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Aula 10
Probabilidade e Estatística p/ EBSERH (Engenheiro de Segurança do
Trabalho) - Pós-Edital
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1.	 Teorema de Chebyshev ................................................................................................................................... 3	
2.	 Revisão de Matemática ................................................................................................................................... 4	
3.	 Variáveis Aleatórias Contínuas ........................................................................................................................ 8	
4.	 Função de Distribuição .................................................................................................................................. 13	
5.	 Moda e Mediana ........................................................................................................................................... 13	
6.	 Média e Variância ......................................................................................................................................... 14	
7.	 Lista de Questões de Concursos sem Comentários ......................................................................................... 18	
8.	 Gabarito sem comentário .............................................................................................................................. 24	
9.	 Lista de Questões de Concursos com Comentários ........................................................................................ 25	
9.1.	 Teorema de Chebyshev .................................................................................................................................. 25	
8.1.	 Variáveis Aleatórias Contínuas ...................................................................................................................... 36	
Considerações Finais ............................................................................................................................................. 56	
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. TEOREMA DE CHEBYSHEV 
Antes de qualquer coisa, vale dizer que já vi o nome do camarada acima escrito de diversas 
maneiras: Chebyshev, Tchebychev, Tchebyscheff,... 
Vamos considerar uma variável aleatória que representa as alturas dos jogadores de basquete. A 
média das alturas dos jogadores é 𝜇 = 185	𝑐𝑚 e o desvio padrão é 𝜎 = 5	𝑐𝑚. 
Podemos construir intervalos centrados na média da seguinte forma: 
𝜇 ± 𝜎 = (185 − 5; 185 + 5) = (180; 190) 
𝜇 ± 2𝜎 = (185 − 2 × 5; 185 + 2 × 5) = (175; 195) 
𝜇 ± 3𝜎 = (185 − 3 × 5; 185 + 3 × 5) = (170; 200) 
E assim por diante. 
É claro que quanto maior for o intervalo, teremos uma quantidade cada vez maior de jogadores de 
basquete que pertencem a ele. 
Os intervalos que construímos são da forma 𝜇 ± 𝑘𝜎. 
Pois bem. O teorema de Chebyshev (ou Desigualdade de Chebyshev) afirma que a proporção 
mínima de valores de dados que pertencem ao intervalo 𝜇 ± 𝑘𝜎 é 1 − 7
89
. 
Podemos também dizer que a proporção máxima de valores que não pertencem ao intervalo 
𝜇 ± 𝑘𝜎 é 7
89
. 
Assim, sendo 𝑝 a proporção de dados que pertencem ao intervalo 𝜇 ± 𝑘𝜎, o teorema de 
Chebyshev garante que: 
𝑝 ≥ 1 −
1
𝑘< 
Vamos voltar ao nosso exemplo dos jogadores de basquete. Para o intervalo 𝜇 ± 2𝜎 (𝑘 = 2), 
temos que: 
𝑝 ≥ 1 −
1
2< 
 
𝑝 ≥ 0,75 
 
𝑝 ≥ 75% 
Em outras palavras, pelo menos 75% dos jogadores de basquete pertencem ao intervalo 𝜇 ± 2𝜎 =
(175; 195), ou seja, pelo menos 75% dos jogadores tem entre 175 e 195 cm. Podemos também 
dizer que no máximo 25% tem altura menor do que 175 cm ou maior do que 195cm. 
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2. REVISÃO DE MATEMÁTICA 
Para resolver problemas envolvendo variáveis aleatórias contínuas, precisaremos trabalhar com 
algumas funções matemáticas e também com o cálculo de áreas. 
 
• Área de um retângulo 
 
A área de um retângulo é o produto do comprimento da base pelo comprimento da altura. 
 
𝑆 = 𝑏 ∙ ℎ 
• Área de um triângulo 
 
A área de um triângulo é o semiproduto do comprimento da base pelo comprimento da altura. 
A altura é o segmento que liga um vértice ao lado oposto formando um ângulo de 90 graus. Todo 
triângulo possui três alturas. 
Assim, para calcular a área de um triângulo, deveremos escolher um lado para ser a base e, sem 
seguida, devemos determinar a altura relativa ao lado escolhido. Qual o melhor lado para escolher 
como base? Vai depender do problema. 
Na figura a seguir, tracei a altura relativa ao lado b. 
 
𝑆 =
𝑏 ∙ ℎ
2 
 
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Se o triângulo for um triângulo retângulo, um cateto pode ser a base e o outro cateto a altura. 
Dessa forma, a área de um triângulo retângulo é a metade do produto dos comprimentos dos 
catetos. 
 
 
𝑆 =
𝑏 ∙ 𝑐
2 
• Área de um trapézio 
Trapézio é um quadrilátero que possui dois lados paralelos. 
 
A área de um trapézio é dada por: 
𝐴 =
(𝐵 + 𝑏) ∙ ℎ
2 
Em que 𝐵 e 𝑏 são os lados paralelos (bases) e ℎ é a altura, ou seja, a distância entre as bases. 
Se a altura coincide com um dos lados, dizemos que o trapézio é um trapézio retângulo (um dos 
lados é perpendicular às bases). 
 
 
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É comum que a figura do trapézio retângulo apareça assim: 
 
Lembre-se que as bases são os lados paralelos e a altura é o segmento perpendicular às bases. 
 
• Determinação da equação de uma reta no plano cartesiano 
 
A equação reduzida de uma reta é 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝. 
O coeficiente 𝑚 é a taxa de variação (também conhecido como “coeficiente angular” da reta). Se a 
reta passa pelos pontos (𝑥7, 𝑦7) e (𝑥<, 𝑦<), então a taxa de variação é dada por: 
𝑚 =
Δ𝑦
Δ𝑥 =
𝑦< − 𝑦7
𝑥< − 𝑥7
 
O coeficiente 𝑏 é o termo independente e indica o ponto em que a reta corta o eixo 𝑦. 
 
Vamos determinar a equação da reta AB na figura acima. A reta passa pelos pontos (1,5) e (3,9). 
Vamos calcular a taxa de variação. A taxa de variação é o quociente entre a variaçãode y e a 
variação de x. 
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𝑚 =
Δ𝑦
Δ𝑥 =
9 − 5
3 − 1 =
4
2 = 2 
 
Assim, a equação da reta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 fica 𝑦 = 2𝑥 + 𝑝. 
Precisamos calcular o valor de 𝑝. Podemos usar indistintamente um dos pontos (1,5) ou (3,9). 
Vamos utilizar o segundo ponto, por exemplo (o resultado dá o mesmo independente do ponto 
que você escolher). 
O ponto (3,9) indica que 𝑦 = 9 para 𝑥 = 3. Vamos substituir na equação 𝑦 = 2𝑥 + 𝑝. 
9 = 2 ∙ 3 + 𝑝 
 
9 = 6 + 𝑝 
 
𝑝 = 3 
Logo, a equação da reta é 𝑦 = 2𝑥 + 3. 
Como 𝑝 = 3, então a reta corta o eixo 𝑦 no ponto 𝐶(0,3). Observe. 
 
 
 
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Algumas questões de Estatística envolvendo Variáveis Aleatórias Contínuas exigem um 
pouco de Cálculo Diferencial e Integral, que é um assunto estudado em alguns cursos 
superiores. 
 
Se você não é da área de exatas, a minha sugestão é que você pule este assunto, pois a 
chance de cair é pequena. Aprenda a resolver os exercícios que não envolvem Cálculo 
Diferencial e Integral. 
 
Se você é da área de exatas e quer revisar um pouco de Cálculo Diferencial e Integral, 
colocarei um PDF extra para que você possa relembrar. 
 
 
3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 
 
Ao contrário de uma variável aleatória discreta, uma variável aleatória contínua pode assumir 
qualquer valor dentro de um intervalo definido de valores. 
Desta maneira, para distribuições de probabilidade, não se consegue enumerar todos os possíveis 
valores de uma variável aleatória contínua com os valores de probabilidades correspondentes. 
Em lugar disso, a abordagem mais conveniente é construir uma função densidade de 
probabilidade, baseada na função matemática correspondente. 
Para definir uma função de probabilidade contínua, é necessário utilizar critérios diferentes das 
variáveis discretas, isto porque X deverá estar compreendido entre dois valores diferentes (em se 
considerando uma variável aleatória contínua), sendo que em geral a probabilidade de x assumir 
um determinado valor é 0. 
No caso de variáveis contínuas, as probabilidades são especificadas em termos de intervalos, pois a 
probabilidade associada a um número específico é zero. 
 
Uma variável aleatória 𝑋 é contínua em ℝ se existir uma função 𝑓 tal que: 
• 𝑓(𝑥) ≥ 0 para todo 𝑥 real (a função é não negativa) 
• ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1PQP (a área total sob o gráfico é igual a 1, ou seja, a probabilidade total é igual a 
1). 
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A função 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) é chamada função densidade de probabilidade (fdp). 
A probabilidade de a variável assumir um valor específico é igual a 0. Por exemplo, 
𝑃(𝑋 = 5) = 0 
O que podemos é calcular a probabilidade associada a um intervalo. Essa probabilidade é sempre 
calculada pela área sob o gráfico no determinado intervalo. 
Ademais, não importa se o intervalo é aberto ou fechado, ou seja: 
𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝐵) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) 
 
 
Matematicamente, escrevemos: 
𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = V 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
W
X
 
Muitas questões dispensam o cálculo da integral, pois é possível calcular a área através das 
fórmulas das áreas de polígonos. 
 
Podemos estender todas as definições de variáveis aleatórias discretas para variáveis 
aleatórias contínuas. 
Vimos, por exemplo, que se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 0. 
Essa e outras propriedades que estudamos para variáveis aleatórias discretas também serão 
válidas aqui. 
 
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Uma variável aleatória contínua X tem função densidade de probabilidade definida por: 
𝑓(𝑥) = \0,07 − 0,001𝑥										𝑠𝑒	10 ≤ 𝑥 ≤ 30																		0																											𝑠𝑒	𝑥 < 10	𝑜𝑢	𝑥 > 30 
Determine 𝑃(20 < 𝑥 < 30). 
Resolução 
A função é definida por duas sentenças. Uma função afim (polinomial do primeiro grau) no 
intervalo de 10 a 30. Fora desse intervalo, a função é nula. 
O gráfico de 𝑦 = 0,07 − 0,001𝑥 é uma reta. Como devemos ficar restritos ao intervalo de 10 a 30, 
o gráfico será um segmento de reta nesse intervalo. 
Vamos calcular o valor de 𝑦 em 𝑦 = 0,07 − 0,001𝑥	para 𝑥 = 10	𝑒	𝑦 = 30. 
𝑓(10) = 0,07 − 0,001 × 10 = 0,06 
𝑓(30) = 0,07 − 0,001 × 30 = 0,04 
Assim, temos o seguinte gráfico. 
 
Observe que todas as condições foram feitas. A função é não negativa e a área sob o gráfico é igual 
a 1. Para conferir, basta calcular a área do seguinte trapézio. 
 
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A base maior do trapézio é 𝐵 = 0,06. A base menor do trapézio é 𝑏 = 0,04. A altura do trapézio é 
ℎ = 30 − 10 = 20. Assim, a área total abaixo do gráfico é 
𝐴 =
(𝐵 + 𝑏) ∙ ℎ
2 
 
𝐴 =
(0,06 + 0,04) ∙ 20
2 = 1 
Quem já estudou Cálculo Integral, poderia ter calculado essa área sem mesmo construir o gráfico. 
𝐴 = V (0,07 − 0,001𝑥)𝑑𝑥
ab
7b
 
 
𝐴 = c0,07𝑥 −
0,001𝑥<
2 d7b
ab
 
 
𝐴 = e0,07 ∙ 30 −
0,001 ∙ 30<
2
f − e0,07 ∙ 10 −
0,001 ∙ 10<
2
f 
 
𝐴 = 1,65 − 0,65 
 
𝐴 = 1 
Bom. Nada disso era necessário para resolver a questão. Estou só mostrando que realmente a área 
total abaixo do gráfico é igual a 1 e que realmente se trata de uma fdp (função densidade de 
probabilidade). 
O problema pede 𝑃(20 < 𝑥 < 30). Assim, precisamos calcular a área de 20 a 30. 
Vamos substituir 𝑥 por 20. 
𝑓(20) = 0,07 − 0,001 × 20 = 0,05 
 
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No trapézio acima, temos: 𝐵 = 0,05, 𝑏 = 0,04, ℎ = 30 − 20 = 10. A área é dada por: 
𝑃(20 < 𝑥 < 30) =
(𝐵 + 𝑏) ∙ ℎ
2 
 
𝑃(20 < 𝑥 < 30) =
(0,05 + 0,04) ∙ 10
2 = 0,45 
 
𝑃(20 < 𝑥 < 30) = 45% 
 
Quem quiser resolver por Cálculo Integral: 
𝑃(20 < 𝑥 < 30) = V (0,07 − 0,001𝑥)𝑑𝑥
ab
<b
 
 
= c0,07𝑥 −
0,001𝑥<
2 d<b
ab
 
 
= e0,07 ∙ 30 −
0,001 ∙ 30<
2
f − e0,07 ∙ 20 −
0,001 ∙ 20<
2
f 
 
= 1,65 − 1,20 = 0,45 
 
Logo, 𝑃(20 < 𝑥 < 30) = 45%. 
 
Repito: não aconselho candidatos que não sejam da área de exatas gastar energia 
estudando Cálculo Diferencial e Integral. A chance de cair uma questão sobre isso é 
muito baixa. Foque apenas nos exercícios que não exigem Cálculo (normalmente 
envolvem funções polinomiais do primeiro grau em que os gráficos são formados por 
retas ou segmentos de reta). 
 
 
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4. FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO 
Assim como fizemos para variáveis aleatórias discretas, também definimos Função de Distribuição 
(ou função de distribuição acumulada) para variáveis contínuas. 
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) 
Em outras palavras, calcular 𝐹(𝑘) é o mesmo que calcular a área de “k” para trás. 
𝐹(𝑘) = V 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
8
QP
 
Em que 𝑓(𝑥) é a fdp (função densidade de probabilidade) da variável X. 
Para encontrar 𝑓(𝑥), se existir, a partir de 𝐹(𝑥) é só fazer: 
𝑑
𝑑𝑥 𝐹
(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
nos pontos em que 𝐹(𝑥) é derivável. 
 
5. MODA E MEDIANA 
Esse é um tópico que exige Cálculo Diferencial e Integral. 
 
A mediana é o número 𝑚 tal que 𝐹(𝑚) = 0,5. 
Em outras palavras: a área da mediana pra trás é 50%. Assim, se 𝑚 é a mediana: 
V 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
h
QP
= 50% 
 
A moda é o maximante função densidade de probabilidade. Em outras palavras, a moda é o valor 
de 𝑥 que maximiza a fdp. 
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6. MÉDIA E VARIÂNCIA 
Esse tópico também exige Cálculo Diferencial e Integral. 
Se X é uma variável aleatória contínua, então a média (esperança) é dada por: 
𝐸(𝑋) = V 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
P
QP
 
A variância é dada por: 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = V (𝑥 − 𝜇)< ∙ 𝑓(𝑥)	𝑑𝑥
P
QP
 
Podemos também utilizar a fórmula alternativa da variância que estudamos lá nas variáveis 
aleatórias discretas. 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋<) − 𝜇< 
Em que 𝜇 = 𝐸(𝑋) e 
𝐸(𝑋<) = V 𝑥< ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
P
QP
 
 
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Uma variável aleatória contínua X tem função densidade de probabilidade definida por: 
 
𝑓(𝑥) = \		6𝑥 − 6𝑥
<										𝑠𝑒									0 ≤ 𝑥 ≤ 1										
								0														𝑠𝑒	𝑥 < 0	𝑜𝑢	𝑥 > 1									
 
Calcule a média e variância de X. 
Resolução 
Temos uma função quadrática. O gráfico é uma parábola cuja concavidade está voltada para baixo. 
 
A área total abaixo do gráfico é igual a 1, pois: 
V (6𝑥 − 6𝑥<)𝑑𝑥
7
b
= 
 
= c
6𝑥<
2 −
6𝑥a
3 db
7
 
 
= [3𝑥< − 2𝑥a]b7 
 
= 3 − 2 
 
= 1 
Não precisávamos ter feito esse cálculo. Foi só para mostrar que realmente se trata de uma fdp 
(função densidade de probabilidade). 
Vamos calcular a média. 
𝜇 = V 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
P
QP
 
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Como a função é nula fora do intervalo [0,1], podemos calcular a integral apenas nesse intervalo. 
𝜇 = V 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
7
b
 
 
𝜇 = V 𝑥 ∙ (6𝑥 − 6𝑥<)	𝑑𝑥
7
b
 
 
𝜇 = V (6𝑥< − 6𝑥a)𝑑𝑥
7
b
 
 
𝜇 = c
6𝑥a
3 −
6𝑥n
4 db
7
 
 
 
𝜇 = [2𝑥a − 1,5𝑥n]b7 
 
𝜇 = 2 − 1,5 
 
𝜇 = 0,5 
 
Para calcular a variância, precisamos calcular 𝐸(𝑋<) = ∫ 𝑥< ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥PQP . Como a função é nula fora 
do intervalo [0,1], podemos calcular a integral apenas nesse intervalo. 
𝐸(𝑋<) = V 𝑥< ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
7
b
 
𝐸(𝑋<) = V 𝑥< ∙ (6𝑥 − 6𝑥<)𝑑𝑥
7
b
 
 
𝐸(𝑋<) = V (6𝑥a − 6𝑥n)𝑑𝑥
7
b
 
 
𝐸(𝑋<) = c
6𝑥n
4 −
6𝑥o
5 db
7
 
 
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𝐸(𝑋<) =
6
4 −
6
5 
 
𝐸(𝑋<) = 1,5 − 1,2 
 
𝐸(𝑋<) = 0,3 
 
Agora vamos aplicar a fórmula da variância. 
 
𝜎< = 𝐸(𝑋<) − 𝜇< 
 
𝜎< = 0,3 − 0,5< 
 
𝜎< = 0,05 
Resposta: A média é 0,5 e a variância é 0,05. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS SEM COMENTÁRIOS 
 
1. (FCC 2018/TRT 14ª Região) 
A média de uma variável aleatória X, cuja distribuição é desconhecida, é igual a m, com m > 0. Pelo 
Teorema de Tchebichev, a probabilidade de X não pertencer ao intervalo (𝑚 − 𝜃,𝑚 + 𝜃), com 
𝑚 > 𝜃, é no máximo igual a 16%. O desvio padrão de X é então igual a θ multiplicado por 
a) 2/5. 
b) 1/4. 
c) 2/3. 
d) 4/9. 
e) 1/2. 
2. (FCC 2018/TRT 2ª Região) 
Em virtude de não se conhecer a função de densidade de uma variável aleatória X, com média 22, 
obteve-se um intervalo de confiança (20, 24), sabendo-se que existe a probabilidade mínima de 
84% de X pertencer a este intervalo conforme o Teorema de Tchebichev. Considerando este 
mesmo teorema, obtém-se que a probabilidade de X não pertencer ao intervalo (22 − K, 22 + K) é 
no máximo 6,25%. A amplitude deste último intervalo é de 
a) 8,0 
b) 3,2 
c) 6,4 
d) 4,0 
e) 5,6 
3. (FCC 2016/TRT 20ª Região) 
Sabe-se, pelo Teorema de Tchebichev, que a probabilidade mínima de que uma variável aleatória X 
pertença ao intervalo (m − 1, m + 1) é igual a 75%. Se a média de X é m, então a variância de X é 
igual a 
a) 1/4 
b) 1/16 
c) 1/64 
d) 1 
e) 9/16 
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4. (FCC 2015/TRE-RR) 
Conclui-se que, com a utilização do Teorema de Tchebichev, uma variável aleatória X com média 
igual a 50 apresenta uma probabilidade mínima de 75% de X pertencer ao intervalo (45 , 55). A 
variância de X é 
a) 4,00. 
b) 1,00. 
c) 1,44. 
d) 2,25. 
e) 6,25. 
5. (FCC 2015/TRT 3ª Região) 
A distribuição referente a uma variável aleatória X com média 25 é desconhecida. Utilizando o 
Teorema de Tchebichev foi apurado que a probabilidade mínima de X pertencer ao intervalo (22 , 
28) é igual a 96%. O coeficiente de variação de X é, em %, igual a 
a) 3,2. 
b) 2,0. 
c) 3,6. 
d) 3,0. 
e) 2,4. 
6. (FCC 2015/DPE-SP) 
Uma variável aleatória X com média 50 apresenta uma distribuição desconhecida. Pelo Teorema de 
Tchebichev, obteve-se que a probabilidade mínima de X pertencer ao intervalo (34 , 66) é igual a 
93,75%. Pelo mesmo critério, a probabilidade mínima de X pertencer ao intervalo (42 , 58) é de 
a) 80%. 
b) 64%. 
c) 75%. 
d) 72%. 
e) 84%. 
7. (FCC 2014/TRT 19ª Região) 
Uma variável contínua X apresenta uma média igual a 50. Pelo Teorema de Tchebyshev, a 
probabilidade de X não pertencer ao intervalo (10, 90) é no máximo 25%. O resultado da divisão da 
variância de X pelo quadrado da média de X é 
a) 0,64. 
b) 0,25. 
c) 0,16. 
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d) 0,32. 
e) 0,04. 
8. (FCC 2014/TRT 13ª Região) 
A média de uma variável aleatória contínua X, em que se desconhece sua distribuição, é igual a 
10,4. Pelo teorema de Tchebichev obteve-se um intervalo igual a (7,4 ; 13,4) em que a 
probabilidade mínima de X pertencer a este intervalo é igual a 84%. O valor da variância (𝜎<) da 
variável X é tal que 
a) 𝜎< < 1,25. 
b) 1,25 ≤ 𝜎< < 1,50. 
c) 1,50 ≤ 𝜎< < 1,75. 
d) 1,75 ≤ 𝜎< < 2,00. 
e) 𝜎< ≥ 2,00. 
9. (FCC 2018/TCE-RS) 
A função densidade de probabilidade 𝑓q(𝑥) de uma variável aleatória contínua X é dada pelo 
gráfico abaixo, sendo 𝑚 > 0. 
 
A probabilidade de X ser inferior a 3 é igual a: 
a) 1/2 
b) 3/4 
c) 4/5 
d) 5/6 
e) 2/3 
 
 
 
 
 
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10. (FCC 2018/TRT 14ª Região) 
 
Os sinistros de uma companhia de seguros (em R$ milhões) são modelados por uma variável 
aleatória contínua X com função densidade de probabilidade dada por 
𝒇(𝒙) =
𝟐
(𝟏 + 𝒙)𝟑 ,				𝒙 > 𝟎 
A probabilidade de um sinistro, aleatoriamente escolhido, exceder 𝟏, 𝟓 milhões é 
 
a) 0,1536 
b) 0,128 
c) 0,84 
d) 0,16 
e) 0,8464 
 
11. (FCC 2015/CNMP) 
 
A função densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X é dada por: 
 
𝒇(𝒙) = y 𝒌𝒙, 𝒔𝒆	𝟎 < 𝒙 < 𝟐𝟎, 𝒄𝒂𝒔𝒐	𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐 
 
Onde 𝒌 é uma constante apropriada para garantir que 𝒇(𝒙) seja uma função densidade de 
probabilidade. Selecionando-se, aleatoriamente e com reposição, 5 valores de X dentro do 
intervalo 𝟎 < 𝒙 < 𝟐, a probabilidade de que exatamente 3 sejam inferiores a 1 é igual a 
 
a) 18/256. 
b) 9/64. 
c) 11/128. 
d) 23/256. 
e) 45/512. 
 
12. (FCC 2014/TRT 19ª Região) 
A quantia (em milhões de reais) gasta anualmente em suprimentos de papelaria em um 
determinado órgão governamental é uma variável aleatória X com função densidade de 
probabilidade dada por 𝒇(𝒙) = y𝒌(𝟒𝒙 − 𝟏), 𝒔𝒆	𝟎, 𝟓 < 𝒙 < 𝟏𝟎, 𝒄𝒂𝒔𝒐	𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐 , onde 𝒌é uma constante apropriada 
para garantir que 𝒇(𝒙) seja uma função densidade de probabilidade. Nessas condições, o valor de 
𝒌 é igual a 
 
a) 1/5 
b) 1 
c) 2/5 
d) 1/6 
e) 2 
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13. (FCC 2014/TRT 13ª Região) 
 
Suponha que o tempo, em dias, despendido por um funcionário de um órgão público, para análise 
de um processo seja uma variável aleatória contínua x, com função densidade de probabilidade 
dada por: 
 
𝒇(𝒙) = �
𝒌,					𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟒
𝒌 ∙ �
𝟖 − 𝒙
𝟒 � , 𝒔𝒆	𝟒 ≤ 𝒙 < 𝟖
𝟎,								𝒄𝒂𝒔𝒐	𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐
 
 
Onde 𝒌 é a constante adequada para tornar 𝒇(𝒙) uma função densidade de probabilidade. 
 
A probabilidade de um funcionário desse órgão levar entre 6 e 8 dias para analisar o processo é 
igual a 
 
a) 3/8 
b) 1/8 
c) 1/4 
d) 3/4 
e) ½ 
14. (FCC 2014/TRT 13ª Região) 
 
Suponha que o tempo, em dias, despendido por um funcionário de um órgão público, para análise 
de um processo seja uma variável aleatória contínua x, com função densidade de probabilidade 
dada por: 
 
𝒇(𝒙) = �
𝒌,					𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟒
𝒌 ∙ �
𝟖 − 𝒙
𝟒 � , 𝒔𝒆	𝟒 ≤ 𝒙 < 𝟖
𝟎,								𝒄𝒂𝒔𝒐	𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐
 
 
Onde 𝒌 é a constante adequada para tornar 𝒇(𝒙) uma função densidade de probabilidade. 
 
Selecionando-se ao acaso e com reposição 5 funcionários desse órgão, a probabilidade de que, 
exatamente, 3 deles levem mais do que 4 dias para realizar a tarefa é igual a 
 
a) 1/2. 
b) 5/16. 
c) 5/8. 
d) 1/3. 
e) 3/8. 
 
 
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15. (FCC 2012/TRE-SP) 
 
A função densidade de probabilidade da variável X é dada por: 
 
𝒇(𝒙) = y 𝒌𝒙
𝟑, 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐
𝟎, 𝒄𝒂𝒔𝒐	𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐 
 
A probabilidade condicional dada por 𝑷(𝟏 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏, 𝟓|𝑿 < 𝟏, 𝟓) é igual a 
 
a) 2/9 
b) 5/9 
c) 15/49 
d) 43/81 
e) 65/81 
16. (FCC 2012/TRF 2ª Região) 
 
Uma variável aleatória contínua tem função densidade de probabilidade dada por: 
𝒇(𝒙) = �
𝟐
𝒙𝟑 𝒔𝒆	𝟏 ≤ 𝒙 < ∞
𝟎				𝒄𝒂𝒔𝒐	𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐
 
 
Se 𝑭(𝒙) é a função de distribuição de X, então 𝑭(𝟐) é igual a 
 
a) 0,40. 
b) 0,56. 
c) 0,75. 
d) 0,80. 
e) 0,82. 
17. (FCC 2018/TRT 2ª Região) 
 
A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X é dada por 
 
𝒇𝑿(𝒙) = y
𝟎, 𝟐(𝒙 − 𝟎, 𝟓)	𝒑𝒂𝒓𝒂	𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝒌
𝟎,			𝒄𝒂𝒔𝒐	𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐 
 
Sendo 𝒌 > 𝟐, então a variância de X é igual a 
 
a) 103/225 
b) 4/9 
c) 71/225 
d) 199/225 
e) 9/15 
 
 
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8. GABARITO SEM COMENTÁRIO 
 
01. A 
02. C 
03. A 
04. E 
05. E 
06. C 
07. C 
08. B 
09. E 
10. D 
11. E 
12. B 
13. B 
14. B 
15. E 
16. C 
17. C 
 
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9. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS COM COMENTÁRIOS 
 
9.1. TEOREMA DE CHEBYSHEV 
 
1. (FCC 2018/TRT 14ª Região) 
A média de uma variável aleatória X, cuja distribuição é desconhecida, é igual a m, com m > 0. Pelo 
Teorema de Tchebichev, a probabilidade de X não pertencer ao intervalo (𝑚 − 𝜃,𝑚 + 𝜃), com 
𝑚 > 𝜃, é no máximo igual a 16%. O desvio padrão de X é então igual a θ multiplicado por 
a) 2/5. 
b) 1/4. 
c) 2/3. 
d) 4/9. 
e) 1/2. 
Resolução 
Pelo Teorema de Tchebichev, a probabilidade de X não pertencer ao intervalo 𝜇 ± 𝑘𝜎 é no máximo 
igual a 7
89
. 
O problema chamou a média 𝜇 de 𝑚 e considerou 𝑘𝜎 = 𝜃. 
 
O problema disse que a probabilidade de NÃO pertencer ao intervalo 𝜇 ± 𝑘𝜎 é no máximo igual a 
16%. Logo, 
1
𝑘< = 16% 
 
1
𝑘< = 0,16 
 
1
𝑘 = 0,4 
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𝑘 =
1
0,4 =
10
4 =
5
2 
Logo, 
𝑘𝜎 = 𝜃 
 
5
2 ∙ 𝜎 = 𝜃 
 
𝜎 =
2
5 × 𝜃 
Assim, o desvio padrão é 𝜃 multiplicado por 2/5. 
Gabarito: A 
 
2. (FCC 2018/TRT 2ª Região) 
Em virtude de não se conhecer a função de densidade de uma variável aleatória X, com média 22, 
obteve-se um intervalo de confiança (20, 24), sabendo-se que existe a probabilidade mínima de 
84% de X pertencer a este intervalo conforme o Teorema de Tchebichev. Considerando este 
mesmo teorema, obtém-se que a probabilidade de X não pertencer ao intervalo (22 − K, 22 + K) é 
no máximo 6,25%. A amplitude deste último intervalo é de 
a) 8,0 
b) 3,2 
c) 6,4 
d) 4,0 
e) 5,6 
Resolução 
A média é 22. Vamos assumir que o desvio padrão é 𝜎. A probabilidade de X pertencer ao intervalo22 ± 𝑘𝜎 é no mínimo igual a 1 − 7
89
, pelo teorema de Tchebichev. 
O enunciado diz que a probabilidade de X pertencer ao intervalo (20,24) é no mínimo 84%. Logo, 
1 −
1
𝑘< = 0,84 
 
1
𝑘< = 0,16 
 
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1
𝑘< =
16
100 
 
1
𝑘 =
4
10 
 
4𝑘 = 10 
 
𝑘 = 2,5 
O limite inferior do intervalo é 22 − 𝑘𝜎 e o limite superior do intervalo é 22 + 𝑘𝜎. 
Assim, podemos fazer 22 − 𝑘𝜎 = 20 ou 22 + 𝑘𝜎 = 24. 
22 + 𝑘𝜎 = 24 
 
𝑘𝜎 = 2 
 
2,5𝜎 = 2 
 
𝜎 =
2
2,5 
 
𝜎 = 0,8 
O desvio padrão da variável aleatória X é 0,8. 
O problema diz que a probabilidade de X não pertencer ao intervalo (22 − 𝐾, 22 + 𝐾) é no 
máximo 6,25%. Observe que é um intervalo centrado na média 𝜇 = 22. 
Pelo Teorema de Tchebichev, a probabilidade de X não pertencer ao intervalo 𝜇 ± 𝑘𝜎 é no máximo 
igual a 1/𝑘<. Logo, 
1
𝑘< = 6,25% 
 
1
𝑘< =
6,25
100 
 
1
𝑘< =
625
10.000 
 
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625𝑘< = 10.000 
 
𝑘< = 16 
 
𝑘 = 4 
Assim, o intervalo é 𝜇 ± 𝑘𝜎 = 22 ± 4 × 0,8 = (22 − 3,2; 22 + 3,2) = (18,8	; 25,2). 
A amplitude do intervalo é 
25,2 − 18,8 = 6,4 
Gabarito: C 
 
3. (FCC 2016/TRT 20ª Região) 
Sabe-se, pelo Teorema de Tchebichev, que a probabilidade mínima de que uma variável aleatória X 
pertença ao intervalo (m − 1, m + 1) é igual a 75%. Se a média de X é m, então a variância de X é 
igual a 
a) 1/4 
b) 1/16 
c) 1/64 
d) 1 
e) 9/16 
Resolução 
A probabilidade mínima de X pertencer ao intervalo 𝑚 ± 𝑘𝜎 é 1 − 7
89
. Logo, 
1 −
1
𝑘< = 0,75 
 
1
𝑘< = 0,25 
 
0,25𝑘< = 1 
 
𝑘< = 4 
 
𝑘 = 2 
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Temos que 𝑘𝜎 = 1. Logo, 
2𝜎 = 1 
𝜎 =
1
2 
A variância é o quadrado do desvio padrão. 
𝜎< =
1
4 
Gabarito: A 
 
4. (FCC 2015/TRE-RR) 
Conclui-se que, com a utilização do Teorema de Tchebichev, uma variável aleatória X com média 
igual a 50 apresenta uma probabilidade mínima de 75% de X pertencer ao intervalo (45 , 55). A 
variância de X é 
a) 4,00. 
b) 1,00. 
c) 1,44. 
d) 2,25. 
e) 6,25. 
Resolução 
A média é o ponto médio do intervalo. 
𝜇 =
45 + 55
2 = 50 
 
Assim, o intervalo é 50 ± 𝑘𝜎. O limite superior do intervalo é 55. Logo, 
50 + 𝑘𝜎 = 55 
𝑘𝜎 = 5 
Pelo teorema de Tchebichev, a probabilidade mínima de X pertencer ao intervalo é 1 − 1/𝑘<. 
Logo, 
1 −
1
𝑘< = 0,75 
 
1
𝑘< = 0,25 
 
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0,25𝑘< = 1 
 
𝑘< = 4 
 
𝑘 = 2 
Portanto, 
𝑘𝜎 = 5 
 
2𝜎 = 5 
 
𝜎 = 2,5 
A variância é o quadrado do desvio padrão. 
𝜎< = 2,5< = 6,25 
Gabarito: E 
 
5. (FCC 2015/TRT 3ª Região) 
A distribuição referente a uma variável aleatória X com média 25 é desconhecida. Utilizando o 
Teorema de Tchebichev foi apurado que a probabilidade mínima de X pertencer ao intervalo (22 , 
28) é igual a 96%. O coeficiente de variação de X é, em %, igual a 
a) 3,2. 
b) 2,0. 
c) 3,6. 
d) 3,0. 
e) 2,4. 
Resolução 
A média é 𝜇 = 25, que é justamente o ponto médio do intervalo. Observe: 
𝜇 =
22 + 28
2 = 25 
Temos um intervalo centrado na média. Assim, o intervalo pode ser escrito como 25 ± 𝑘𝜎. 
 
O teorema de Tchebichev garante que a probabilidade mínima de X pertencer ao intervalo 25 ±
𝑘𝜎 é no mínimo igual a 1 − 1/𝑘<. Logo, 
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1 −
1
𝑘< = 0,96 
 
1
𝑘< = 0,04 
 
0,04𝑘< = 1 
 
𝑘< = 25 
 
𝑘 = 5 
O limite superior do intervalo é 28. Logo, 
25 + 𝑘𝜎 = 28 
 
𝑘𝜎 = 3 
 
5𝜎 = 3 
 
𝜎 = 0,6 
O coeficiente de variação de X é 
𝐶� =
𝜎
𝜇 =
0,6
25 = 0,024 = 2,4% 
Gabarito: E 
 
6. (FCC 2015/DPE-SP) 
Uma variável aleatória X com média 50 apresenta uma distribuição desconhecida. Pelo Teorema de 
Tchebichev, obteve-se que a probabilidade mínima de X pertencer ao intervalo (34 , 66) é igual a 
93,75%. Pelo mesmo critério, a probabilidade mínima de X pertencer ao intervalo (42 , 58) é de 
a) 80%. 
b) 64%. 
c) 75%. 
d) 72%. 
e) 84%. 
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Resolução 
Para aplicar o teorema de Tchebichev, o intervalo precisa ser centrado na média, ou seja, a média 
precisa ser o ponto médio do intervalo. Os dois intervalos são centrados na média. Observe: 
34 + 66
2 = 50	 
 
42 + 58
2 = 50 
A média é 𝜇 = 50. 
O teorema de Tchebichev afirma que a probabilidade de X pertencer ao intervalo 50 ± 𝑘𝜎 é no 
mínimo igual a 1 − 1/𝑘<. 
Sabemos que a probabilidade mínima de X pertencer ao intervalo (34 , 66) é igual a 93,75%. 
1 −
1
𝑘< = 0,9375 
 
1
𝑘< = 0,0625 
 
1
𝑘< =
625
10.000 
 
 
625𝑘< = 10.000 
 
𝑘< = 16 
 
𝑘 = 4 
Assim, o intervalo é 50 ± 4𝜎. O limite superior do intervalo é 66. Logo, 
50 + 4𝜎 = 66 
4𝜎 = 16 
𝜎 = 4 
O desvio padrão é igual a 4. 
Queremos calcular a probabilidade mínima de X pertencer ao intervalo (42,58). 
O teorema de Tchebichev afirma que a probabilidade de X pertencer ao intervalo 50 ± 𝑘𝜎 é no 
mínimo igual a 1 − 1/𝑘<. 
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O limite superior é 58. Logo, 
50 + 𝑘𝜎 = 58 
50 + 𝑘 ∙ 4 = 58 
 
𝑘 = 2 
Logo, a probabilidade mínima pedida é 
1 −
1
𝑘< = 
 
= 1 −
1
2< = 1 −
1
4 
 
= 0,75 = 75% 
Gabarito: C 
 
7. (FCC 2014/TRT 19ª Região) 
Uma variável contínua X apresenta uma média igual a 50. Pelo Teorema de Tchebyshev, a 
probabilidade de X não pertencer ao intervalo (10, 90) é no máximo 25%. O resultado da divisão da 
variância de X pelo quadrado da média de X é 
a) 0,64. 
b) 0,25. 
c) 0,16. 
d) 0,32. 
e) 0,04. 
Resolução 
A média é 50. O intervalo centrado na média é do tipo 50 ± 𝑘𝜎. 
O teorema de Tchebichev afirma que a probabilidade de X não pertencer a esse intervalo é no 
máximo igual a 1/𝑘<. 
Sabemos que a probabilidade de X não pertencer ao intervalo (10, 90) é no máximo 25%. Logo, 
1
𝑘< = 0,25 
 
0,25𝑘< = 1 
 
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𝑘< = 4 
 
𝑘 = 2 
O limite superior do intervalo é 90. Logo, 
50 + 𝑘𝜎 = 90 
 
𝑘𝜎 = 40 
 
2𝜎 = 40 
 
𝜎 = 20 
 
Logo, a variância é 
𝜎< = 20< = 400 
 
A questão pede o quociente entre a variância e o quadrado da média, ou seja, a variância relativa. 
𝜎<
𝜇< =
400
50< =
400
2.500 = 0,16 
Gabarito: C 
 
8. (FCC 2014/TRT 13ª Região) 
A média de uma variável aleatória contínua X, em que se desconhece sua distribuição, é igual a 
10,4. Pelo teorema de Tchebichev obteve-se um intervalo igual a (7,4 ; 13,4) em que a 
probabilidade mínima de X pertencer a este intervalo é igual a 84%. O valor da variância (𝜎<) da 
variável X é tal que 
a) 𝜎< < 1,25. 
b) 1,25 ≤ 𝜎< < 1,50. 
c) 1,50 ≤ 𝜎< < 1,75. 
d) 1,75 ≤ 𝜎< < 2,00. 
e) 𝜎< ≥ 2,00. 
Resolução 
A média é 10,4. O intervalo centrado na média é do tipo 10,4 ± 𝑘𝜎. 
 
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O teorema de Tchebichev afirma que a probabilidade de X pertencer a esse intervalo é no mínimo 
igual a 1 − 1/𝑘<. 
Sabemos que a probabilidade de X pertencer ao intervalo (7,4 ; 13,4) é no mínimo igual a 84%. 
Logo, 
1 −
1
𝑘< = 0,84 
 
1
𝑘< = 0,16 
 
1
𝑘< =
16
100 
 
1
𝑘 =
4
10 
 
4𝑘 = 10 
 
𝑘 = 2,5 
O limite superior do intervalo é 13,4. Logo, 
10,4 + 𝑘𝜎 = 13,4 
 
𝑘𝜎 = 3 
 
2,5𝜎 = 3 
 
𝜎 =
30
25 
 
𝜎 = 1,2 
A variância é: 
𝜎< = 1,2< = 1,44 
Esse número está entre 1,25 e 1,50. 
Gabarito: B 
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8.1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 
 
9. (FCC 2018/TCE-RS) 
A função densidade de probabilidade 𝑓q(𝑥) de uma variável aleatória contínua X é dada pelo 
gráfico abaixo, sendo 𝑚 > 0. 
 
A probabilidade de X ser inferior a 3 é igual a: 
a) 1/2 
b) 3/4 
c) 4/5 
d) 5/6 
e) 2/3 
Resolução 
A área total abaixo do gráfico tem que ser igual a 1. 
Temos um trapézio retângulo. A base maior é 4. A base menor é 4 − 2 = 2. A altura é igual a 𝑚. 
 
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(𝐵 + 𝑏) ∙ ℎ
2 = 1 
 
(4 + 2) ∙ 𝑚
2 = 1	 
 
6𝑚
2 = 1 
 
3𝑚 = 1 
 
𝑚 =
1
3 
Queremos calcular 𝑃(𝑋 < 3). 
 
A probabilidade pedida é igual à área sob o gráfico para 𝑥 < 3. Basta calcular a área do trapézio 
acima em que 𝐵 = 3, 𝑏 = 1 e ℎ = 1/3. 
𝑃(𝑋 < 3) =
(𝐵 + 𝑏) ∙ ℎ
2 
 
𝑃(𝑋 < 3) =
(3 + 1) ∙ 13
2 =
4/3
2 =
4
3 ×
1
2 
 
𝑃(𝑋 < 3) =
2
3 
Gabarito: E 
 
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10. (FCC 2018/TRT 14ª Região) 
 
Os sinistros de uma companhia de seguros (em R$ milhões) são modelados por uma variável 
aleatória contínua X com função densidade de probabilidade dada por 
𝒇(𝒙) =
𝟐
(𝟏 + 𝒙)𝟑 ,				𝒙 > 𝟎 
A probabilidade de um sinistro, aleatoriamente escolhido, exceder 𝟏, 𝟓 milhões é 
 
a) 0,1536 
b) 0,128 
c) 0,84 
d) 0,16 
e) 0,8464 
 
Resolução 
 
Queremos calcular 𝑷(𝑿 > 𝟏, 𝟓). Essa probabilidade é dada pela área sob o gráfico para 𝒙 > 𝟏, 𝟓. 
 
𝑷(𝑿 > 𝟏, 𝟓) = V
𝟐
(𝟏 + 𝒙)𝟑 𝒅𝒙
P
𝟏,𝟓
 
Vamos fazer uma substituição de variável. 
 
𝟏 + 𝒙 = 𝒖 
𝒅𝒙 = 𝒅𝒖 
 
Quando 𝒙 = 𝟏, 𝟓, 𝒖 = 𝟐, 𝟓. Quando 𝒙 tende a infinito, 𝒖 também tende a infinito. Logo, 
 
𝑷(𝑿 > 𝟏, 𝟓) = V
𝟐
𝒖𝟑 𝒅𝒖
P
𝟐,𝟓
 
 
𝑷(𝑿 > 𝟏, 𝟓) = V 𝟐𝒖Q𝟑	𝒅𝒖
P
𝟐,𝟓
 
 
= 𝐥𝐢𝐦
𝒕→P
c
𝟐𝒖Q𝟑�𝟏
−𝟑 + 𝟏d𝟐,𝟓
P
 
 
= 𝐥𝐢𝐦
𝒕→P
c
𝟐𝒖Q𝟐
−𝟐 d𝟐,𝟓
P
 
 
= 𝐥𝐢𝐦
𝒕→P
[−𝒖Q𝟐]𝟐,𝟓P 
 
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= 𝐥𝐢𝐦
𝒕→P
�−
𝟏
𝒖𝟐�𝟐,𝟓
P
 
 
= 𝐥𝐢𝐦
𝒕→P
�−
𝟏
𝒕𝟐� − �−
𝟏
𝟐, 𝟓𝟐� 
 
= 𝟎 +
𝟏
𝟐, 𝟓𝟐 
 
=
𝟏
𝟔, 𝟐𝟓 
 
= 𝟎, 𝟏𝟔 
Gabarito: D 
 
11. (FCC 2015/CNMP) 
 
A função densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X é dada por: 
 
𝒇(𝒙) = y 𝒌𝒙, 𝒔𝒆	𝟎 < 𝒙 < 𝟐𝟎, 𝒄𝒂𝒔𝒐	𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐 
 
Onde 𝒌 é uma constante apropriada para garantir que 𝒇(𝒙) seja uma função densidade de 
probabilidade. Selecionando-se, aleatoriamente e com reposição, 5 valores de X dentro do 
intervalo 𝟎 < 𝒙 < 𝟐, a probabilidade de que exatamente 3 sejam inferiores a 1 é igual a 
 
a) 18/256. 
b) 9/64. 
c) 11/128. 
d) 23/256. 
e) 45/512. 
 
Resolução 
 
O gráfico da função do tipo 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒑 é uma reta. O coeficiente linear 𝒑 indica onde a reta corta 
o eixo 𝒚. Se 𝒑 = 𝟎, então a reta corta o eixo 𝒚 na origem do plano. 
 
Assim, uma função dada por 𝒇(𝒙) = 𝒌𝒙 tem como gráfico uma reta que passa pela origem. Além 
disso, 𝒙 ∈ (𝟎, 𝟐). 
 
Quando 𝒙 = 𝟐, temos que 𝒚 = 𝟐𝒌. 
 
Temos o seguinte gráfico. 
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A área sob o gráfico tem que ser igual a 1. 
 
A base do triângulo é 2 e a altura é 2k. 
 
𝒃 ∙ 𝒉
𝟐 = 𝟏 
 
𝟐 ∙ 𝟐𝒌
𝟐 = 𝟏 
 
𝟐𝒌 = 𝟏 
 
𝒌 =
𝟏
𝟐 
 
A equação da reta é 𝒚 = 𝟏
𝟐
∙ 𝒙. 
 
Vamos calcular a probabilidade de X < 1. 
 
Quando 𝒙 = 𝟏,	temos que 𝒚 = 𝟏
𝟐
× 𝟏 = 𝟏
𝟐
. 
 
 
A probabilidade pedida 𝑷(𝑿 < 𝟏) é a área do triângulo azul da figura acima. A base é 1 e a altura é 
1/2. 
 
𝑷(𝑿 < 𝟏) =
𝒃𝒂𝒔𝒆 × 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂
𝟐 
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𝑷(𝑿 < 𝟏) =
𝟏 × 𝟏𝟐
𝟐 =
𝟏
𝟒 
 
Vamos reler o final do enunciado: “Selecionando-se, aleatoriamente e com reposição, 5 valores de 
X dentro do intervalo 𝟎 < 𝒙 < 𝟐, a probabilidade de que exatamente 3 sejam inferiores a 1 é igual 
a”. 
 
Vamos denominar “sucesso” quando o número inferior a 1 é selecionado. Assim, 𝒑 = 𝟏
𝟒
. 
Consequentemente, a probabilidade de ocorrer um fracasso é 𝒒 = 𝟑
𝟒
. 
 
O experimento será realizado 5 vezes com reposição. Seja Y o número de sucessos. Y segue uma 
distribuição binomial. Queremos calcular a probabilidade de ocorrerem 3 sucessos. 
 
𝑷(𝒀 = 𝟑) = §𝟓𝟑¨𝒑
𝟑𝒒𝟐 
 
𝑷(𝒀 = 𝟑) =
𝟓 ∙ 𝟒 ∙ 𝟑
𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏 ∙ �
𝟏
𝟒�
𝟑
∙ �
𝟑
𝟒�
𝟐
 
 
𝑷(𝒀 = 𝟑) = 𝟏𝟎 ×
𝟏
𝟔𝟒 ×
𝟗
𝟏𝟔 
 
𝑷(𝒀 = 𝟑) = 𝟓 ×
𝟏
𝟑𝟐 ×
𝟗
𝟏𝟔 =
𝟒𝟓
𝟓𝟏𝟐 
Gabarito: E 
 
12. (FCC 2014/TRT 19ª Região) 
 
A quantia (em milhões de reais) gasta anualmente em suprimentos de papelaria em um 
determinado órgão governamental é uma variávelaleatória X com função densidade de 
probabilidade dada por 𝒇(𝒙) = y𝒌(𝟒𝒙 − 𝟏), 𝒔𝒆	𝟎, 𝟓 < 𝒙 < 𝟏𝟎, 𝒄𝒂𝒔𝒐	𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐 , onde 𝒌é uma constante apropriada 
para garantir que 𝒇(𝒙) seja uma função densidade de probabilidade. Nessas condições, o valor de 
𝒌 é igual a 
 
a) 1/5 
b) 1 
c) 2/5 
d) 1/6 
e) 2 
 
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Resolução 
 
Temos uma função afim (polinomial do primeiro grau). Assim, seu gráfico é uma reta. Queremos 
que a área abaixo da reta seja igual a 1 para que tenhamos uma fdp. 
 
Quando x = 0,5, o valor da função é 𝒌(𝟒 ∙ 𝟎, 𝟓 − 𝟏) = 𝒌. 
Quando x = 1, o valor da função é 𝒌(𝟒 ∙ 𝟏 − 𝟏) = 𝟑𝒌. 
 
 
A área do trapézio tem que ser igual a 1. 
 
A base menor do trapézio é k. A base maior é 3k. A altura do trapézio é 1 – 0,5 = 0,5. 
 
(𝑩 + 𝒃) ∙ 𝒉
𝟐 = 𝟏 
 
(𝟑𝒌 + 𝒌) ∙ 𝟎, 𝟓
𝟐 = 𝟏 
 
𝟐𝒌
𝟐 = 𝟏 
 
𝒌 = 𝟏 
Se você tem facilidade com cálculo, poderia ter feito assim: 
 
V 𝒇(𝒙)	𝒅𝒙 = 𝟏
P
QP
 
 
V 𝒌(𝟒𝒙 − 𝟏)𝒅𝒙
𝟏
𝟎,𝟓
= 𝟏 
Como 𝒌 é constante, então: 
 
𝒌 ∙ V (𝟒𝒙 − 𝟏)𝒅𝒙
𝟏
𝟎,𝟓
= 𝟏 
 
 
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𝒌 ∙ c
𝟒𝒙𝟐
𝟐 − 𝒙d𝟎,𝟓
𝟏
= 𝟏 
 
𝒌 ∙ [𝟐𝒙𝟐 − 𝒙]𝟎,𝟓𝟏 = 𝟏 
 
𝒌 ∙ [(𝟐 − 𝟏) − (𝟐 ∙ 𝟎, 𝟓𝟐 − 𝟎, 𝟓)] = 𝟏 
 
𝒌 ∙ 𝟏 = 𝟏 
 
𝒌 = 𝟏 
Gabarito: B 
 
13. (FCC 2014/TRT 13ª Região) 
 
Suponha que o tempo, em dias, despendido por um funcionário de um órgão público, para análise 
de um processo seja uma variável aleatória contínua x, com função densidade de probabilidade 
dada por: 
 
𝒇(𝒙) = �
𝒌,					𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟒
𝒌 ∙ �
𝟖 − 𝒙
𝟒 � , 𝒔𝒆	𝟒 ≤ 𝒙 < 𝟖
𝟎,								𝒄𝒂𝒔𝒐	𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐
 
 
Onde 𝒌 é a constante adequada para tornar 𝒇(𝒙) uma função densidade de probabilidade. 
 
A probabilidade de um funcionário desse órgão levar entre 6 e 8 dias para analisar o processo é 
igual a 
 
a) 3/8 
b) 1/8 
c) 1/4 
d) 3/4 
e) 1/2 
 
Resolução 
 
Temos uma função constante no intervalo de 2 a 4 e uma função afim (polinomial do primeiro 
grau) no intervalo de 4 a 8. A área total sobe o gráfico tem que ser igual a 1. 
 
 
 
 
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Vamos calcular o valor da função para x = 4 e x = 8 considerando a função afim. 
 
Quando x = 4, temos que 𝒚 = 𝒌 ∙ §𝟖Q𝟒
𝟒
¨ = 𝒌. 
Quando x = 8, temos que 𝒚 = 𝒌 ∙ §𝟖Q𝟖
𝟒
¨ = 𝟎. 
 
O gráfico fica assim: 
 
 
A figura obtida é um trapézio. 
 
• A base menor do trapézio é 𝟒 − 𝟐 = 𝟐. 
• A base maior do trapézio é 𝟖 − 𝟐 = 𝟔. 
• A altura do trapézio é 𝒌. 
 
Observe: 
 
 
(𝑩 + 𝒃) ∙ 𝒉
𝟐 = 𝟏 
 
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(𝟔 + 𝟐) ∙ 𝒌
𝟐 = 𝟏 
 
𝟒𝒌 = 𝟏 
 
𝒌 =
𝟏
𝟒 
 
Queremos calcular 𝑷(𝟔 < 𝒙 < 𝟖). 
 
 
 
A base do triângulo é 8 – 6 = 2. 
 
Precisamos calcular a altura. A altura é justamente o valor da função quando x = 6. 
 
𝒇(𝒙) = 𝒌 ∙ �
𝟖 − 𝒙
𝟒 � 
 
Sabemos que k = 1/4 e queremos calcular o valor da função para x = 6. 
 
𝒇(𝟔) =
𝟏
𝟒 × �
𝟖 − 𝟔
𝟒 � =
𝟐
𝟏𝟔 =
𝟏
𝟖 
 
 
 
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Agora podemos calcular a área do triângulo, que é justamente a probabilidade pedida. 
 
𝑷(𝟔 < 𝒙 < 𝟖) =
𝒃 ∙ 𝒉
𝟐 =
𝟐 ∙ 𝟏𝟖
𝟐 =
𝟏/𝟒
𝟐 
 
𝑷(𝟔 < 𝒙 < 𝟖) =
𝟏
𝟖 
 
Há quem prefira fazer por Cálculo Integral. 
 
Vamos lá. 
 
A área total sob o gráfico é igual a 1. Assim, vamos calcular o valor de 𝒌. 
 
V 𝒇(𝒙)	𝒅𝒙 = 𝟏
P
QP
 
 
V 𝒌	𝒅𝒙
𝟒
𝟐
+ V 𝒌�
𝟖 − 𝒙
𝟒 �𝒅𝒙
𝟖
𝟒
= 𝟏 
 
Como 𝒌 é constante, temos: 
 
𝒌V 𝟏	𝒅𝒙
𝟒
𝟐
+ 𝒌V �
𝟖 − 𝒙
𝟒 �𝒅𝒙
𝟖
𝟒
= 𝟏 
 
𝒌 ∙ cV 𝟏	𝒅𝒙
𝟒
𝟐
+ V �
𝟖 − 𝒙
𝟒 �𝒅𝒙
𝟖
𝟒
d = 𝟏 
 
 
V 𝟏	𝒅𝒙
𝟒
𝟐
+ V §𝟐 −
𝒙
𝟒¨𝒅𝒙
𝟖
𝟒
=
𝟏
𝒌 
 
[𝒙]𝟐𝟒 + c𝟐𝒙 −
𝒙𝟐
𝟖 d𝟒
𝟖
=
𝟏
𝒌 
 
(𝟒 − 𝟐) + e𝟐 × 𝟖 −
𝟖𝟐
𝟖
f − e𝟐 × 𝟒 −
𝟒𝟐
𝟖
f =
𝟏
𝒌 
 
𝟐 + 𝟖 − 𝟔 =
𝟏
𝒌 
 
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𝟒 =
𝟏
𝒌 
 
𝒌 =
𝟏
𝟒 
 
Queremos calcular 𝑷(𝟔 < 𝒙 < 𝟖). 
 
𝑷(𝟔 < 𝒙 < 𝟖) = V 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝟖
𝟔
 
 
= V 𝒌 ∙ �
𝟖 − 𝒙
𝟒 �𝒅𝒙
𝟖
𝟔
 
 
= V
𝟏
𝟒 ∙ �
𝟖 − 𝒙
𝟒 �𝒅𝒙
𝟖
𝟔
 
 
= V �
𝟏
𝟐 −
𝒙
𝟏𝟔�𝒅𝒙
𝟖
𝟔
 
 
= c
𝒙
𝟐 −
𝒙𝟐
𝟑𝟐d𝟔
𝟖
 
 
= e
𝟖
𝟐 −
𝟖𝟐
𝟑𝟐
f − e
𝟔
𝟐 −
𝟔𝟐
𝟑𝟐
f 
 
= 𝟐 − 𝟑 +
𝟑𝟔
𝟑𝟐 
 
= −𝟏 +
𝟗
𝟖 
 
=
𝟏
𝟖 
 
Gabarito: B 
 
14. (FCC 2014/TRT 13ª Região) 
 
Suponha que o tempo, em dias, despendido por um funcionário de um órgão público, para análise 
de um processo seja uma variável aleatória contínua x, com função densidade de probabilidade 
dada por: 
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𝒇(𝒙) = �
𝒌,					𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟒
𝒌 ∙ �
𝟖 − 𝒙
𝟒 � , 𝒔𝒆	𝟒 ≤ 𝒙 < 𝟖
𝟎,								𝒄𝒂𝒔𝒐	𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐
 
 
Onde 𝒌 é a constante adequada para tornar 𝒇(𝒙) uma função densidade de probabilidade. 
 
Selecionando-se ao acaso e com reposição 5 funcionários desse órgão, a probabilidade de que, 
exatamente, 3 deles levem mais do que 4 dias para realizar a tarefa é igual a 
 
a) 1/2. 
b) 5/16. 
c) 5/8. 
d) 1/3. 
e) 3/8. 
 
Resolução 
 
Já calculamos o valor de 𝒌 na questão passada: 𝒌 = 𝟏/𝟒. 
 
Vamos calcular 𝑷(𝒙 > 𝟒). 
 
 
Observe que 𝑷(𝒙 > 𝟒) corresponde à área do triângulo acima. 
 
𝑷(𝒙 > 𝟒) =
𝒃 ∙ 𝒉
𝟐 =
𝟒 ∙ 𝟏𝟒
𝟐 =
𝟏
𝟐 
 
Pois bem. Digamos que obtemos um sucesso quando um funcionário leva mais de 4 dias para 
realizar a tarefa. Logo, 𝒑 = 𝟏
𝟐
. Consequentemente, 𝒒 = 𝟏
𝟐
. 
 
Vamos selecionar 5 funcionários com reposição. Seja Y a quantidade de sucessos. Como o processo 
é feito com reposição, Y segue uma distribuição binomial. Queremos calcular 𝑷(𝒀 = 𝟑). 
 
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𝑷(𝒀 = 𝟑) = §𝟓𝟑¨𝒑
𝟑𝒒𝟐 
 
𝑷(𝒀 = 𝟑) =
𝟓 ∙ 𝟒 ∙ 𝟑
𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏 ∙ �
𝟏
𝟐�
𝟑
∙ �
𝟏
𝟐�
𝟐𝑷(𝒀 = 𝟑) = 𝟏𝟎 ×
𝟏
𝟖 ×
𝟏
𝟒 
 
𝑷(𝒀 = 𝟑) =
𝟏𝟎
𝟑𝟐 =
𝟓
𝟏𝟔 
Gabarito: B 
 
15. (FCC 2012/TRE-SP) 
 
A função densidade de probabilidade da variável X é dada por: 
 
𝒇(𝒙) = y 𝒌𝒙
𝟑, 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐
𝟎, 𝒄𝒂𝒔𝒐	𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐 
 
A probabilidade condicional dada por 𝑷(𝟏 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏, 𝟓|𝑿 < 𝟏, 𝟓) é igual a 
 
a) 2/9 
b) 5/9 
c) 15/49 
d) 43/81 
e) 65/81 
 
Resolução 
 
É importante lembrar a fórmula da probabilidade condicional. 
 
𝑷(𝑨|𝑩) =
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
𝑷(𝑩) 
 
Logo, 
 
𝑷(𝟏 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏, 𝟓|𝑿 < 𝟏, 𝟓) =
𝑷(𝟏 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏, 𝟓 ∩ 𝑿 < 𝟏, 𝟓)
𝑷(𝑿 < 𝟏, 𝟓) 
 
No numerador, temos a interseção do intervalo 𝟏 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏, 𝟓 com o intervalo 𝑿 < 𝟏, 𝟓. A 
interseção é o intervalo 𝟏 ≤ 𝑿 < 𝟏, 𝟓. 
 
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Assim, 
 
𝑷(𝟏 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏, 𝟓|𝑿 < 𝟏, 𝟓) =
𝑷(𝟏 ≤ 𝑿 < 𝟏, 𝟓)
𝑷(𝑿 < 𝟏, 𝟓) 
 
Precisamos calcular 𝑷(𝟏 ≤ 𝑿 < 𝟏, 𝟓) e também 𝑷(𝑿 < 𝟏, 𝟓). 
 
Vamos deixar isso em stand by. 
 
Precisamos calcular o valor de 𝒌. 
 
A área total sob o gráfico é igual a 1. Logo, 
 
V 𝒌𝒙𝟑	𝒅𝒙
𝟐
𝟎
= 𝟏 
 
Como 𝒌 é constante, temos: 
 
𝒌 ∙ V 𝒙𝟑	𝒅𝒙
𝟐
𝟎
= 𝟏 
 
𝒌 ∙ c
𝒙𝟒
𝟒 d𝟎
𝟐
= 𝟏 
 
𝒌 ∙ e
𝟐𝟒
𝟒 − 𝟎
f = 𝟏 
 
𝟒𝒌 = 𝟏 
 
𝒌 =
𝟏
𝟒 
 
Agora sim podemos calcular as probabilidades. 
 
𝑷(𝟏 ≤ 𝑿 < 𝟏, 𝟓) = V
𝟏
𝟒 ∙ 𝒙
𝟑	𝒅𝒙
𝟏,𝟓
𝟏
= 
 
= c
𝒙𝟒
𝟏𝟔d𝟏
𝟏,𝟓
=
𝟏, 𝟓𝟒
𝟏𝟔 −
𝟏
𝟏𝟔 
 
=
𝟏, 𝟓𝟒 − 𝟏
𝟏𝟔 
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Vamos agora calcular a outra probabilidade. Queremos calcular 𝑷(𝑿 < 𝟏, 𝟓), mas lembre-se que 
𝑷(𝑿 < 𝟎) = 𝟎. Logo, 𝑷(𝑿 < 𝟏, 𝟓) = 𝑷(𝟎 < 𝑿 < 𝟏, 𝟓). 
 
𝑷(𝑿 < 𝟏, 𝟓) = V
𝟏
𝟒 ∙ 𝒙
𝟑	𝒅𝒙
𝟏,𝟓
𝟎
= 
 
= c
𝒙𝟒
𝟏𝟔d𝟎
𝟏,𝟓
=
𝟏, 𝟓𝟒
𝟏𝟔 
 
Assim, a probabilidade pedida é: 
 
𝑷(𝟏 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏, 𝟓|𝑿 < 𝟏, 𝟓) =
𝑷(𝟏 ≤ 𝑿 < 𝟏, 𝟓)
𝑷(𝑿 < 𝟏, 𝟓) 
 
=
𝟏, 𝟓𝟒 − 𝟏
𝟏𝟔
𝟏, 𝟓𝟒
𝟏𝟔
	 
 
Para dividir frações, devemos multiplicar a primeira pelo inverso da segunda. 
 
=
𝟏, 𝟓𝟒 − 𝟏
𝟏𝟔 ×
𝟏𝟔
𝟏, 𝟓𝟒 
 
Observe que 𝟏, 𝟓𝟒 × 𝟏𝟔 = 𝟏, 𝟓𝟒 × 𝟐𝟒 = (𝟏, 𝟓 × 𝟐)𝟒 = 𝟑𝟒 = 𝟖𝟏. Logo, 
 
=
𝟖𝟏 − 𝟏𝟔
𝟖𝟏 
 
=
𝟔𝟓
𝟖𝟏 
Gabarito: E 
 
16. (FCC 2012/TRF 2ª Região) 
 
Uma variável aleatória contínua tem função densidade de probabilidade dada por: 
𝒇(𝒙) = �
𝟐
𝒙𝟑 𝒔𝒆	𝟏 ≤ 𝒙 < ∞
𝟎				𝒄𝒂𝒔𝒐	𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐
 
 
Se 𝑭(𝒙) é a função de distribuição de X, então 𝑭(𝟐) é igual a 
 
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a) 0,40. 
b) 0,56. 
c) 0,75. 
d) 0,80. 
e) 0,82. 
 
Resolução 
 
A função de distribuição fornece a probabilidade de a função assumir valores menores ou iguais ao 
número dado. Assim, 𝑭(𝟐) = 𝑷(𝒙 ≤ 𝟐). 
 
Como 𝑷(𝒙 < 𝟏) = 𝟎, então devemos calcular a área sob o gráfico de 1 até 2. 
 
𝑷(𝒙 ≤ 𝟐) = V
𝟐
𝒙𝟑 	𝒅𝒙
𝟐
𝟏
 
 
= V 𝟐𝒙Q𝟑	𝒅𝒙
𝟐
𝟏
 
 
= c
𝟐𝒙Q𝟑�𝟏
−𝟑 + 𝟏d𝟏
𝟐
 
 
= c
𝟐𝒙Q𝟐
−𝟐 d𝟏
𝟐
 
 
= [−𝒙Q𝟐]𝟏𝟐 
 
= �−
𝟏
𝒙𝟐�𝟏
𝟐
 
 
= �−
𝟏
𝟐𝟐� − �−
𝟏
𝟏𝟐� = 
 
= −
𝟏
𝟒 + 𝟏 =
𝟑
𝟒 = 𝟎, 𝟕𝟓 
Gabarito: C 
 
 
 
 
 
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17. (FCC 2018/TRT 2ª Região) 
 
A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X é dada por 
 
𝒇𝑿(𝒙) = y
𝟎, 𝟐(𝒙 − 𝟎, 𝟓)	𝒑𝒂𝒓𝒂	𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝒌
𝟎,			𝒄𝒂𝒔𝒐	𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐 
 
Sendo 𝒌 > 𝟐, então a variância de X é igual a 
 
a) 103/225 
b) 4/9 
c) 71/225 
d) 199/225 
e) 9/15 
 
Resolução 
 
Para que tenhamos uma fdp, a área total sob o gráfico tem que ser igual a 1. 
 
V 𝟎, 𝟐(𝒙 − 𝟎, 𝟓)	𝒅𝒙
𝒌
𝟐
= 𝟏 
 
V (𝟎, 𝟐𝒙 − 𝟎, 𝟏)	𝒅𝒙
𝒌
𝟐
= 𝟏 
 
c
𝟎, 𝟐𝒙𝟐
𝟐 − 𝟎, 𝟏𝒙d𝟐
𝒌
= 𝟏 
 
[𝟎, 𝟏𝒙𝟐 − 𝟎, 𝟏𝒙]𝟐𝒌 = 𝟏 
 
(𝟎, 𝟏𝒌𝟐 − 𝟎, 𝟏𝒌) − (𝟎, 𝟒 − 𝟎, 𝟐) = 𝟏 
 
𝟎, 𝟏𝒌𝟐 − 𝟎, 𝟏𝒌 − 𝟎, 𝟐 = 𝟏 
 
𝟎, 𝟏𝒌𝟐 − 𝟎, 𝟏𝒌 − 𝟏, 𝟐 = 𝟎 
 
Multiplicando a equação por 10, temos: 
 
𝒌𝟐 − 𝒌 − 𝟏𝟐 = 𝟎 
 
Temos uma equação do segundo grau. 
 
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𝒌 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂 
 
𝒌 =
𝟏 ± ¯(−𝟏)𝟐 − 𝟒 ∙ 𝟏 ∙ (−𝟏𝟐)
𝟐 
 
𝒌 =
𝟏 ± 𝟕
𝟐 
 
𝒌 = 𝟒	𝒐𝒖	𝒌 = −𝟑 
 
Como 𝒌 > 𝟐, concluímos que 𝒌 = 𝟒. 
 
Agora sim podemos calcular a variância. Lembre-se que 
 
𝝈𝟐 = 𝑬(𝑿𝟐) − 𝝁𝟐 
 
Vamos calcular 𝝁 = 𝑬(𝑿) e 𝑬(𝑿𝟐) para depois jogar na fórmula da variância. 
 
𝑬(𝑿) = V 𝒙 ∙ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝟒
𝟐
 
 
= V 𝒙 ∙ 𝟎, 𝟐(𝒙 − 𝟎, 𝟓)𝒅𝒙
𝟒
𝟐
 
 
= V (𝟎, 𝟐𝒙𝟐 − 𝟎, 𝟏𝒙)𝒅𝒙
𝟒
𝟐
 
 
= c
𝟎, 𝟐𝒙𝟑
𝟑 −
𝟎, 𝟏𝒙𝟐
𝟐 d𝟐
𝟒
 
 
= e
𝟎, 𝟐 ∙ 𝟒𝟑
𝟑 −
𝟎, 𝟏 ∙ 𝟒𝟐
𝟐
f − e
𝟎, 𝟐 ∙ 𝟐𝟑
𝟑 −
𝟎, 𝟏 ∙ 𝟐𝟐
𝟐
f 
 
=
𝟏𝟐, 𝟖
𝟑 −
𝟏, 𝟔
𝟐 −
𝟏, 𝟔
𝟑 +
𝟎, 𝟒
𝟐 
 
=
𝟏𝟏, 𝟐
𝟑 −
𝟏, 𝟐
𝟐 
 
=
𝟐𝟐, 𝟒
𝟔 −
𝟑, 𝟔
𝟔 =
𝟏𝟖, 𝟖
𝟔 
 
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=
𝟏𝟖𝟖
𝟔𝟎 =
𝟒𝟕
𝟏𝟓 
 
Vamos agora calcular 𝑬(𝑿𝟐). 
 
𝑬(𝑿𝟐) = V 𝒙𝟐 ∙ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝟒
𝟐
 
 
= V 𝒙𝟐 ∙ 𝟎, 𝟐(𝒙 − 𝟎, 𝟓)𝒅𝒙
𝟒
𝟐
 
 
= V (𝟎, 𝟐𝒙𝟑 − 𝟎, 𝟏𝒙𝟐)𝒅𝒙
𝟒
𝟐
 
 
= c
𝟎, 𝟐𝒙𝟒
𝟒 −
𝟎, 𝟏𝒙𝟑
𝟑 d𝟐
𝟒
 
 
= e
𝟎, 𝟐 ∙ 𝟒𝟒
𝟒 −
𝟎, 𝟏 ∙ 𝟒𝟑
𝟑
f − e
𝟎, 𝟐 ∙ 𝟐𝟒
𝟒 −
𝟎, 𝟏 ∙ 𝟐𝟑
𝟑
f 
 
=
𝟓𝟏, 𝟐
𝟒 −
𝟔, 𝟒
𝟑 −
𝟑, 𝟐
𝟒 +
𝟎, 𝟖
𝟑 
 
=
𝟒𝟖
𝟒 −
𝟓, 𝟔
𝟑 
 
= 𝟏𝟐 −
𝟓, 𝟔
𝟑 =
𝟑𝟔 − 𝟓, 𝟔
𝟑 =
𝟑𝟎, 𝟒
𝟑 
 
=
𝟑𝟎𝟒
𝟑𝟎 =
𝟏𝟓𝟐
𝟏𝟓 
 
Agora vamos calcular a variância. 
𝝈𝟐 = 𝑬(𝑿𝟐) − 𝝁𝟐 
 
𝝈𝟐 =
𝟏𝟓𝟐
𝟏𝟓 − �
𝟒𝟕
𝟏𝟓�
𝟐
=
𝟏𝟓𝟐
𝟏𝟓 −
𝟐. 𝟐𝟎𝟗
𝟐𝟐𝟓 
 
=
𝟐. 𝟐𝟖𝟎 − 𝟐. 𝟐𝟎𝟗
𝟐𝟐𝟓 =
𝟕𝟏
𝟐𝟐𝟓 
Gabarito: C 
 
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CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado da aula. 
Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que vocês podem fazer perguntas e sugestões no 
nosso fórum de dúvidas. 
 
Você também pode me encontrar no instagram @profguilhermeneves ou entrar em contato 
diretamente comigo pelo meu email profguilhermeneves@gmail.com. 
Um forte abraço e até a próxima aula!!! 
Guilherme Neves 
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