Integração_Numérica_Material

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Professores: 
Erica Boizan Batista 
Glauber Marcio Silveira Pereira 
Introdução à Integração Numérica 
Unidade 1. 
Apresentação da ideia geométrica 
TÓPICOS 
O que é a integral de uma função? 
Soma de Riemann 
 
Regra do Trapézio e Regra de Simpson 
 
Quadratura de Gauss 
Erro 
O que é uma integral? 
 
Uma integral pode ser entendida 
geometricamente como a área ou 
região compreendida entre o 
gráfico de uma função e o eixo x em 
um plano cartesiano. 
 
Neste curso trabalharemos apenas 
com integrais definidas, o que 
significa que estaremos focados em 
uma determinada seção da área, 
delimitada por retas x=a e x=b. 
Neste caso denotamos a integral 
por: Imagem elaborada pelos autores no software Geogebra 
Imagine agora um função f qualquer, 
definida em um intervalo [a,b]. Na prática 
geralmente utilizamos a primitiva da 
função f para calcular sua integral, mas 
podemos ter alguns casos em que isso não 
é possível. 
 
Por exemplo, essa função f pode ter 
primitiva desconhecida, ou seja, não 
sabemos como calcular diretamente sua 
integral. Outra possibilidade é que a 
primitiva seja muito difícil de ser calculada. 
Também é possível, dependendo do caso, 
que a função estudada seja conhecida 
apenas em alguns pontos. Então como 
fazer para encontrar a área que queremos? 
 
Uma alternativa é tentar encontrar uma 
aproximação para a área procurada usando 
formas geométricas cujas áreas nós já 
conhecemos. 
Imagem retirada do site Pixabay: https://pixabay.com/pt/ 
illustrations/ponto-de-interroga%C3%A7%C3%A3o-perguntando 
-3978394/; autor(a): Peggy_Marco 
MOTIVAÇÃO 
https://pixabay.com/pt/illustrations/ponto-de-interroga%C3%A7%C3%A3o-perguntando-3978394/
https://pixabay.com/pt/illustrations/ponto-de-interroga%C3%A7%C3%A3o-perguntando-3978394/
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https://pixabay.com/pt/users/Peggy_Marco-1553824/
Perceba que esse é um raciocínio 
semelhante ao que usamos quando 
queremos calcular a área de um polígono 
irregular. 
 
Neste caso nós subdividimos nosso 
polígono em áreas conhecidas, e depois de 
calcular as áreas das formas menores basta 
somar tudo, certo? 
 
Apesar do nosso problema ser um pouco 
mais complexo a estratégia de resolução 
não é muito diferente. Imagem elaborada pelos autores no software Geogebra 
Somas de Riemann 
à esquerda 
Imagens elaboradas pelos autores no software Geogebra. 
A ideia da Soma de Riemann é fazer a 
aproximação da área sob o gráfico de uma 
função usando retângulos. Em particular, a 
Soma de Riemann à esquerda define a altura 
desses retângulos (geralmente de bases de 
igual largura) usando o valor e f no ponto da 
extremidade esquerda da sua base. 
Somas de Riemann 
à direita 
Imagens elaboradas pelos autores no software Geogebra. 
A Soma de Riemann à direita define a altura 
desses retângulos (geralmente de bases de 
igual largura) usando o valor e f no ponto da 
extremidade direita da sua base. 
Somas de Riemann 
no ponto médio 
Imagens elaboradas pelos autores no software Geogebra. 
A Soma de Riemann no ponto médio define a 
altura de desses retângulos (geralmente de 
bases de igual largura) usando o valor e f no 
ponto médio da sua base. 
Regra do Trapézio 
Imagem elaborada pelos autores no software Geogebra. 
A ideia desta regra é pegar os dois 
pontos extremos da parte do gráfico 
que desejamos calcular a área e traçar 
um seguimento de reta, construindo 
assim um trapézio. 
Regra do Trapézio 
Composta 
Imagens elaboradas pelos autores no software Geogebra. 
De forma semelhante à Soma de Riemann 
podemos subdividir o intervalo [a,b] no eixo x 
em intervalos (geralmente de mesmo tamanho) 
e usar seus extremos para construir trapézios, 
que servirão para aproximar a área que 
queremos. 
Regra de Simpson 
Imagem elaborada pelos autores no software Geogebra. 
A ideia desta regra é, ao invés de retas, 
usar polinômios que passem por pontos 
do gráfico, e calcular a integral desses 
polinômios para conseguir uma 
aproximação da área que queremos. 
Regra de Simpson 
Composta 
Imagens elaboradas pelos autores no software Geogebra. 
De forma semelhante à Regra do Trapézio 
Composta podemos subdividir o intervalo 
[a,b] no eixo x em intervalos (geralmente de 
mesmo tamanho) e usar vários polinômios, 
que servirão para aproximar a área que 
queremos. 
Calma! A palavra erro assusta um pouco, 
mas o erro aqui faz parte do processo de 
aproximação, ele é a diferença entre o 
valor obtido (aproximado) e o valor exato 
da integral. 
 
Ao contrário da forma clássica de calcular 
integrais (usando a primitiva), que nos 
permite obter soluções exatas para o 
cálculo da integral, os métodos numéricos 
produzem, em geral, apenas soluções 
aproximadas. 
 
Por isso, antes da utilização de qualquer 
método numérico é necessário decidir qual 
a precisão dos cálculos que você precisa, já 
que métodos diferentes apresentam erros 
diferentes. 
Imagem retirada do site Pixabay: https://pixabay.com/ 
pt/vectors/alerta-parar-aviso-%C3%ADcone-erro-146730/; 
autor(a): OpenClipart-Vectors 
Erro 
https://pixabay.com/pt/vectors/alerta-parar-aviso-%C3%ADcone-erro-146730/
https://pixabay.com/pt/vectors/alerta-parar-aviso-%C3%ADcone-erro-146730/
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https://pixabay.com/pt/users/OpenClipart-Vectors-30363/
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Quadratura de Gauss 
Imagem elaborada pelos autores no software Geogebra. 
A quadratura de Gauss é um método 
que permite escolhermos o tamanho 
das subdivisões que faremos do 
intervalo [a,b] no eixo x, de forma a 
obtermos erros muito pequenos. 
Ela pode ser aplicada a qualquer um dos 
métodos apresentados anteriormente, 
e para o caso em que f é um polinômio 
ela garante erro igual a zero. 
Introdução à Integração Numérica 
Resumo da apresentação 
 
Apresentamos aqui a ideia geométrica 
dos métodos numéricos mais usados 
para aproximação de uma integral 
definida a partir de somas finitas. 
 
No próximo materialveremos a 
formalização desses métodos. 
CRÉDITOS 
Autores 
Colaboração 
Glauber Marcio Silveria Pereira 
Graduado em Matemática 
Mestre em Bioestatística 
Doutor em Estatística 
 
Erica Boizan Batista 
Graduada em Matemática 
Mestre em Matemática 
Doutora em Matemática 
 
REFERÊNCIAS 
BARROSO, L. C., Cálculo Numérico. S. Paulo: HARBRA, 1987. 
 
BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Análise Numérica. Cengage Learning, Tradução da 8. Ed. Americana, 
2008. 
 
FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. Pearson Prentice Hall, 2007. 
 
HOHEBWARTER, Markus. GeoGebra clássico 6: Software de geometria dinâmica. Disponível em: 
<https://www.geogebra.org/download>. Acesso em: 23 de agosto de 2020. 
 
REAMAT - Cálculo Numérico. REAMAT, 2020. Cálculo Numérico - Versão GNU Octave. Disponível em: 
<https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-oct/in.html>. Acesso em: 09 de junho de 
2020. 
 
RUGGIERO, M. A. G., Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais, São Paulo, McGraw-
Hill, 1998. 
 
https://www.geogebra.org/download
https://www.geogebra.org/download
https://www.geogebra.org/download
https://www.geogebra.org/download
https://www.geogebra.org/download
https://www.geogebra.org/download
https://www.geogebra.org/download
https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-oct/in.html
https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-oct/in.html
https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-oct/in.html
https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-oct/in.html
https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-oct/in.html
https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-oct/in.html
https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-oct/in.html
https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-oct/in.html
https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-oct/in.html
https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-oct/in.html
https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-oct/in.html
 
Profa. Érica Boizan Batista 
Prof. Glauber Márcio 
Silveira Pereira 
 
 
Unidade 2. 
Integração Numérica: 
formalização dos 
conceitos 
 
 
Integração Numérica1 
1. Introdução. 
Uma função 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ pode ter primitiva desconhecida, ou seja, que não 
sabemos diretamente sua integral, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 . Outra possibilidade é que a primitiva seja 
muito difícil de ser calculada. Também é possível, dependendo do caso, que a função 
estudada seja conhecida apenas em alguns pontos. No estudo de Cálculo Numérico existem 
métodos que fazem aproximações da primitiva através de somas finitas de áreas. A ideia 
destes métodos é subdividir o domínio da função [𝑎, 𝑏] e calcular de forma aproximada 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅
𝑏
𝑎
∑ 𝑎𝑖𝑓(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=0
, com 𝑥𝑖 o 𝑖-ésimo ponto, 𝑎𝑖 o 𝑖-ésimo peso. 
Neste curso apresentamos os métodos mais conhecidos, são eles Soma de Riemann; 
Newton Cotes simples e composta, com regra de Simpson e regra dos trapézios, e o último 
método a Quadratura de Gauss. 
 
2. Soma de Riemann 
O primeiro método apresentado é conhecido pelos alunos que já cursaram ou 
estudaram Cálculo diferencial e Integral. O cálculo da integral definida limitada por um 
intervalo [𝑎, 𝑏] é a área limitada pelas retas 𝑦 = 0, 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 e uma função 𝑓: [𝑎, 𝑏] →
ℝ , como vemos no gráfico abaixo: 
 
Gráfico 1: Área limitada pelas retas 𝑦 = 0, 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 e a função 𝑓. 
 
Fonte: Autoria própria. 
 
1 Érica B. Batista doutora em Matemática e Glauber M. S. Pereira doutor em Estatística. 
 
 
 
Desta forma a Soma de Riemann trata-se de uma soma finita de 𝑛 áreas de 
retângulos na tentativa de termos uma aproximação da área já descrita. Primeiro 
subdividimos o domínio da função 𝑓 , o intervalo [𝑎, 𝑏], em 𝑛 ∈ ℕ subintervalos não 
necessariamente equidistantes, ou seja, que não tem necessariamente a mesma distância. 
Definimos os pontos de um conjunto finito contido no domínio que se chama uma partição 
de [𝑎, 𝑏], sendo os pontos definidos da seguinte forma 𝑎 = 𝑥0 ≤ 𝑥1 ≤ ⋯ ≤ 𝑥𝑛 = 𝑏 , Seja 
ℎ𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1, os pontos são 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖ℎ𝑖 para cada 𝑖 = 0,1, … , 𝑛. Note que ℎ𝑖 será a base 
do 𝑖-ésimo retângulo. Agora só falta definirmos as alturas dos retângulos. As alturas podem 
ser definidas de diversas formas. Podemos tomar o máximo ou mínimo 𝑓(𝑥) no 𝑖-ésimo 
intervalo por exemplo. Aqui apresentamos três possibilidades, tomamos 𝑓(𝑥𝑖) e definimos 
a soma de Riemann a esquerda (SRE), tomamos 𝑓(𝑥𝑖) e definimos a soma de Riemann a 
esquerda (SRD), tomamos 𝑓(
𝑥𝑖−𝑥𝑖−1
2
) e definimos a soma de Riemann ponto médio (SRPM). 
Mostraremos graficamente os três métodos. 
 
2.1. Soma de Riemann a esquerda (SRE): 
Temos a seguinte aproximação ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅ 
𝑏
𝑎
∑ ℎ𝑖𝑓(𝑥𝑖)
𝑛−1
𝑖=0
= ℎ1𝑓(𝑥1) + ℎ2𝑓(𝑥2) +
⋯ + ℎ𝑛−1𝑓(𝑥𝑛+1). Vemos graficamente o método com 𝑓: [0,4] → ℝ, 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 + 1 para 
𝑛 = 2, 𝑛 = 4 e 𝑛 = 5 : 
 
Gráfico 2: SRE para 𝑛 = 2, 𝑛 = 4 e 𝑛 = 5. 
 
Fonte: Autoria própria. 
 
2.2. Soma de Riemann a direita (SRD): 
Temos a seguinte aproximação ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅
𝑏
𝑎
∑ ℎ𝑖𝑓(𝑥𝑖+1)
𝑛−1
𝑖=0
. Vemos graficamente 
o método com 𝑓: [0,4] → ℝ, 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 + 1 para 𝑛 = 2, 𝑛 = 4 e 𝑛 = 6 : 
 
Gráfico 3: SRD para 𝑛 = 2, 𝑛 = 4 e 𝑛 = 6. 
 
Fonte: Autoria própria. 
 
 
 
2.3. Soma de Riemann ponto médio (SRPM): 
Temos a seguinte aproximação ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅
𝑏
𝑎
∑ ℎ𝑖𝑓(𝜉𝑖)
𝑛−1
𝑖=0
, sendo 𝜉𝑖 = 
𝑥𝑖−𝑥𝑖−1
2
, para 
cada 𝑖 = 0,1, … , 𝑛. graficamente o método com 𝑓: [0,4] → ℝ, 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 + 1 para 
𝑛 = 2, 𝑛 = 4 e 𝑛 = 6 : 
 
Gráfico 4: SRPM para 𝑛 = 2, 𝑛 = 4 e 𝑛 = 6. 
 
Fonte: Autoria própria. 
 
3. Método Newton Cotes. 
Método com o intervalo [𝑎, 𝑏] , ou seja, o domínio da função 𝑓 é dividido em 
𝑛 subintervalos equidistantes. Assim temos 𝑥0 = 𝑎; 𝑥𝑛 = 𝑏 como estremos do intervalo e 
ℎ =
𝑏−𝑎
𝑛
 como passo e os pontos 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖ℎ para cada 𝑖 = 0,1, … , 𝑛. Nos baseamos no 
polinômio interpolador de Lagrange 𝑃𝑛 = ∑ 𝐿𝑖𝑓(𝑥𝑖) =
𝑛
𝑖=0
𝐿0𝑓(𝑥0) + ⋯ + 𝐿𝑛𝑓(𝑥𝑛), sendo 
𝐿𝑖 = ∏
𝑥−𝑥𝑗
𝑥𝑖−𝑥𝑗
𝑛
𝑗=0:𝑗≠𝑖 . Temos a aproximação do cálculo ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 
𝑏
𝑎
∑ 𝑎𝑖𝑓(𝑥𝑖) +
𝑛
𝑖=0
𝐸(𝑓), 
em que 𝑎𝑖 = ∫ 𝐿𝑖(𝑥)𝑑𝑥,
𝑏
𝑎
 erro 𝐸(𝑓) = 
1
(𝑛+1)!
 ∫ ∏ (𝑥 − 𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=0 𝑓
(𝑛+1)(𝜉(𝑥))𝑑𝑥 
𝑏
𝑎
 , para 
𝜉(𝑥) ∈ (𝑎, 𝑏). As duas principais regras são a dos trapézios e de Simpson, em que é feita 
uma interpolação (aproximação da função pelo polinômio de Lagrange). 
 
3.1 Regra do trapézio: 
A ideia desta regra é pegar os dois pontos extremos da parte do gráfico que 
desejamos calcular a área e traçar um seguimento de reta, construindo assim um trapézio. 
Vemos graficamente o método com 𝑓: [0,4] → ℝ, 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 + 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 5: Regra do Trapézio. 
 
Fonte: Autoria própria. 
 
Matematicamente temos aproximação da integral com 𝑥0 = 𝑎, 𝑥1 = 𝑏, ℎ = 𝑏 − 𝑎,
𝑃1(𝑥) = 𝐿0𝑓(𝑥0) + 𝐿1𝑓(𝑥1) =
𝑥−𝑥1
𝑥0−𝑥1
𝑓(𝑥0) +
𝑥−𝑥0
𝑥1−𝑥0
𝑓(𝑥1) , temos ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 
𝑏
𝑎
ℎ
2
(𝑓(𝑎) +
𝑓(𝑏)) −
𝑏−𝑎
12
ℎ2𝑓′′(𝜉(𝑥)). 
 
3.2 Regra de Simpson: 
 
A ideia desta regra é pegar os dois pontos extremos e o ponto médio da parte do 
gráfico que desejamos calcular a área e traçar uma curva polinomial, cuja área será mais fácil 
de calcular e nos dará uma aproximação para a área que queremos. Vemos graficamente o 
método com 𝑓: [0,4] → ℝ, 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 + 1: 
 
Gráfico 6: Regra de Simpson. 
 
Fonte: Autoria própria. 
 
Matematicamente temos aproximação da integral com 𝑥0 = 𝑎, 𝑥2 = 𝑏, ℎ =
𝑏−𝑎
2
, 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ, 𝑃2(𝑥) =
(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)
(𝑥0−𝑥1)(𝑥0−𝑥2)
𝑓(𝑥0) +
(𝑥−𝑥0)(𝑥−𝑥2)
(𝑥1−𝑥0)(𝑥1−𝑥2)
𝑓(𝑥1) +
(𝑥−𝑥0)(𝑥−𝑥1)
(𝑥2−𝑥0)(𝑥2−𝑥1)
𝑓(𝑥2), temos ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 
𝑏
𝑎
ℎ
2
(𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)) −
𝑏−𝑎
12
ℎ2𝑓′′(𝜉(𝑥)). 
 
 
 
3.3 Integração Composta: 
Para obter melhorprecisão de aproximação subdividimos o intervalo [𝑎, 𝑏] em 𝑛 
subintervalos, com 𝑛 ∈ ℕ, e aplicamos a cada subintervalo as regras já apresentadas. 
 
3.3.1 Regra do trapézio Composta: 
Temos aproximação da integral com 𝑥0 = 𝑎, 𝑥𝑛 = 𝑏, ℎ =
𝑏−𝑎
2
, 𝑥𝑗 = 𝑥0 + 𝑗ℎ, para 
𝑗 = 0,1, … , 𝑛, temos ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 
𝑏
𝑎
ℎ
2
(𝑓(𝑎) + 2 ∑ 𝑓(𝑥𝑗) +
𝑛−1
𝑗=1
 𝑓(𝑏)) −
𝑏−𝑎
12
ℎ2𝑓′′(𝜉(𝑥)) . 
Vemos graficamente o método com 𝑓: [0,4] → ℝ, 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 + 1 para 𝑛 = 2, 𝑛 = 4 e 𝑛 = 6 : 
 
Gráfico 7: Regra do trapézio composta para 𝑛 = 2, 𝑛 = 4 e 𝑛 = 6. 
 
 
Fonte: Autoria própria. 
 
3.3.2 Regra de Simpson Composta: 
Temos aproximação da integral com 𝑥0 = 𝑎, 𝑥𝑛 = 𝑏, ℎ =
𝑏−𝑎
2
, 𝑥𝑗 = 𝑥0 + 𝑗ℎ, para 
𝑗 = 0,1, … , 𝑛, temos ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 
𝑏
𝑎
ℎ
3
(𝑓(𝑎) + 2 ∑ 𝑓(𝑥2𝑗)
𝑛/2−1
𝑗=1
+ 4 ∑ 𝑓(𝑥2𝑗−1)
𝑛/2
𝑗=1
+
 𝑓(𝑏)) −
𝑏−𝑎
180
ℎ4𝑓(4)(𝜉(𝑥)). Vemos graficamente o método com 𝑓: [1,4] → ℝ, 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 + 1 
para 𝑛 = 2, 𝑛 = 4 e 𝑛 = 6 : 
 
Gráfico 8: Regra de Simpson composta para 𝑛 = 2, 𝑛 = 4 e 𝑛 = 6. 
 
 
Fonte: Autoria própria. 
 
 
 
4 Quadratura de Gauss. 
Método que otimiza a área em função da oscilação da função 𝑓. Segue graficamente 
a regra dos trapézios com duas funções como exemplo comparando o método Newton 
Cotes com a quadratura de Gauss. 
Na aproximação da quadratura de Gauss da forma composta 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅
𝑏
𝑎
∑ 𝑐𝑖𝑓(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
 o método tem 2𝑛 parâmetros, que são os nós 𝑥1, … , 𝑥𝑛 e os 
coeficientes 𝑐1, … , 𝑐𝑛 . 
Definimos o polinômio de Legendre {𝑃0, … , 𝑃𝑛} com as propriedades para 𝑃𝑗(𝑥): 
I. Para cada 𝑗 ∈ ℕ, é polinômio mônico, ou seja, o coeficiente dominante é 1; 
II. ∫ 𝑃(𝑥)𝑃𝑗(𝑥)𝑑𝑥 = 0
1
−1
 , ou seja, ortogonal para polinômio com grau menor que 𝑗; 
III. Seja o produto escalar 〈𝑓, 𝑔〉 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥
1
−1
 e definimos seguindo a 
sequencia 𝑃0(𝑥) = 1, 𝑃1(𝑥) = (𝑥 − 𝛼0)𝑃0(𝑥) = 𝑥, 𝑃𝑗+1(𝑥) = (𝑥 − 𝛼𝑗)𝑃𝑗(𝑥) −
𝛽𝑗𝑃𝑗−1(𝑥) , para cada 𝑗 = 2,3, … , em que 𝛼𝑗 =
〈𝑥𝑃𝑗(𝑥),𝑃𝑗(𝑥)〉
〈𝑃𝑗(𝑥),𝑃𝑗(𝑥)〉
=
∫ 𝑥(𝑃𝑗(𝑥))
2𝑑𝑥
1
−1
∫ (𝑃𝑗(𝑥))
2𝑑𝑥
1
−1
 e 
𝛽𝑗 =
〈𝑃𝑗(𝑥),𝑃𝑗(𝑥)〉
〈𝑃𝑗−1(𝑥),𝑃𝑗−1(𝑥)〉
=
∫ (𝑃𝑗(𝑥))
2𝑑𝑥
1
−1
∫ (𝑃𝑗−1(𝑥))
2𝑑𝑥
1
−1
. 
Exemplo: 𝑃2(𝑥) = (𝑥 − 𝛼2)𝑃1(𝑥) − 𝛽2𝑃0(𝑥) = (𝑥 − 0)𝑥 −
1
3
= 𝑥2 −
1
3
. 
O polinômio de Legendre é usado no principal resultado da quadratura de Gauss. 
Teorema: Sejam 𝑥1, … , 𝑥𝑛 raízes de 𝑃𝑛(𝑥), 𝑛-ésimo polinômio de Legendre e definimos os 
coeficientes 𝑐𝑖 = ∫ ∏
𝑥−𝑥𝑗
𝑥𝑖−𝑥𝑗
𝑛
𝑗=1:𝑗≠𝑖 𝑑𝑥
1
−1
, para cada 1, … , 𝑛. Se 𝑃(𝑥) é um polinômio qualquer 
de grau menor que 2𝑛, então ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 =
1
−1
∑ 𝑐𝑖𝑃(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
. 
Observação: Para um domínio qualquer [𝑎, 𝑏] podemos aplicar os resultados apresentados 
nesta seção usando a seguinte mudança de variável: 𝑥 =
1
2
((𝑏 − 𝑎)𝑡 + 𝑎 + 𝑏) ⟺ 𝑡 =
2𝑥−𝑎−𝑏
𝑏−𝑎
, logo ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 
𝑏
𝑎
∫ 𝑓 (
1
2
((𝑏 − 𝑎)𝑡 + 𝑎 + 𝑏))
𝑏−𝑎
2
𝑑𝑡 
1
−1
. 
 
5 Referências. 
BARROSO, L. C., Cálculo Numérico. S. Paulo: HARBRA, 1987. 
BURDEN, R. L. ; FAIRES, J. D.. Análise Numérica, Cengage Learning, Tradução da 8. Ed. 
Americana, 2008. 
FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. Pearson Prentice Hall, 2007. 
 
 
http://poca.ufscar.br/ 
HOHEBWARTER, Markus. GeoGebra clássico 6: Software de geometria dinâmica. Disponível 
em: <https://www.geogebra.org/download>. Acesso em: 23 de agosto de 2020. 
RUGGIERO, M. A. G., Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais, São Paulo, 
McGraw-Hill, 1998. 
REAMAT - Cálculo Numérico. REAMAT, 2020. Cálculo Numérico - Versão GNU Octave. 
Disponível em: <https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-oct/in.html>. Acesso 
em: 09 de junho de 2020. 
 
 
 
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https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-oct/in.html
 
 
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Iniciado em quinta-feira, 22 set 2022, 07:25
Estado Finalizada
Concluída em quinta-feira, 22 set 2022, 07:27
Tempo
empregado
2 minutos 36 segundos
Avaliar 10,00 de um máximo de 10,00(100%)
Questão 1
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 2
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Considere uma função ƒ definida em um intervalo [a,b]. O método que usa a soma de retângulos para aproximar a área
definida pela integral é:
Escolha uma opção:
Regra de Romberg 
Regra de Simpson 
Soma de Riemann 
Regra dos Trapézios 
∫abf(x)dxf(x)dx∫ ba
Sua resposta está correta.
Considere uma função ƒ definida em um intervalo [a,b]. O método que usa polinômios para aproximar a área definida pela
integral é: 
Escolha uma opção:
Soma de Riemann à direita 
Soma de Riemann à esquerda 
Regra de Romberg 
Regra de Simpson
∫abf(x)dxf(x)dx∫ ba
Sua resposta está correta.
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Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 4
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Considere uma função ƒ definida em um intervalo [a,b]. Qual é o método que subdivide o intervalo [a,b] de forma equidistante
e usa o polinômio de Lagrange? 
Escolha uma opção:
Newton Cotes 
Soma de Riemann 
Quadratura de Gauss 
Método de Taylor 
Sua resposta está correta.
Considere uma função ƒ definida em um intervalo [a,b]. Utilizando o método Newton Cotes, qual é a regra que utiliza apenas o
polinômio de Lagrange P (x). 
Escolha uma opção:
Regra de Simpson 
Regra de Romberg 
Soma de Riemann no ponto médio 
Regra dos Trapézios 
1
Sua resposta está correta.
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Questão 5
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Observe a figura abaixo e indique qual regra está sendo utilizada para encontrar uma aproximação de . 
 
Escolha uma opção:
Soma de Riemann no ponto médio 
Soma de Riemann à direita 
Soma de Riemann à esquerda 
Regra dos Trapézios 
∫abf(x)dxf(x)dx∫ ba
Sua resposta está correta.
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Questão 6
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 7
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Observe a figura abaixo e indique qual método está sendo utilizado para encontrar uma aproximação de . 
 
Escolha uma opção:
Quadratura adaptativa com regra do Trapézio 
Quadratura de Gauss com regra do Trapézio 
Newton Cotes com regra do Trapézio 
Método de Taylor com regra do Trapézio 
∫abf(x)dxf(x)dx∫ ba
Sua resposta está correta.
De acordo com o material apresentado, o que significa erro em termos de Integração Numérica? 
Escolha uma opção:
Usar o método errado 
O pesquisador errar o cálculo 
É a diferença entre o valor obtido (aproximado) e o valor exato da integral 
O software errar o cálculo 
Sua resposta está correta.
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Questão 8
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 9
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Qual é o método que para polinômios garante erro igual a zero? 
Escolha uma opção:
Newton Cotes 
Quadratura de Gauss 
Soma de Riemann à direita 
Regra do Trapézio 
Sua resposta está correta.
Algum dos métodos apresentados neste curso não usa soma finita de áreas para aproximação do cálculo de integrais? Qual? 
Escolha uma opção:
Quadratura de Gauss 
Regra de Simpson 
Soma de Riemann no ponto médioTodos os métodos apresentados usam soma finita de áreas 
Sua resposta está correta.
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Questão 10
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Assinale qual das alternativas apresenta o método de Simpson Composto.
Escolha uma opção:
Sua resposta está correta.
28/10/2022 10:26 Questionário: Revisão da tentativa
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