aula 5_ vetor gradiente (1)

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π Prof. Jonas Ricardo
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O gradiente de uma função vetorial é um vetor resultante das
derivadas parciais de uma função de 2 ou 3 variáveis, sendo definido
da seguinte forma.
Se f é uma função de duas variáveis x e y, então o gradiente de f
é a função vetorial ∇𝑓 definida por :
∇𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 ; 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝒊 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝐣
ou
∇𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 =< 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 ; 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 ; 𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 >=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝒊 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝐣 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
𝐤
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Encontre o gradiente dos campos escalares.
a) 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2𝑥2𝑦 + 3𝑦𝑧 − 4𝑦𝑧
b) 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2𝑥2𝑦 + 3𝑦𝑧 − 4𝑥𝑦𝑧 no ponto ( 2, 0, 2 )
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∇𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝒊 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝐣 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
𝐤
𝐴) 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2𝑥2𝑦 + 3𝑦𝑧 − 4𝑦𝑧
∇𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 4𝑥𝑦𝒊 + (2𝑥2 + 3𝑧 − 4𝑧)𝐣 + (3𝑦 − 4𝑦)𝐤
𝑓𝑦 = 2𝑥
2 + 3𝑧 − 4𝑧𝑓𝑥 = 4𝑥𝑦
𝑓𝑧 = 3𝑦 − 4y
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∇𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 4 ∙ 2 ∙ 0𝒊 + (2 ∙ 2 + 3 ∙ 2 − 4 ∙ 2)𝐣 + (3 ∙ 0 − 4 ∙ 0)𝐤
∇𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 4𝑥𝑦𝒊 + (2𝑥2 + 3𝑧 − 4𝑧)𝐣 + (3𝑦 − 4𝑦)𝐤
no ponto ( 2, 0, 2 )
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 O Cálculo da derivada direcional e dado pelo produto escalar entre
o gradiente de um vetor , em um ponto dado e o vetor unitário
calculado a partir de um vetor que servirá como direção. Ou seja:
∇𝑓 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑢
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Determine a derivada direcional da função 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3𝑦3 − 4𝑦
no ponto ( 2, -1) na direção do vetor 𝑣 = 2𝑖 + 5𝑗
Solução:
Calculando o vetor gradiente no ponto ( 2, -1) temos:
𝑓𝑥 = 3𝑥
2𝑦3 e 𝑓𝑦 = 3𝑥
3𝑦2 − 4
∇𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2𝑦3 𝒊 + (3𝑥3𝑦2 − 4)𝒋
∇𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 3 ∙ 22 ∙ −1 3𝒊 + (3 ∙ 23 ∙ −1 2 − 𝟒)𝐣
∇𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −12𝒊 + 20𝐣
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Transformando o vetor V em unitário temos:
u =
2
29
𝒊,
5
29
𝒋
Resolvendo agora temos :
∇𝑓 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑢
𝑢 =
𝑣
𝑣
2
29
,
5
29
−12𝒊 + 20𝐣 ∙
2
29
𝒊,
5
29
𝒋 =
76
29
Dúvidas ?
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Determine o ∇𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) para 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦2 − 𝑦2 + xycos z , 
𝑃0 1,0,
3𝜋
2
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Determine o ∇𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) para = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2𝑦2 − 𝑦1 + xycos z , 𝑃0 2,0,2𝜋
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Determine a derivada direcional da função 𝑓 𝑥, 𝑦 = 9𝑥2 − 4𝑦2 − 1 no ponto ( 
3, -2 ) na direção do vetor𝑎 =
՜
𝑖 + 2
՜
𝑗 .
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Determine a derivada direcional da função f(x,y) = arctg
𝑦
𝑥
, P0 ( 4, -4 ) , a = 2i – 3j 
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