estatistica 1o trabalho

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Universidade Católica de Moçambique 
Instituto de Educação à Distância 
 
 
 
Resolução de exercícios 
 
Tavares Rodrigues 
Código: 708215396 
 
 
Curso: Curso de Administração Pública 
Disciplina: Estatística Aplicada À Administração Pública 
Ano de Frequência: 2º Ano 
Turma: E 
 
 
 
Docente: 
Victor Alfiado Makola 
 
 
 
 
Cuamba, 2022 
 
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Folha de recomendações para melhoria: A ser preenchida pelo tutor 
Índice 
1.Introdução ........................................................................................................................ 4 
1.1.Objectivos ..................................................................................................................... 4 
1.2.Metodologias................................................................................................................. 4 
Parte I. ................................................................................................................................. 6 
2.Estatística Descritiva ........................................................................................................ 6 
Parte II. .............................................................................................................................. 12 
3.Probabilidades ................................................................................................................ 12 
Parte III. ............................................................................................................................ 14 
4.Variáveis Aleatórias e Distribuições Discreta ............................................................... 14 
Parte IV. ............................................................................................................................ 20 
5. Variáveis aleatórias e distribuições continua ................................................................ 20 
6.Considerações finais ...................................................................................................... 22 
7.Referências bibliográficas usadas .................................................................................. 23 
 
 
 
1.Introdução 
A estatística é um ramo de grande importância da matemática, desenvolvendo técnicas 
como a coleta de dados e sua organização, interpretação, análise e representação. O uso da 
matemática para a tomada de decisões vem acompanhando nossa história desde o início 
das grandes civilizações. Com o passar do tempo, foram criados métodos para facilitar-se 
esse processo (Farias, 2015, p. 09). 
Na mesma linha do pensamento, o autor diz que, a estatística é dividida entre o estudo da 
coleta de dados, em que conhecemos os princípios da área, como os conceitos de amostra, 
população, variável e tipo de variável; o estudo da análise desses dados, no qual lidamos 
com a frequência absoluta e relativa, as medidas centrais e as medidas de dispersão; e 
a representação e interpretação desses resultados, em que estudamos os tipos de gráficos, 
a melhor representação para cada caso, e, com base nessa interpretação, gerando-se 
também as medidas centrais, como a média, a moda e a mediana. 
1.1.Objectivos 
O presente trabalho tem como objectivo, resolucao de exercícios propostos sobre: 
 Estatística descritiva; 
 Probabilidades; 
 Variáveis aleatórias e distribuições continuam; 
 Variáveis Aleatórias e Distribuições Discretas. 
1.2.Metodologias 
Para elaboração deste trabalho efectuou-se uma pesquisa bibliográfica, através da consulta 
de manuais que abordam assuntos ao tema do presente trabalho, e fez-se também a consulta 
de artigos científicos e algumas explanações ou definições de conceitos importantes 
utilizados durante a pesquisa deste estudo. Pesquisa bibliográfica é aquela que é 
desenvolvida com base em material já elaborado, constituído principalmente de livros e 
artigos científicos e textos retirados da Internet. 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/tipos-graficos-1.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/media-aritmetica.htm
O presente trabalho de pesquisa bibliográfica apesenta a seguinte sequência 
organizacional: Introdução, desenvolvimento, conclusão ou considerações finais e 
referências bibliográficas. 
 
 
Parte I. 
2.Estatística Descritiva 
1. Uma escola avalia o seu curso através de um questionário com 50 perguntas sobre 
diversos aspectos de interesse. Cada pergunta tem uma resposta numa escala de 1 
a 5, onde a maior nota significa melhor desempenho. 
a) Proceda à organização dos dados construindo um quadro de frequências onde 
figure mas frequências absolutas, absolutas acumuladas e relativas acumuladas. 
 fi xi xi*fi 
1.2|-2.2 4 1.71 6.84 
2.2|-3 13 2.6 33.8 
3|-4 15 3.5 52.5 
4|-5 10 4.5 45 
 138.14 
 
b) Desenhe o respetivo histograma 
 
c) As classes modal e mediana: 
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 1 2 3 4 5
V
as
o
s
Sementes germinados
Frequencias
R: Classe modal a classe com maior frequência: (3 − 4). 
𝑀𝑑 =
𝑥21 + 𝑥22
2
=
3,1 + 3,2
2
= 3,25 
d) Calcule a média e o desvio padrão usando os dados agrupados e também usando os 
dados não agrupados. Compare os resultados. 
Dados não agrupados 
Média 
�̅� =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
=
133
42
= 3,17 
Desvio padrão 
𝜎 = √
1
𝑁
× ∑(𝑥𝑖 − �̅�)2
𝑁
𝑖=1
= √
32,21
42
= 0,886 
Dados agrupados 
𝒙 =
1
𝑛
∑ 𝑥𝑖 ∙ 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
=
6,84 + 33,8 + 52,5 + 45
42
=
138,14
42
= 3,29 
𝜎 = √
1
𝑛
∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2𝐹𝑖
𝑛
𝑖=1
= √
21,25
42
= 0,505 
e) Calcule a mediana e os 1° e 3° quartis. 
Cálculo de mediana, corresponde ao ordenamento crescente dos valores registados, caso o 
número seja impar leva-se a classe do limite medio, se por acaso forem números pares fa-
ze a soma dos números da classe do limite medio e divide-se por 2. Sendo assim temos: 
𝑀𝑜 =
𝑥21 + 𝑥22
2
=
3,1 + 3,2
2
= 3,15 
Cálculo de quartis:𝑄1 = 0,25(𝑛 + 1) 𝑄3 = 0,75(𝑛 + 1) 
𝑄1 = 2,4 𝑄3 = 3,9 
2. Num estudo para analisar a capacidade de germinação de certo tipo de cereal foram 
semeadas cinco sementes em cada um dos vasos dum conjunto de vasos iguais, contendo 
o mesmo tipo de solo, e registou-se o número de sementes germinadas. 
a) Calcule a média, a mediana e a moda do número de sementes germinadas. 
A média 
�̅� =
1
𝑛
∑ 𝑥𝑖 = 2,87
𝑛
𝑖=1
 
Mediana 
𝑀𝑑 = 3,25 
Moda corresponde a classe/numero com mais frequência acumulada, neste caso são os 
vasos que germinaram 3 sementes, que correspondem 137. 
b) Represente graficamente os resultados 
 
c) Calcule a proporção de vasos com mais de três sementes germinadas. 
4
98
=
5
25
⇒ 𝑃 =
490
100
=
49
10
 
 
3. Realizou-se uma experiência com uma perfuradora hidráulica afim de conhecer a sua 
capacidade de perfuração em estruturas rochosas. 
a) Medidas de localização de uma amostra (ou colecção) de dados de tipo quantitativo, 
são estatísticas que resumem a informação da amostra, dando indicação quer do centro 
da distribuição dos dados, de que são exemplos a média e a mediana, quer de outros pontos 
importantes dessa distribuição, de que são exemplos os quartis. 
a) Media 
�̅� =
1
𝑛
∑ 𝑥𝑖 =
106
10
= 10,6
𝑛
𝑖=1
 
Mediana 
𝑀𝑑 =
𝑥5 + 𝑥6
2
=
10,6 + 10,7
2
=
21,3
2
= 10,65 
0
20
40
60
80
100
120
140
160
S. Germinados
V
as
o
s
Sementes germinados
https://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/index.php/Amostra
https://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/index.php/Dados_(Estat%C3%ADstica)
https://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/index.php/Estat%C3%ADstica
https://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/index.php/Distribui%C3%A7%C3%A3o_(Estat%C3%ADstica)
https://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/index.php/M%C3%A9dia_(Estat%C3%ADstica)
https://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/index.php/Mediana_(Estat%C3%ADstica)
https://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/index.php/Quartis
Quartis 
𝑄1 = 0,25(𝑛 + 1) 𝑄2 = 0,5(𝑛 + 1) 𝑄3 = 0,75(𝑛 + 1) 
0,25(10 + 1) 0,50(10 + 1) 0,75(10 + 1) 
0,25 × 11 = 2,75 0,50 × 11 = 5,5 0,75 × 11 = 8,25 
Amplitude Inter-qurtilica semi-interquartilica 
𝐴𝑡 = 𝑋𝑚𝑎𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛 𝑑𝑞 = 𝑄3 − 𝑄1 𝑑𝑞𝑚 =
1
2
(𝑄3 − 𝑄1) 
= 11 − 10,1 = 8,25 − 2,75 =
5,5
2
= 2.75 
= 0,9 = 5,5 
4. As notas finais obtidas em 3 turmas na disciplina de Probabilidades e Estatística. 
a) Calcule a média e o desvio padrão das notas obtidas no conjunto de todos os alunos. 
�̅� =
1
𝑛
∑ 𝑥𝑖 = 10,48
𝑛
𝑖=1
 
Desvio padrão 
𝜎 = √
1
𝑁
∑(𝑥𝑖 − �̅�)2
𝑛
𝑖=1
= √7.102225 
𝜎 = 2.67 
b) No final o professor entendeu alterar linearmente as notas de forma que a média e o 
desvio padrão das notas de todos os alunos fossem 12 e 2 respectivamente. Sabendo que 
um aluno da turma 1 obteve 10 valores, calcule a sua nota na nova escala adoptada pelo 
professor. 
R: A nota nova atribuída pelo professor é 11,64. 
5. O departamento de pessoal de uma certa firma fez um levantamento dos salários dos 120 
funcionários do sector administrativo,tendo obtido os seguintes resultados. 
a) Histograma correspondente 
 
b) Calcule aproximadamente a média, a variância e o desvio padrão dos salários. 
Vamos encontrar as frequências absolutas 
 Xi Fi 
0.2 0.25 30 
2.4 0.4 48 
4.6 0.2 24 
6.1 0.15 18 
 
�̅� =
1
𝑁
∑ 𝑥𝑖𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
=
1 × 30 + 3 × 48 + 5 × 24 + 8 × 18
120
=
30 + 144 + 120 + 144
120
= 3,65 
Variância e desvio padrao 
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.2 2.4 4.6 6.1
𝜎2 =
1
𝑛 − 1
∑(𝑥𝑖 − �̅�)
2
𝑛
𝑖=1
 
𝜎2 =
(1 − 3,65)2 ∙ 30 + (3 − 3,65)2 ∙ 48 + (5 − 3,65)2 ∙ 24 + (8 − 3,65)2 ∙ 18
120 − 1
 
𝜎2 =
(−2,65)2 ∙ 30 + (−0,65)2 ∙ 48 + (1,35)2 ∙ 24 + (4,35)2 ∙ 18
119
 
𝜎2 =
210,7 + 20,28 + 43,74 + 340,6
119
 
𝜎2 =
614,735
119
= 5,19 
Então desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
𝜎 = √𝜎2 ⇒ 𝜎 = √5,17 = 2,27 
c) Se for concedido um aumento de 100% a todos os funcionários, a media do salario 
dobrara e assim a variância será 4 vezes maior. Pois a diferença à média e todos valores 
vão dobrar e como a variância é quadrada ela será quadruplicada. 
d) o caso de ser concedido um aumento de 2 unidades a todos os funcionários, a media e a 
mediana aumentara em 2 salários mínimos, mas a variância e o desvio padrão não se 
alteram. Pois a media e todas observações sobem o mesmo valor, portanto a diferença 
permanece igual, assim como a variância o desvio padrão. 
Parte II. 
3.Probabilidades 
1. Um certo tipo de motor elétrico quando avariado pode apresentar quatro tipos de 
falhas, denotadas por F1, F2, F3 e F4, cujas probabilidades de ocorrência são iguais. 
a) Mostre que os acontecimentos A,B e C são independente são spares (Guedes, 
2016). 
Dados formula/resolução 
𝑛(𝑒) = 0,8 𝑃(𝐴) =
𝑛(𝑒)
𝑛(𝛺)
=
0,8
2
= 0,4 
𝑛(Ω) = 2 
𝑃(𝐴) =? 
b) P (C|A∩B) é diferente de P (C): 
Dados Formula/Resol 
𝑃(𝐴) = 0,8 𝑃(�̅�) = 1 − 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐴 ∩ �̅�) = 𝑃(𝐴) − [1 − 𝑃(𝐵)] 
𝑃(𝐵) = 0,5 𝑃(�̅�) = 0,5 𝑃(𝐴 ∩ �̅�) = 0,6 =
2
3
 
𝑃(�̅�) =? 
3.Dados 
Dados 
5% Sofre Hipertensão; 75% Ingerem bebidas alcoólicas; 50% Ingerem bebidas alcoólicas 
e não sofrem Hipertensão. 
a) a percentagem de pessoas que bebem álcool é: 
𝑃 =
75% ∙ 5%
100%
+
50% ∙ 95
100%
= 3,75 + 47,5 = 51,25 
b) a percentagem de pessoas que bebendo álcool sofrem de hipertensão é: 
𝑃 =
5 × 50%
100%
+
5% × 45%
100%
= 2,5 + 4,7 = 7,2 
4. Para um certo tipo de cancro a taxa de prevalência (proporção de doentes na população 
em geral) é 0.005. 
Dados 
𝑃(𝐴) = 0,99 
𝑃(𝐵) = 0,95 
𝑃(𝐴𝑈𝐵) = 0.005 
a) o valor preditivo do teste é 
Resolução 
 
𝑃 (
𝐴
𝐵
) =
𝑃 (
𝐵
𝐴) × 𝑃(𝐴)
𝑃 (
𝐵
𝐴) × 𝑃
(𝐴) + 𝑃 (
�̅�
𝑐 ) × �̅�(𝐴)
 
𝑃 (
𝐴
𝐵
) =
0,99 × 0,005
0,99 × 0,005 + (1 − 0.95) × (1 − 0,005)
= 0,905 
Supondo que o teste foi aplicado duas vezes consecutivas ao mesmo doente e que das duas 
vezes o resultado foi positivo, calcule a probabilidade do doente ter cancro. 
Resolução 
𝑃[𝐴]( 𝐵1 ∩ 𝐵2) =
𝑃[(𝐵1 ∩ 𝐵2)|𝐴] × 𝑃(𝐴)
𝑃(𝐵1 ∩ 𝐵2)
 
=
𝑃[𝐵1|𝐴] × 𝑃(𝐵2)|𝐴 × 𝑃(𝐴)
𝑃(𝑇|𝑐) × 𝑃(𝐵2|𝑐) × 𝑃(𝐴) + [1 − 𝑃(𝐵)
 
=
0,99 × 0,99 × 0,005
0,99 × 0,99 × 0,005 + (1 − 0,95) × (1 − 0,95) × (1 − 005)
 
= 0,6633 
Parte III. 
4.Variáveis Aleatórias e Distribuições Discreta 
1. Uma caixa contém 6 iogurtes dos quais 2 estão estragados. Retiram-se ao acaso e sem 
reposição 3 iogurtes 
a) Designe por X a variável aleatória que representa o número de iogurtes estragados 
nas 3 extrações. 
i. a probabilidade de obter quando muito um iogurte estragado 
Dados Resolução 
𝑥 = (6,2,3) 𝑥 = [(6,5,4,3,2)] 
𝑃(𝐴) =? = [(6,6), (6,5)(6,4)(6,3)(2,2)] 
𝑃(𝐴) =
𝑛(𝐸)
𝑛(Ω)
=
4
5
 
ii. a probabilidade de ter sido o segundo 
𝑥 = (1,2,3) 
𝑃(𝐴) =
𝑛(𝐸)
𝑛𝑛(Ω)
=
1
3
 
b) Designe por X a variável aleatória que representa o número de iogurtes estragados 
nas 3 extracções. Determine: 
i. 𝑓(𝐵) = 𝑝(𝑥 = 3) = 𝑝(6,2,3) 
𝑝(𝑥 = 0), 𝑃(𝑥 = 2) 𝑃(𝑥 = 3) =
1
3
 
ii. 𝑓(𝑥 ≤ 3) = 𝑃(𝑋 = 5) × 𝑃(𝑥 = 4) × 𝑃(𝑥 = 3) × (𝑥 = 2) 
𝑃(𝐴) =
𝑛(𝐸)
𝑛(Ω)
=
3
5
= 0,6 
iii. Valor esperado 
𝐸(𝑥) = 𝜇𝑥 𝐸(𝑥) = 1 ∙ (
1
6
) + 2 − (
1
2
) + 3 (
1
3
) = 2,1 
∑ 𝑥 ∙ 𝑃(𝑥) 𝜎2 = 𝑉(𝑥) = 2,12 = 4,4 𝑜𝑢 𝜎2 = 𝐸(𝑥) − [𝐸(𝑥)]2 
2. Numa fábrica existem três máquinas iguais de uma mesma marca, que trabalham 
independentemente. A probabilidade de cada máquina avariar num dado espaço de 
tempo é 0.1. 
a) A função de probabilidade de X𝑃(𝑥 = 0) =
2
0,1
×
0,02
0,2
= 20 
𝑃(𝑥 = 2) =
0,1
02
× 0,2 = 0,1 
𝑃(𝑥 = 1) =
2
0,1
×
0,1
0,2
+ 1 ×
2
0,2
= 20 
𝑓(𝑥) = {
0 𝑒 𝑥 = 0
2 𝑒 𝑥 = 1
20 𝑒 𝑥 = 2
1 𝑒 𝑥 = 3
 
b) A função de distribuição de X 
Função probabilidade 
𝑓𝑥(𝑥) = (𝑥 ≤ 3) = 𝑃(𝑥) (
1
10000
) + (
2
5000
) + (
2
15
) 
𝑓(𝑥 ≤ 3) =
1
10000
+
2
5000
+
3
15
= 0,068 
3. Num armazém encontra-se um lote de 10000 latas de um certo produto alimentar que 
está a ser preparado para ser distribuído. 500 dessas latas já ultrapassaram o prazo de 
validade. É efectuada uma inspecção sobre uma amostra de 15 embalagens escolhidas ao 
acaso com reposição. A inspecção rejeita o lote se forem encontradas mais do que duas 
latas fora do prazo de validade nessa amostra. 
a) Qual a probabilidade de rejeição do lote 
𝑃 =
𝑛(𝐸)
𝑛(Ω)
=
15
500
= 0,036 
 
b) Qual o número esperado de latas fora do prazo de validade 
𝑃 = 0,75 
c) Suponha que as latas são inspecionadas sucessivamente (com reposição) a té ser 
encontrada uma fora do prazo de validade. 
i) Qual a probabilidade de ser necessário inspecionar 4 ou mais latas? 
𝑃 =
𝑛(𝐸)
𝑛(Ω)
=
15
18
= 0,8574 
ii) Qual o número esperado de latas inspecionadas? 
𝑃 =
𝑛(𝐸)
𝑛(Ω)
=
500
10000
= 20 
4.Num lote de 500 peças existem 50 defeituosas. Desse lote retira-se ao acaso e com 
reposição uma amostra. O lote é rejeitado se tal amostra incluir mais do que duas peças 
defeituosas. Calcule: 
a) A probabilidade de rejeição do lote se a amostra tiver dimensão 10: 
𝑅: 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑖𝑐𝑎𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑜 10 é: 0.0702 
b) A dimensão que a amostra deve ter para que a probabilidade de rejeição seja inferiora 
0.05. 
𝑃 ≤ 8 
c) Nas condições da alínea(a) e se existirem 100 lotes nas condições indicadas, qual o 
número 
esperado de lotes em que se pode esperar que haja rejeição? 
𝑃 = 7.02 
5. 2000 Pessoas de entre as 60000 que constituem a população de uma cidade estão a 
assistir a um programa de televisão. Escreva a expressão que lhe permitiria calcular a 
probabilidade exata de que, entre 250 pessoas selecionadas ao acaso e sem reposição da 
população da cidade, menos de 5 estejam a ver esse programa. 
R: a expressão vai ser essa: 
∑
(
2000
𝑛
) (
58000
250 − 𝑛
)
(
60000
250
)
4
𝑛=0
 
6. O número de partículas emitidas por uma fonte radioactiva, num dado período de tempo, 
é uma variável aleatória com distribuição de Poisson. Sabendo que a probabilidade de não 
ser emitida qualquer partícula nesse período de tempo é 1/3, calcule a probabilidade de que 
nesse período de tempo a fonte emita pelo menos 2 partículas. 
Dados Form/Resolucao 
𝜆 =
1
3
 𝑃[𝑥 = 𝑥𝑖] =
𝑒−𝜆𝜆𝑥𝑖
𝑥𝑖!
 
𝑥𝑖 = 2 𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖] = 0,3005 
𝑒 = 2,7183 
𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖] =? 
7. Uma máquina electrónica de venda de chocolates e bebidas dá um lucro de 12 dezenas 
de euros por semana se não tiver avarias durante a semana. Se a máquina tiver x (x ≥1) 
avarias durante a semana o custo da reparação é de (x+1) 2 dezenas de euros. Suponha que 
o número de avarias numa semana, X, é uma variável aleatória de Poisson de parâmetro 
λ=3/2. 
a) 
i. Calcule a probabilidade de numa semana 
Dados Formul/resoluc 
𝜆 =
3
2
 𝑃[𝑥 = 𝑥𝑖] =
𝑒−𝜆𝜆𝑥𝑖
𝑥𝑖!
 
𝑥𝑖 = 2 𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖] = 0,2231 
𝑒 = 2,7183 
𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖] =? 
b) Não haver avaria. 
𝜆 =
3
2
 𝑃[𝑥 = 𝑥𝑖] =
𝑒−𝜆𝜆𝑥𝑖
𝑥𝑖!
 
𝑥𝑖 = 0 𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖] = 0,4308 
𝑒 = 2,7183 
𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖] =? 
ii. Haver uma avaria, sabendo que de facto ocorreu avarias nessa semana 
b) o lucro é de: 4,47 euros 
8. Indique uma expressão que lhe permita calcular a probabilidade exacta de que pelo 
menos 2 
pessoas de um grupo de 500 façam anos no dia de Natal (considere o ano com 365 dias). 
Obtenha um valor aproximado para esta probabilidade com base na distribuição de Poisson. 
∑ (
500
𝑥
) (
1
365
)
𝑥
(
364
365
)
500−𝑥500
𝑥=2
≅ 0,3977 
9. Um processo de fabrico de placas de vidro produz, em média, 4 bolhas de ar espalhadas 
aleatoriamente por 10m2 de placa. Sabendo que a distribuição do número de bolhas de ar 
pode ser modelada por uma distribuição de Poisson, calcule a probabilidade de: 
a) Uma placa de 2.5m × 2m ter mais de 2 bolhas de ar: 
𝑝𝑋(𝑥) = 𝑃(𝑋 > 2) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 0,3233 
b) Obter, num lote de 10 placas de vidro com1m × 2.5m, 6 placa perfeitas. 
A probabilidade será de: 𝑃 = 0,0831 
Parte IV. 
5. Variáveis aleatórias e distribuições continua 
1. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal de valor esperado 10 e 
variância 4, que representa o comprimento de uma barra de ferro. Suponha que a 
barra é considerada não defeituosas e 8≤X ≤12 e defeituosa caso contrário. 
a) Qual a probabilidade de que uma barra seja não defeituosa? 
Dados Formula/resolução 
𝐸(𝑥) = 10 𝑓(𝑥) ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑥
𝑎
𝑏
 
𝑎 = 4 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑢𝑑𝑢
12
8
=
𝑢2
2
|8
12 ⇔ (
122
2
−
82
2
) ×
8
12
 
8 ≤ 𝑥 ≤ 12 𝑓(𝑥) =
80
2
×
8
12
= 40 ×
2
3
= 26,6 
b) Qual a probabilidade de que, em 10 barras escolhidas ao acaso e com reposição do 
fabrico diário, pelo menos 2 sejam defeituosas. 
Dados Formula/Resolução 
𝑃(𝐴) = 10 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
𝑃(𝐵) = 2 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 10 + 2 −
10
2
=
24−10
2
=
14
2
= 7 
𝑃(𝐶) =? 
2. O comprimento das peças produzidas por uma máquina é uma variável aleatória 
normal com valor esperado µ (mm) e variância σ2 (mm2). Uma peça é defeituosa 
se o seu comprimento diferir do valor esperado mais do que σ. Sabe-se que 50% 
das peças produzidas têm comprimento inferior a 2.5mm e 47.5% das peças 
produzidas têm comprimento entre 2.5mm e 3.42mm. 
a) Dados 
𝐸(𝑥) = 𝑢 
𝐸(𝑥) = 2,5 × 50 + 3,42 × 50 + 47,5 × 2,5 + 47,5 × 3,42 
𝐸(𝑥) = 125 + 171 + 118,75 + 162,45 
𝐸(𝑥) = 5,772 
𝜎 = √𝐸(𝑥) 
𝜎 = √5,772 = 2,402 
 
b) Dados Formula/resolução 
𝑃(𝐴) = 2,5𝑚 𝑃(𝐴 ∪ �̅�) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
𝑃(𝐵) = 3,42𝑚𝑚 = 2,5 + 3,42 − 2,5 = 3,42 
𝑃 =? 
 
 
6.Considerações finais 
As medidas de localização amostrais média, mediana e quartis, dão informação sobre as 
correspondentes características populacionais ou parâmetros da população (ou variável 
aleatória) de onde se selecionou a amostra, respectivamente valor médio, mediana 
populacional e quartis populacionais. Uma variável aleatória é discreta se sua imagem (ou 
conjunto de valores que ela assume) for um conjunto finito ou enumerável. Se a imagem 
for um conjunto não enumerável, dizemos que a variável aleatória é contínua. 
As medidas de dispersão são amplitude, desvio, variância e desvio padrão e são usadas 
para determinar o grau de variação dos números de uma lista com relação à média. 
O estudo da probabilidade é de grande importância para a tomada de decisões em nossa 
sociedade. Conhecemos como probabilidade a área da matemática que estuda a chance de 
um determinado evento acontecer. 
 
 
 
7.Referências bibliográficas usadas 
Afonso, A. (2019). PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA: Aplicações e Soluções em SPSS. 
Lisboa: Universidade de Évora. 
Farias, A. M. (2015). Variáveis Aleatórias Discretas. Fluminense: Universidade Federal 
Fluminense. 
Galvão, M. F. (2000). Probabilidades e estatística: conceitos e métodos fundamentais. 
Lisboa: Vol. I. Escolar. 
Guedes, T. A. (2016). Estatística Descritiva. São Paulo: Martins Fontes. 
Landim, F. (2012). MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO. Sao Paulo: Paulistas. 
Silva, A. S. (2008). Projeto Livro Aberto de Matemática: MEDIDASDE POSIÇÃO E 
DISPERSÃO. Rio de Janeiro: SME Angra dos reis e Mesquita.