Teoria de Limites e Derivadas_texto 6

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Aplicação de derivadas 
 
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Olá, seja bem-vindo(a)! 
 
Neste tópico estudaremos a derivação implícita que faz o uso da regra da cadeia, 
bem como as derivadas superiores. Para então estudarmos as aplicações de derivadas! 
Vamos lá? 
 
1.1 DERIVADAS IMPLÍCITAS 
 
Vimos até agora que as derivadas com funções na forma 𝑦 = 𝑓(𝑥), nas quais a 
variável 𝑦 está expressa explicitamente em termos da variável independente 𝑥, como: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥2 − 1 
 
ℎ(𝑡) =
𝑡2 + 1
𝑡 − 1
 
 
 Porém temos funções do tipo “ 𝑥𝑦 + 𝑦 − 𝑥 − 1 = 0 ”. Essa função expressa 𝑦 
implicitamente como uma função de 𝑥 . Neste caso podemos realizar manipulações 
algébricas e explicitar 𝑦 em termos de 𝑥, da seguinte forma: 
 
𝑥𝑦 + 𝑦 − 𝑥 − 1 = 0 
𝑦(𝑥 + 1) = 𝑥 + 1 
𝑦 = 𝑓(𝑥) =
𝑥 + 1
𝑥 + 1
 
 
 Mas nem sempre essa maneira de encontrar a função definida implicitamente é 
fácil como no exemplo anterior, pois podemos nos deparar com equações complicadas de 
expressar 𝑦 em função de 𝑥. 
 Mas então como calcular a derivada de uma função definida implicitamente? 
 Aplicação de derivadas 
 
3 
 
 Esse método é denominado como Derivação Implícita e faz o uso da regra da 
cadeia. Esse método consiste em diferenciar ambos os lados da equação em relação a 𝑥 e 
então resolver a equação resultante para 𝑦′. 
 Para resolver vamos assumir sempre que a equação data determina 𝑦 
implicitamente como uma função diferenciável de 𝑥 de forma que o método da 
diferenciação implícita possa ser aplicado. 
Vamos ver como? 
 
 Exemplo 1 - Obtenha 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
, dada a equação 𝑦2 − 𝑥 = 1 
 Primeiro vamos derivar ambos os lados da equação em relação a 𝑥 
 
 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦2 − 𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
(1) 
 
 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦2) −
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
(1) 
 
 **Precisamos lembrar que 𝑦 é uma função de 𝑥, ou seja, 𝑦 = 𝑓(𝑥), então após 
derivar 𝑦 precisamos acrescentar 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 no resultado. Usando a regra da cadeia para derivar 
o termo 𝑦2 
 
 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦2) =
𝑑
𝑑𝑦
(𝑦2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
, acabamos de derivar 𝑦2 em relação a 𝑥. 
 
 Voltando para a equação 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦2) −
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
(1) , e derivando os termos 
restantes 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥) e 
𝑑
𝑑𝑥
(1), temos: 
 
• −
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥) = −1 
 
• 
𝑑
𝑑𝑥
(1) = 0 
 
 Assim, 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦2) −
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
(1) = 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 1 = 0 
 Aplicação de derivadas 
 
4 
 
 Agora precisamos deixar em função de 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
, logo 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2𝑦
 
 
 Exemplo 2 – Encontre 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 se 𝑥3 + 𝑦3 = 6𝑥𝑦 
 
 Primeiro derivamos ambos os lados de 𝑥3 + 𝑦3 = 6𝑥𝑦 em relação a 𝑥 , 
considerando 𝑦 como uma função de 𝑥 e usando a regra da cadeia no termo 𝑦3 e a regra 
do produto no termo 6𝑥𝑦. Assim derivando ambos os lados da equação: 
 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑥3 +
𝑑
𝑑𝑥
𝑦3 =
𝑑
𝑑𝑥
6𝑥𝑦 
 
 3𝑥2 + 3𝑦2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 6𝑦 + 6𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
 
***Observe que precisamos derivar a função em relação a 𝑥 e também em relação 
a 𝑦, no termo 6𝑥𝑦, fizemos da seguinte forma: 
 
• 
𝑑
𝑑𝑥
6𝑥𝑦 - Derivada de 6𝑥𝑦 em relação a 𝑥, primeiro deriva 6𝑥 e repete 𝑦, ficando 
6𝑦, depois deriva 𝑦 em relação a 𝑥, ficando 6𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
; 
• 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦3 - Derivada de 𝑦3 em relação a 𝑥 , então temos 3𝑦2 , e como estamos 
derivando 𝑦 em relação a 𝑦, precisamos acrescentar 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 no final, para informar 
que estamos derivando 𝑦 em relação a 𝑥, então 3𝑦2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
. 
 
Voltando ao resultado da derivada da função 𝑥3 + 𝑦3 = 6𝑥𝑦 calculada 
anteriormente, 
 
3𝑥2 + 3𝑦2𝑦′ = 6𝑦 + 6𝑥𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2𝑦′ = 2𝑦 + 2𝑥𝑦 
 
Deixando em função de 𝑦′, temos: 
 Aplicação de derivadas 
 
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𝑦′(𝑦
2−2𝑥) = 2𝑦 − 𝑥2 
 
𝑦′ =
2𝑦 − 𝑥2
𝑦2 − 2𝑥
 
 
 Se quisermos ainda encontrar a reta tangente nos pontos (3,3), temos 
 
𝑦′ =
2.3 − 32
32 − 2.3
= −1 
 
 Logo, a equação da reta tangente é: 𝑦 − 3 = −1(𝑥 − 3), 𝑜𝑢 𝑥 + 𝑦 = 6 
 
 Exemplo 3 – Encontre 𝑦′ se 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 𝑦) = 𝑦2 cos 𝑥 
 
 Primeiro derivamos ambos os lados de 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 𝑦) = 𝑦2 cos 𝑥 em relação a 𝑥, 
considerando 𝑦 como uma função de 𝑥. Vamos fazer por partes para ficar mais claro: 
• Derivada de 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 𝑦) 
Aplicando a regra da cadeia e trigonometria, temos: 
 
𝑠𝑒𝑛 𝑢 = cos 𝑢 . 𝑢′ 
 
Assim, cos(𝑥 + 𝑦) . (1 + 𝑦′) 
 
• Derivada de 𝑦2 cos 𝑥 
Aplicando a regra cadeia e trigonometria, temos: 
 
𝑦2. (−𝑠𝑒𝑛 𝑥) + 2𝑦𝑦′. 𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
Assim, 
cos(𝑥 + 𝑦) . (1 + 𝑦′) = 𝑦2. (−𝑠𝑒𝑛 𝑥) + 2𝑦𝑦′. 𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
𝑦′ =
𝑦2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos (𝑥 + 𝑦)
2𝑦 cos 𝑥 − cos(𝑥 + 𝑦)
 
 Aplicação de derivadas 
 
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1.2 DERIVAS SUPERIORES 
 
A derivada superior pode ser interpretada como uma taxa de variação da taxa da 
variação, ou seja, se 𝑓 for uma função derivável, então sua derivada 𝑓′ é uma função, logo 
𝑓′ pode ter sua própria derivada, que podemos escrever como (𝑓′)′ = 𝑓′′. Essa derivada 
é conhecida como derivada segunda de 𝑓, pois é a derivada da derivada de 𝑓. 
A derivada segunda de 𝑦 = 𝑓(𝑥) pode ser escrita em notação de Leibniz, como: 
 
𝑑
𝑑𝑦
(
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) =
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
 
 
Ou ainda 𝑓′′(𝑥) = 𝐷2𝑓(𝑥). 
 
Podemos citar a aceleração como um exemplo clássico de derivada segunda: 
 
𝑣(𝑡) = 𝑠′(𝑡) =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
 
 
A aceleração 𝑎(𝑡) de um objeto é a taxa de variação instantânea da velocidade em 
relação ao tempo. Então a função aceleração é a derivada da função velocidade, portanto 
a derivada segunda da função posição é 
 
𝑎(𝑡) = 𝑣′(𝑡) = 𝑠′′(𝑡) 
ou ainda, 
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
 
 
Vamos ao exemplo de derivada segunda. 
 
Exemplo 4 – A posição de uma partícula é dada pela seguinte equação 
𝑠 = 𝑓(𝑡) = 𝑡3 − 9𝑡2 + 12𝑡 
onde 𝑡 é medido em segundos e 𝑠 em metros. Encontre a aceleração no instante 
𝑡 = 4𝑠. 
 Aplicação de derivadas 
 
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Sabemos que a velocidade é a derivada da função posição, então vamos derivar a 
função posição 
 
𝑠′ = 𝑣(𝑡) =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 3𝑡2 − 18𝑡 + 12 
 
E ainda, sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade, ou seja a derivada 
segunda da função posição, então vamos derivar a derivada da função posição para 
encontrarmos a função aceleração 
𝑠′′ = 𝑣′(𝑡) = 𝑎(𝑡) =
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 6𝑡 − 18 
 
 Substituindo 𝑡 = 4𝑠 
 
𝑎(4) =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 6.4 − 18 = 6𝑚/𝑠2 
 
 Temos também, a derivada terceira 𝑓′′, que é a derivada da derivada segunda, 
𝑓′′′ = (𝑓′′), que pode ser interpretada como a inclinação da curva 𝑦 = 𝑓′′(𝑥), ou como 
a taxa de variação de 𝑓′′(𝑥). 
 Podemos escrever a derivada terceira com notações alternativas, 
 
𝑦′′′ = 𝑓′′′(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
) =
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
= 𝐷3𝑓(𝑥) 
 
 Ainda, esse processo pode ser continuado, e em geral podemos escrever a derivada 
n-ésima de 𝑓 da seguinte forma: 
 
𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑛)(𝑥) =
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
= 𝐷𝑛𝑓(𝑥) 
 
 
 
 
 Aplicação de derivadas 
 
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1.3 A REGRA DE L’HÔPITAL 
 
Uma das aplicações de derivadas é a regra de L’Hôpital, que nos permite calcular 
certos tipos de limites, cujas indeterminações são do tipo 
0
0
 ou 
∞
∞
, aplicando as regras de 
derivação. 
 Sejam 𝑓 e 𝑔 funções deriváveis e 𝑔′(𝑥) ≠ 0 próximo de um ponto 𝑎 , exceto 
possivelmente em 𝑎. Suponha que 
 
• lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 0 e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 0 
ou 
• lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ±∞ e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = ±∞ 
 
Desta forma temos uma forma indetermina do tipo 
0
0
 ou 
∞
∞
, então: 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
 
 
Se o limite do lado direito existir (ou é ∞ ou −∞). 
 
Exemplo 5 – Encontre lim
𝑥→1
ln 𝑥
𝑥−1
 
 
Aplicando as regras de limites podemos observarque 
 
lim
𝑥→1
ln 𝑥 = ln 1 = 0 
 
lim
𝑥→1
(𝑥 − 1) = 0 
 
Ou seja o lim
𝑥→1
ln 𝑥
𝑥−1
=
0
0
 
 
Podemos aplicar a regra de L’Hôpital, lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
 
 Aplicação de derivadas 
 
9 
 
lim
𝑥→1
ln 𝑥
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
𝑑
𝑑𝑥
(ln 𝑥)
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)
= lim
𝑥→1
1
𝑥
1
= lim
𝑥→1
1
𝑥
= 1 
 
Exemplo 6 – Calcule lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
𝑥2
 
 
Aplicando as regras de limites podemos observar que 
 
lim
𝑥→∞
𝑒𝑥 = ∞ e lim
𝑥→∞
𝑥2 = ∞, então o lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
𝑥2
=
∞
∞
 
 
Aplicando a regra de L’Hôpital, lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
, temos 
 
lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
𝑥2
= lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
2𝑥
=
∞
∞
 
 
Aplicando novamente a regra de L’Hôpital, pois obtivemos mais uma 
indeterminação, obtemos 
 
lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
𝑥2
= lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
2𝑥
= lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
2
= ∞ 
 
1.4 DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO 
 
O limite usado para a definição de derivadas de uma função num ponto surge em 
diversas aplicações e uma das mais familiares é a determinação da velocidade de um 
móvel. 
Vamos supor que um objeto se desloca ao longo de uma reta e que conhecemos 
suas posições 𝑠 = 𝑠(𝑡) em função do tempo. Então o deslocamento do objeto no intervalo 
de 𝑡 a 𝑡 + ∆𝑡 é dada por 
∆𝑠 = 𝑠(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡) 
 
e sua velocidade média neste intervalo é dado por 
 Aplicação de derivadas 
 
10 
 
𝑣𝑚 =
𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜
=
𝑠(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡)
∆𝑡
=
∆𝑠
∆𝑡
 
 
 Para encontrarmos a velocidade do corpo no exato instante 𝑡, calculamos o limite 
da velocidade média no intervalo 𝑡 a 𝑡 + ∆𝑡, com ∆𝑡 tendendo a zero. Então, a velocidade 
do objeto no instante 𝑡 é denotada por 𝑣(𝑡) da seguinte forma 
 
𝑣(𝑡) = lim
∆𝑡→0
∆𝑠
∆𝑡
=
𝑠(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡)
∆𝑡
= 𝑠′(𝑡) 
 
 Logo, a velocidade é a taxa de variação instantânea na função deslocamento. 
Lembram da definição de derivadas que estudamos?? Entendemos essas definições para 
uma função qualquer 𝑦 = 𝑓(𝑥), então: 
 
1. A taxa média de variação de 𝑦 = 𝑓(𝑥) em relação a 𝑥 no intervalo [𝑥, 𝑥 + ∆𝑥] é: 
 
𝑦𝑚 =
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
 
 
2. A taxa de variação instantânea de y = f(x) em x é: 
 
lim
∆𝑥→0
𝑦𝑚 = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
= 𝑓′(𝑥), 
 
desde que esse limite exista. 
 
 
Exemplo 7 – De um balão a 150m acima do solo, deixa-se cair um saco de areia. 
Desprezando-se a resistência do ar, a distância 𝑠(𝑡) do solo ao saco de areia em queda, 
após 𝑡 segundos, é dada por 𝑠(𝑡) = −4,9𝑡2 + 150. 
 
a. Determine a velocidade média do saco de areia no intervalo de 𝑡 = 0 a 𝑡 =
2 segundos. 
 Aplicação de derivadas 
 
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𝑣𝑚 =
𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜
=
𝑠(2) − 𝑠(0)
2
=
(−4,9. 22 + 150) − 4,9. 02 + 150
2
 
 
 𝑣𝑚 = −
9,8𝑚
𝑠
 
 
b. Determine a velocidade do saco de areia quando 𝑡 = 2 
 
𝑣(2) = lim
∆𝑡→0
𝑠(2 + ∆𝑡) − 𝑠(2)
∆𝑡
= 𝑠′(2) 
 
Derivando a função 𝑠(𝑡) = −4,9𝑡2 + 150, então, 
 
𝑠′(2) = −9,8.2 = −19,6𝑚/𝑠 
 
 
**Sugiro o estudo do texto complementar para finalizarmos o estudo das aplicações 
de derivadas. O texto complementar traz os problemas de otimização, em que iremos 
aprender a encontrar a melhor maneira de fazer alguma coisa! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aplicação de derivadas 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
 
FACCIN, Giovani Manzeppi. Elementos de cálculo diferencial e integral. [livro 
eletrônico]. Curitiba: Intersaberes, 2015. 
 
 
FLEMMING, Diva Marília; Gonçalves, Buss Mírian. Cálculo A. [livro eletrônico]. São 
Paulo: Pearson, 2006. 
 
 
STEWART, James. Cálculo. Volume I. Edição 4. São Paulo: Pioneira Thomson 
Learning, 2005.