Exercicios de Calculo Aproximacao linear

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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Aproximação Linear
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Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 05/01/2017 - Atualizado em 10/10/2018
Como realizar a aproximação?
Nesse caso basta aplicarmos o seguinte:
ƒ (p) ≈ ƒ () + ƒ ′()(p − ) (com  ≈ p)
Na prática a aproximação linear é muito útil quando temos de calcular raízes ou
funções trigonométricas a mão.
Observação:
Quanto mais próximo o valor“" for de “p", então melhor será o resultado da
aproximação.
Exemplo 1: Calcule uma aproximação de
p
50.
Solução:
Tomando ƒ () = 1/2 o problema é equivalente a calcular ƒ (50) onde
ƒ (50) ≈ ƒ () + ƒ ′()(50 − )
Tomando  = 49 que é um valor próximo de 50, então:
ƒ (50) ≈ ƒ (49) + ƒ ′(49)(50 − 49)
⇒ ƒ (50) ≈ 7 +
�
1
14
�
× 1
⇒ ƒ (50) ≈
99
14
Usando uma calculadora (ou mesmo calculando a mão) a fração
99
14
pode ser es-
crita na forma decimal como aproximadamente 7.0714. Já
p
50 é aproximadamente
7.0711. Ou seja, conseguimos uma aproximação perfeita até a 3 casa decimal.
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Exemplo 2: Encontre a aproximação de 3
p
127.
Solução:
Tomando ƒ () = 1/3 o problema é equivalente a calcular ƒ (127) onde:
ƒ (127) ≈ ƒ () + ƒ ′()(127 − )
Tomando  = 125 então:
ƒ (127) ≈ ƒ (125) + ƒ ′(125)(127 − 125)
⇒ ƒ (127) ≈ 5 + (1/(1252/3)) × (2)
⇒ ƒ (127) ≈ 5 + (2/(1252/3))
⇒ ƒ (127) ≈
�
377
75
�
≈ 5.0266...
Exemplo 3: Encontre a aproximação de sn(3.14).
Solução:
Tomando ƒ () = sn() então queremos calcular f(3.14) onde:
ƒ (3.14) ≈ ƒ () + ƒ ′()(3.14 − )
Tomando  = π
ƒ (3.14) ≈ ƒ (π) + ƒ ′(π)(3.14 − π)
⇒ ƒ (3.14) ≈ sen(π) + cos(π)(3.14 − π)
⇒ ƒ (3.14) ≈ 0 + (−1)(3.14 − π)
⇒ ƒ (3.14) ≈ π − 3.14
Exemplo 4: Encontre a aproximação de n(1.05).
Solução:
Tomando ƒ () = n() então queremos calcular f(1.05) onde:
ƒ (1.05) ≈ ƒ () + ƒ ′()(1.05 − )
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Tomando  = 1
ƒ (1.05) ≈ ƒ (1) + ƒ ′(1)(1.05 − 1)
⇒ ƒ (1.05) ≈ 0 + 1/(1) · (0.05)
⇒ ƒ (1.05) ≈ 0.05
Exemplo 5: Encontre a aproximação de 25.1.
Solução:
Tomando ƒ () = 2 então queremos calcular f(5.1) onde:
ƒ (5.1) ≈ ƒ () + ƒ ′()(5.1 − )
Tomando  = 5
ƒ (5.1) ≈ ƒ (5) + ƒ ′(5)(5.1 − 5)
⇒ ƒ (5.1) ≈ 25 + 25(0.1)
⇒ ƒ (5.1) ≈ 25(1 + 0.1)
⇒ ƒ (5.1) ≈ 25(1.1)
⇒ ƒ (5.1) ≈ 32(1.1)
⇒ ƒ (5.1) ≈ 35.2
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