sen t0, 2 cos t0, 5⟩ + λ ⟨2 cos t0, −2 sen t0, 0⟩
−→−→
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`
Substituindo , temos:
Vetor normal e binormal à
curva
Outro vetor que pode ser obtido é o vetor normal à curva no ponto .
Qualquer vetor que apresente um produto escalar com o vetor tangente
igual a 0 (zero) será normal à curva. Lembre-se de que, no caso do
plano, só existe uma direção normal, mas, no caso do espaço, existem
infinitas direções normais.
Vamos usar um conceito que já foi visto em um exemplo anterior. Se o
módulo de um vetor for constante para todos os valores do parâmetro,
então o vetor será ortogonal a sua derivada.
Considere o versor tangente à curva . Por ser um versor,
 para todos os valores de ; assim, obrigatoriamente:
.
Portanto, o vetor será perpendicular ao vetor tangente e,
então, normal à curva. Basta, agora, transformar o mesmo em um
versor.
Definimos o versor normal principal ou vetor normal principal unitário
 como:
Exemplo 1
Considere a função , definida para
. Determine o versor normal principal à curva para .
Como calculado nos exemplos anteriores:
t = π
4
→r(λ) = ⟨2 sen
π
4
, 2 cos
π
4
, 5⟩ + λ⟨2 cos
π
4
, −2 sen π
4
, 0⟩
→r(λ) = ⟨√2, √2, 5⟩ + λ⟨√2, −√2, 0⟩ = ⟨√2 + λ√2, √2 − λ√2
→r(λ) =
⎧⎪⎨⎪⎩ x = √2 + λ√2
y = √2 − λ√2,λ real 
z = 5
t0
→T (t) = F′(t)
∣F′(t)∣
−→
−→
| →T (t)| = 1 t
→T (t) ⋅ →T ′(t) = 0
T ′(t)
−→
→T (t)
→N(t)
→F(t) = ⟨2 sen t, 2 cos t, 5⟩
t ∈ [0, 2π] t = π
4
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Observe como e são ortogonais:
Isso era o esperado!
Calculando o módulo do vetor , temos:
Portanto, o vetor unitário principal será:
Outro vetor que pode ser definido para uma curva é o vetor binormal
.
Como o vetor binormal é o resultado de um produto vetorial entre e
, ele será ortogonal à direção tangente à curva e ortogonal à
direção normal principal da curva. Por isso, ele é denominado binormal.
Por ser um produto vetorial entre dois vetores ortogonais e unitários, o
vetor binormal também é um vetor unitário.
Exemplo 2
Considere a funçäo , definida para
, e determine o vetor binormal à curva para .
Como calculado nos exemplos anteriores:
→T (t) =
→F(t)
| →F ′(t)|
= ⟨cos t, − sen t, 0⟩
T ′(t) = ⟨(cos t)′(− sen t)′, (0)′⟩ = ⟨− sen t, − cos t, 0⟩
−→
→T (t) →T , (t)
→T (t) ⋅ →T , (t) = cos t(− sen t) + (− sen tt)(− cos t) + 0.0 = − sen
T ′(t)
−→
|T ′(t)| = √(− sen t)2 + (− cos t)2 + 02 = 1
−→
→N(t) =
T1(t)
→
T′(t)
=
→
T′(t)
1
= ⟨− sen t, − cos t, 0⟩
 Para t =
π
4
→ →N(t) = ⟨− sen
π
4
, − cos
π
4
, 0⟩ = ⟨−
√2
2
, −
√
2
−→∣ ∣→B(t) = →T (t) × →N(t)
→T (t)
→N(t)
→F(t) = ⟨2 sen t, 2 cos t, 5⟩
t ∈ [0, 2π] t = π
4
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Comprimento e curvatura
de uma curva
Considere uma curva em que conhecemos a equação paramétrica da
trajetória dada pela função vetorial :
Podemos definir uma equação que determina o comprimento da curva
entre dois pontos de seu domínio.
Caso a trajetória de C seja percorrida apenas uma vez, quando varia de
 até , o comprimento da curva C, entre e , será dado por:
Para o caso do plano, não existirá a componente , e a fórmula se
reduzirá a:
→T (t) =
→F(t)
| →F(t)|
= ⟨cos t, − sen t, 0⟩
→N(t) = ⟨− sen t, − cos t, 0⟩
→B(t) = →T (t) × →N(t) =
→B(t) = − cos2 tẑ − sen2 tẑ = − (cos2 t + sen2 t)ẑ = −1ẑ
→B(t) = ⟨0, 0, −1⟩∣ x̂ ŷ ẑ
cos t − sen t 0
− sen t − cos t 0∣→F(t)
→F(t) =
⎧⎪⎨⎪⎩x = f(t)
y = g(t),  t real 
z = h(t)
t
a b a b
L = ∫
b
a
F′(t) dt = ∫
b
a
√( d
dt
x(t))
2
+ ( d
dt
y(t))
2
+ ( d
dt
z(
L = ∫
b
a
F′(t) dt = ∫
b
a
√(f′(t))2 + (g′(t))2 + (h′(t))2dt∥−→ ∥∥−→ ∥ z
L = ∫
b
a
F′(t) dt = ∫
b
a
√( d
dt
x(t))
2
+ ( d
dt
y(t))
2
dt = ∫
b
a
√∥−→ ∥30/05/2025, 14:56 Funções vetoriaishttps://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00702/index.html?brand=estacio# 36/62
Também podemos obter uma função comprimento de arco que mede
desde um ponto inicial :
Exemplo 1
Considere a função , definida para
, e determine o comprimento da curva entre e .
Exemplo 2
Considere a funçäo , definida para
, e determine a função comprimento do arco que mede o
comprimento da curva desde o ponto .
Uma curva pode ser parametrizada por meio do parâmetro comprimento
do(s) arco(s). A vantagem dessa parametrização é que o comprimento
ficará visível na própria imagem obtida pela variação do parâmetro.
As curvas parametrizadas pelo comprimento de arco têm a derivada da
função, isto é, sua velocidade com módulo 1, pois, a cada variação de
uma unidade do parâmetro, ocorrerá a variação de uma unidade de
comprimento de arco.
Exemplo 3
Parametrize a curva definida pela funçāo 
para por meio de seu comprimento de arco.
No exemplo anterior, foi obtido que: , assim .
Portanto, com o novo parâmetro, a equação da curva será:
. Assim, para obtermos dois pontos com
uma diferença de comprimento entre eles de 2 unidades, basta
t = a
s(t) = ∫
t
a
F ′(t) dt = ∫
t
a
√(f′(t))2 + (g′(t))2 + (h′(t))2dt∥−→ ∥→F(t) = ⟨2 sen t, 2 cos t, 5⟩
t ∈ [0, 2π] t = 0 t = 2π
F ′(t) = ⟨(2 sen t)′, (2 cos t)′, (5)′⟩ = ⟨2 cos t, −2 sen t, 0⟩
L = ∫
2π
0
∥F ′(t)∥dt = ∫
2π
0
√(2 cos t)2 + (−2 sen t)2 + (0)2dt
L = ∫
2π
0
√4 cos2 t + 4 sen2 tdt = ∫
2π
0
2dt = 2t|2π
0 = 4π
−→
−→
→F(t) = ⟨2 sen t, 2 cos t, 5⟩
t ∈ [0, 2π]
t = 0
→F ′(t) = ⟨(2 sen t)′, (2 cos t)′, (5)′⟩ = ⟨2 cos t, −2 sen t, 0⟩
s(t) = ∫
t
0
∥ →F ′(t)∥dt = ∫
t
0
√(2 cos t)2 + (−2 sen t)2 + (0)2dt
s(t) = ∫
t
0
√4 cos2 t + 4 sen2 tdt = ∫
t
0
2dt = 2t|t0 = 2t
→F(t) = ⟨2 sen t, 2 cos t, 5⟩
t ∈ [0, 2π]
s(t) = 2t t = s/2
→F(s) = ⟨2 sen s
2 , 2 cos s
2 , 5⟩
30/05/2025, 14:56 Funções vetoriais
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obtermos um ponto com e o outro com , por
exemplo.
Sua derivada será:
Curvatura
A curvatura indica quão rapidamente uma trajetória muda com a
variação do parâmetro, ou seja:
Curvatura
Taxa de variação do módulo do versor tangente em relação ao
comprimento do arco.
Conhecemos o valor de em relação ao parâmetro , e não em relação
ao comprimento . Por isso, devemos usar a regra da cadeia:
No entanto, pelo teorema fundamental do cálculo, aplicado na fórmula
da função comprimento de arco, temos:
Portanto:
Caso a curvatura seja diferente de 0 (zero), definimos o raio de curvatura
 como o inverso da curvatura. Logo:
s = s0 s = s0 + 2
→F ′(s) = ⟨(2 sen
s
2
)
′
,(2 cos
s
2
)
′
, (5)′⟩ = ⟨cos t, − sen t, 0⟩
∥F ′(s)∥ = √cos2 t + (− sen t)2 + 0 = √cos2 t + sen2 t = 1
−→
k =
d →T
ds∣ ∣→T t
s
d →T
dt
=
d →T
ds
ds
dt
→
d →T
ds
=
d →T/dt
ds/dt
=
T ′(t)
s′(t)
−→
s(t) = ∫
t
a
F ′(t) dt → s′(t) = F ′(t)∥−→ ∥ ∥−→ ∥k(t) =
→
T′(t)
F ′
′ (t)∣ ∣∣−→ ∣ρ(t)
30/05/2025, 14:56 Funções vetoriais
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Existe outra fórmula que pode ser obtida pelas definições apresentadas,
a partir da manipulação matemática, que determina a curvatura apenas
em relação à função vetorial que define a curva. 
Observe:
A demonstração dessa fórmula pode ser estudada pelas referências
apresentadas ao final deste conteúdo.
Vamos exemplificar! Considere a função ,
definida para . Determine a curvatura da curva definida pela
função.
Já foi calculado anteriormente para essa função que:
Além disso:
Nesse exemplo, por se tratar de uma circunferência, a curvatura não
dependeu do parâmetro, isto é, da posição na curva.
Movimento no espaço:
ρ(t) =
1
k(t)
, para k(t) ≠ 0
k(t) =
F′(t) × F′′(t)
F ′(t)
3∣−→−→ ∣∣−→ ∣→F(t) = ⟨2 sen t, 2 cos t, 5⟩
t ∈ [0, 2π]
T ′(t) = ⟨(cos t)′, (− sen t)′, (0)′⟩ = ⟨− sen t, − cos t, 0⟩
T ′(t) = √(− sen t)2 + (− cos t)2 + 02 = 1
−→ ∣−→ ∣F ′(t) = ⟨(2 sen t)′, (2 cos t)′, (5)′⟩ = ⟨2 cos t, −2 sen t, 0⟩
∥ →F ′(t)∥ = √(2 cos t)2 + (−2 sen t)2 + (0)2 = 2
k(t) =
∣
→
T′(t)
∣ F ′(t)
=
1
2
−→
−→ ∣30/05/2025, 14:56 Funções vetoriais
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velocidade e aceleração
Os vetores normais e tangenciais definidos aqui podem ser usados para
estudarmos o movimento de determinado objeto, sua velocidade e
aceleração, quando ele estiver percorrendo uma trajetória estipulada por
uma curva plana ou espacial.
Agora, veremos a função , que define a trajetória percorrida pelo
objeto.
A velocidade é uma grandeza vetorial expressa como a taxa de variação
(derivada) da posição com o tempo. A velocidade tem direção
tangencial à curva. Assim:
Da mesma forma, a aceleração é uma grandeza vetorial obtida pela taxa
de variação (derivada) da velocidade pelo tempo. Dessa forma:
Porém:
Como pode ser verificado, a aceleração tem uma componente
tangencial e uma normal (ortogonal à tangencial).
A aceleração tangencial, , que tem a direção tangencial à
curva, é responsável pela mudança do módulo da velocidade.
A aceleração normal, , que é ortogonal à curva, é
responsável pela mudança da direção do vetor velocidade.
Logo:
Entretanto:
→F(t)
→v(t) =
d
dt
s(t) = F ′(t) = | →F , (t)| →T (t)
−→
→a(t) =
→
v′(t) = F ′(t)
−→
→v(t) = →v(t) ∣ →T (t)
→a(t) =
d
dt
→v(t) =
d
dt
(|→v(t)| →T (t)) = |→v′(t)| →T (t) + |→v(t)|T ′(t)
−→
→
v′(t) →T (t)∣ ∣→v(t) ∣ T ′(t)
−→
→a(t) = |
→
v′(t)| →T (t) + |→v(t)|T ′(t)
−→
30/05/2025, 14:56 Funções vetoriais
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Como , então a parcela anormal terá valor:
Assim:
Repare que a aceleração sempre estará contida no plano formado pelos
vetores e . Esse plano é denominado plano osculador.
Podemos manipular essa fórmula para depender apenas da função
vetorial e de suas derivadas.
Substituindo a fórmula da curvatura .
Então:
Logo:
Portanto:
k(t) =
T ′(t)
F ′(t)
→ T ′(t) = F ′(t) k(t)
→N(t) =
T ′(t)
T ′(t)
→ T ′(t) = T ′(t) →N(t) = F ′(t) k(t) →N(t)∣−→ ∣∣−→ ∣ ∣−→ ∣ ∣−→ ∣−→∣−→ ∣−→ ∣−→ ∣ ∣−→ ∣|→v(t)| = | →F , (t)|
|→v(t)|T ′(t) = F ′(t) T ′(t) = F ′(t) | →F(t)|k(t) →N(t) = F ′(t)
2
k(t
−→ ∣−→ ∣−→ ∣−→ ∣ ∣−→ ∣→a(t) =
d
dt
→v(t) = |
→
v′(t)| →T (t) + | →F ′(t)|2k(t) →N(t)
→T (t) →N(t)
k(t) = | →F(t)×F ′′(t)|
| →F(t)|3
−→
F ′(t
 Seja →v(t) ⋅ →a(t) = ( F ′(t) →T (t)) ⋅(|
→
v′(t)| →T (t) + F ′(t)
2
k(t) →N∣−→∣−→ ∣ ∣−→ ∣→
v′(t) =
→v(t) ⋅ →a(t)
F ′(t)
=
F ′(t) ⋅ F ′′(t)
F ′(t)∣ ∣ ∣−→ ∣−→−→∣−→ ∣30/05/2025, 14:56 Funções vetoriais
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Consequentemente, temos:
Teoria na prática
Um objeto se desloca em uma trajetória definida pela função
, com . Determine o módulo da velocidade,
da aceleração tangencial e da aceleração normal para o instante de
. Confira no vídeo!
Mão na massa
Questão 1
Considerando a curva C imagem da função
 real, assinale a alternativa que apresenta
um vetor paralelo ao vetor tangente à curva C no ponto (3,1,0):
→a(t) =
F ′(t) ⋅ F ′′(t)
F ′(t)
→T (t) +
F ′(t) × F ′′(t)
F ′(t)
→N(t)
−→−→∣−→ ∣ ∣−→−→∣∣−→ ∣→aT (t) =
F ′(t) ⋅ F ′′(t)
F ′(t)
→T (t)e→aN(t) =
→F(t) × F ′′(t)
F ′(t)
→N(t)
−→−→∣−→∣ ∣−→ ∣∣−→∣_black
→F(t) = ⟨4t2, 4t2, 4t3⟩ t ≥ 0
t = 1
Mostrar solução

→G(p) = , p
⎧⎪⎨⎪⎩x = p2 + 2
y = p
z = 1 − p3
30/05/2025, 14:56 Funções vetoriais
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Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20vetor%20tangente%20%C3%A0%20fun%C3%A7%C3%A3o%20%5C(%5Cvec%7BG%7D(p)%5
table%22%3E%5C(%5Coverrightarrow%7BG%5E%7B%5Cprime%7D%7D(p)%3D%5Cleft%5Clangle%5Cleft(p%5E
p%5E3%5Cright)%20%5Cprime%5Cright%5Crangle%3D%5Cleft%5Clangle%202%20p%2C%201%2C-
3%20p%5E2%5Cright%5Crangle%5C)%3C%2Fspan%3E%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20
paragraph'%3E0%20ponto%20(%20%5C((3%2C1%2C0)%5C)%20pertence%20%C3%A0%20curva.%20Necessitaparagraph'%3EVamos%20aos%20c%C3%A1lculos%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%
p%5E3%3D0%20%5Crightarrow%20p%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph'%3EAssim%2C%20o%20valor%20do%20par%C3%A2metro%20ser%C3%A1%20%5C(p%3D1%5C)%3C
3.1%5E2%5Cright%5Crangle%3D%5Clangle%202%2C1%2C-
3%5Crangle%5C)%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
paragraph'%3EPortanto%2C%20todo%20vetor%20do%20tipo%20%5C(%5Clangle%202%2C1%2C-
3%5Crangle%20k%2C%20k%5C)%20real%20%5C(%5Crightarrow%5Clangle%202%20k%2C%20k%2C-
3%20k%5Crangle%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph'%3EAnalisando%20as%20alternativas%2C%20apenas%20a%20letra%20B%20tem%20um%20vetor%
6%5Crangle%5C)%20%C3%A9%20paralelo%20ao%20vetor%20tangente%20no%20ponto%20%5C((3%2C1%2C0
Questão 2
Considerando a curva definida pela funçāo
, assinale a alternativa que
apresenta o versor normal principal no ponto :
A ⟨1, 3, 5⟩
B ⟨4, 2, −6⟩
C ⟨1, 2, 6⟩
D ⟨2, 0, −3⟩
E ⟨2, 0, −6⟩
→G(t) = , t ∈ [0, 2π]
⎧⎪⎨⎪⎩x = 2 cos t + 2
y = 2t
z = 3 − 2 sen t
t = π
3
A ⟨ √3
2 , 0, 1
2 ⟩
B ⟨ 1
2 , 1, √2
2 ⟩
C ⟨− 1
2 , 0, √3
2 ⟩
D ⟨ 1
2 , 0, − √3
2 ⟩
30/05/2025, 14:56 Funções vetoriais
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00702/index.html?brand=estacio# 43/62
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3E%5C(O%5C)%20vetor%20tangente%20%C3%A0%20fun%C3%A7%C3%A3o%20%5C(%5Cvec%7BG
2%20%5Coperatorname%7Bsen%7D%20t)%5E%7B%5Cprime%7D%5Cright%5Crangle%5C)%3C%2Fp%3E%0A%2
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
2%20%5Coperatorname%7Bsen%7D%20t%2C%202%2C-
2%20%5Ccos%20t%5Crangle%3D%20%5C%5C%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
2%20%5Coperatorname%7Bsen%7D%20t%2C%202%2C-
2%20%5Ccos%20t%5Crangle%3D%5Cleft%5Clangle-
%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%20%5Coperatorname%7Bsen%7D%20t%2C%20%5Cfrac%7B1%7
%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%20%5Ccos%20t%5Cright%5Crangle%20%5C%5C%5C%5C%0A%2
%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%5Coperatorname%7Bsen%7D%20t%2C%20%5Cfrac%7B%5C
%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%5Ccos%20t%5Cright%5Crangle%0A%20%20%20%20%20%2
paragraph'%3EPortanto%2C%20obtemos%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph%20c-
table%20'%3E%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%5Coperatorname%7Bsen%7D%20t%5Cright)%5E%7B%5Cpr
%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%5Ccos%20t%5Cright)%5E%7B%5Cprime%7D%5Cright%5Cra
%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%5Ccos%20t%2C%200%2C%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7
%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%5Ccos%20t%5Cright)%5E2%2B0%5E2%2B%5Cleft(%5Cfrac%
paragraph'%3EAssim%2C%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%5Ccos%20t%2C%200%2C%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7
%5Ccos%20t%2C%200%2C%20%5Coperatorname%7Bsen%7D%20t%5Crangle%20%5C%5C%5C%5C%0A%20%2
%5Ccos%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%2C%200%2C%20%5Coperatorname%7Bsen%7D%20%5Cfrac%7
%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%200%2C%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%5Cright%5Crang
Questão 3
Considerando a curva definida pela função
, assinale a alternativa que
apresenta o vetor binormal principal no ponto :
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%
paragraph%20u-text--
medium'%3EO%20vetor%20binormal%20%C3%A9%20definido%20como%20%5C(%5Cmathbf%7BB%7D(%5Cma
paragraph%20u-text--
E ⟨ 3
2 , 0, − √3
2 ⟩
→H(t) = t ∈ [0, 2π]
⎧⎪⎨⎪⎩ x = 4
y = 3 sen t + 3,
z = 3 − 3 cos t
t = π
6
A →B(t) = ⟨0, 1
2 , √3
2 ⟩
B →B(t) = ⟨1, 0, 1⟩
C →B(t) = ⟨1, 0, 0⟩
D →B(t) = ⟨ 1
2 , √3
2 , 0⟩
E →B(t) = ⟨1, 1, 1⟩
30/05/2025, 14:56 Funções vetoriais
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00702/index.html?brand=estacio# 44/62
medium'%3EVamos%20calcular%20a%20derivada%20primeira%20e%20a%20segunda%3A%3C%2Fp%3E%0A%
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%0A%20%20%20%20%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%20%20%20%20%5Cmathbf%7
3%20%5Ccos%20t)%20%5C%5C%0A%5Cmathbf%7BH%7D%5E%7B%5Cprime%7D(t)%3D(0%2C3%20%5Ccos%2
3%20%5Coperatorname%7Bsen%7D%20t%2C%203%20%5Ccos%20t)%20%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bgat
paragraph%20u-text--
medium'%3EAgora%20vamos%20calcular%20no%20ponto%20%5C(t%3D%5Cpi%20%2F%206%3A%5C)%20%3C
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%0A%20%20%20%20%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%5Cmathbf%7BH%7D%5E%7B%
3%20%5Coperatorname%7Bsen%7D(%5Cpi%20%2F%206)%2C-
3%20%5Ccos%20(%5Cpi%20%2F%206))%20%5C%5C%0A%3D(0%2C-
3(1%20%2F%202)%2C%203(%5Csqrt%7B3%7D%20%2F%202))%3D(0%2C-
3%20%2F%202%2C(3%20%5Csqrt%7B3%7D)%20%2F%202)%20%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bgathered%7D
paragraph%20u-text--
medium'%3EO%20vetor%20tangente%20unit%C3%A1rio%20%C3%A9%20definido%20como%3A%3C%2Fp%3E%
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%0A%20%20%20%20%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%5Cmathbf%7BT%7D(%5Cmath
paragraph%20u-text--
medium'%3EO%20vetor%20normal%20principal%20%C3%A9%20definido%20como%3A%3C%2Fp%3E%0A%3Cp
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%0A%20%20%20%20%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%5Cmathbf%7BN%7D(%5Cmat
paragraph%20u-text--
medium'%3EUma%20maneira%20mais%20f%C3%A1cil%20de%20encontrar%20o%20vetor%20binormal%20nes
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%0A%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-
centered'%3E%24%24%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%5Cmathbf%7BH%7D%5E%7B%5Cprime%7D(%5Cpi%
3%20%2F%202%2C-
3%20%5Csqrt%7B3%7D%20%2F%202)%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bgathered%7D%20%24%24%3C%2Fp%3
paragraph%20u-text--
medium'%3ENo%20entanto%2C%20ambos%20tem%20a%20coordenada%20%5C(x%5C)%20igual%20a%20%5C
paragraph%20u-text--
medium'%3EO%20produto%20vetorial%20%C3%A9%20aproximadamente%20%5C((%201%2C0%2C0%20)%2C%
Questão 4
A reta é tangente à curva, definida pela funçäo vetorial 
sen , para o ponto . O ponto da reta que
tem ordenada nula é
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs-
video-
player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Fplayer%3Ftoken%3Da12f28428c0847e8b9d
NC4%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-
video-
player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
r →F(u) = ⟨
u, 3 + 3 tgu, 2u⟩ u = π r
A .(1, 0,π)
B .(−1, 0, 2π)
C .(1, 0, 2π − 2)
D .(2, 0,π − 2)
E .(2, 0, 2π − 2)
30/05/2025, 14:56 Funções vetoriais
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Questão 5
O raio de curvatura da imagem da função ,
para , é
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%20%5Cbegin%7Baligned%7D%26%20k(t)%3D%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7BF%7D(t)%20%5Ct
t%7D%5Cright)%5E%7B%5Cprime%7D%5Cright%5Crangle%3D%5Cleft%5Clangle%5Csqrt%7B2%7D%2C%20e%5
e%5E%7B-
t%7D%5Cright%5Crangle%20%5C%5C%26%20%5C%7C%5Cvec%7BF%7D%20%2F(t)%5C%7C%3D%5Csqrt%7B(
t%7D%5Cright)%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B2%2Be%5E%7B2%20t%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7B2%20t
e%5E%7B-
t%7D%5Cright)%5E%7B%5Cprime%7D%5Cright%5Crangle%3D%5Cleft%5Clangle%200%2C%20e%5Et%2C%20e%
t%7D%5Cright%5Crangle%20%5C%5C%26%20%5Cvec%7BF%7D%20%5Cprime(t)%20%5Ctimes%20%5Cvec%7B
e%5E%7B-
t%7D%20%5C%5C0%20%26%20e%5Et%20%26%20e%5E%7B-
t%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%7C%3D%5Cwidehat%7Bx%7D%2B%5Csqrt%7B2%7D%20e%5Et%20%5Cha
%5Csqrt%7B2%7D%20e%5E%7B-
t%7D%20%5Chat%7By%7D%2B%5Cwidehat%7Bx%7D%3D2%20%5Cwidehat%7Bx%7D-
%5Csqrt%7B2%7D%20e%5E%7B-
t%7D%20%5Chat%7By%7D%2B%5Csqrt%7B2%7D%20e%5Et%20%5Chat%7Bz%7D%20%5C%5C%26%20%5C%7
%5Csqrt%7B2%7D%20e%5E%7B-
t%7D%5Cright)%5E2%2B%5Cleft(%5Csqrt%7B2%7D%20e%5Et%5Cright)%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B4%2B2%20e