MA11 - Exercícios Resolvidos - 33 42

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A Matemática do Ensino Médio Diego Oliveira - Vitória da Conquista / BA
c) |x− 1 5| < |x− |
d) |x− 2|+ |x+ 4| = 8
e) |x− 2|+ |x+ 4| = 1
Solução
a) |x− 1| = 4
|x− −1| = 4 ⇒ x− 1 = 4 ou 1 x = 4 então = 5 ou = 3.x x
b) |x+ 1 2| <
|x+ 1| < 2⇔ − ⇒ −2 < x + 1 < 2 3 < x < 1
c) |x− 1 5| < |x− |
|x− −1| < |x 5| · 1
| |x− 1
|x− 5| < 1

x− 1
x− 5
 < 1⇔ −1 <
x− 1
x− 5 < 1
Para resolver a primeira inequação faremos o seguinte:
−1 < x− 1
x− 5
x− 1
x− 5 > −1
x− 1
x− 5 +
x+ 5
x+ 5
> 0
x− 1 + (x+ 5)
x− 5 > 0
2x+ 6
x− 5 > 0
Cuja desigualdade ocorre para x > 5 e 3.x < 
Já a segunda inequação faremos assim:
x− 1
x− 5 < 1
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(−1) · x− 1
x− 5 < 1 · ( 1)−
1− x
x− 5 > −1
1− x
x− 5 +
x− 5
x− 5 > 0
1− x+ ( 5)x−
x− 5 > 0
1− x+ x− 5
x− 5 > 0
−4
x− 5 > 0
Cuja solução ocorre somente para x < 5 (basta olhar pro denominador). Assim fazendo a
intercessão entre as soluções encontramos como solução a condição de que 3.x < 
d) Nesse caso procedemos da seguinte forma:
| |x− 2|+ x+ 4| =

x− 2 + |x+ 4| = 8
−(x− 2) + |x+ 4| = 8
De cada equação acima ainda tem-se:
x− 2 + |x+ 4| =

x x− 2 + x+ 4 = 2 + 2 = 8
x x− −2 ( + 4) = −6 6= 8
e também:
2− x+ |x+ 4| =

2− x x+ + 4 = 6 6= 8
2− −x− x 4 = −2x− 2 = 8
Dos dois últimos sistemas percebemos que as únicas soluções posśıveis vêm de 2x+ 2 = 8 ⇒
x x= 3 e de −2x− 2 = 8⇒ = −5.
De fato testando estes valores temos:
|(− −5) − 2|+ |( 5) + 4| |= | − | − 7|+ 1 = 8
| | |(3) − 2|+ (3) + 4| = |1|+ 7| = 8
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Assim a solução para a equação seria: 5 ex = − x = 3.
e) Procedendo da mesma forma que na questão anterior chega-se a conclusão de que esta
equação não tem solução.
10. Sejam a e b números reais não negativos. Mostre que:

a+ b
2
2
<
a2 + b2
2
Interprete geometricamente esta desigualdade.
Solução
a2 + b2
2
−

a+ b
2
2
=
a2 + b2
2
−
a2 + 2ab + b2
4
=
a2 − 2ab + b2
4
=

a− b
2
2
> 0.
Portanto
a b2 + 2
2
>

a+ b
2
2
11. Sabendo que os números reais x, y satisfazem as desigualdades
1 1, 4587 < x < , 4588 e 0 1135, têm-se os valores exatos de até milésimos., 1134 < y < 0, x e y
Que grau de precisão, a partir dáı, podemos ter para o valor ? Determine esse valor aproxi-xy 
mado. Como procedeŕıamos para obter um valor aproximado de ? Qual o grau de precisãox/y
encontrado no caso do quociente?
Solução
Tendo 1 4588 e 0, 4587 < x < 1, , 1134 < y < 0, 1135 multiplicando termo a termo temos:
0 0.16541 < xy < .16557. Perceba que dentro deste intervalo podemos determinar com certeza
que xy = 0.165 com erro inferior a um décimo de milésimo.
De forma parecida chegamos que 12.851 <
x
y
< 12.864 onde determinamos que
x
y
= 12.8 com
erro inferior a um centésimo.
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
nibblediego@gmail.com para que possa ser feito a devida correção.
Para encontrar esse e outros exerćıcios resolvidos de matemática acesse: www.number.890m.com
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A Matemática do Ensino Médio Diego Oliveira - Vitória da Conquista / BA
A MATEM ́ATICA DO ENSINO MÉDIO
A matemática do Ensino médio (volume 1)
Elon Lages Lima
Paulo Cezar Pinto Carvalho.
Eduardo Wagner.
Augusto César Morgado.
Resolvido por: Diego Oliveira.
5 Funções Afins
1. Quando dobra o percusso em uma corrida de táxi, o custo da nova corrida é igual ao dobro,
maior que o dobro ou menor que o dobro da corrida original?
Solução:
Seja x o valor da bandeirada e y o valor por Km percorrido então o custo (C) será:
C = x + ky; Onde k é uma constante.
Se dobrássemos o percusso então o custo seria:
C = x + 2ky
Se no entanto dobrássemos o custo:
2C = 2(x+2ky) = 2x + 4ky
Como 2x + 4ky x + 2ky então conclui-se que é menor que o dobro.>
2. A escala da figura abaixo é linear. Calcule o valor correspondente ao ponto assinalado.
17 59
Solução:
Graduamos a reta do seguinte modo:
17 59
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
Agora fazemos:
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59 17−
8− 0 =
x− 17
3− 0
Onde se conclui que x = 41.
3. A escala N de temperatura foi feita com base nas temperaturas máximas e minimas em
Nova Iguaçu. A correspondência com a escala Celsius é a seguinte:
N C
0 18
100 43
Em que temperatura ferve a água na escala N?
Solução:
C N
018
10043
100 x
De acordo com o diagrama acima devemos fazer:
43 18−
100 − 0 =
100 43−
x− 100
Onde se conclui que x = 328 .◦
4. Uma caixa d’água de 1000 tem um furo por onde escoa água a uma vazão constante. Aol
meio dia ela foi cheia e as 6 da tarde do mesmo dia ela tinha apenas 850 . Quando ficará pelal
metade?
Solução:
Vamos pensar do seguinte modo.
As zero horas a caixa possúıa 1000 litros. Seis horas depois possúıa 850. Esta situação pode
ser entendida pelo gráfico abaixo.
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0h
1000L
6h
850L
θ1
θ2
xh
O ponto onde a reta vertical intercepta o eixo x é a quantidade de horas que a caixa leva para
ficar vazia. Como a inclinação de uma reta é constante em qualquer ponto de modo queθ1 = θ2
suas tangentes também são iguais assim:
1000 850−
6− 0 =
1000 0−
x− 0
Onde se conclui que a caixa ficará vazia apos 40h (x = 40). E como a vazão é constante ficará
pela metade após 20h (40h/2) do inicio da vasão.
5. Um garoto brinca de fazer quadrados com palitos como na figura. Se ele fizer n quadrados
quantos palitos usará?
Solução:
1 quadrado = 4 palitos ou 4 + (1 1)3−
2 quadrado = 7 palitos ou 4 + (2 1)3−
3 quadrado = 10 palitos ou 4 + (3 1)3−
...
n quadrado = 4 + (n− 1)3
Ou seja quadrados levariam 4 + ( 1)3 palitos, o que pode ser expresso pela fórmula an n −
seguir
n = 3n+ 1
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6. Admita que 3 operários, trabalhando 8 horas por dia, construam um muro de 36 metros
em 5 dias.
a) Quantos dias são necessários para que uma equipe de 5 operários, trabalhando
6 horas por dia, construam um muro de 15 metros?
b) Que hipóteses foram implicitamente utilizadas na solução do item anterior.
c) Dentro dessa mesma hipótese, exprima o numero D de dias necessários à con-
strução de um muro em função do numero N de operários, do comprimento C do
muro e do numero H de horas trabalhadas por dia.
Solução a:
a) O problema em questão é um problema de regra de três composta.5
3
·
6
8
·
36
15 
=
5
x
Que implica em x =
5
3
que é aproximadamente 1d e 16h.
Solução b:
b) O tempo e o numero de operários é inversamente proporcional ao tempo. Enquanto a
quantidade de metros constrúıda é diretamente proporcional aos dias.
Solução c:
c) Usando a ideia de resolução da regra de três composta chega-se a conclusão de que:
D =
10
3
·
C
N H
7. As leis da f́ısica, muitas vezes, descrevem relações de proporcionalidade direta ou inversa
entre grandezas. Para cada uma das leis abaixo, escreva a expressão matemática correspondente.
a) (Lei da gravitação Universal). Matéria atrai matéria na razão direta das massas
e na razão inversa do quadrado da distância.
b) (Gases perfeitos). A pressão exercida por uma determinada massa de gás
é diretamente proporcional a temperatura absoluta e inversamente proporcional ao
volume ocupado pelo gás.
c) (Resistência elétrica). A resistência de um fio condutor é diretamente pro-
porcional ao seu seu comprimento e inversamente proporcional à área de sua seção
reta.
d) (Dilatação térmica). A dilatação térmica sofrida por uma barra é diretamente
proporcional ao comprimento da barra e à variação de temperatura.
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Solução:
a) F = k
m1m2
d2
b) pv = ct
c) r = k
l
s
d) ∆l = k l ∆t
8. As grandezas X e Y são inversamente proporcionais. Se X sofre um acréscimo de 25% qual
o decréscimo percentual sofrido por Y?
Solução:
Suponhamos que Y =
1
X
k se X for acrecido de 25% teremos:
Y =
1
X + 14X
k
Simplificando
Y =
4
5
·
k
X
Ou seja Y sofre uma redução de 45 , para determinar a porcentagem desta redução usamos
regra de três.
Y = 100%
4
5
Y = X%
Que implica em X = 80%.
9. Os termos a1, a2, ..., an de uma PA são os valores f(1), f(2),...,f(n) de uma função afim.
a) Mostre que cada ai é igual à área de um trapézio delimitado pelo gráfico de f,
pelo eixo OX e pelas retas verticais de equações.
x = i− 1
2
e x = i+
1
2
b) Mostre que a soma S = é igual a área do trapézio delimitado peloa1 + . . . +an
gráfico de f, pelo eixo OX e pelas retas verticais x = 1
2
e x = n + 12 .
c) Conclua que S =
a1 + an
2
n.
Solução a
A função a ser considerada aqui é: f(i) = a + (i - 1)r pois a ,..., a são termos de uma PA.1 1 n
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A Matemática do Ensino Médio Diego Oliveira - Vitória da Conquista / BA
A área do trapézio é o produto entre altura e base média. Pelo gráfico verificamos que a
altura é igual a 1.
h
i− i2 i+
i
2
h = i+
1
2
−

i−
1
2

= 1
Já a base média é igual a a .n
i− i
2
i+ i
2
Base media =
f( 1 (i− /2) + f i+ 1 2)/
2
= a1 + ( 1)r.n−
Assim fazendo a base média vezes a altura chega-se a a .n
1 a· n = an
Solução b
Seguindo a mesma lógica anterior se conclui que S =
a1 + an
2
n que é o resultado da soma
a a1 + . . .+ n, como é demonstrado na letra c.
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Solução c
Esta dedução se encontra em de matemática do ensino médio que se propõemTODO LIVRO 
a trabalhar com progressões de modo que não será feita aqui.
10. Pessoas apresada podem diminuir o tempo gasto em uma escada rolante subindo alguns
degraus da escada no percusso. Para uma certa escada, observa-se que uma pessoa gasta 30
segundos na escada quando sobe 5 degraus e 20 segundos quando sobe 10 degraus. Quantos são
os degraus da escada e qual o tempo normalmente gasto no percusso.
Solução
Seja d o numero total de degraus então:
(d− 5)t = 30s
(d− 10) =20st
Onde se conclui que:
d = 20
Ou seja existem 20 degraus na escada. Substituindo este valor em:
((20) − 5)t = 30s
Chegamos a = 2. Isto é, a escada leva 2 segundos para deslocar cada degrau. Comot
existem 40 degraus na escada então serão necessário 40 segundos para subi-la ou desce-la sem se
movimentar.
11. Augusto certo dia, fez compras em 5 lojas. Em cada loja, gastou metade do que tinha e
pagou na sáıda 2 R$ de estacionamento. Se após toda essa atividade ainda ficou com R$ 20,00
que quantia ele tinha inicialmente?
Solução
Como ele gasta sempre metade do que têm então:
D
2
+
D
4
+
D
8
+
D
16 
+
D
32 
=
31
32 
D
Assim:
31
32 
D + 22 = D
Que resulta em D = 704 R$.
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