7 - Hibbeler_ppt_07 - Tensão Cisalhante

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Cisalhamento transversal ou Tensões 
em Vigas
Uma plataforma de concreto armado será fixado em cada uma das seções de 
aço mostradas para formar uma ponte de longarina caixa composta. As 
tensões de cisalhamento serão determinadas em vários tipos de vigas e vigas 
mestras (longarinas).
 
dx
dM
V 
Vigas compostas
São as vigas que são fabricadas com mais 
de um material.
Exemplo de vigas compostas: (a) viga bi 
metálica, (b) tubo de aço revestido
com plástico, (c) Viga de madeira reforçada 
com uma placa de aço.
Vigas sanduíche são amplamente utilizadas nas indústrias aeroespaciais 
e de aviação, em que se faz necessário pouco peso com alta resistência e 
rigidez.
Vigas sanduíche com (a) Núcleo de 
plástico (b) Núcleo em forma de colmeia
(c) Núcleo corrugado
• Quando o cisalhamento V é aplicado, essa distribuição não uniforme na 
seção transversal fará com que ela se deforme.
Cisalhamento em elementos retos
Cisalhamento em elementos retos
©
2
0
0
1
 B
ro
o
k
s
/C
o
le
, 
a
 d
iv
is
io
n
 o
f 
T
h
o
m
s
o
n
 L
e
a
rn
in
g
, 
In
c
. 
 T
h
o
m
s
o
n
 
L
e
a
rn
in
g
™
is
 a
 t
ra
d
e
m
a
rk
 u
s
e
d
 h
e
re
in
 
u
n
d
e
r 
lic
e
n
s
e
.
Flexão em uma viga engastada: (a) viga com carregamento e (b) curva de 
deflexão.
Sistema de eixos de 
coordenas com a 
origem (x,y,z)
+
+
z (+) = saindo da origem 
para fora do plano
• carregamento transversal aplicado a 
uma viga resulta em tensões normais e 
de cisalhamento em seções 
transversais.
 
  MyMdAF
dAzMVdAF
dAzyMdAF
xzxzz
xyxyy
xyxzxxx









0
0
00
• Distribuição de tensões normal e de 
cisalhamento satisfaz
• Quando são tensões de cisalhamento 
exercida sobre as faces verticais de um 
elemento, tensões iguais deve ser exercida 
sobre as faces horizontais
• tensões de cisalhamento longitudinal deve 
existir em qualquer membro submetido a 
uma carga transversal.
• A fórmula do cisalhamento é usada para encontrar a tensão de 
cisalhamento na seção transversal.
'''' onde
 
'
AyydAAQ
It
VQ
A




τ = tensão de cisalhamento no elemento 
V = força de cisalhamento interna resultante
I = momento de inércia da área da seção transversal inteira
t = largura da área da seção transversal do elemento
A fórmula do cisalhamento
• Para uma viga com seção 
transversal retangular, a tensão 
de cisalhamento varia 
parabolicamente com a altura. A 
tensão de cisalhamento máxima 
ocorre ao longo do eixo neutro.
Tensões de cisalhamento em vigas
Cisalhamento na Face Horizontal de 
um elemento de viga
• fluxo de cisalhamento
completa al transversseção da momento segundo 
 de acima área da momento primeiro 
'
2
1






AA
A
dAyI
y
dAyQ• Onde
I
VQ
x
H
q 



HH
QQ
q
I
QV
x
H
q









neutro eixo ao
 respeito com momento primeiro 
0
• Mesmo resultado encontrado para área inferior
Exemplo 6.01
Um feixe é feita de três pranchas pregadas 
junto. Sabendo-se que o espaçamento 
entre os pregos é de 25 mm e que o corte 
vertical no feixe é V = 500 N, a 
determinação da força de cisalhamento em 
cada prego.
SOLUÇÃO:
• Determinar a força horizontal por unidade de comprimento 
ou de cisalhamento do fluxo Q na superfície inferior da 
prancha superior.
• Calcule a força de corte correspondente em cada prego.
Exemplo 6.01
  
  
  
  
46
2
3
12
1
3
12
1
36
m1020.16
]m060.0m100.0m020.0
m020.0m100.0[2
m100.0m020.0
m10120
m060.0m100.0m020.0









I
yAQ m
N3704
m1016.20
)m10120)(N500(
46-
36





I
VQ
q
SOLUÇÃO:
Determinar a força horizontal por unidade 
de comprimento ou de cisalhamento do 
fluxo q na superfície inferior da prancha 
superior
mNqF 3704)(m025.0()m025.0( 
N6.92F
• Calcula-se a força de cisalhamento 
correspondente em cada prego para um 
espaçamento do prego.de 25 mm
A viga é feita de madeira e está sujeita a uma força de cisalhamento vertical 
interna resultante V = 3 kN. (a) Determine a tensão de cisalhamento na viga no 
ponto P e (b) calcule a tensão de cisalhamento máxima na 
viga.
Exemplo 7.1
     34 mm 1075,181005050
2
1
5,12' 





 AyQ
   4633 mm 1028,16125100
12
1
12
1
 bhI
Solução:
(a) O momento de inércia da área da seção 
transversal calculado em torno do eixo neutro é
Aplicando a fórmula do cisalhamento, 
temos
  
  
(Resposta) MPa 346,0
1001028,16
1075,183
6
4




It
VQ
P
(b) A tensão de cisalhamento máxima ocorre no eixo neutro, visto que t é constante 
em toda a seção transversal,
  
  
(Resposta) MPa 360,0
1001028,16
1053,193
6
4
máx 



It
VQ

   34 mm 1053,195,62100
2
2,65
'' 





 AyQ
Aplicando a fórmula do cisalhamento,
Uma viga T de aço tem as dimensões mostradas na Fig. 7.11a. Se for 
submetida a uma força de cisalhamento (força cortante) V=80KN, (a) trace 
uma curva de cisalhamento que age na área da seção transversal da viga e 
(b) determine a força de cisalhamento à qual a alma resiste.
Exemplo 7.2
Fig. 7.11a
• Para projetar os elementos de fixação, é necessário conhecer a força de 
cisalhamento à qual eles devem resistir ao longo do comprimento da 
estrutura.
I
VQ
x
H
q 



q = fl uxo de cisalhamento
V = força de cisalhamento interna resultante
I = momento de inércia de toda a área da seção 
transversal
Fluxo de cisalhamento em estruturas compostas por 
vários elementos
Força cortante horizontal por unidade de comprimento
• Esse carregamento, quando medido como força por unidade de 
comprimento, é denominado fluxo de cisalhamento q.
A viga é composta por quatro tábuas coladas. Se for submetida a um 
cisalhamento V = 850 kN, determine o fluxo de cisalhamento em B e C ao qual a 
cola deve resistir.
Exemplo 7.4
Solução:
  46 m 1052,87 I
m 1968,0
~



A
Ay
y
O eixo neutro (centroide) será localizado em relação à parte 
inferior da viga,
O momento de inércia calculado em torno do eixo de inércia, é, 
portanto, .
      33 m 10271,001,0250,01968,0305,0''  BBB AyQ
Visto que a cola em B e B’ mantém a tábua da parte superior 
presa à viga,
  
  
MN/m 0996,0
1052,87
1001026,0850
'
MN/m 63,2
1052,87
10271,0850
'
6
3
6
3












I
VQ
q
I
VQ
q
C
C
B
B
(Resposta) MN/m 0498,0 e MN/m 31,1  CB qq
Da mesma forma, a cola em C e C’ mantém a tábua interna presa à viga, portanto
Temos para BB’ e CC’
      33 m 1001026,001,0125,01968,0205,0''  CCC AyQ
Visto que são usadas duas linhas de junção para prender cada tábua, a cola por 
metro de comprimento de viga em cada linha de junção deve ser forte o bastante 
para resistir à metade de cada valor calculado de q’.
A viga-caixão de paredes finas está sujeita a um cisalhamento de 10 kN. Determine 
a variação do fluxo de cisalhamento em toda a seção transversal.
Exemplo 7.7
Para o ponto B, a área visto que q’B = 0. 0'A
      433 mm 18464
12
1
86
12
1
I
Solução:
O momento de inércia é
 
N/mm 5,91 kN/cm 951,0
184
2/5,1710

I
VQ
q CC
Para o ponto C,
O fuxo de cisalhamento em D é
 
N/mm 163 kN/cm 63,1
184
2/3010

I
VQ
q DD
Temos    
    3
3
cm 304122'
cm 5,17155,3'


 AyQ
AyQ
D
C
Problema 6.2 (Beer)
12,5 kN 5 kN 12,5 kN
15 kN15 kN
0,6m 0,9m 0,9m 0,6m
15kN
2,5kN
-2,5kN
-15kN
(9)
(-9)
(2,25)
(-2,25)
9KNm
11,25KNm
9KNm
SOLUÇÃO:
Após traçarmos cisalhamento desenvolvi 
de força cortante e momento fletor.
Identificar os máximos.
m25,11
15
max
max


kNM
kNV
2
d
c 
mmb 90
Projeto com base na tensão admissível.
Primeiro expressamos o módulo de resistência da 
seção W em termos da altura d. Temos
 
  2
2
2
3
12
1
015,0
090,0
6
1
6
1
d
dm
db
c
I
W
dbI



md
d
kN
mkN
d
M
W
25,0
0625,0
1012
25,11
015,0
2
3
2
max
max







Determinar a altura d da viga baseado na tensão 
de normal admissível.
Para
,12
25,11max
MPa
mkNM
adm 


Temos
Satisfazemos as condições de que
MPam 12
2
d
c 
mmb 90
Verificação da Tensão de cisalhamento
md
mkNV
25,0
25,11max

para encontramos
 
.0,1
)25,0(0,090m
15
2
3
2
3 max
MPa
m
kN
A
V
m
m
m






Como MPam 82,0 ,e a altura md 25,0
Não é aceitável e devemos redesenhar a viga 
com base nos requisitos de que 
MPaadm 12
Determinar a altura d da viga baseado na 
tensão de cisalhamento admissível.
 
md
d
kN
mkN
A
V
admm
30,0
0,090m
15
2
3
/1082,0
2
3
23
max



A altura d da viga exigida é igual ao 
maior dos dois.
A tensão normal é, menor que e a altura d=300mm é aceitável.
Exemplo 7.3 (Hibbeler)
A viga mostrada na figura 7.12ª é feita com duas tábuas. Determine a tensão de 
cisalhamento máxima necessária na cola para que ela mantenha as tábuas unidas 
ao longo da linha de junção. Os apoios em B e C exercem apenas reações 
verticais na viga.
Solução
• Reações nos apoios
• Diagrama de força cortante
08F -6m26kN ;0
 026 ;0
B
A




mM
kNFFF By
kNF
F
C 5,19
 6,5kNB


B C
Solução:
Duas regiões de x devem ser consideradas para se descreverem as funções de 
cisalhamento e momento da viga inteira.
(2) kNm 6,505,6 ;0
(1) kN 75,505,6 ;0
m, 40
1111
11
1
xMMxM
VVkNF
x
y





 1V
 1M
4m
 
2
42 x 
2
42 x
)4(6,5kN/m)( 2R  xF
 6,5kNB F
 6,5kNB F
 2M
 2V
 
 
 
  (4) kNm 525,3225,3 
0
2
4
45,65,6- ;0
(3) kN 5,65,32
04/5,65,6 ;0
m, 8m 4
2
2
22
2
2
22
22
22
2






 






xxM
M
x
xxM
xV
VxmkNkNF
x
y
(2) kNm 6,5
(1) kN 75,5
m, 40
11
1
1
xM
V
x



  (4) kNm 525,3225,3
(3) kN 5,325,6
m, 8m 4
2
2
22
22
2



xxM
xV
x
7.12b
Cisalhamento interno. As reações nos apoios e o 
diagrama de força cortante são mostrados na Fig 7.12b.
Vemos que o cisalhamento máximo na viga é 19,5kN
Plano contendo cola
Propriedade da seção. O centroide e, portanto, o eixo neutro serão determinados 
pelo eixo de referência posicionado na parte inferior da área da seção transversal 
(Fig 7.12a). Trabalhando em metros, temos



A
Ax
x
Por razões de simetria, o centroide C e, portanto, o eixo neutro, passa a meia 
altura da viga, e o momento de inercia é: (Veja Eq A.2 e Eq. A.5 no Apêndice A).



A
Ay
y (Eq A2)
   
my
mmmm
mmmmmm
y
A
Ay
y
120,0
)150,0)(030,0()030,0)(150,0(
)150,0)(030,0(165,0)030,0)(150,0(075,0








C
0,030m
0,150m
0,030m
0,150m
0,075m
0,165m
2
, yxx
AdII 
C
0,030m
0,150m
0,030m
0,150m
0,075m
0,165m
Momento de inércia de uma área:
Eq. A5
46
23
23
2
´
100,27
)120,0165,0)(150,0)(030,0()030,0)(150,0(
12
1
)075,0120,0)(030,0)(150,0()150,0)(030,0(
12
1
mI
mmmmmm
mmmmmmI
AdII
x
x
yxx
















Plano contendo cola
Cálculo da tensão de cisalhamento
 
3310225,0
)150,0)(030,0(120,0015,0180,0´´
mQ
mmmmmAyQ


MPa
mm
mkN
It
VQ
máx
máx
88,4
)030,0(100,27
102025,0(5,19
46
33








Com os dados obtidos acima e aplicando a 
fórmula do cisalhamento, obtemos
0,165m