calculo algebrico

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Limites: abordagem numérica e gráfica; Definição: investigação gráfica; Limites laterais 
1. 
O poliuretano é um polímero muito utilizado na produção de espuma. A quantidade desse 
polímero (em quilogramas) usada para produzir tênis é representado pela função 
Observe seu gráfico: 
 
 Analise a produção dessa função quando x se aproxima de 2. 
 
você acertou! 
C. 
4 
Observando o gráfico, tem-se que quanto mais x aproxima-se de 2 pela esquerda (ou seja, 
tomando x iguais a 1,5; 1,6; 1,7...), mais a função P aproxima-se “por baixo” do valor 4. Da mesma 
forma, quanto mais x aproxima-se de 2 pela direita (assumindo os valores 2,5; 2,4; 2,3...), mais a 
função P aproxima-se de 4 “por cima”. 
 
Como nas duas aproximações de x (pela esquerda e pela direita) do valor 2, a função P tende a 
4, dizemos que 
Observe que a função P(x) dada não é definida para x = 4. 
2. 
A linha de produção da indústria de tênis utiliza a água como reagente químico. A liberação 
da água para os rios, sem nenhum tratamento, tem causado danos. O gráfico abaixo mostra 
a intensidade de poluição (y) com o passar dos anos (x). Qual a intensidade de poluição 
em 20 anos? 
 
E. 
Aproximadamente 20. 
Note que para valores de x > 1, o fenômeno é descrito por meio de uma função exponencial, cuja 
assíntota é a reta y = 20. Ou seja, conforme os valores de x aumentam, os valores de y tendem a 
se aproximar de 20. 
3. 
Minutos após o lançamento da água contaminada, a população de uma colônia de bactérias 
(por mililitro) encontrada em um rio poluído, é dada pela função 
 
Qual a população de bactérias 10 minutos após sua contaminação? 
 
Você acertou! 
A. 
63 
Observe que o tempo t = 10 minutos é maior que 5 minutos, que limita os intervalos de definição 
da função f. Como para 
 
têm-se f(t) = 6t + 3, então: 
bactérias por mililitro. 
4. 
Certa aplicação paga 6% de juros ao ano sobre um depósito inicial de R$ 5.000,00. Os 
ganhos sobre essa aplicação foram estimados por 
 
onde t é medido em anos. Qual o ganho aproximado após quatro anos dessa aplicação? 
D. 
7970 
Observe que o tempo t = 4 é menor que 5 anos, que limita os intervalos de definição da função f. 
Como para 
têm-se f(t) = 5000(1 + 0,06)2t, então: 
 
 
5. 
Modelou-se a população de uma certa cidade, após t anos, por f(t) = 10000+3000t/t2 +1 
Determine o comportamento dessa função daqui 300 anos. 
C. 
Aproximadamente 10010 habitantes. 
Para t = 300, têm-se: f(300)=10000+ 3000*300/3002+1=10000+9,9998888901~-10010 
habitantes. 
 
Note que à medida que t aumenta, o segundo termo da expressão diminui. Embora não tenha 
sentido no contexto populacional, podemos afirmar que o infinito, esse termo tenderia a zero e a 
função daria como resultado 10010. 
 
Cálculo algébrico de limites com indeterminação matemática 
 
1. Analise o limite: 
 
 
A. 5 
 
 
2 Qual o comportamento da função abaixo quando x tende a 0? 
 
 
D. 4 
 
3. 
Qual o valor do 
 
 
 
 
Resposta correta. 
A. 
Infinito. 
 
 
 
4. 
Determine o comportamento do 
 
 
 
C. 
Infinito. 
Observe o cálculo do limite: 
 
 
 
 
5. 
É possível determinar o comportamento do 
 
 
 
E. 
Infinito. 
Observe o cálculo do limite: 
 
 
 
Limites, Taxas de variação e retas tangentes 
1. 
Analise as afirmativas a seguir e identifique o que é verdadeiro e o que é falso. 
 
1. Se eu escolher uma variação do espaço e uma variação do tempo e dividi-las, terei uma 
taxa de variação na velocidade. 
2. É possível ter uma taxa de variação de luminosidade do sol em relação à hora do dia. 
3. Limite é o valor que uma certa função tende a retornar quando aplicado um certo valor 
na variável independente. 
4. Escolhendo dois pontos A e B de uma função, a taxa de variação da reta tangente em 
qualquer um dos pontos é igual à taxa de variação média entre os dois pontos. 
Resposta correta. 
A. 
1-F, 2-V, 3-V, 4-F. 
1. É falsa, pois as variações podem não estar relacionadas. 
2. É verdadeira, pois, em certos horários, há mais luz e há relação com o horário. 
3. É verdadeira, apesar de estar de forma simplificada e não formal, essa é a definição de limite. 
4. É falsa. A reta tangente é o gráfico que teríamos se, em um dado ponto, a taxa de variação 
fosse constante, enquanto a outra é uma variação média, ou seja, que retorna alguns parâmetros 
de forma simplificada. 
2. 
Dada uma equação do tipo: R(t)=R1+z'(t)+q'(t³), marque a alternativa correta sobre a 
equação e as taxas de variações. 
C. 
z' e q' são taxas de variações. 
z’ é a taxa de variação de R em relação ao tempo t, e q’ é a taxa de variação de R em relação a 
uma ordem cúbica do tempo, t3. 
3. 
Reta tangente é a reta que toca uma dada curva num único ponto. Tem relação direta com 
o limite e a taxa de variação. Por isso, dada uma reta tangente a um certo ponto descrito 
pela equação: Y=3*X+2, marque a afirmativa correta. 
B. 
Tomando o limite da variável independente da taxa de variação num dado ponto de uma curva 
tendendo a zero, obteremos a inclinação da reta tangente naquele ponto. No exemplo, o valor é 
3. 
Essa é uma resposta completa e que relaciona os três conteúdos. 
 
4. 
Use o conceito de limite e calcule o seu primeiro limite. Se, simplificadamente, o significado 
de limite é o valor que uma dada função tende a retornar para um certo valor da variável 
independente, qual o limite quando x tende a zero, da função: f(x)=x/x? 
 
Julgue os argumentos das alternativas e escolha o correto. 
 
 
D. 
Em x=0 teremos 0/0, mas a função sempre retorna o valor f(x)=1 para qualquer valor de x, então, 
podemos concluir que para x=0, o limite do x tendendo a zero leva a função a convergir para 1. 
Multiplique em cima e embaixo por x, o que simplifica a função para 1. Em x=0 teremos 0/0, então 
não está definido, mas mesmo assim podemos achar o limite da função. 
5. 
Se duas retas se encontram exatamente num único ponto, podemos dizer que, para aquele 
ponto, uma é a reta tangente da outra? Marque a alternativa que tenha resposta e 
justificativa coerentes. 
 
Você acertou! 
A. 
Não, pois a premissa para ser reta tangente é ter a mesma taxa de variação da outra naquele 
dado ponto, o que em todos os outros casos leva a tocar num só ponto. 
Observe que este problema está exemplificado no conteúdo do livro (página 44). 
Derivadas: definição 
1. 
Calcule a derivada de f(x) = x3 e use-a para determinar a inclinação da reta tangente à curva 
y = x3 no ponto x = –1. Assinale a alternativa que contém a equação da reta tangente nesse 
ponto. 
C. 
y = 3x + 2. 
2. 
Calcule f'(3), sendo f(x) = x2 – 8x, a partir da razão incremental em a = 3. Assinale a alternativa 
correta. 
A. 
f'(3) = –2. 
3. 
Encontre uma equação da reta tangente em x = 2 para a função f (x) = 1/x 
 e assinale a alternativa correta. 
e. f(2) = -¼ 
4. 
Determine a derivada da função f, cujo gráfico aparece na figura abaixo, em x = 2, 3 e 4, e 
assinale a alternativa correta. 
 
 
 
D. 
f'(2) = 1; f'(3) não existe; f'(4) = –1. 
5. 
Assinale a alternativa que contém a(s) reta(s) tangente(s) à curva da figura a seguir: 
 
 
 
B. 
Retas B e D. 
Introdução ao conceito de derivada 
 
 1 A derivada da função x² + 1 é: 
 
Você acertou! 
A. 
2x. 
 
 
 
2. 
Determine a derivada da função x² + 2x -3. 
D. 
2x + 2. 
 
 
3. 
Um atleta participou de uma maratona na qual correu 42 km em um tempo de 4 horas. 
Determine a taxa de variação do espaço em relação ao tempo relativo à corrida. 
Você acertou! 
A. 
10,5 km/h. 
 
Nesta questão, estamos falando de taxa de variação média, onde: 
vm = ∆s / ∆t = 42 / 4 = 10,5 km/h 
4. 
Determine a taxa de variação instantânea da função x(t) = 2 + t², em t = 2. 
B. 
4. 
 
 
 
5. 
Uma barra tem comprimento L = x²+2x quando está submetida a x°C. Se essa barra for 
aquecida em 3°C, qual a taxa de variação instantânea relativa ao comprimento duranteo 
aquecimento? 
Você acertou! 
A. 
8 unidades de medida. 
 
 
desafio 
 
Em casos em que há uma incidência acima do esperado de uma doença transmissível, infecciosa 
e transitória, se diz que há um surto dessa doença. Também chamado de epidemia, afeta ao 
mesmo tempo um número significativo de pessoas e o controle sobre a transmissão da doença é 
difícil. 
Você trabalha na área da saúde de uma cidade onde ocorreu a epidemia de determinada doença. 
Sabe-se que, passado um tempo t (em dias) do primeiro dia da epidemia, o número de pessoas 
infectadas foi de: 
 
A informação de quantas pessoas foram infectadas é importantíssima para o projeto de contenção 
da epidemia. Sendo assim, determine a taxa com que a epidemia se propaga dada pela razão 
entre variação de n(t) em relação ao tempo t = 4. 
 
Nessa epidemia, 48 pessoas foram infectadas por dia. 
Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações 
1. 
Seja uma função f(x). A reta tangente a essa curva no ponto P é y= 5x+3. Determine a 
derivada dessa função no ponto P. 
B. 
A derivada da função é 5. 
A derivada é a inclinação da reta tangente em um ponto P. 
Dada a equação da reta tangente, na forma y = ax+ b, onde a é o coeficiente angular, ou seja, a 
inclinação da reta, a derivada dessa função é igual a 5 . 
2. 
Determine a derivada da função f(x) = 5x9 . 
E. 
F’(x) = 45x8 . 
3. 
Determine a derivada da função f(x)= 4x•(2x²-3). 
D. 
F’(x) = 24x²-12. 
4. 
Determine a derivada da função f(x) (3x²+1)/(2x). 
C. 
f' (x)= (3x²-1)/2x². 
5. 
Determine a derivada da função f(x) = x³- 4x²+3x+2 . 
B. 
f' (x)=3x²-8x+3. 
Regra do produto e do quociente 
1. 
Encontre a derivada 
 
se y = (4x2 − 1)(7x3 + x) e assinale a alternativa correta. 
E) d/dx = 140x4-9x2-1 
3. 
Calcule a derivada da função P(x) = (x − 1)(3x − 2) e assinale a alternativa correta. 
 
Você acertou! 
A. 
P′(x) = 6x − 5. 
4. 
Encontre a derivada de f(x) = (3x − 2x2)(5 + 4x) e assinale a alternativa correta 
B. 
f′(x) = 15 + 4x − 24x2. 
Regra da cadeia 
1. 
As funções nem sempre são simples. Muitas vezes, as variáveis independentes de uma 
delas, na verdade, são dependentes de outra variável. 
Suponha as seguintes funções: y =x2 e x = 2t+1 . Encontre: 
Você acertou! 
A. 
8t + 4. 
2. 
Nas funções compostas, as variáveis independentes são substituídas por alguma função. 
Encontre a derivada da seguinte função: y = tg (x3+20): 
C. 
3x2 sec2 (x3 +20). 
3. 
Para resolvermos a derivada de funções compostas, é necessária a utilização da regra da 
cadeia. 
Dada a função y = (1+x cos(x))-5, encontre: 
 
E. 
-5 (1+x cos(x))-6(-x sen(x)+cos(x)). 
4. 
Suponha que a aceleração de um objeto seja dada por em m/s2, onde v é a velocidade, a 
qual é dada por v = 50+2t2 m/s. 
Qual a taxa de variação da aceleração pelo tempoem m/s3, conhecida como arranque? 
C. 
200t + 8t3. 
Derivadas de funções trigonométricas 
 
1. 
Encontre a derivada em relação a x da seguinte função: 
 
 
 
C. 
 
 
2. 
Dada a seguinte equação: 
y = x tg(x) + 5 sen(x) – 10 
Qual das alternativas é verdadeira? 
Você acertou! 
A. 
 
 
3. 
Encontre a derivada da seguinte função inversa: 
y = arccossec(x²). 
 
4. 
Encontre a segunda derivada em relação a x da seguinte função: 
y = x cos(x) + sec(x). 
D. 
y'' = –x cos(x) – 2 sen(x) + sec(x) tg²(x) + sec³(x). 
5. 
Suponha que uma escada de 6 metros esteja apoiada em uma parede, formando um ângulo 
θcom o chão , e uma distância x de sua base superior até o chão, como mostrado na 
imagem a seguir. 
 
Se a base da escada for empurrada em relação à parede, haverá uma taxa de variação de x 
em relação a θ. Qual será o valor dessa taxa, em metros por grau, quando θ = 45º? 
D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	Limites: abordagem numérica e gráfica; Definição: investigação gráfica; Limites laterais
	Cálculo algébrico de limites com indeterminação matemática
	Limites, Taxas de variação e retas tangentes
	Derivadas: definição
	Introdução ao conceito de derivada
	Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações
	Regra do produto e do quociente
	Regra da cadeia
	Derivadas de funções trigonométricas