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 I
Cálculo I
Mariele Vilela Bernardes Prado
Renata Karoline Fernandes
Keila Tatiana Boni
Cálculo I
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 Prado, Mariele Vilela Bernardes 
 
 ISBN 978-85-8482-159-4
 1. Cálculo. 2. Funções (Matemática). I. Fernandes, 
Renata Karoline. II. Boni, Keila Tatiana. III. Título
 CDD 515
P896c Cálculo I / Mariele Vilela Bernardes Prado, Renata 
Karoline Fernandes, Keila Tatiana Boni. – Londrina: 
Editora e Distribuidora Educacional S. A., 2015.
 208 p.
© 2015 por Editora e Distribuidora Educacional S.A 
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida 
ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, 
incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e 
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2015
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e-mail: editora.educacional@kroton.com.br 
Homepage: http://www.kroton.com.br/
Sumário
Unidade 2 | Cálculo de derivadas
Seção 1 - A derivada de uma função e regras de derivação
para a multiplicação e divisão
1.1 | O Cálculo de Derivadas de funções
1.2 | Técnicas de derivação
Seção 2 - A regra da cadeia e derivada de ordem superior
2.1 | A regra da Cadeia e sua aplicação
2.2 | Derivada de ordem superior
2.3 | Concavidade do gráfico
63
67
67
72
79
79
82
87
Unidade 1 | Funções, limite, continuidade e definição de derivada
Seção 1 - Revisando funções
1.1 | Domínio e Imagem de uma função
1.2 | Gráficos de funções
1.3 | Operações com funções
1.4 | Função composta
1.5 | Função Elementares
1.6 | Função crescente e decrescente
1.7 | Função injetora, sobrejetora e bijetora
1.8 | Função inversa
Seção 2 - Limite de uma função
2.1 | Propriedades de limites
2.2 | Teorema do Confronto
2.3 | Indeterminação
2.4 | Limites Laterais
2.5 | Limites e infinitos
2.6 | Assíntotas
2.7 | Limites fundamentais
2.8 | Definição formal de limite
Seção 3 - Funções contínuas
3.1 | Definição de continuidade
3.2 | Propriedades das funções contínuas
3.3 | Continuidade por intervalos
3.4 | Continuidade de funções inversas
3.5 | Valor intermediário
Seção 4 - A derivada
4.1 | Taxa de variação
4.2 | Função derivada
7
11
13
15
17
18
19
22
23
24
27
29
30
31
33
36
38
40
41
45
45
47
48
48
49
53
53
55
Seção 3 - Derivadas implícitas e otimização de funções
3.1 | Aplicação de derivadas
3.2 | A Derivada e taxas relacionadas
89
89
95
Unidade 3 | Equações diferenciais, integrais e integrais múltiplas
Seção 1 - Introdução ás integrais, técnicas de integração e integrais definidas
1.1 | Introdução à integração
1.2 | Técnicas de integração
 1.2.1 | Técnica da substituição
 1.2.2 | Técnica da integração por partes
1.3 | A integral definida
 1.3.1 | O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC – Parte I)
 1.3.2 | O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC – parte II)
 1.3.3 | Teorema do Valor Médio para Integrais
Seção 2 - Integrais múltiplas
2.1 | A integral dupla
2.2 | A integral tripla
2.3 | Mudança de coordenadas: de cartesianas para polares
Seção 3 - Integral de linha e integral de superfície
3.1 | A integral de linha
 3.1.1 | Teorema de Green
Seção 4 - Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira e
de Segunda Ordem
4.1 | Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem
 4.1.1 | Soluções de uma Equação Diferencial Ordinária
 4.1.2 | Problema de Valor Inicial (PVI)
 4.1.3 | Métodos para obtenção de soluções de EDOs de Primeira Ordem
 4.1.3.1 | Equações diferenciais de variáveis separáveis
 4.1.3.2 | Equações diferenciais com coeficientes homogêneos
 4.1.3.3 | Equações diferenciais exatas
 4.1.3.4 | Equações diferenciais lineares
4.2 | Equações diferenciais ordinárias de 2ª ordem
 4.2.1 | Teorema de Existência e Unicidade de Soluções
 4.2.2 | EDOs Lineares Homogêneas de ordem 2 com coeficientes constantes
111
115
115
117
117
118
120
121
121
124
127
127
132
134
137
137
141
145
145
147
148
149
149
150
151
152
153
154
155
Unidade 4 | Conhecendo matrizes 
Seção 1 - Matriz, propriedades e classificações
1.1 | Definição de Matrizes
Seção 2 - Operações com matrizes
Seção 3 - Determinantes de matrizes de diferentes ordens
3.1 | Determinantes
163 
167
167
177
189
189
Apresentação
Este livro foi elaborado com a intenção de auxiliar no processo de aprendizagem 
dos estudantes da disciplina de Cálculo I do curso de Ciências Econômicas. Os 
conteúdos aqui abordados objetivam estudar o comportamento de funções 
utilizando conceitos de limite, continuidade, derivas e integrais. 
Este material está dividido em quatro unidades. No início da unidade 1 será 
realizada uma revisão envolvendo a teoria de funções. Esta revisão é necessária 
visto que os conceitos que serão abordados no decorrer deste livro tratarão 
diretamente sobre o assunto. No desdobrar da unidade, serão apresentados os 
conceitos de limite e continuidade para avaliação do comportamento de funções. 
Ao final da primeira unidade será apresentada a definição de derivas a partir da ideia 
de taxa de variação.
Na unidade 2, serão apresentados os diferentes métodos de derivação 
de funções não sendo mais necessária a utilização da definição de derivada 
apresentada na unidade 1. Ainda na unidade 2, serão trabalhados os conceitos de 
derivadas de ordem superior, derivadas implícitas e otimização de funções. 
O foco da unidade 3 será o cálculo de integrais e as equações diferenciais. 
Serão apresentadas as equações diferenciais de primeira e segunda ordem e as 
técnicas de integração, além das aplicações de integrais.
Na Unidade 4 será abordado o conceito de matrizes. Ao final do estudo desta 
unidade você compreenderá o processo de resolução e o uso de matrizes nas 
quatro operações básicas. Você também conseguirá classificar as matrizes, calcular 
determinante de uma matriz quadrada, realizar escalonamento e calcular a inversa 
de uma matriz.
Cabe ressaltar que a utilização dos links e materiais disponíveis nas seções 
Saiba mais e Aprofundando o conhecimento deste livro são essenciais para que o 
aprendizado aconteça de forma completa. 
Bons estudos!
Unidade 1
FUNÇÕES, LIMITE, 
CONTINUIDADE E DEFINIÇÃO 
DE DERIVADA
Nesta seção, revisaremos os principais conceitos envolvendo funções, as 
principais definições, gráficos, propriedades e as funções mais utilizadas. Estes 
conceitos serão fundamentais nos estudos e aplicação do Cálculo.
Nesta seção será apresentado, inicialmente, o conceito intuitivo de limite. 
A partir desta ideia intuitiva trabalharemos as propriedades, os teoremas e as 
indeterminações envolvendo limites. Serão abordados, ainda, os conceitos 
de limites laterais, limites envolvendo infinitos, limites fundamentais e 
assíntotas. Ao final da seção, será apresentada a definição formal de limite.
Na seção 3 será apresentada a definição de continuidade, bem como 
as propriedades das funções contínuas, continuidade por intervalos e 
continuidade de funções inversas. Será abordado de forma intuitiva o 
Teorema de Valor Intermediário e suas consequências.
Seção 1 | Revisando funções
Seção 2 | Limite de uma função
Seção 3 | Funções contínuas
Objetivos de aprendizagem: 
Os assuntos abordados nesta primeira unidade têm por objetivo, além de 
apresentar os conceitos básicos do cálculo, preparar o aluno para a aplicação de 
derivadas e integrais.
Mariele Vilela Bernardes Prado
Unidade 1
FUNÇÕES, LIMITE, 
CONTINUIDADE E DEFINIÇÃO 
DE DERIVADA
Nesta seção, revisaremos os principais conceitos envolvendo funções,as 
principais definições, gráficos, propriedades e as funções mais utilizadas. Estes 
conceitos serão fundamentais nos estudos e aplicação do Cálculo.
Nesta seção será apresentado, inicialmente, o conceito intuitivo de limite. 
A partir desta ideia intuitiva trabalharemos as propriedades, os teoremas e as 
indeterminações envolvendo limites. Serão abordados, ainda, os conceitos 
de limites laterais, limites envolvendo infinitos, limites fundamentais e 
assíntotas. Ao final da seção, será apresentada a definição formal de limite.
Na seção 3 será apresentada a definição de continuidade, bem como 
as propriedades das funções contínuas, continuidade por intervalos e 
continuidade de funções inversas. Será abordado de forma intuitiva o 
Teorema de Valor Intermediário e suas consequências.
Seção 1 | Revisando funções
Seção 2 | Limite de uma função
Seção 3 | Funções contínuas
Objetivos de aprendizagem: 
Os assuntos abordados nesta primeira unidade têm por objetivo, além de 
apresentar os conceitos básicos do cálculo, preparar o aluno para a aplicação de 
derivadas e integrais.
Mariele Vilela Bernardes Prado
Unidade 1
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
8
Nesta seção, será apresentada a definição de derivada a partir dos 
conceitos de taxa de variação e retas secantes e tangentes.
Seção 4 | A derivada
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
9
Introdução à unidade
O Cálculo Diferencial e Integral tem como objetivo estudar o comportamento de 
funções, fazendo uso de conceitos como limite, continuidade, derivada, integral e 
séries. Tais conceitos são resultados de estudos feitos de forma independente pelos 
matemáticos Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Von Leibniz (1646-1716). 
Newton e Leibniz generalizaram as regras para problemas que antes eram abordados 
apenas para casos particulares de funções. Nesta primeira unidade, serão abordados 
os conceitos de limite e continuidade e a definição de derivadas. Antes, porém, é 
necessário que façamos uma revisão dos conceitos de funções, tema abordado na 
disciplina de Introdução ao Cálculo.
U1
10
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
8
Nesta seção, será apresentada a definição de derivada a partir dos 
conceitos de taxa de variação e retas secantes e tangentes.
Seção 4 | A derivada
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
9
Introdução à unidade
O Cálculo Diferencial e Integral tem como objetivo estudar o comportamento de 
funções, fazendo uso de conceitos como limite, continuidade, derivada, integral e 
séries. Tais conceitos são resultados de estudos feitos de forma independente pelos 
matemáticos Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Von Leibniz (1646-1716). 
Newton e Leibniz generalizaram as regras para problemas que antes eram abordados 
apenas para casos particulares de funções. Nesta primeira unidade, serão abordados 
os conceitos de limite e continuidade e a definição de derivadas. Antes, porém, é 
necessário que façamos uma revisão dos conceitos de funções, tema abordado na 
disciplina de Introdução ao Cálculo.
U1
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Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
10 Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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Seção 1
Revisando funções
A função é descrita por leis científicas e princípios de engenharia como uma 
quantidade que depende de outra. O termo “função” foi apresentado por Leibniz 
para indicar a dependência de uma quantidade em relação à outra de acordo com a 
definição a seguir:
As funções podem ser representadas por equações, por tabelas, por gráficos ou até 
mesmo por meio de palavras. 
No século XVIII, o matemático Leohnard Euler passou a denotar as funções pelas 
letras do alfabeto, conforme a seguinte definição:
Muitas vezes, a saída de uma função também é denotada por uma letra - 
normalmente o γ - e escreve-se γ = ƒ ( χ ) . Tal equação expressa γ como uma função 
de χ . A variável χ é denominada variável independente e a variável γ é denominada 
variável dependente. 
Vejamos um exemplo:
A equação γ = 2χ2 - 3χ + 4 está na fórmula γ = ƒ ( χ ) em que a função ƒ é dada pela 
fórmula ƒ ( χ ) = 2χ2 - 3χ + 4 .
Para cada entrada χ, a saída correspondente γ é obtida substituindo χ nessa 
fórmula. 
Assim, assumindo χ = 2 teríamos ƒ (2) = 2(2)2 - 3(2) + 4 = 8 - 6 + 4 = 6.
ƒ associa γ = 6 a χ = 2.
Se uma variável y depende de uma variável x de tal modo que cada valor de x 
determina exatamente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x.
Uma função ƒ é uma regra que associa uma única saída a cada entrada. Se a 
entrada for denotada por χ , então a saída será denotada por ƒ ( χ ) .
U1
12
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
10 Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
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Seção 1
Revisando funções
A função é descrita por leis científicas e princípios de engenharia como uma 
quantidade que depende de outra. O termo “função” foi apresentado por Leibniz 
para indicar a dependência de uma quantidade em relação à outra de acordo com a 
definição a seguir:
As funções podem ser representadas por equações, por tabelas, por gráficos ou até 
mesmo por meio de palavras. 
No século XVIII, o matemático Leohnard Euler passou a denotar as funções pelas 
letras do alfabeto, conforme a seguinte definição:
Muitas vezes, a saída de uma função também é denotada por uma letra - 
normalmente o γ - e escreve-se γ = ƒ ( χ ) . Tal equação expressa γ como uma função 
de χ . A variável χ é denominada variável independente e a variável γ é denominada 
variável dependente. 
Vejamos um exemplo:
A equação γ = 2χ2 - 3χ + 4 está na fórmula γ = ƒ ( χ ) em que a função ƒ é dada pela 
fórmula ƒ ( χ ) = 2χ2 - 3χ + 4 .
Para cada entrada χ, a saída correspondente γ é obtida substituindo χ nessa 
fórmula. 
Assim, assumindo χ = 2 teríamos ƒ (2) = 2(2)2 - 3(2) + 4 = 8 - 6 + 4 = 6.
ƒ associa γ = 6 a χ = 2.
Se uma variável y depende de uma variável x de tal modo que cada valor de x 
determina exatamente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x.
Uma função ƒ é uma regra que associa uma única saída a cada entrada. Se a 
entrada for denotada por χ , então a saída será denotada por ƒ ( χ ) .
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Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
12
Na disciplina de Introdução ao Cálculo, você aprendeu que uma função também 
pode ser apresentada como uma relação entre dois conjuntos, de modo que, para 
cada valor do primeiro conjunto teríamos um valor do segundo conjunto. Mas, o que 
é mesmo uma relação?
Dados dois conjuntos A e B, denominamos relação binária de A em B a todo 
subconjunto R de A ×B, isto é, R é uma relação binária de A em B ⇔ R ⊂ A × B ou 
ainda x R y ⇔ R ⊂ A × B, sendo A×B o produto cartesiano entre os conjuntos A e B.
Produto cartesiano de A por B é o conjunto dos pares ordenados cujos primeiros 
elementos pertencem a A e os segundos elementos pertencem a B, isto é: 
A×B={(x,y)|x∈A,y∈B}.
Vejamos um exemplo:
Dados os conjuntos A={1,2} e B={2,4,5}, o produto cartesiano A×B={(x,y)|x∈A e 
y∈B} é dado por A×B= {(1,2),(1,4),(1,5),(2,2),(2,4),(2,5)}.
Atente para o fato de que o número de elementos de um produto cartesiano é dado 
pela multiplicação do número de elementos de cada um dos conjuntos envolvidos. 
No exemplo acima teríamos o conjunto A com 2 elementos e o conjunto B com 
3 elementos. Logo, o número de elementos do conjunto formado pelo produto 
cartesiano A×B é 2 . 3 = 6 elementos.
Considere, agora, a relação definida por R={(x,y)∈A×B| γ=2χ}, ou seja, deve-se 
considerar apenas os pares ordenados em que γ=2x.
χ = 1 ⇒ γ = 2 . 1 = 2
χ = 2 ⇒ γ = 2 . 1 = 4 
Logo, R={(1,2),(2,4)}.
Qualquer relação pode ser considerada como uma função?
Lembre-se: Uma relação de A em B é uma função se, e somente se:
• Todo elemento χ pertencente a A tem um correspondente γ pertencente a B 
definido pela relação. 
• A cada χ pertencente a A não podem corresponder dois ou mais elementos 
de B por meio da relação. 
Simbolicamente,definimos uma função como ƒ: A → B .
Se ƒ é uma função definida pela relação de A em B, dizemos que ƒ é uma 
função definida em A com valores em B. Se tanto A quanto B forem subconjuntos 
dos reais (R), dizemos que ƒ é uma função real de variável real.
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
13
1.1 Domínio e Imagem de uma função 
Em certos momentos, é necessário impor restrições aos possíveis valores de 
entrada de uma função. É o caso da função ƒ(χ)=x2 que representa a área de um 
quadrado de lado χ. Embora a equação γ=x2 apresente um único valor de γ para 
cada número real de χ, o fato de que os comprimentos devem ser números positivos 
limita γ tal que χ ≥ 0.
Em outros casos, a própria fórmula matemática de uma função impõe alguma 
restrição para os seus valores de entrada. Por exemplo, se γ=√χ devemos ter χ ≥0, uma 
vez que para χ<0 teríamos um número imaginário, e conforme definimos anteriormente, 
estamos trabalhando com funções reais de variáveis reais. O mesmo acorre para γ=1 ⁄ χ, 
em que x deve ser diferente de 0, pois divisão por zero não está definida. 
Tais restrições são apresentadas ao estabelecermos o domínio de uma função 
( Dƒ ). Ou seja, o domínio natural de uma função são todos os números reais para 
os quais a função apresente valores reais. Ou ainda, o domínio de uma função é o 
conjunto cujos elementos são todos os possíveis valores de χ para os quais existe 
um único γ em correspondência.
A partir de agora, sempre que falarmos de funções e não definirmos seus conjuntos 
de entrada e saída, vamos assumir que estamos trabalhando com funções reais de 
variáveis reais.
Para conhecer mais sobre a história das funções acesse: Disponível em:
<http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=hist_funcao>. 
No estudo de relações, há um caso particular denominado aplicação, 
cuja definição é apresentada abaixo: 
Sejam A e B conjuntos quaisquer, todo elemento x ∈ A apresenta um 
correspondente γ ∈ B, sendo γ único para cada χ, definido conforme a 
relação. 
Mas esta é a definição que você conhece de funções, não é verdade?
Qual seria a diferença então?
As funções são um caso particular de aplicação em que o contradomínio 
de uma aplicação é um conjunto numérico. 
Perceba que até este momento estamos trabalhando apenas com 
conjuntos numéricos e por isso utilizamos o conceito de funções. Em 
estudos futuros, vocês trabalharão com conjuntos não numéricos e o 
conceito aplicação poderá ser empregado.
U1
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Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
12
Na disciplina de Introdução ao Cálculo, você aprendeu que uma função também 
pode ser apresentada como uma relação entre dois conjuntos, de modo que, para 
cada valor do primeiro conjunto teríamos um valor do segundo conjunto. Mas, o que 
é mesmo uma relação?
Dados dois conjuntos A e B, denominamos relação binária de A em B a todo 
subconjunto R de A ×B, isto é, R é uma relação binária de A em B ⇔ R ⊂ A × B ou 
ainda x R y ⇔ R ⊂ A × B, sendo A×B o produto cartesiano entre os conjuntos A e B.
Produto cartesiano de A por B é o conjunto dos pares ordenados cujos primeiros 
elementos pertencem a A e os segundos elementos pertencem a B, isto é: 
A×B={(x,y)|x∈A,y∈B}.
Vejamos um exemplo:
Dados os conjuntos A={1,2} e B={2,4,5}, o produto cartesiano A×B={(x,y)|x∈A e 
y∈B} é dado por A×B= {(1,2),(1,4),(1,5),(2,2),(2,4),(2,5)}.
Atente para o fato de que o número de elementos de um produto cartesiano é dado 
pela multiplicação do número de elementos de cada um dos conjuntos envolvidos. 
No exemplo acima teríamos o conjunto A com 2 elementos e o conjunto B com 
3 elementos. Logo, o número de elementos do conjunto formado pelo produto 
cartesiano A×B é 2 . 3 = 6 elementos.
Considere, agora, a relação definida por R={(x,y)∈A×B| γ=2χ}, ou seja, deve-se 
considerar apenas os pares ordenados em que γ=2x.
χ = 1 ⇒ γ = 2 . 1 = 2
χ = 2 ⇒ γ = 2 . 1 = 4 
Logo, R={(1,2),(2,4)}.
Qualquer relação pode ser considerada como uma função?
Lembre-se: Uma relação de A em B é uma função se, e somente se:
• Todo elemento χ pertencente a A tem um correspondente γ pertencente a B 
definido pela relação. 
• A cada χ pertencente a A não podem corresponder dois ou mais elementos 
de B por meio da relação. 
Simbolicamente, definimos uma função como ƒ: A → B .
Se ƒ é uma função definida pela relação de A em B, dizemos que ƒ é uma 
função definida em A com valores em B. Se tanto A quanto B forem subconjuntos 
dos reais (R), dizemos que ƒ é uma função real de variável real.
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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1.1 Domínio e Imagem de uma função 
Em certos momentos, é necessário impor restrições aos possíveis valores de 
entrada de uma função. É o caso da função ƒ(χ)=x2 que representa a área de um 
quadrado de lado χ. Embora a equação γ=x2 apresente um único valor de γ para 
cada número real de χ, o fato de que os comprimentos devem ser números positivos 
limita γ tal que χ ≥ 0.
Em outros casos, a própria fórmula matemática de uma função impõe alguma 
restrição para os seus valores de entrada. Por exemplo, se γ=√χ devemos ter χ ≥0, uma 
vez que para χ<0 teríamos um número imaginário, e conforme definimos anteriormente, 
estamos trabalhando com funções reais de variáveis reais. O mesmo acorre para γ=1 ⁄ χ, 
em que x deve ser diferente de 0, pois divisão por zero não está definida. 
Tais restrições são apresentadas ao estabelecermos o domínio de uma função 
( Dƒ ). Ou seja, o domínio natural de uma função são todos os números reais para 
os quais a função apresente valores reais. Ou ainda, o domínio de uma função é o 
conjunto cujos elementos são todos os possíveis valores de χ para os quais existe 
um único γ em correspondência.
A partir de agora, sempre que falarmos de funções e não definirmos seus conjuntos 
de entrada e saída, vamos assumir que estamos trabalhando com funções reais de 
variáveis reais.
Para conhecer mais sobre a história das funções acesse: Disponível em:
<http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=hist_funcao>. 
No estudo de relações, há um caso particular denominado aplicação, 
cuja definição é apresentada abaixo: 
Sejam A e B conjuntos quaisquer, todo elemento x ∈ A apresenta um 
correspondente γ ∈ B, sendo γ único para cada χ, definido conforme a 
relação. 
Mas esta é a definição que você conhece de funções, não é verdade?
Qual seria a diferença então?
As funções são um caso particular de aplicação em que o contradomínio 
de uma aplicação é um conjunto numérico. 
Perceba que até este momento estamos trabalhando apenas com 
conjuntos numéricos e por isso utilizamos o conceito de funções. Em 
estudos futuros, vocês trabalharão com conjuntos não numéricos e o 
conceito aplicação poderá ser empregado.
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Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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Exemplo: 
Apresente o domínio natural das funções:
 a. ƒ ( χ ) = χ4
 b. ƒ ( χ ) = √χ - 5
Exemplo: 
I. Qual a imagem de ƒ ( χ ) = 5 + √χ - 1 ?
Resposta:
a. A função ƒ tem valores reais para todo χ real. Logo, seu domínio é o intervalo 
( - ∞, ∞ ), ou simplesmente o próprio conjunto dos reais (R). 
b. A função ƒ apresenta valores reais exceto quando a expressão dentro do radial 
for negativa. Logo, χ - 5 deve ser maior que zero, ou seja, χ - 5 ≥ 0 ⇔ χ ≥ 5.
Se considerarmos que o domínio de ƒ( χ )=γ é o conjunto formado por todas 
as entradas possíveis, isto é, os possíveis valores para χ, podemos considerar que a 
imagem desta função (Imƒ) é o conjunto formado por todos os valores de saída a partir 
dos valores assumidos para x. Isto é, a imagem é dada apenas pelos valores de saída 
que apresenta relação com algum valor de entrada.
Resposta:
O domínio de ƒ é o intervalo [1,∞), pois para χ - 1 ≥ 0 (radicando deve ser maior ou 
igual a zero) temos χ ≥ 1. 
Quais os possíveis valores de saída quando x assume valores dentro de seu domínio?
Observe que para cada valor que χ assume em seu domínio os valores de γ serão 
sempre maiores que 5. Sendo assim, a imagem de ƒ é o intervalo [5,∞), ou ainda, Imƒ= {γ ∈ R | γ ≥ 5}.
χ = 1 → γ = 5
χ = 3 ⁄ 2 → γ ≅ 5,71
χ = 2 → γ = 6
χ = 5 → γ = 7
χ = 65 → γ = 13
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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15
II. Qual a imagem de ƒ ( χ ) = ?
χ - 1
χ + 1
Observe que, para que o denominador seja diferente de zero, devemos ter χ - 1 ≠ 0 
⇒ χ ≠ 1 . Logo, o domínio natural de ƒ é dado por Dƒ = {χ ∈ R | χ ≠ 1}. 
Observe, porém, que para γ=1 não teríamos um valor possível para χ , uma vez que 
a divisão por zero não é definida. Logo, Imƒ = {γ ∈ R | γ ≠ 1}.
Foi definido acima que a imagem de uma função é o conjunto formado apenas 
pelos valores de saída que apresenta relação com algum valor de entrada. Assim, 
podemos esperar que alguns valores de saída de uma função podem não se relacionar 
com os valores de entrada. O conjunto formado por todos os elementos do conjunto 
de saída, independentemente se este valor se relaciona ou não com algum elemento 
do conjunto de entrada, é chamado de contradomínio de ƒ.
Agora, sendo quais os possíveis valores que y pode assumir? 
χ - 1
χ + 1
γ =
Para encontrarmos estes valores, façamos:
 ⇒ γ (χ-1) = χ + 1 ⇒ γχ - γ = χ + 1 ⇒ γχ - χ = 1 + γ
χ - 1
χ + 1
γ =
Observe que χ = 1, = 1 ⇒ γ + 1 = γ - 1 ⇔ 1 = - 1, o que é um absurdo. Logo, 
a restrição denominada por Dƒ não implica restrição para a Imƒ.
γ - 1
γ + 1
Para complementar o estudo inicial das funções, você pode acessar:
http://ellalves.net.br/textos/conteudo/43/funcao_dominio_e_imagem
1.2 Gráficos de funções
Sendo ƒ uma função real de variável real, temos que o gráfico de ƒ no plano 
cartesiano χγ é dado pelo gráfico da equação γ=ƒ(χ). Ou ainda, o gráfico de ƒ é o 
conjunto dos pontos dados pelos pares ordenados (χ,γ) em que χ∈Dƒ e γ∈Imƒ. 
Por exemplo, o gráfico da função f(x)=x^2 é uma parábola construída 
considerando os pares ordenados (x,y).
U1
16
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
14
Exemplo: 
Apresente o domínio natural das funções:
 a. ƒ ( χ ) = χ4
 b. ƒ ( χ ) = √χ - 5
Exemplo: 
I. Qual a imagem de ƒ ( χ ) = 5 + √χ - 1 ?
Resposta:
a. A função ƒ tem valores reais para todo χ real. Logo, seu domínio é o intervalo 
( - ∞, ∞ ), ou simplesmente o próprio conjunto dos reais (R). 
b. A função ƒ apresenta valores reais exceto quando a expressão dentro do radial 
for negativa. Logo, χ - 5 deve ser maior que zero, ou seja, χ - 5 ≥ 0 ⇔ χ ≥ 5.
Se considerarmos que o domínio de ƒ( χ )=γ é o conjunto formado por todas 
as entradas possíveis, isto é, os possíveis valores para χ, podemos considerar que a 
imagem desta função (Imƒ) é o conjunto formado por todos os valores de saída a partir 
dos valores assumidos para x. Isto é, a imagem é dada apenas pelos valores de saída 
que apresenta relação com algum valor de entrada.
Resposta:
O domínio de ƒ é o intervalo [1,∞), pois para χ - 1 ≥ 0 (radicando deve ser maior ou 
igual a zero) temos χ ≥ 1. 
Quais os possíveis valores de saída quando x assume valores dentro de seu domínio?
Observe que para cada valor que χ assume em seu domínio os valores de γ serão 
sempre maiores que 5. Sendo assim, a imagem de ƒ é o intervalo [5,∞), ou ainda, Imƒ 
= {γ ∈ R | γ ≥ 5}.
χ = 1 → γ = 5
χ = 3 ⁄ 2 → γ ≅ 5,71
χ = 2 → γ = 6
χ = 5 → γ = 7
χ = 65 → γ = 13
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
15
II. Qual a imagem de ƒ ( χ ) = ?
χ - 1
χ + 1
Observe que, para que o denominador seja diferente de zero, devemos ter χ - 1 ≠ 0 
⇒ χ ≠ 1 . Logo, o domínio natural de ƒ é dado por Dƒ = {χ ∈ R | χ ≠ 1}. 
Observe, porém, que para γ=1 não teríamos um valor possível para χ , uma vez que 
a divisão por zero não é definida. Logo, Imƒ = {γ ∈ R | γ ≠ 1}.
Foi definido acima que a imagem de uma função é o conjunto formado apenas 
pelos valores de saída que apresenta relação com algum valor de entrada. Assim, 
podemos esperar que alguns valores de saída de uma função podem não se relacionar 
com os valores de entrada. O conjunto formado por todos os elementos do conjunto 
de saída, independentemente se este valor se relaciona ou não com algum elemento 
do conjunto de entrada, é chamado de contradomínio de ƒ.
Agora, sendo quais os possíveis valores que y pode assumir? 
χ - 1
χ + 1
γ =
Para encontrarmos estes valores, façamos:
 ⇒ γ (χ-1) = χ + 1 ⇒ γχ - γ = χ + 1 ⇒ γχ - χ = 1 + γ
χ - 1
χ + 1
γ =
Observe que χ = 1, = 1 ⇒ γ + 1 = γ - 1 ⇔ 1 = - 1, o que é um absurdo. Logo, 
a restrição denominada por Dƒ não implica restrição para a Imƒ.
γ - 1
γ + 1
Para complementar o estudo inicial das funções, você pode acessar:
http://ellalves.net.br/textos/conteudo/43/funcao_dominio_e_imagem
1.2 Gráficos de funções
Sendo ƒ uma função real de variável real, temos que o gráfico de ƒ no plano 
cartesiano χγ é dado pelo gráfico da equação γ=ƒ(χ). Ou ainda, o gráfico de ƒ é o 
conjunto dos pontos dados pelos pares ordenados (χ,γ) em que χ∈Dƒ e γ∈Imƒ. 
Por exemplo, o gráfico da função f(x)=x^2 é uma parábola construída 
considerando os pares ordenados (x,y).
U1
17
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
16
x -2 -1 0 1 2
y 4 1 0 1 4
Fonte: Adaptado da ferramenta online Function Graphs (2015)
Fonte: O autor (2015)
Figura 1.1 | Gráfico de f(x)=x2
Figura 1.2 | Projeção de y=f(x) sobre os eixos coordenados
O domínio e a imagem de uma função podem ser encontrados projetando o 
gráfico γ=ƒ(χ) sobre os eixos coordenados. Observe na figura 1.2 que a projeção de 
γ=ƒ(χ) sobre o eixo χ é o conjunto dos possíveis valores de χ, isto é, o domínio de ƒ. Já 
a projeção de γ=ƒ(χ) sobre o eixo γ é o conjunto dos valores de γ que se relacionam 
com os valores do Dƒ.
Nas definições dadas no início da unidade aprendemos que, para que uma função 
exista, é preciso que exista um único valor da variável dependente para cada valor da 
variável independente, ou seja, para cada χ pertencente ao conjunto de entrada existe 
um único γ pertencente ao conjunto de saída. 
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
17
Fonte: O autor (2015)
Figura 1.3 | Esboços de gráficos 
Fundamentado nesta observação, podemos utilizar uma forma prática para 
verificarmos se uma curva no plano χγ é ou não uma função, tal método é também 
conhecido como “Teste da reta vertical”. 
Imagine retas verticais, paralelas ao eixo γ, passando pelos elementos do domínio. 
Caso todas as retas que você imaginou tocarem a curva em apenas um ponto, esta 
será uma função. É o caso do gráfico (a), da figura 1.3. Já no gráfico (b) as retas verticais 
tocam a curva em dois pontos, logo, não existe uma função representada por esta curva.
Você consegue explicar por que o uso do “Teste da reta vertical” 
é válido?
Para conhecer os gráficos das principais funções acesse:
<http://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/graficos-das-
principais-funcoes-reconheca-as-curvas-mais-comuns.htm>.
1.3 Operações com funções
Assim como os números são passíveis de operações, permitindo que sejam 
somados, multiplicados e divididos para se obter novos números, existem operações 
possíveis de serem realizadas entre duas ou mais funções, afim de se encontrar uma 
nova função.
U1
18
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
16
x -2 -1 0 1 2
y 4 1 0 1 4
Fonte: Adaptado da ferramenta online Function Graphs (2015)
Fonte: O autor (2015)
Figura 1.1 | Gráfico de f(x)=x2
Figura 1.2 | Projeção de y=f(x) sobre os eixos coordenados
O domínio e a imagem de uma função podem ser encontrados projetando o 
gráfico γ=ƒ(χ) sobre os eixos coordenados. Observe na figura 1.2 que a projeção de 
γ=ƒ(χ) sobre o eixo χ é o conjunto dos possíveis valores de χ, isto é, o domínio de ƒ. Já 
a projeção de γ=ƒ(χ) sobre o eixo γ é o conjunto dos valores de γ que se relacionam 
com os valores do Dƒ.
Nas definições dadas no início da unidade aprendemos que, para que uma função 
exista, é preciso que exista um único valor da variável dependente para cada valor da 
variável independente, ouseja, para cada χ pertencente ao conjunto de entrada existe 
um único γ pertencente ao conjunto de saída. 
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
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Fonte: O autor (2015)
Figura 1.3 | Esboços de gráficos 
Fundamentado nesta observação, podemos utilizar uma forma prática para 
verificarmos se uma curva no plano χγ é ou não uma função, tal método é também 
conhecido como “Teste da reta vertical”. 
Imagine retas verticais, paralelas ao eixo γ, passando pelos elementos do domínio. 
Caso todas as retas que você imaginou tocarem a curva em apenas um ponto, esta 
será uma função. É o caso do gráfico (a), da figura 1.3. Já no gráfico (b) as retas verticais 
tocam a curva em dois pontos, logo, não existe uma função representada por esta curva.
Você consegue explicar por que o uso do “Teste da reta vertical” 
é válido?
Para conhecer os gráficos das principais funções acesse:
<http://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/graficos-das-
principais-funcoes-reconheca-as-curvas-mais-comuns.htm>.
1.3 Operações com funções
Assim como os números são passíveis de operações, permitindo que sejam 
somados, multiplicados e divididos para se obter novos números, existem operações 
possíveis de serem realizadas entre duas ou mais funções, afim de se encontrar uma 
nova função.
U1
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Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
18
(ƒ + g)(χ) = ƒ(χ) + g(χ)
(ƒ - g)(χ) = ƒ(χ) - g(χ)
(ƒ . g)(χ) = ƒ(χ) . g(χ)
(ƒ / g)(χ) = ƒ(χ) / g(χ), para g(χ) ≠ 0
ƒ + g = ƒ(χ) + g(χ) = χ2 + χ - 2
ƒ - g = ƒ(χ) - g(χ) = χ2 - (χ - 2) = χ2 - χ + 2
ƒ . g = ƒ(χ) . g(χ) = (χ2) . (χ - 2) = χ3 - 2χ2
ƒ / g = ƒ(χ) / g(χ) = χ2 / (χ - 2), para χ ≠ 2
Sendo ƒ(χ) e g(χ) duas funções, definimos:
O domínio de ƒ + g, ƒ - g e ƒ . g é definido como sendo a intersecção dos 
domínios de ƒ e g. Já para a função ƒ/g , o domínio é definido como a intersecção 
dos domínios de ƒ e g, eliminando os pontos em que g(χ)=0.
Exemplo: 
Sejam, ƒ(χ)= χ2 e g(χ)=χ - 2, apresente ƒ + g, ƒ - g, ƒ . g e ƒ/g.
Exemplo: 
Sejam, ƒ(χ)= χ2 - 2 e g(χ)=χ + 3, apresente ƒ o g e g o ƒ.
Resposta:
1.4 Função composta
Veremos agora outra operação possível de ser realizada entre funções que não 
apresenta analogia com nenhuma operação entre números. 
Sejam as funções ƒ e g, define-se função composta de ƒ em g, denotada por ƒ o 
g (lê-se ƒ composta g) por:
(ƒ o g)(χ) = ƒ(g(χ)).
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
19
Resposta:
1.5 Função Elementares
ƒ o g = ƒ(g(χ)) = [g(χ)]2 - 2 [g(χ)]
 = (χ + 3)2 - 2 (χ + 3) = χ2 + 6χ + 9 - 2χ - 6
 = χ2 + 4χ + 3
g o ƒ = g(ƒ(χ)) = [ƒ(χ)] + 3 (χ2 - 2) + 3
 = χ2 -2χ + 3
Podemos ter [ƒ o g](χ) = [g o ƒ](χ) ?
Para saber mais sobre funções compostas acesse:
<http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/
conteudo/capitulos/cap71s2.html>.
Vamos relembrar agora os as funções mais conhecidas e utilizadas na prática. Uma 
função polinomial de grau n, ƒ: R → R é definida por:
Sendo a
i 
∈R, i = 0,1,...,n e a
n 
≠ 0, n∈N.
As funções polinomiais apresentam alguns casos particulares. Esses casos são 
classificados quanto ao grau da função ou aos seus coeficientes. 
A função ƒ(χ) = aχ + b (primeiro grau) recebe o nome de função afim. 
Quando uma função afim apresenta um coeficiente linear nulo ( ) recebe o nome 
de função linear.
ƒ(χ) = a0 + a1χ + a2χ
2 + ... + a
n
χn
U1
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Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
18
(ƒ + g)(χ) = ƒ(χ) + g(χ)
(ƒ - g)(χ) = ƒ(χ) - g(χ)
(ƒ . g)(χ) = ƒ(χ) . g(χ)
(ƒ / g)(χ) = ƒ(χ) / g(χ), para g(χ) ≠ 0
ƒ + g = ƒ(χ) + g(χ) = χ2 + χ - 2
ƒ - g = ƒ(χ) - g(χ) = χ2 - (χ - 2) = χ2 - χ + 2
ƒ . g = ƒ(χ) . g(χ) = (χ2) . (χ - 2) = χ3 - 2χ2
ƒ / g = ƒ(χ) / g(χ) = χ2 / (χ - 2), para χ ≠ 2
Sendo ƒ(χ) e g(χ) duas funções, definimos:
O domínio de ƒ + g, ƒ - g e ƒ . g é definido como sendo a intersecção dos 
domínios de ƒ e g. Já para a função ƒ/g , o domínio é definido como a intersecção 
dos domínios de ƒ e g, eliminando os pontos em que g(χ)=0.
Exemplo: 
Sejam, ƒ(χ)= χ2 e g(χ)=χ - 2, apresente ƒ + g, ƒ - g, ƒ . g e ƒ/g.
Exemplo: 
Sejam, ƒ(χ)= χ2 - 2 e g(χ)=χ + 3, apresente ƒ o g e g o ƒ.
Resposta:
1.4 Função composta
Veremos agora outra operação possível de ser realizada entre funções que não 
apresenta analogia com nenhuma operação entre números. 
Sejam as funções ƒ e g, define-se função composta de ƒ em g, denotada por ƒ o 
g (lê-se ƒ composta g) por:
(ƒ o g)(χ) = ƒ(g(χ)).
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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Resposta:
1.5 Função Elementares
ƒ o g = ƒ(g(χ)) = [g(χ)]2 - 2 [g(χ)]
 = (χ + 3)2 - 2 (χ + 3) = χ2 + 6χ + 9 - 2χ - 6
 = χ2 + 4χ + 3
g o ƒ = g(ƒ(χ)) = [ƒ(χ)] + 3 (χ2 - 2) + 3
 = χ2 -2χ + 3
Podemos ter [ƒ o g](χ) = [g o ƒ](χ) ?
Para saber mais sobre funções compostas acesse:
<http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/
conteudo/capitulos/cap71s2.html>.
Vamos relembrar agora os as funções mais conhecidas e utilizadas na prática. Uma 
função polinomial de grau n, ƒ: R → R é definida por:
Sendo a
i 
∈R, i = 0,1,...,n e a
n 
≠ 0, n∈N.
As funções polinomiais apresentam alguns casos particulares. Esses casos são 
classificados quanto ao grau da função ou aos seus coeficientes. 
A função ƒ(χ) = aχ + b (primeiro grau) recebe o nome de função afim. 
Quando uma função afim apresenta um coeficiente linear nulo ( ) recebe o nome 
de função linear.
ƒ(χ) = a0 + a1χ + a2χ
2 + ... + a
n
χn
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Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
20
A função linear em que a = 1 é classificada por função identidade. 
A função do tipo ƒ(χ) = b é chamada de função constante.
Fonte: O autor (2015)
Figura 1.4 | Esboços de gráficos de funções polinomiais de primeiro grau
As funções de segundo e terceiro grau recebem o nome de função quadrática e 
função cúbica respectivamente. 
As funções de segundo grau estarão presentes em diversos estudos e aplicações. 
Por isso, é importante lembrarmos algumas características destas funções. 
Sendo ƒ(χ) = aχ2 + bχ + c, e a ≠ 0 temos que:
 O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria 
paralelo ao eixo γ.
 Para a>0, a parábola apresenta concavidade voltada para cima e para a<0, 
concavidade voltada para baixo.
 As raízes, ou zeros da função, são definidos pela intersecção da parábola 
com o eixo χ.
O vértice da parábola apresenta coordenadas , sendo ∆ = b2 - 4ac.
-b
2a( (-∆4a
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
21
Fonte: O autor (2015)
Figura 1.5 | Esboços de gráficos de funções quadrática e cúbica
Uma função é dita racional, se ela é o cociente entre duas funções polinomiais, 
isto é:
 ƒ(χ) = 
p(χ)
q(χ)
Sendo p(χ) e q(χ) polinômios e q(χ) ≠ 0.
Sejam a > 0 e a ≠ 1 , a função exponencial de base a de ƒ : 
i
 →
 i
 definida por ƒ(χ) = aχ.
Sobre as funções exponenciais é importante lembrar que: Im (ƒ) = R
+
*
ƒ é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1.
Sejam a > 0 e a ≠ 1, a função logarítmica de base a denotada por log
a
χ de ƒ : 
i 
+ → 
i 
é 
definida como ƒ(χ) = log
a
χ .
Existem também as funções trigonométricas. As mais comuns são seno, 
cosseno e tangente. Estas funções serão definidas e seus gráficos apresentados na 
figura 1.6, para isso assumimos ƒ: R → R.
Para saber mais sobre funções quadráticas, assista ao vídeo disponível em:
<https://www.youtube.com/watch?v=W7NbQuiNnsc>.
U1
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Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
20
A função linear em que a = 1 é classificada por função identidade. 
A função do tipo ƒ(χ) = b é chamada de função constante.
Fonte: O autor (2015)
Figura 1.4 | Esboços de gráficos de funções polinomiais de primeiro grau
As funções de segundo e terceiro grau recebem o nome de função quadrática e 
função cúbica respectivamente. 
As funções de segundo grau estarão presentes em diversos estudos e aplicações. 
Por isso, é importante lembrarmos algumas características destas funções. 
Sendo ƒ(χ) = aχ2 + bχ + c, e a ≠ 0 temos que:
 Ográfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria 
paralelo ao eixo γ.
 Para a>0, a parábola apresenta concavidade voltada para cima e para a<0, 
concavidade voltada para baixo.
 As raízes, ou zeros da função, são definidos pela intersecção da parábola 
com o eixo χ.
O vértice da parábola apresenta coordenadas , sendo ∆ = b2 - 4ac.
-b
2a( (-∆4a
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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Fonte: O autor (2015)
Figura 1.5 | Esboços de gráficos de funções quadrática e cúbica
Uma função é dita racional, se ela é o cociente entre duas funções polinomiais, 
isto é:
 ƒ(χ) = 
p(χ)
q(χ)
Sendo p(χ) e q(χ) polinômios e q(χ) ≠ 0.
Sejam a > 0 e a ≠ 1 , a função exponencial de base a de ƒ : 
i
 →
 i
 definida por ƒ(χ) = aχ.
Sobre as funções exponenciais é importante lembrar que: Im (ƒ) = R
+
*
ƒ é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1.
Sejam a > 0 e a ≠ 1, a função logarítmica de base a denotada por log
a
χ de ƒ : 
i 
+ → 
i 
é 
definida como ƒ(χ) = log
a
χ .
Existem também as funções trigonométricas. As mais comuns são seno, 
cosseno e tangente. Estas funções serão definidas e seus gráficos apresentados na 
figura 1.6, para isso assumimos ƒ: R → R.
Para saber mais sobre funções quadráticas, assista ao vídeo disponível em:
<https://www.youtube.com/watch?v=W7NbQuiNnsc>.
U1
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Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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Fonte: O autor (2015)
Figura 1.6 | Funções trigonométricas
Para saber mais sobre algumas funções elementares, acesse os links:
<http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoExponencial.aspx>. 
<http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoLogaritmica.aspx>. 
<http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/trigonometricas/funcoes_trig_circ_
trig/funcoes_trigon.htm>.
Muitas vezes, as funções podem assumir comportamentos diferentes em 
intervalos do domínio, ou seja, uma mesma função pode ser classificada 
em crescente e decrescente, dependendo do intervalo considerado.
Para saber mais sobre crescimento e decrescimento de funções acesse:
<http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/estudo_var_fun/cresc_decresc/
cresc_decresc.htm>.
1.6 Função crescente e decrescente
Dizemos que uma função ƒ é crescente em um intervalo [a, b] se à medida que 
se aumenta o valor de χ, dentro do intervalo, as imagens correspondentes também 
aumentam. Em outras palavras, ƒ é crescente em [a, b] se para quaisquer valores χ
1 
e 
χ
2
 ∈[a, b], com χ
1 
< χ
2
, tivermos ƒ(χ
1
) < ƒ(χ
2
).
Da mesma forma, podemos dizer que ƒ é decrescente em um intervalo [a, 
b], se à medida que se aumenta o valor de χ , dentro do intervalo, as imagens 
correspondentes vão diminuindo. Isto é, ƒ é decrescente em [a, b] se para quaisquer 
valores χ
1
 e χ
2
 ∈[a, b], com χ
1 
< χ
2
, tivermos ƒ(χ
1
) > ƒ(χ
2
).
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
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1.7 Função injetora, sobrejetora e bijetora
Seja ƒ : A → B uma função, dizemos que:
 ƒ é injetora, se para todo χ
1
, χ
2 
∈ A , se ƒ(χ
1
) = ƒ(χ
2
) ⇒ χ
1 
=
 
χ
2
. 
ƒ é sobrejetora se Im(ƒ) = B ou, em outra palavras, .
ƒ é bijetora se, e somente se, ƒ é injetora e sobrejetora.
Através do gráfico da função podemos reconhecer se ƒ é ou não uma 
função bijetora. Para isso, devemos traçar retas paralelas ao eixo χ pelos 
pontos que pertencem ao contradomínio da função. Se cada uma dessas 
retas interceptar o gráfico em um único ponto, a função é bijetora.
Para entender de uma forma mais fácil as três definições anteriores, assista 
ao vídeo do link: <https://www.youtube.com/watch?v=vTJCbbHFMxU>
- O gráfico de uma função par é simétrico com relação ao eixo das 
ordenadas, isto é, toda reta paralela ao eixo corta o gráfico simetricamente.
- O gráfico de uma função ímpar é simétrico com relação à origem.
- Uma função que não é par nem ímpar é chamada de função sem paridade.
A função é par se para todo , . 
Vejamos alguns exemplos: 
 é uma função par, pois .
 é uma função par, pois .
A função é ímpar se para todo , .
Vejamos alguns exemplos:
 é uma função ímpar pois,
 é uma função ímpar pois,
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Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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Fonte: O autor (2015)
Figura 1.6 | Funções trigonométricas
Para saber mais sobre algumas funções elementares, acesse os links:
<http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoExponencial.aspx>. 
<http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoLogaritmica.aspx>. 
<http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/trigonometricas/funcoes_trig_circ_
trig/funcoes_trigon.htm>.
Muitas vezes, as funções podem assumir comportamentos diferentes em 
intervalos do domínio, ou seja, uma mesma função pode ser classificada 
em crescente e decrescente, dependendo do intervalo considerado.
Para saber mais sobre crescimento e decrescimento de funções acesse:
<http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/estudo_var_fun/cresc_decresc/
cresc_decresc.htm>.
1.6 Função crescente e decrescente
Dizemos que uma função ƒ é crescente em um intervalo [a, b] se à medida que 
se aumenta o valor de χ, dentro do intervalo, as imagens correspondentes também 
aumentam. Em outras palavras, ƒ é crescente em [a, b] se para quaisquer valores χ
1 
e 
χ
2
 ∈[a, b], com χ
1 
< χ
2
, tivermos ƒ(χ
1
) < ƒ(χ
2
).
Da mesma forma, podemos dizer que ƒ é decrescente em um intervalo [a, 
b], se à medida que se aumenta o valor de χ , dentro do intervalo, as imagens 
correspondentes vão diminuindo. Isto é, ƒ é decrescente em [a, b] se para quaisquer 
valores χ
1
 e χ
2
 ∈[a, b], com χ
1 
< χ
2
, tivermos ƒ(χ
1
) > ƒ(χ
2
).
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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1.7 Função injetora, sobrejetora e bijetora
Seja ƒ : A → B uma função, dizemos que:
 ƒ é injetora, se para todo χ
1
, χ
2 
∈ A , se ƒ(χ
1
) = ƒ(χ
2
) ⇒ χ
1 
=
 
χ
2
. 
ƒ é sobrejetora se Im(ƒ) = B ou, em outra palavras, .
ƒ é bijetora se, e somente se, ƒ é injetora e sobrejetora.
Através do gráfico da função podemos reconhecer se ƒ é ou não uma 
função bijetora. Para isso, devemos traçar retas paralelas ao eixo χ pelos 
pontos que pertencem ao contradomínio da função. Se cada uma dessas 
retas interceptar o gráfico em um único ponto, a função é bijetora.
Para entender de uma forma mais fácil as três definições anteriores, assista 
ao vídeo do link: <https://www.youtube.com/watch?v=vTJCbbHFMxU>
- O gráfico de uma função par é simétrico com relação ao eixo das 
ordenadas, isto é, toda reta paralela ao eixo corta o gráfico simetricamente.
- O gráfico de uma função ímpar é simétrico com relação à origem.
- Uma função que não é par nem ímpar é chamada de função sem paridade.
A função é par se para todo , . 
Vejamos alguns exemplos: 
 é uma função par, pois .
 é uma função par, pois .
A função é ímpar se para todo , .
Vejamos alguns exemplos:
 é uma função ímpar pois,
 é uma função ímpar pois,
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Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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1.8 Função inversa
A inversa de , denotada por , é a função que satisfaz,
sendo i a função identidade.
Para evidenciarmos a definição dada acima, vamos considerar os conjuntos A = 
{1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5, 7} e a função ƒ : A → B definida por ƒ(χ) = 2χ + 3. A função 
inversa de ƒ é ƒ-1(χ) = χ .1
2
3
2
Verificamos assim que ƒoƒ-1= ƒ-1oƒ = i satisfeito, então ƒ-1 (χ) =. 1
2
χ - 3
2
É importante perceber que apenas funções bijetoras admitem 
inversa. Reflita o porquê de a afirmação acima ser verdade.
A função inversa pode ser encontrada aplicando uma regra simples.
Dada a função bijetora ƒ: A→B definida pela sentença γ = ƒ(χ), para obtermos a 
sentença aberta que define ƒ-1 devemos seguir os seguintes passos:
i. Na sentença γ = ƒ(χ), trocamos as variáveis, isto é, colocamos χ no lugar do γ e 
γ no lugar do χ.
ii. Transformamos algebricamente a expressão χ = ƒ(γ), expressando γ em função de χ.
χ - 7
4
Exemplo:
Qual a função inversa da função ƒ bijetora em i definida por ƒ(χ) = 4χ + 7?
A função dada é γ = ƒ(χ) = 4χ + 7
i. γ = 4χ + 7 → χ = 4γ + 7
ii. χ = 4γ + 7 ⇒ 4γ + 7 = χ ⇒ 4γ = χ - 7 ⇒ γ = .
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
25
Logo, a inversa de ƒ, isto é, ƒ-1 é dada por γ = . 
χ - 7
4
2. Seja ƒ(χ) = χ2 e g(χ) = χ -3. A composta ƒog é: 
a. χ2 - 3
b. χ2 - 6χ + 9
c. χ2 - 6χ - 3
d. χ2 + 6χ + 9
e. χ2 - 6χ + 3
1. Considere a afirmação: ‘A função ƒ(χ)=√(χ2-1) é injetora e 
par’. Tal afirmação está:
a. Correta.
b. Incorreta, pois ƒ(χ) é injetora, mas não é par.
c. Incorreta, pois ƒ(χ) é par, mas não é injetora.
d. Incorreta, pois não é possível analisar ƒ(χ).
e. Incorreta, pois ƒ(χ) não é par e não é injetora.
a. ƒ-1 = 
b. ƒ-1 = 
c. ƒ-1 = 
e. ƒ-1 = 
d. ƒ-1 = 
χ + 2
3
χ - 2
3
2 - χ
3
χ
3
- (2 + χ)
3
3. Seja ƒ(χ): R → R definida por ƒ(χ) = 3χ - 2 . A sua inversa ƒ-1 é:
U1
26
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
24
1.8 Função inversa
A inversa de , denotada por , é a função que satisfaz,
sendo i a função identidade.
Para evidenciarmos a definição dada acima, vamos considerar os conjuntos A = 
{1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5, 7} e a função ƒ : A → B definida por ƒ(χ) = 2χ + 3. A função 
inversa de ƒ é ƒ-1(χ) = χ .1
2
3
2
Verificamos assim que ƒoƒ-1= ƒ-1oƒ = i satisfeito, então ƒ-1 (χ) = . 1
2
χ - 3
2
É importante perceber que apenas funções bijetoras admitem 
inversa. Reflita o porquê de a afirmação acima ser verdade.
A função inversa pode ser encontrada aplicando uma regra simples.
Dada a função bijetora ƒ: A→B definida pela sentença γ = ƒ(χ), para obtermos a 
sentença aberta que define ƒ-1 devemos seguir os seguintes passos:
i. Na sentença γ = ƒ(χ), trocamos as variáveis, isto é, colocamos χ no lugar do γ e 
γ no lugar do χ.
ii. Transformamos algebricamente a expressão χ = ƒ(γ), expressando γ em função de χ.
χ - 7
4
Exemplo:
Qual a função inversa da função ƒ bijetora em i definida por ƒ(χ) = 4χ + 7?
A função dada é γ = ƒ(χ) = 4χ + 7
i. γ = 4χ + 7 → χ = 4γ + 7
ii. χ = 4γ + 7 ⇒ 4γ + 7 = χ ⇒ 4γ = χ - 7 ⇒ γ = .
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
25
Logo, a inversa de ƒ, isto é, ƒ-1 é dada por γ = . 
χ - 7
4
2. Seja ƒ(χ) = χ2 e g(χ) = χ -3. A composta ƒog é: 
a. χ2 - 3
b. χ2 - 6χ + 9
c. χ2 - 6χ - 3
d. χ2 + 6χ + 9
e. χ2 - 6χ + 3
1. Considere a afirmação: ‘A função ƒ(χ)=√(χ2-1) é injetora e 
par’. Tal afirmação está:
a. Correta.
b. Incorreta, pois ƒ(χ) é injetora, mas não é par.
c. Incorreta, pois ƒ(χ) é par, mas não é injetora.
d. Incorreta, pois não é possível analisar ƒ(χ).
e. Incorreta, pois ƒ(χ) não é par e não é injetora.
a. ƒ-1 = 
b. ƒ-1 = 
c. ƒ-1 = 
e. ƒ-1 = 
d. ƒ-1 = 
χ + 2
3
χ - 2
3
2 - χ
3
χ
3
- (2 + χ)
3
3. Seja ƒ(χ): R → R definida por ƒ(χ) = 3χ - 2 . A sua inversa ƒ-1 é:
U1
27
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
26 Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
27
Seção 2
Limite de uma função
Uma das noções básicas no cálculo é o conceito de limite. A ideia de limite será 
abordada inicialmente de forma intuitiva. Em seguida, será trabalhada sua definição 
formal e seu cálculo.
O conceito de limite nos permite estudar o comportamento de uma função na 
vizinhança de um ponto fora de seu domínio. Isto é, podemos identificar como 
uma função se comporta próximo a um ponto, mesmo que este ponto não esteja 
em seu domínio. 
Para entendermos melhor a ideia de limite, vamos analisar a função:
Vamos estudar ƒ (χ) quando χ assume valores bem próximos de 2. 
Para χ < 2 teremos:
Se χ ≠ 2, podemos dividir o numerador e o denominador por χ - 2 e assim obtermos 
ƒ (χ) = χ + 1. 
definida para χ ∈ R / χ ≠ 2.
A função não está definida para χ = 2 . Como será o comportamento 
de ƒ (χ) quando χ assume valores bem próximos de 2?
χ 1,00 1,50 1,75 1,90 1,99 1,999
ƒ (χ) 2,00 2,50 2,75 2,90 2,99 2,999
U1
28
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
26 Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
27
Seção 2
Limite de uma função
Uma das noções básicas no cálculo é o conceito de limite. A ideia de limite será 
abordada inicialmente de forma intuitiva. Em seguida, será trabalhada sua definição 
formal e seu cálculo.
O conceito de limite nos permite estudar o comportamento de uma função na 
vizinhança de um ponto fora de seu domínio. Isto é, podemos identificar como 
uma função se comporta próximo a um ponto, mesmo que este ponto não esteja 
em seu domínio. 
Para entendermos melhor a ideia de limite, vamos analisar a função:
Vamos estudar ƒ (χ) quando χ assume valores bem próximos de 2. 
Para χ < 2 teremos:
Se χ ≠ 2, podemos dividir o numerador e o denominador por χ - 2 e assim obtermos 
ƒ (χ) = χ + 1. 
definida para χ ∈ R / χ ≠ 2.
A função não está definida para χ = 2 . Como será o comportamento 
de ƒ (χ) quando χ assume valores bem próximos de 2?
χ 1,00 1,50 1,75 1,90 1,99 1,999
ƒ (χ) 2,00 2,50 2,75 2,90 2,99 2,999
U1
29
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
28
Para χ > 2 teremos:
χ 3,00 2,50 2,25 2,10 2,01 2,001
ƒ (χ) 4,00 3,50 3,25 3,10 3,01 3,001
Os limites para χ < 2 e χ > 2 são chamados de limites laterais. O tema será abordado 
de forma mais completa ainda neste material. 
Você já deve ter percebido que, conforme o valor de χ se aproxima de 2, ƒ (χ) fica 
cada vez mais próxima de 3. Ou ainda, podemos tornar ƒ (χ) tão próximo de 3 quanto 
desejarmos, basta tomarmos χ suficientemente próximo de 2, conforme observado 
na figura 1.7.
A partir desta observação podemos definir, de forma informal: seja ƒ uma função 
definida em um intervalo que contenha o ponto a, exceto eventualmente no próprio 
a, dizemos que:
Fonte: O autor (2015)
Figura 1.7 | Esboço do gráfico de ƒ (χ)=χ+1 para χ≠2
O limite descreve o comportamento da função em pontos extremamente 
próximos de , mas jamais no próprio .
Para saber mais sobre os conceitos de limite, assista ao vídeo:
https://www.youtube.com/watch?v=iUxAIFuX7f4&list=PLB938B28006
4A4AB4
3
1
1 2
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
29
2.1 Propriedades de limites
Teorema 3: Se e , então:
Ainda explorando a ideia intuitiva de limite, vamos agora apresentar suas 
propriedades a as regras básicas para seu cálculo. 
A apresentação será feita por meio de teoremas. 
Teorema 1: Se existe, ele é único.
Teorema 2: Se a, b e c são números reais e ƒ(χ) = bχ + c. 
Então 
a. .
b. .
c. .
d. desde que .
e. desde que quando n for par.
f. e . 
h. , desde que L
1
 > 0.
g.
Você pode ver a demonstração de algumas das propriedades 
apresentadas acima acessando: <http://www.uff.br/webmat/Calc1_
LivroOnLine/Cap05_Calc1.html#PropriedadesLimite>.
U1
30
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
28
Para χ > 2 teremos:
χ 3,00 2,502,25 2,10 2,01 2,001
ƒ (χ) 4,00 3,50 3,25 3,10 3,01 3,001
Os limites para χ < 2 e χ > 2 são chamados de limites laterais. O tema será abordado 
de forma mais completa ainda neste material. 
Você já deve ter percebido que, conforme o valor de χ se aproxima de 2, ƒ (χ) fica 
cada vez mais próxima de 3. Ou ainda, podemos tornar ƒ (χ) tão próximo de 3 quanto 
desejarmos, basta tomarmos χ suficientemente próximo de 2, conforme observado 
na figura 1.7.
A partir desta observação podemos definir, de forma informal: seja ƒ uma função 
definida em um intervalo que contenha o ponto a, exceto eventualmente no próprio 
a, dizemos que:
Fonte: O autor (2015)
Figura 1.7 | Esboço do gráfico de ƒ (χ)=χ+1 para χ≠2
O limite descreve o comportamento da função em pontos extremamente 
próximos de , mas jamais no próprio .
Para saber mais sobre os conceitos de limite, assista ao vídeo:
https://www.youtube.com/watch?v=iUxAIFuX7f4&list=PLB938B28006
4A4AB4
3
1
1 2
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
29
2.1 Propriedades de limites
Teorema 3: Se e , então:
Ainda explorando a ideia intuitiva de limite, vamos agora apresentar suas 
propriedades a as regras básicas para seu cálculo. 
A apresentação será feita por meio de teoremas. 
Teorema 1: Se existe, ele é único.
Teorema 2: Se a, b e c são números reais e ƒ(χ) = bχ + c. 
Então 
a. .
b. .
c. .
d. desde que .
e. desde que quando n for par.
f. e . 
h. , desde que L
1
 > 0.
g.
Você pode ver a demonstração de algumas das propriedades 
apresentadas acima acessando: <http://www.uff.br/webmat/Calc1_
LivroOnLine/Cap05_Calc1.html#PropriedadesLimite>.
U1
31
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
30
Utilizando as propriedades apresentadas acima, temos:
Qual é o limite de quando χ tende a 2?
2.2 Teorema do Confronto
Seja a um número real e ƒ,g e h funções que satisfazem ƒ(χ) ≤ h(χ) ≤ g(χ), para 
todo χ∈R, exceto eventualmente para χ=a. Se lim ƒ(χ) = lim g(χ) = L.
lim h(χ) = L.Então
χ → a
χ → a
χ → a
O Teorema do Confronto é também conhecido como 
Teorema do Sanduíche. 
Reflita o porquê do termo sanduíche ser aplicado neste 
contexto.
Mais informações sobre o Teorema do Confronto, bem como sua 
demonstração, você encontra acessando o site: <http://ecalculo.if.usp.
br/ferramentas/limites/calculo_lim/teoremas/teo_confronto.htm>. 
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
31
2.3 Indeterminação
Agora, e . 
Exemplo:
Calcule .
Resposta:
Podemos afirmar que .
Multiplicando a desigualdade por χ4, temos: 
Pelo Teorema do Confronto, temos que 
A propriedade d do teorema 3 nos diz que o desde que L
2
 ≠ 0. Tal 
restrição é clara, uma vez que a divisão por zero não está definida.
Como calcular, então, o ?
Sendo , não podemos aplicar a propriedade.
Caso você não percebesse, a princípio, que o denominador tende a zero, e 
aplicasse a propriedade, você encontraria a expressão , pois também é 
igual a 0. Temos aqui um caso de indeterminação.
Para casos como este, deve-se, quando possível, reescrever a expressão estudada 
de outra forma equivalente.
Para χ ≠ 2, temos que
Logo
0
0
U1
32
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
30
Utilizando as propriedades apresentadas acima, temos:
Qual é o limite de quando χ tende a 2?
2.2 Teorema do Confronto
Seja a um número real e ƒ,g e h funções que satisfazem ƒ(χ) ≤ h(χ) ≤ g(χ), para 
todo χ∈R, exceto eventualmente para χ=a. Se lim ƒ(χ) = lim g(χ) = L.
lim h(χ) = L.Então
χ → a
χ → a
χ → a
O Teorema do Confronto é também conhecido como 
Teorema do Sanduíche. 
Reflita o porquê do termo sanduíche ser aplicado neste 
contexto.
Mais informações sobre o Teorema do Confronto, bem como sua 
demonstração, você encontra acessando o site: <http://ecalculo.if.usp.
br/ferramentas/limites/calculo_lim/teoremas/teo_confronto.htm>. 
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
31
2.3 Indeterminação
Agora, e . 
Exemplo:
Calcule .
Resposta:
Podemos afirmar que .
Multiplicando a desigualdade por χ4, temos: 
Pelo Teorema do Confronto, temos que 
A propriedade d do teorema 3 nos diz que o desde que L
2
 ≠ 0. Tal 
restrição é clara, uma vez que a divisão por zero não está definida.
Como calcular, então, o ?
Sendo , não podemos aplicar a propriedade.
Caso você não percebesse, a princípio, que o denominador tende a zero, e 
aplicasse a propriedade, você encontraria a expressão , pois também é 
igual a 0. Temos aqui um caso de indeterminação.
Para casos como este, deve-se, quando possível, reescrever a expressão estudada 
de outra forma equivalente.
Para χ ≠ 2, temos que
Logo
0
0
U1
33
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
32
Outros casos de indeterminação são , 0.∞ e ∞ - ∞ (e suas variações).
Para conhecer alguns exemplos de indeterminações, acesse: <http://
www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/cap07_TiposIndeterm.html>. 
∞
∞
Exemplo:
I. Calcule
II. Calcule
Como
Fatorando os polinômios do numerador e do denominador, podemos escrever:
Logo, 
O limite apresenta mais uma vez uma indeterminação do tipo . Neste caso, não 
se trata de um quociente de polinômios e para reescrever a expressão pode-se usar o 
artifício de multiplicar o numerador e o denominador por . 
temos uma indeterminação do tipo . e 0
0
0
0
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
33
III. Calcule
O exemplo III apresenta outro tipo de indeterminação do tipo . Aqui, uma solução 
possível para encontrarmos uma expressão equivalente que permita o cálculo do 
limite é utilizar o artifício da mudança de variável.
Assumindo , reescreveremos toda a expressão em função de u.
Se então, , logo χ = 9 - u3.
Se χ → 1, então . Logo u → 2.
Assim, 
A expressão pode ser reescrita na forma .
Logo,
0
0
No início dos estudos de limites foi mencionada a existência dos limites laterais. 
Vimos que o estudo do comportamento de uma função nos valores próximos a a, isto 
é, uma função definida em um intervalo que contenha o ponto a, exceto eventualmente 
no próprio a, deve ser feita para valores menores que a e maiores que a. Para χ < a, é 
calculado o limite lateral à esquerda, e para χ > a calculamos o limite lateral à direita. 
Esses limites são definidos da seguinte forma:
Seja ƒ uma função definida em um intervalo aberto ]a,b[ . O limite de ƒ(χ) , quando 
χ se aproxima de a pela direita é L
1
 e escrevemos .
2.4 Limites Laterais
U1
34
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
32
Outros casos de indeterminação são , 0.∞ e ∞ - ∞ (e suas variações).
Para conhecer alguns exemplos de indeterminações, acesse: <http://
www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/cap07_TiposIndeterm.html>. 
∞
∞
Exemplo:
I. Calcule
II. Calcule
Como
Fatorando os polinômios do numerador e do denominador, podemos escrever:
Logo, 
O limite apresenta mais uma vez umaindeterminação do tipo . Neste caso, não 
se trata de um quociente de polinômios e para reescrever a expressão pode-se usar o 
artifício de multiplicar o numerador e o denominador por . 
temos uma indeterminação do tipo . e 0
0
0
0
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
33
III. Calcule
O exemplo III apresenta outro tipo de indeterminação do tipo . Aqui, uma solução 
possível para encontrarmos uma expressão equivalente que permita o cálculo do 
limite é utilizar o artifício da mudança de variável.
Assumindo , reescreveremos toda a expressão em função de u.
Se então, , logo χ = 9 - u3.
Se χ → 1, então . Logo u → 2.
Assim, 
A expressão pode ser reescrita na forma .
Logo,
0
0
No início dos estudos de limites foi mencionada a existência dos limites laterais. 
Vimos que o estudo do comportamento de uma função nos valores próximos a a, isto 
é, uma função definida em um intervalo que contenha o ponto a, exceto eventualmente 
no próprio a, deve ser feita para valores menores que a e maiores que a. Para χ < a, é 
calculado o limite lateral à esquerda, e para χ > a calculamos o limite lateral à direita. 
Esses limites são definidos da seguinte forma:
Seja ƒ uma função definida em um intervalo aberto ]a,b[ . O limite de ƒ(χ) , quando 
χ se aproxima de a pela direita é L
1
 e escrevemos .
2.4 Limites Laterais
U1
35
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
34
Seja ƒ uma função definida em um intervalo aberto ]c,a[. O limite de ƒ(χ), quando χ 
se aproxima de a pela esquerda é L
2
 e escrevemos . 
Exemplo:
Observe os limites das funções apresentadas na figura 1.8. Os limites laterais de ƒ(χ)
quando χ tende a a são lim ƒ(χ) = 2 e lim ƒ(χ) = 6 . Logo, podemos afirmar que lim ƒ(χ) 
não existe, pois seus limites laterais são diferentes. Já na função g(χ), os limites laterais 
são lim g(χ) = 5 e lim g(χ) = 5 . Sendo os limites laterais iguais, podemos afirmar que lim 
g(χ) existe e é igual a 5. Mesmo que o valor de g em χ=b seja diferente do limite de g(χ)
quando χ→b.
Condição de existência para lim ƒ(χ) é que os limites laterais existam e 
sejam iguais. Isto é:
χ → a
χ → a χ → a χ → a
lim ƒ(χ) = L se, e somente se, lim ƒ(χ) + lim ƒ(χ) = L. 
Para o caso de termos lim ƒ(χ) ≠ lim ƒ(χ), dizemos que lim ƒ(χ) não existe.
χ → a+
χ → b+ χ → b-
χ → a- χ → a
χ → a χ → a
Fonte: O autor (2015)
Figura 1.8 | Esboços de ƒ(χ) e g(χ)
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
35
II. Seja ƒ(χ)=χ2 - 4, temos que lim ƒ(χ) = 0 e lim ƒ(χ) = 0. Logo, lim ƒ(χ) existe e é 
também igual a 0. 
III. Seja vamos determinar lim g(χ) e lim g(χ).
O primeiro passo é reescrevermos g(χ) eliminando o valor absoluto. 
Como χ2 - 4 = (χ - 2)(χ + 2), podemos escrever:
Agora fica fácil calcularmos os limites laterais, basta utilizarmos a ideia apresentada 
no início da seção.
Como, lim g(χ) = lim g(χ) temos que lim g(χ) não existe.
Logo, 
χ → 2+
χ → 2+
χ → 2-
χ → 2-
χ → a
logo
χ → 2+ χ → 2- χ → 2
U1
36
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
34
Seja ƒ uma função definida em um intervalo aberto ]c,a[. O limite de ƒ(χ), quando χ 
se aproxima de a pela esquerda é L
2
 e escrevemos . 
Exemplo:
Observe os limites das funções apresentadas na figura 1.8. Os limites laterais de ƒ(χ)
quando χ tende a a são lim ƒ(χ) = 2 e lim ƒ(χ) = 6 . Logo, podemos afirmar que lim ƒ(χ) 
não existe, pois seus limites laterais são diferentes. Já na função g(χ), os limites laterais 
são lim g(χ) = 5 e lim g(χ) = 5 . Sendo os limites laterais iguais, podemos afirmar que lim 
g(χ) existe e é igual a 5. Mesmo que o valor de g em χ=b seja diferente do limite de g(χ)
quando χ→b.
Condição de existência para lim ƒ(χ) é que os limites laterais existam e 
sejam iguais. Isto é:
χ → a
χ → a χ → a χ → a
lim ƒ(χ) = L se, e somente se, lim ƒ(χ) + lim ƒ(χ) = L. 
Para o caso de termos lim ƒ(χ) ≠ lim ƒ(χ), dizemos que lim ƒ(χ) não existe.
χ → a+
χ → b+ χ → b-
χ → a- χ → a
χ → a χ → a
Fonte: O autor (2015)
Figura 1.8 | Esboços de ƒ(χ) e g(χ)
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
35
II. Seja ƒ(χ)=χ2 - 4, temos que lim ƒ(χ) = 0 e lim ƒ(χ) = 0. Logo, lim ƒ(χ) existe e é 
também igual a 0. 
III. Seja vamos determinar lim g(χ) e lim g(χ).
O primeiro passo é reescrevermos g(χ) eliminando o valor absoluto. 
Como χ2 - 4 = (χ - 2)(χ + 2), podemos escrever:
Agora fica fácil calcularmos os limites laterais, basta utilizarmos a ideia apresentada 
no início da seção.
Como, lim g(χ) = lim g(χ) temos que lim g(χ) não existe.
Logo, 
χ → 2+
χ → 2+
χ → 2-
χ → 2-
χ → a
logo
χ → 2+ χ → 2- χ → 2
U1
37
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
36
Em alguns casos, a função pode assumir valores cada vez maiores, ou cada vez 
menores. 
Observe a função ƒ(χ) = definida para R*. 
Como é o comportamento de ƒ(χ) próximo a 0?
Para χ < 0 teremos:
A partir da tabela acima e do gráfico de ƒ(χ) apresentado na figura 1.9 é fácil perceber 
que, conforme χ se aproxima de 0 pela direita, os valores de ƒ(χ) crescem infinitamente 
e de forma positiva. Quando χ se aproxima de 0 pela esquerda, ƒ(χ) assume valores 
negativos e decrescem infinitamente.
Para χ > 0 teremos:
2.5 Limites e infinitos
χ
1
χ -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001
ƒ (χ) -1 -10 -100 -1.000 -10.000
χ 0,0001 0,001 0,01 0,1 1
ƒ (χ) 10.000 1.000 100 10 1
Fonte: O autor (2015)
Figura 1.9 | Gráfico de ƒ(χ) = χ
1
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
37
Quando lim ƒ(χ) = + ∞ e lim ƒ(χ) = + ∞ , podemos afirmar que lim ƒ(χ) existe, e ainda 
lim ƒ(χ) = + ∞. De forma análoga, temos que lim ƒ(χ) = + ∞ se lim ƒ(χ) = lim ƒ(χ) = + ∞.
Outra caso que envolve valores infinitos é quando χ assume valores cada vez maiores, 
ou menores. Nestes casos, teremos limite no infinito.
Para definir esses limites, usamos a seguinte notação:
lim ƒ(χ) = L se os valores de ƒ(χ) forem se aproximando cada vez mais de L à 
medida que χ cresce indefinidamente. 
Da mesma forma podemos dizer que:
lim ƒ(χ) = L se os valores de ƒ(χ) forem se aproximando cada vez mais de L à 
medida que χ decresce indefinidamente. 
Além das propriedades para o cálculo de limites já apresentadas, que são válidas 
para limites no infinito, devemos saber também que:
χ → a+
χ → a+
χ → a-
χ → a-
χ → a
χ → a
χ → + ∞
χ → - ∞
χ → a
As demonstrações das propriedades acima podem ser conferidas 
acessando o link:
<http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.
html#Observacao_7-1>.
Exemplo:
Calcule . 
U1
38
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
36
Em alguns casos, a função pode assumir valores cada vez maiores, ou cada vez 
menores. 
Observe a função ƒ(χ) = definida para R*. 
Como é o comportamento de ƒ(χ) próximo a 0?
Para χ < 0 teremos:
A partir da tabela acima e do gráfico de ƒ(χ) apresentado na figura 1.9 é fácil perceber 
que, conforme χ se aproxima de 0 pela direita, os valores de ƒ(χ) crescem infinitamente 
e de forma positiva. Quando χ se aproxima de 0 pela esquerda, ƒ(χ) assume valores 
negativos e decrescem infinitamente.
Para χ > 0 teremos:
2.5 Limites e infinitos
χ
1
χ -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001
ƒ (χ) -1 -10 -100 -1.000 -10.000
χ 0,0001 0,001 0,01 0,1 1
ƒ (χ) 10.000 1.000 100 10 1
Fonte: O autor (2015)
Figura 1.9 | Gráfico de ƒ(χ) = χ
1
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
37
Quando lim ƒ(χ) = + ∞ e lim ƒ(χ) = + ∞ , podemos afirmar que lim ƒ(χ) existe, e ainda 
lim ƒ(χ) = + ∞. De forma análoga, temos que lim ƒ(χ) = + ∞ se lim ƒ(χ) = lim ƒ(χ) = + ∞.
Outra caso que envolve valores infinitos é quando χ assume valores cada vez maiores, 
ou menores.Nestes casos, teremos limite no infinito.
Para definir esses limites, usamos a seguinte notação:
lim ƒ(χ) = L se os valores de ƒ(χ) forem se aproximando cada vez mais de L à 
medida que χ cresce indefinidamente. 
Da mesma forma podemos dizer que:
lim ƒ(χ) = L se os valores de ƒ(χ) forem se aproximando cada vez mais de L à 
medida que χ decresce indefinidamente. 
Além das propriedades para o cálculo de limites já apresentadas, que são válidas 
para limites no infinito, devemos saber também que:
χ → a+
χ → a+
χ → a-
χ → a-
χ → a
χ → a
χ → + ∞
χ → - ∞
χ → a
As demonstrações das propriedades acima podem ser conferidas 
acessando o link:
<http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.
html#Observacao_7-1>.
Exemplo:
Calcule . 
U1
39
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
38
Observe que o limite apresenta uma indeterminação do tipo . Afim de resolvermos 
o problema, vamos dividir o numerador e o denominador da função por χ3. Observe 
que tal argumento só é válido pois χ ≠ 0.
∞
∞
Como , temos
Vamos voltar ao exemplo do tópico anterior, a função ƒ(χ) = definida para R* , com 
o gráfico apresentado na figura 1.9. 
Observe que ƒ(χ) aproxima-se da reta χ = 0 cada vez mais, chegando a confundir-se 
com ela. Do mesmo modo, ƒ(χ) aproxima-se da reta γ = 0 cada vez mais. 
Retas que apresentam características como as descritas acima são chamadas de 
assíntotas e são definidas da seguinte maneira:
2.6 Assíntotas
1
χ
• Uma reta χ = a é uma assíntota vertical ao gráfico de ƒ(χ) caso lim ƒ(χ) = + ∞ ou
lim ƒ(χ) = + ∞
χ → a+
χ → a-
-
-
• Uma reta γ = a é uma assíntota horizontal ao gráfico da função ƒ(χ) caso lim ƒ(χ) = b.
χ → + ∞-
• lim ƒ(χ) e lim ƒ(χ), sendo a um ponto de descontinuidade de ƒ. Caso esses 
limites sejam +∞, temos que a reta χ = a é uma assíntota vertical.
-
-
• Calcular os lim ƒ(χ) e lim ƒ(χ), e se o valor encontrado for um número real a, 
temos que a reta γ = a é uma assíntota horizontal.
χ → + ∞ χ → - ∞
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
39
Verificar a existência de assíntotas e identificá-las facilita a construção do gráfico de 
uma função, tornando mais fácil o seu estudo.
Exemplo:
O esboço do gráfico de ƒ(χ) pode ser verificado na figura 1.10.
Vamos verificar a existência de assíntotas verticais:
Temos que χ=-3 é um ponto crítico de , pois para χ=-3, teríamos o valor 
zero no denominador. Vamos, então, calcular .
, temos que γ=1 é uma assíntota horizontal.
, temos que γ=1 é uma assíntota horizontal.
Seja a função vamos encontrar, caso exista, suas assíntotas.
Vamos verificar a existência de assíntotas horizontais:
Para facilitar o cálculo dos limites, vamos reescrever ƒ(χ)
Logo, e χ=-3 é assíntota vertical.
U1
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Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
38
Observe que o limite apresenta uma indeterminação do tipo . Afim de resolvermos 
o problema, vamos dividir o numerador e o denominador da função por χ3. Observe 
que tal argumento só é válido pois χ ≠ 0.
∞
∞
Como , temos
Vamos voltar ao exemplo do tópico anterior, a função ƒ(χ) = definida para R* , com 
o gráfico apresentado na figura 1.9. 
Observe que ƒ(χ) aproxima-se da reta χ = 0 cada vez mais, chegando a confundir-se 
com ela. Do mesmo modo, ƒ(χ) aproxima-se da reta γ = 0 cada vez mais. 
Retas que apresentam características como as descritas acima são chamadas de 
assíntotas e são definidas da seguinte maneira:
2.6 Assíntotas
1
χ
• Uma reta χ = a é uma assíntota vertical ao gráfico de ƒ(χ) caso lim ƒ(χ) = + ∞ ou
lim ƒ(χ) = + ∞
χ → a+
χ → a-
-
-
• Uma reta γ = a é uma assíntota horizontal ao gráfico da função ƒ(χ) caso lim ƒ(χ) = b.
χ → + ∞-
• lim ƒ(χ) e lim ƒ(χ), sendo a um ponto de descontinuidade de ƒ. Caso esses 
limites sejam +∞, temos que a reta χ = a é uma assíntota vertical.
-
-
• Calcular os lim ƒ(χ) e lim ƒ(χ), e se o valor encontrado for um número real a, 
temos que a reta γ = a é uma assíntota horizontal.
χ → + ∞ χ → - ∞
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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Verificar a existência de assíntotas e identificá-las facilita a construção do gráfico de 
uma função, tornando mais fácil o seu estudo.
Exemplo:
O esboço do gráfico de ƒ(χ) pode ser verificado na figura 1.10.
Vamos verificar a existência de assíntotas verticais:
Temos que χ=-3 é um ponto crítico de , pois para χ=-3, teríamos o valor 
zero no denominador. Vamos, então, calcular .
, temos que γ=1 é uma assíntota horizontal.
, temos que γ=1 é uma assíntota horizontal.
Seja a função vamos encontrar, caso exista, suas assíntotas.
Vamos verificar a existência de assíntotas horizontais:
Para facilitar o cálculo dos limites, vamos reescrever ƒ(χ)
Logo, e χ=-3 é assíntota vertical.
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Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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Fonte: O autor (2015)
Figura 1.10 | Gráfico de ƒ(χ) e suas assíntotas
Para saber mais sobre as assíntotas, acesse os links:
<http://checkmath.wordpress.com/2013/06/20/retas-assintotas/>. 
<https://www.youtube.com/watch?v=-FfodxO713c>. 
Limites de funções também podem ser calculados a partir de limites já conhecidos, 
chamados de limites fundamentais. São três os limites fundamentais que iremos trabalhar:
1.
2.
3.
2.7 Limites fundamentais
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
41
Agora que você já entendeu o conceito de limite de forma intuitiva, será apresentada 
a definição formal. Para apresentar tal definição, vamos mais uma vez usar um exemplo:
Seja,
Seja u=5χ, então χ=u / 5 e se χ→0 , u→0. Substituindo na função inicial, temos
Exemplos:
I. Calcule . 
II. Calcule . 
III. Calcule . 
Calculamos, então, o limite.
Colocando 35χ em evidência, tem-se . Para obtermos um expoente igual 
ao denominador, podemos ainda multiplicar a expressão por , obtendo .
A expressão pode ser escrita na forma . O artifício é utilizado a fim 
de se obter o expoente χ igual ao denominador 2χ. Feito isso, temos que:
2.8 Definição formal de limite
-3
-3
U1
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Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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Fonte: O autor (2015)
Figura 1.10 | Gráfico de ƒ(χ) e suas assíntotas
Para saber mais sobre as assíntotas, acesse os links:
<http://checkmath.wordpress.com/2013/06/20/retas-assintotas/>. 
<https://www.youtube.com/watch?v=-FfodxO713c>. 
Limites de funções também podem ser calculados a partir de limites já conhecidos, 
chamados de limites fundamentais. São três os limites fundamentais que iremos trabalhar:
1.
2.
3.
2.7 Limites fundamentais
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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Agora que você já entendeu o conceito de limite de forma intuitiva, será apresentada 
a definição formal. Para apresentar tal definição, vamos mais uma vez usar um exemplo:
Seja,
Seja u=5χ, então χ=u / 5 e se χ→0 , u→0. Substituindo na função inicial, temos
Exemplos:
I. Calcule . 
II. Calcule . 
III. Calcule . 
Calculamos, então, o limite.
Colocando 35χ em evidência, tem-se . Para obtermos um expoente igual 
ao denominador, podemos ainda multiplicar a expressão por , obtendo .
A expressão pode ser escrita na forma . O artifício é utilizado a fim 
de se obter o expoente χ igual ao denominador 2χ. Feito isso, temos que:
2.8 Definição formal de limite
-3
-3
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