18-35_1 1_Viagens_com_GPS

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1.1 
Viagens com 
GPS
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Conceitos-chave nesta secção:
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Ténis que dispõem de um receptor 
de GPS e de um emissor 
de rádio que informa 
permanentemente 
qual é a posição 
dos seus 
portadores... 
Pode ser utilizado 
para os pais 
saberem em que 
local se encontram os filhos (utilizando uma página na 
Internet) e pode até ser programado para produzir um 
sinal sonoro se se afastarem demasiado...
1	 “Invente”	uma	possível	utilização	para	um	GPS	que	seja	útil	para	um	técnico	florestal.
2 Os relógios do sistema GPS têm de ter elevada precisão. Explique porquê em duas ou três 
frases.
3 Que precisão aproximada deveria ter o sistema GPS para que pudesse ser utilizado 
adequadamente numa bola de futebol para saber quando era ou não golo?
O sistema GPS (“Global Positioning System”, Sistema 
de Posicionamento Global) permite a localização de 
qualquer objecto na Terra com elevada precisão 
(incerteza de poucos metros, ou menor). Foi desen-
volvido pelo Ministério da Defesa dos Estados Unidos 
da América e está disponível desde a década de 1980 
para uso não militar, em todo o mundo. Na década de 
2000, generalizou-se a utilização do GPS em automó-
veis, depois de se ter igualmente generalizado o seu 
uso na ajuda à navegação no mar e no ar.
O sistema inclui um conjunto de dezenas de saté-
lites em órbita terrestre, que emitem radiação elec-
tromagnética (microondas) que é recebida pelos apa-
relhos receptores na Terra. A recepção dos sinais de 
pelo menos quatro satélites, em simultâneo, permite 
aos aparelhos de recepção calcular a posição 
na Terra, bem como a magnitude e a direcção 
da velocidade, no caso do aparelho receptor estar 
em movimento. A ciência e a tecnologia que estão na 
base do sistema GPS é extremamente complexa. Por 
exemplo, exige relógios que conseguem distinguir mi-
lésimos de milionésimo de segundo. Só com relógios 
tão precisos é possível calcular o tempo que demora 
os sinais entre os satélites e os receptores na Terra, 
quando se percorre distâncias pequenas.
É enorme a importância actual do GPS, desde a 
sua utilização militar (nos mísseis, por exemplo) e 
na navegação (onde praticamente substi-
tuiu todos os processos anteriores de 
fazer navegação) até à elaboração e 
verificação de mapas, passando pela 
determinação da velocidade e dis-
tância percorrida por atletas até 
ao controlo de pessoas idosas com 
risco de perdas de memória (ou de 
crianças e jovens pelos pais, ver 
imagem ao lado). E todos os anos 
surgem novas aplicações do GPS, à 
medida que os circuitos receptores 
diminuem de tamanho e de preço.
Funcionamento e aplicações do sistema GPS
À esquerda: um 
GPS utilizado 
principalmente 
para navegação 
no mar e 
em passeios 
pedestres. À 
direita, um GPS 
para uso em 
automóveis.
Um dos circuitos de 
recepção mais utilizados 
nos aparelhos de GPS 
(circuito Sirf III).
Conhecendo a distância a 
vários satélites, bem como 
a posição dos satélites, é 
possível determinar a posição 
do receptor na Terra.
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1	 Qual	das	cidades	assinaladas	na	figura	tem	latitude	
sul? E a longitude dessa cidade é este ou oeste?
2 Estime um valor aproximado, em graus, para a 
longitude de Londres. Fundamente a resposta.
3 Estime um valor aproximado (às dezenas) para 
a latitude de Londres, sabendo que a latitude de 
Lisboa é N39º.
A determinação da posição de um objecto pode ser 
feita utilizando as chamadas coordenadas de posi-
ção que não são mais do que quantidades físicas que 
medem distâncias e, ou, ângulos.
Para posições na superfície terrestre costu-
mam-se utilizar dois ângulos e uma distância, as 
chamadas coordenadas geográficas:
 • a latitude, que é um ângulo medido no me-
ridiano do lugar a partir do equador, para 
norte ou para sul; varia 
de 0º a 90º norte ou de 
0º a 90º sul (0º a 90º N 
e 0º a 90º S);
 • e a longitude, um ân-
gulo medido no para-
lelo do lugar, para oeste 
ou para este, a partir do 
meridiano de referência 
(meridiano que passa por 
Greenwich, uma locali-
dade perto de Londres, na 
Inglaterra); varia de 0º a 180º oeste ou de 0º a 
180º este (0º a 180º W e 0º a 180º E);
 • a altitude, que é a distância do objecto ao nível 
médio do mar.
Os ângulos das coordenadas geográficas medem-se 
em graus (º). Um grau é a fracção 1/90 de um ângulo 
recto. Cada grau tem 60 minutos de arco (60’) e cada 
minuto de arco tem 60 segundos de arco (60’’). Com 
frequência, em vez de se usar segundos de arco, utili-
zam-se fracções decimais do minuto.
Por exemplo, as coordenadas geográ-
ficas do farol do Cabo da Roca (o ponto 
mais ocidental da Europa, na foto), são 
N38°46.9’, W9°29.8’, 165 m. Isto significa 
que: a latitude do farol é 38 graus e 46,9 
minutos norte; a longitude do farol é 9 
graus e 29,8 minutos oeste; a altitude do 
farol é 165 m.
Posição na Terra e coordenadas geográficas
Pólo
 No
rte 
Pólo
 Su
l 
(latitude = 0°) 
Meridiano de Greenwich
(longitude = 0°)
A
Este ângulo
mede a
latitude 
do lugar A
OESTE
ESTE
Este ângulo mede a
longitude do lugar A
Eixo de rotação da Terra 
Meridiano que passa 
no lugar A
Paralelo que
passa no lugar A
Equador 
Hemisfério norte 
Hemisfério sul 
Pólo Norte 
Pólo Sul 
Equador
(latitude = 0°)
Meridiano de Greenwich 
(longitude = 0°) 
Lisboa Moscovo 
Londres 
Rio de
Janeiro
Norte (N)
Sul (S)
Oeste (W) Este (E) 
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O sistema GPS é um exemplo 
de como a ciência pura e 
abstracta pode vir a ter 
aplicações inesperadas tempos 
depois...
De facto, quem diria que as 
ideias de Galileu e Newton, 
sobre o movimento dos 
objectos na Terra e nos céus, 
poderiam ter utilidade prática 
trezentos anos depois...?
Quem diria que a teorias 
matemáticas muito complexas 
desenvolvidas no século XIX 
e as teorias de Einstein, 
desenvolvidas no princípio do 
século XX, acerca da natureza 
do espaço e do tempo, 
poderiam ter utilidade prática 
algumas dezenas de anos 
depois...?
Ao lado, com as órbitas à 
escala, pode observar-se 
uma imagem da constelação 
de 28 satélites em 6 planos 
orbitais. Cada um dá uma volta 
à Terra duas vezes por dia a 
uma altitude de 20200 km à 
velocidade de 11265 km/h. 
Cada satélite tem um relógio 
atómico e comunica com 
um conjunto de estações de 
observação terrestres.
Os receptores necessitam de 
receber os sinais de quatro 
satélites para determinar as 
suas próprias coordenadas. 
Para tal, o receptor calcula a 
distância a cada um dos quatro 
satélites pelo intervalo de 
tempo entre o instante local 
e o instante em que os sinais 
foram enviados. Conhecendo 
as localizações dos satélites a 
partir dos sinais dos satélites, 
o receptor pode situar-se na 
intersecção de quatro calotes, 
uma para cada satélite.
Nas imagens ao lado, pode 
observar-se um percurso de 
carro sobreposto no Google 
Earth (earth.google.com), 
visto em perspectiva e visto 
directamente na vertical. 
A precisão do GPS permite 
distinguir em que lado 
(esquerda/direita) se vai numa 
estrada...
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O uso do GPS alterou 
completamente, na década de 
1990, como se faz navegação, 
isto é, como se determina a 
posição de um objecto no mar, 
no ar ou em terra e como se 
determina para onde deve 
aponta a velocidade desse 
objecto quando se pretende 
atingir um determinado lugar.
Ao lado, pode observar 
um percurso no mar, perto 
de Cascais, registado em 
perspectiva e na vertical, no 
Google Earth, e registado numa 
carta náutica digital (em baixo).
O registo na carta náutica 
inclui ainda a magnitude 
da velocidade: o código de 
cores utilizado na trajectória 
representa as velocidades mais 
elevadas a vermelho e as mais 
baixas a amarelo.No site do Programa Ciência 
Viva, na página do projecto 
Latitude e Longitude, 
Instrumentos e Medição, 
www.cienciaviva.pt/latlong, 
existem textos e actividades 
sobre o GPS e sobre a história 
dos instrumentos de navegação, 
nomeadamente os utilizados 
nas viagens dos descobrimentos 
portugueses nos séculos XIV e 
XV. Essa página pode ser um 
bom ponto de partida quer para 
a construção de instrumentos 
simples quer para a realização 
de outros trabalhos sobre as 
tecnologias e a ciência da 
navegação.
http://www.cienciaviva.pt/latlong
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1 Desceva dois exemplos de movimentos com trajectória rectilínea.
2 Descreva dois exemplos de movimentos com trajectória circular. 
3 Será possível utilizar apenas uma coordenada cartesiana para descrever a posição de um 
objecto em movimento circular? Fundamente a resposta.
4 O comprimento da trajectória é sempre igual à distância percorrida? Fundamente a resposta, 
utilizando exemplos adequados.
Em certas situações como, por exemplo, para descre-
ver a posição numa zona relativamente pequena, não 
é prático utilizar as coordenadas geográficas latitude, 
longitude e altitude. No século XVII, o filósofo e ma-
temático René Descartes inventou outro modo de des-
crever a posição através das chamadas coordenadas 
cartesianas.
As coordenadas cartesianas definem-se num re-
ferencial cartesiano, que é apenas um sistema de 
eixos perpendiculares entre si e que começam num 
certo ponto, a chamada origem do referencial. A ori-
gem representa -se por O. Os eixos do referencial são 
convencionalmente designados por eixos Ox, Oy e Oz 
(ou eixos dos xx, dos yy e dos zz). 
Para certos movimentos como, por exemplo, o mo-
vimento de um projéctil, que ocorre num plano vertical, 
são necessários apenas dois eixos para descrever as po-
sições do projéctil. E se o movimento for segundo uma 
linha recta, então basta apenas um eixo para descrever 
a posição nessa linha. Já a posição de uma mosca, com 
uma trajectória curvilínea irregular, necessita de três ei-
xos para ser correctamente descrita.
Posição num referencial e coordenadas cartesianas
O 
y 
x 
O
O
x
Para descrever a posição da mosca no espaço 
é necessário utilizar três coordenadas (duas 
coordenadas horizontais e uma coordenada 
vertical).
Para descrever a posição de um projéctil no espaço pode 
utilizar-se duas coordenadas (uma coordenada horizontal e uma 
coordenada vertical).
Para descrever a posição da pessoa numa linha recta 
pode utilizar-se uma única coordenada horizontal.
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1 Na foto acima da queda da esfera, a foto evidencia que a esfera move-se cada vez mais 
depressa. Porquê? 
2 Quantas coordenadas são necessárias para descrever a posição da esfera? Porquê?
3 Admita que coloca a origem do referencial no ponto em que a esfera atinge o chão e que o 
eixo Oy aponta para cima. Nesse caso, quanto vale a coordenada da esfera no instante em que 
atinge o solo?
O tempo é uma grandeza física que se pode 
medir com relógios. Não é fácil definir o tempo de 
outro modo. Santo Agostinho, um filósofo que vi-
veu há mais de 1500 anos, escreveu “se não me 
perguntarem o que é o tempo, eu sei o que é, mas 
se me perguntarem então já não sei o que é o 
tempo...”.
Um objecto em movimento evidencia a pas-
sagem do tempo. Tempo e movimento são, pois, 
conceitos intimamente associados. O conceito de 
movimento é mais facilmente definido: há movi-
mento quando há mudança de posição.
Como representar numa folha de papel um ob-
jecto em movimento, se qualquer imagem no papel 
está necessariamente parada? Há várias formas de 
o fazer, como já se fez na página anterior: o trace-
jado do caminho da mosca no espaço sugere por 
onde a mosca se moveu... e as várias representa-
ções da bala de canhão sugerem que a bala esteve 
em várias posições!
A trajectória de um objecto em movimento é o 
conjunto de todas as posições do objecto à medida 
que o tempo passa. Há trajectórias “simples”, como 
as trajectórias rectilíneas e as trajectórias circu-
lares, mas a maioria das trajectórias são bastante 
complexas. Algumas trajectórias curvilíneas, como 
a trajectória do movimento de um projéctil em cer-
tas condições, são descritas matematicamente, sem 
dificuldade.
Uma forma muito prática de representar um 
objecto em movimento, numa folha de papel, é 
através da chamada representação estrobos-
cópica: neste tipo de representação, o objecto é 
representado em várias posições de tal modo que 
entre duas posições sucessivas passa sempre 
o mesmo intervalo de tempo. Utilizando uma 
lâmpada estroboscópica (acende e apaga a interva-
los de tempo constante) podem fazer-se fotografias 
estroboscópicas.
Tempo, trajectória e representações do movimento
Uma foto estroboscópica do movimento de queda 
livre de uma esfera. Entre cada duas imagens 
sucessivas decorre o mesmo intervalo de tempo. 
A trajectória da esfera é vertical. A esfera 
inicialmente estava atraída magneticamente ao 
suporte S, atracção essa que pode ser desligada 
utilizando um interrutor. Quando o interruptor é 
desligado, inicia-se a contagem do tempo no relógio 
digital R. A contagem do tempo termina quando a 
esfera bate na placa P (a colisão envia um sinal ao 
relógio). 
Uma lâmpada estroboscópica.
P R
S
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1	 Que	significa	dizer	que	uma	variável	é	função	de	outra	variável?
2 Em geral, utiliza-se o eixo Oy para representar um eixo vertical. Poder-se-á utilizar um eixo Ox 
em vez de Oy? Porquê?
3 Alguns alunos mais distraídos confundem a trajectória de um objecto em movimento com o 
gráfico	da	posição	desse	objecto	em	função	do	tempo.	Como	é	que	explicaria	a	um	desses	
“distraídos” que essa confusão não tem “lógica”?
Um bom modo de representar o movimento 
de um objecto é utilizar gráficos e tabelas 
que mostrem os valores da distância percor-
rida e da posição em função do tempo, num 
referencial conveniente. Vejamos alguns 
exemplos para o mo-
vimento de queda de 
uma pequena esfera 
(os valores foram ob-
tidos com o modelo 
matemático que será 
estudado adiante).
Distância percorrida 
pela esfera na queda, 
em função do tempo 
decorrido desde o início 
da queda.
Referencial com eixo Oy 
apontando para baixo, 
com origem no ponto 
de partida.
Posição no eixo Oy, 
em função do tempo 
decorrido desde o início 
da queda.
Referencial com eixo Oy 
apontando para cima, 
com origem no solo.
Posição no eixo Oy, 
em função do tempo 
decorrido desde o início 
da queda. A altura do 
ponto de partida, acima 
da origem O, era de 
1,400 m.
Gráficos e tabelas da distância percorrida e da posição em 
função do tempo 
O
O
y
y
x
x
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1 Qual foi a velocidade da pessoa entre 100 s e 120 s no percurso referido acima? Fundamente a 
resposta.
2 No percurso total, ida e volta, qual foi a distância percorrida?
3 Distância percorrida e distância ao ponto de partida têm sempre o mesmo valor? Fundamente 
a resposta, dando exemplos adequados.
Como calcular a velocidade, quando a velocidade é constante
85 s – 10 s = 75 s
105 m – 0 m = 105 m
205 m – 105 m = 100 m
190 s – 125 s = 65 s
Primeira parte do percurso: 
afastando-se da praia...
Segunda parte do percurso: 
aproximando-se da praia...
(Nota: como a posição determinada 
pelo GPS tem um pequeno erro, a 
trajectória sobreposta no Google Earth 
ficou um pouco deslocada em relação 
ao percurso efectivamente realizado).
O movimento de queda livre é um movimento em que 
a velocidade aumenta à medida que o tempo passa 
(até atingir o solo, claro). Outros movimentos podem 
decorrer com velococidade constante, ou aproxima-
damente constante. 
A foto ao lado mostraum percurso a pé, aproxi-
madamente rectilíneo, feito com um GPS num pontão 
numa praia: o movimento iniciou-se na praia, foi-se até 
ao final do pontão e regressou-se. Mas, como se pode 
ver no gráfico, nem sempre se esteve em movimento... 
O gráfico representa a distância percorrida, a partir do 
ponto de partida, em função do tempo decorrido.
O movimento iniciou-se 10 s depois de se começar a 
registar os dados: durante os primeiros 10 s, a distân-
cia percorrida foi, pois, nula...
A seguir, durante 75 s, entre 10 s e 85 s, a pessoa 
andou 105 m e depois esteve cerca de 40 s parada no 
extremo do pontão...
Ao fim de 125 s, voltou para o ponto de partida, 
demorando um intervalo de tempo menor do que no 
percurso de ida (na volta demorou 65 s, quando tinha 
demorado 75 s na ida).
No percurso de ida, 
a velocidade foi apro-
ximadamente cons-
tante (por exemplo, 
em cada 10 s percorreu 
sempre a mesma dis-
tância). A magnitude 
da velocidade, no per-
curso de ida, vale
105 m
1,4 m/s
75 s
Quando a velocidade é constante, basta di-
vidir a distância percorrida pelo tempo gasto 
para obter a magnitude da velocidade.
N
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A magnitude da velocidade e o declive do gráfico da distância 
percorrida em função do tempo
variação da 
grandeza no 
eixo horizontal
variação da grandeza 
no eixo vertical
205 m – 150 m = 55 m
150 m – 105 m = 45 m
160 s – 125 s = 35 s
190 s – 160 s = 30 s
1	 Descreva	numa	ou	duas	frases	o	que	é	o	declive	de	uma	linha	num	gráfico.
2	 Qual	é	o	declive	da	linha	do	gráfico	entre	100	s	e	110	s?	Fundamente	a	resposta.
3 Qual é a magnitude da velocidade entre 100 s e 110 s? Fundamente a resposta.
4 O declive da linha entre 10 s e 20 s é maior/menor/igual [riscar o que estiver errado] ao 
declive	da	linha	entre	20	s	e	30	s.	Que	significado	tem	essa	relação?
magnitude da velocidade, entre 125 s e 160 s
magnitude da velocidade, entre 160 s e 190 s
Vejamos novamente os dados referentes ao movimento da 
página anterior, no pontão da praia.
No regresso, depois de estar parada cerca de 20 s no 
final do pontão, a pessoa voltou, andando mais devagar... 
durante cerca de 35 s, até meio do pontão, e depois voltou a 
andar mais depressa, do meio do pontão até ao ponto 
de partida. Como se pode saber se anda mais de-
pressa ou mais devagar apenas a partir do gráfico da 
distância percorrida em função do tempo?
Para responder a este tipo de questões, calcula-se 
o chamado declive da “linha” que representa a distância 
percorrida em função do tempo decorrido, para um determi-
nado intervalo de tempo. O declive é o quociente entre a 
variação da grandeza no eixo vertical (neste caso, eixo 
da distância percorrida) e a variação da grandeza no eixo 
horizontal (neste caso, eixo do tempo decorrido).
Calculemos então a magnitude da velocidade no percurso 
de volta, onde primeiro se andou mais devagar e depois um 
pouco mais depressa (entre 125 s e 160 s o declive é menor 
que entre 160 s e 190 s):
variação da grandeza no eixo vertical
declive
variação da grandeza no eixo horizontal
45 m
1,3 m/s
35 s
55 m
1,8 m/s
30 s
declive menor...
declive maior...
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Gráficos posição-tempo e cálculo da velocidade
5 m – 60 m = – 55 m
60 m – 105 m = – 45 m
160 s – 125 s = 35 s
190 s – 160 s = 30 s
1	 Sobreponha	ao	gráfico	posição-tempo	acima,	o	respectivo	gráfico	distância	percorrida-tempo	
(indique	com	um	nome	adequado	a	linha	correspondente	ao	novo	gráfico).
2 No percurso de A para B, para onde aponta a velocidade?
3 No percurso de B para A, para onde aponta a velocidade?
declive da linha correspon-
dente ao intervalo de tempo 
entre 125 s e 160 s:
declive da linha correspondente ao 
intervalo de tempo entre 160 s e 
190 s:
A distância percorrida por um objecto em movimento está sempre 
a aumentar. O mesmo não sucede necessariamente com a coorde-
nada de posição.
Por exemplo, no percurso estudado nas páginas anteriores, uma 
pessoa iniciou um movimento na praia, foi até ao extremo do pontão 
e voltou para trás até ao ponto de partida. A distância percorrida au-
mentou ao longo do tempo (excepto quando se esteve parado, claro!) 
mas a coordenada de posição x no eixo Ox, que coincide com a 
trajectória, primeiro aumentou e depois diminuiu (ver representação 
do eixo ao lado sobre a foto: a origem O está no ponto de partida). O 
gráfico abaixo mostra essa coordenada x, em função do tempo decor-
rido.
A magnitude da velocidade pode ser calculada quer a partir do 
gráfico distância percorrida-tempo quer do gráfico posição-tempo. Se 
houver movimento, o declive obtido no gráfico distância percorrida-
tempo é sempre positivo, porque a variação da distância percorrida 
é sempre positiva. Mas num gráfico posição-tempo, a variação 
da coordenada de posição pode ser positiva ou negativa, con-
soante a coordenada aumente ou diminua. Assim, o declive da 
linha, num gráfico posição-tempo, pode ser negativo ou positivo. 
Note-se que isto não significa que “a velocidade possa ser negativa”! 
De facto, não há vectores negativos... Nas páginas seguintes vamos 
ver qual é o significado deste declive negativo.
O
x
y
55 m
1,8 m/s
30 s
-
= -
45 m
1,3 m/s
35 s
-
= -
N
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30
O GPS de um atleta informa que a magnitude da velocidade 
do atleta é, num certo instante, 20 km/h e a direcção é 
295º (ver foto). 
1 Para onde aponta a velocidade do atleta?
2 Que ângulo faz essa velocidade com o norte? E com o 
oeste? E com o noroeste?
3 Como se caracteriza a velocidade do atleta, utilizando os 
dois	significados	do	termo	velocidade?
Já no ano anterior se usaram vectores para representar quantida-
des físicas. Um vector é um “objecto matemático” que:
 • tem um determinado valor (esse valor designa-se por mag-
nitude, mas também se usam os termos módulo e norma);
 • “aponta” para um certo lado.
Vimos também que o lado para onde um vector aponta é de-
signado internacionalmente por direcção do vector. Por exemplo, 
se a velocidade de um barco aponta para nordeste, diz-se que a 
sua velocidade tem a direcção nordeste ou 045 (faz um ângulo de 
45º com o norte).
Mas em Portugal utiliza-se frequentemente a convenção se-
gundo a qual uma direcção é uma linha e cada linha tem dois 
sentidos. Usando esta linguagem, no caso de um barco a dirigir-se 
para nordeste, diz-se que o barco se move numa direcção 
sudoeste-nordeste, sentido para nordeste.
Dizer que uma direcção é uma linha com dois sentidos é uma 
linguagem um pouco mais “complicada” que a usada internacio-
nalmente e irá, certamente, cair em desuso, porque é desneces-
sária. E é pouco prático estar a identificar deste modo a direcção 
quando, por exemplo, se utiliza um GPS (onde a palavra direcção 
tem sempre o significado usado internacionalmente). 
Vectores, magnitude e direcção
Este vector aponta na 
direcção sudoeste
Significado utilizado internacionalmente 
para a palavra “direcção”, um exemplo:
Significado utilizado em Portugal para a 
palavra “direcção”, um exemplo:
Este vector tem direcção 
sudoeste-nordeste, 
sentido sudoeste
Este vector aponta na 
direcção nordeste
Este vector tem direcção 
sudoeste-nordeste, 
sentido nordeste
31
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1 Um vector é independente das suas componentes... As componentes é que dependem do 
vector.	Explique	o	significado	desta	afirmação.
2 Em que condições é que as componentes escalares de um vector são ambas positivas e têm 
igual valor?
3 Em que condições é que a componente escalar de um vector segundo Oy é nula?
4 Em que condições é que a componente escalar de um vector segundo Ox é nula?
Vectores e componentes vectoriais
Uma ideia importanteacerca dos vectores é que não há “vectores 
negativos”. Quando se coloca um sinal “menos” atrás da letra que 
representa o vector, está-se a indicar o vector simétrico (aponta 
para o lado oposto), não um vector negativo.
Para se poder “fazer contas” com vectores, sem ser com regras 
gráficas como as que já vimos no ano anterior (por exemplo, a re-
gra cabeça-contra-cauda ou a regra do paralelogramo), utilizam-se 
as chamadas componentes de um vector segundo um eixo.
A componente vectorial de um vector segundo um eixo ob-
tém-se projectando o vector nesse eixo:
Utilizando dois eixos perpendiculares, obtêm-se as componen-
tes vectoriais do vector segundo cada um dos eixos. A cada com-
ponente vectorial corresponde um número, positivo ou negativo, 
a chamada componente escalar. As componentes costumam ser 
representadas com um índice, que indica a que eixo de referem. 
As componentes escalares podem ser calculadas conhecendo a 
magnitude do vector e o ângulo com um dos eixos:
O x
vector
componente do vector segundo o eixo Ox
O x
componente escalar do vector 
segundo o eixo Ox = + 8 
unidades
cálculo da componente, a partir 
do ângulo e da magnitude de v:
a = 26,6º
cálculo da componente, a partir 
do ângulo e da magnitude de v:
ou:
90 – a
cálculo da magnitude de v, a 
partir das componentes:
Recorde que:
componente escalar do vector 
segundo o eixo Oy = + 4 
unidades
5
5

v

yv
v x = + 8
vy = + 4
vector soma
vector soma
Exemplo da aplicação da regra 
cabeça-contra-cauda:
Como somar vectores
Exemplo da aplicação da regra 
do paralelogramo:

yv v = +
=
4 8
8 94
2 2
, unidades
cos
cos( º )
a
a
= =
- =
cateto adjacente
hipotenusa
cateto adjac
v
v
x
90
eente
hipotenusa
cateto oposto
hipotenusa
=
= =
v
v
v
v
y
ysina
v vx = ´
= ´
= ´
= ´
=
cos
, cos
, cos . º
, ,
a
a8 94
8 94 26 6
8 94 0 8944
8
v vy = ´ -
= ´ -
= ´
= ´
cos( º )
, cos( º . º)
, cos , º
, ,
90
8 94 90 26 6
8 94 63 4
8 94 0 4
a
4472
4=
v vy = ´
= ´
= ´ =
sin
, sin , º
, ,
a
8 94 26 6
8 94 0 4472 4
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32
Velocidade: magnitude versus componente escalar (positiva ou 
negativa) 
160 s – 125 s = 35 s85 s – 10 s = 75 s
1	 Calcule	a	componente	escalar	da	velocidade	no	final	da	segunda	parte	do	percurso,	enquanto	a	
pessoa se aproxima de terra, mais depressa.
2 Se o eixo Ox apontasse para terra, em lugar de apontar para o mar, que valores teriam as 
componentes escalares da velocidade, no percurso de ida e no percurso de volta?
3 Por que motivo não faz sentido dizer uma velocidade é negativa ou positiva? Explique o seu 
raciocínio, utilizando um ou vários exemplos.
declive da linha correspondente ao intervalo 
de tempo entre 125 s e 160 s:
declive da linha 
correspondente ao 
intervalo de tempo entre 
10 s e 85 s:
ida, velocidade aponta para o 
mar, vx = 1,4 m/s
regresso, entre 125 s e 160 s, 
velocidade aponta para terra, 
vx = – 1,3 m/s
Na ida, a velocidade tem 
magnitude 1,4 m/s e aponta 
para o mar. 
Na volta, entre 125 s e 160 s, 
a velocidade tem magnitude 
1,3 m/s e aponta para terra.
No percurso estudado nas páginas anteriores, em que uma pessoa 
iniciou um movimento na praia, foi até ao extremo do pontão e 
voltou para trás até ao ponto de partida, a velocidade na primeira 
parte do percurso apontava para o mar e no regresso apontava 
para terra. 
Não faz qualquer sentido dizer que a velocidade primeiro era 
“positiva” e depois era “negativa” no regresso. De facto, a velo-
cidade, bem como qualquer grandeza vectorial, nunca pode ser 
negativa ou positiva. A magnitude da velocidade é, sempre, 
positiva ou nula, mas a velocidade em si mesmo não é nem posi-
tiva nem negativa! A linguagem correcta e sem ambiguidades que 
se deve utilizar é indicar a direcção sempre que necessário: por 
exemplo, podemos dizer que a direcção da velocidade apontava 
para o mar na primeira parte do percurso e no regresso apontava 
para terra.
Mas se utilizarmos um referencial, como o da figura, em que 
o eixo Ox coincide parcialmente com a trajectória, podemos dizer 
que na primeira parte do percurso a velocidade tinha uma compo-
nente escalar positiva segundo o eixo Ox e no regresso tinha uma 
componente escalar negativa, segundo esse mesmo eixo. Ora é 
precisamente esta componente escalar da velocidade que é 
calculada pelo declive da linha no gráfico da coordenada de 
posição x em função do tempo: O
x
y
45 m
1,3 m/s
35 s
-
= -
N
105 m
60 m – 105 m = – 45 m
105 m
1,4 m/s
75 s
33
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Como calcular a velocidade, utilizando um gráfico, quando a 
velocidade não é constante
1	 Verifique	que	a	magnitude	da	velocidade	no	instante	t = 30 s é 
(160 m – 40 m) / (36 s – 26 s) = 12 m/s.
2 Calcule a magnitude da velocidade no instante t = 34 s.
3	 Identifique	dois	instantes,	em	posições	distintas,	em	que	a	velocidade	seja	nula.	Fundamente	a	
resposta.
Até agora calculámos a magnitude da velocidade, em intervalos de tempo em 
que a velocidade era constante (ou melhor, aproximadamente constante...). 
Mas também é possível calcular a magnitude da velocidade quando a veloci-
dade está a aumentar ou quando está a diminuir.
Os dados do gráfico abaixo foram obtidos com um GPS num carro que an-
dou 135 m em linha recta durante 44 s: esteve parado cerca de 10 s, arran-
cou... travou e voltou a parar durante poucos segundos, acelerou novamente 
e finalmente travou! Determinando o declive da linha tangente no gráfico, 
em diversos instantes, é possível calcular a velocidade nesses instantes. 
Por exemplo, no instante t = 24 s (note que a menor divisão no eixo do 
tempo vale 2 s e a menor divisão no eixo da distância vale 20 m/5 = 4 m), o 
declive da linha pode ser calculado utilizando os catetos do triângulo a verde, 
cuja hipotenusa é tangente à linha do gráfico nesse instante. A altura do tri-
ângulo vale 60 m – 0 m = 60 m e a base vale 28 s – 21 s = 7 s. Assim, re-
presentando a magnitude da velocidade nesse instante por v24, temos: 
t = 12 s
t = 24 s
t = 30 s
t = 34 s
24
60 m 0 m 60 m
8,6 m/s
28 s 21 s 7 s
v
N
Trajectória do carro durante 44 s, de A para B 
(distância 135 m). A velocidade do carro não 
foi constante.
A
B
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Velocidade num “instante”: o significado físico 
1 A largura da estrada da rotunda foto é de aproximadamente 20 m. Faça uma estimativa do 
erro do GPS, admitindo que o mapa do Google não tem erro...
2	 Por	que	razão	se	afirmou	na	questão	anterior	que	o	mapa	do	Google	não	tem	erro?	Que	
origens	pode	ter	o	erro	na	trajectória	numa	foto	como	a	da	figura	acima?
3 Se um carro andar 42 km numa hora às voltas na rotunda (que enjoo...!), que distância se 
desloca em relação ao ponto de partida?
A velocidade de um objecto é uma grandeza vectorial que se refere a um 
“instante”. Por exemplo, quando dizemos que a velocidade de um carro é 
42 km/h, num certo instante, isso indica que se o carro se mantiver àquela 
velocidade durante uma hora, deslocar-se-á para uma posição a 42 km, na 
direcção da velocidade.
Na linguagem comum, a palavra velocidade refere-se muitas vezes ape-
nas à magnitude da velocidade. Assim, de modo semelhante, quando não se 
tem em conta a direcção da velocidade, se dissermos que a velocidade de 
um carro é 42 km/h, num certo instante, isso indica que se o carro se man-
tiver com aquela magnitude de velocidade, durante uma hora, percorrerá a 
distância de 42 km, qualquer que seja a trajectória (até pode andar às vol-
tas!).
Por vezes, estamos interessados apenas na distância percorrida. Nesse 
caso, a magnitude da velocidade é suficiente para se fazer cálculos. Mas, 
noutras situações, podemos estar interessados também em conhecer para 
onde se deu ou se vai dar a mudança de posição. Ora, issosó é possível se 
se conhecer a direcção da velocidade... Em percursos em terra firme, a mag-
nitude da velocidade é, em geral, suficiente, porque os percursos não são 
em linha recta. Mas no mar e no ar, a direcção da velocidade é fundamental, 
porque os percursos podem ser em linha recta.
N
263º, 42 km/h230º, 38 km/h
168º, 34 km/h
077º, 41 km/h
269º, 45 km/h
312º, 44 km/h
Numa hora, o carro 
deslocar-se-ia 42 km nesta 
direcção, se a velocidade 
no instante 1 s se 
mantivesse constante...
Numa hora, o 
carro percorreria a 
distância de 42 km, 
se a magnitude da 
velocidade no instante 
1 s se mantivesse 
constante...
A velocidade do carro, 1 s depois 
de se começar a medir o tempo, 
era de 42 km/h, na direcção 263º 
(apontava aproximadamente para 
oeste)
Começou-se a 
medir o tempo 
aqui...
(Nota: como a posição determinada 
pelo GPS tem um pequeno erro, a 
trajectória sobreposta no Google 
Earth ficou um pouco deslocada em 
relação ao percurso efectivamente 
realizado).
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Velocidade média e rapidez média: diferenças entre linguagem 
do dia a dia e linguagem física
1	 Na	linguagem	comum,	que	significa	velocidade	média?
2	 Na	linguagem	física,	que	significa	velocidade	média?
3 Na linguagem física, velocidade é uma grandeza que se refere a um instante. Por exemplo, 
num certo instante, a velocidade do carro valia 42 km/h e apontava para oeste. Que 
significado	tem	a	velocidade	num instante?
Na linguagem do dia a dia, “velocidade média” indica a distância percorrida 
por unidade de tempo, em média. Por exemplo, num percurso feito à ve-
locidade média de 80 km/h, em média, em cada hora, percorre-se 80 km. 
Claro que não se necessita de andar uma hora... nem percorrer 80 km...! Por 
exemplo, de se percorrer apenas 40 km, em meia hora, a “velocidade média” 
é de 40 km / 0,5 h = 80 km/h.
Na linguagem rigorosa da Física, a velocidade de um objecto é uma gran-
deza vectorial e refere-se a um instante, não a um intervalo de tempo. Por 
isso, a “velocidade média” da linguagem do dia a dia é algo com um signi-
ficado diferente da linguagem física. Deste modo, é mais correcto falar em 
rapidez média em vez de velocidade média. A rapidez média diz respeito à 
distância percorrida, em média, por unidade de tempo. A distância percorrida 
é uma grandeza escalar (só interessa quanto vale): por isso, a rapidez mé-
dia é também uma grandeza escalar.
A palavra velocidade fica, assim, reservada para a grandeza vectorial, 
com o significado explicado na página anterior: por exemplo, um objecto 
com a velocidade de 80 km/h, movendo-se na direcção oeste, estará num 
ponto a 80 km, a oeste do ponto de partida, uma hora depois.
Na linguagem da Física, velocidade média é, de facto, um vector: re-
laciona um deslocamento (que é uma grandeza vectorial) com o tempo que 
demora esse deslocamento. Mas, como facilmente se compreende, esta defi-
nição física de velocidade média pouca utilidade tem para percursos em terra 
firme, uma vez que os estes percursos são em geral linhas curvas e a mag-
nitude do deslocamento é diferente da distância percorrida.
Neste percurso, a distância percorrida foi de 508 m, em 43 s 
(registados no GPS). Portanto, a rapidez média no percurso foi 
 508 m / 43 s = 11,8 m/s , 
ou seja 
 0,508 km / (43/3600) h = 42,5 km/h.
Para se calcular a velocidade média neste percurso (definida 
na linguagem rigorosa da Física), era necessário determinar a 
magnitude do deslocamento e dividir esse vector pelo intervalo 
de tempo que demorou o deslocamento...
A grandeza velocidade média, tal como é definida rigorosamente 
na linguagem da Física, é pouco útil, principalmente quando os 
percursos não são rectilíneos.
O vector deslocamento num certo intervalo de 
tempo une a posição inicial à posição final, nesse 
intervalo de tempo (vector representado a branco).
	1	Movimentos na Terra e no espaço
	1.1 Viagens com GPS
	Funcionamento e aplicações do sistema GPS
	Posição na Terra e coordenadas geográficas
	Como funciona o sistema GPS?
	Posição num referencial e coordenadas cartesianas
	Tempo, trajectória e representações do movimento
	Gráficos e tabelas da distância percorrida e da posição em função do tempo 
	Como calcular a velocidade, quando a velocidade é constante
	A magnitude da velocidade e o declive do gráfico da distância percorrida em função do tempo
	Gráficos posição-tempo e cálculo da velocidade
	Vectores, magnitude e direcção
	Vectores e componentes vectoriais
	Velocidade: magnitude versus componente escalar (positiva ou negativa) 
	Como calcular a velocidade, utilizando um gráfico, quando a velocidade não é constante
	Velocidade num “instante”: o significado físico 
	Velocidade média e rapidez média: diferenças entre linguagem do dia a dia e linguagem física