APOSTILA_DINAMICA_DE_ESTRUTURAS

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APOSTILA 
 
 
 
 
DINÂMICA DE ESTRUTURAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROF. D.Sc. Raimundo P. de Vasconcelos 
 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Este material didático foi desenvolvido tendo como base a apostila do curso de 
Dinâmica Estrutural do Mestrado em Engenharia Civil da COPPE/UFRJ, na qual colaborei 
com o Prof. Ronaldo Carvalho Battista para elaboração da mesma em 2003. Boa parte do 
presente texto também utiliza material obtido a partir do livro Mechanical Vibrations (RAO, 
S. R., 1996, Addison-Wesley Publishing Company, USA), o qual considero um bom livro na 
abordagem do tema desta apostila. Apesar de o tema ter muitas características relacionadas à 
Engenharia Mecânica, com o avanço da tecnologia, este passou a ser um tema abordado em 
outras áreas afins como Engenharia Civil, Aeronáutica, etc. Portanto, a abordagem do 
presente tema pode ser tanto feita aos alunos de Engenharia Mecânica quanto aos de 
Engenharia Civil. Considero um assunto de suma importância para ambos os cursos. 
 Agradecimentos à acadêmica Maria do Socorro Martins Sampaio, que ajudou na 
elaboração do material. 
 
 
 
 Prof. D. Sc. Raimundo P. de Vasconcelos 
 Universidade Federal do Amazonas 
 Faculdade de Tecnologia 
 
 3 
1. VIBRAÇÕES 
 
1.1. INTRODUÇÃO 
 
 De uma forma ou de outra as atividades humanas envolvem algum tipo de vibração. 
Seja pela utilização de estruturas que transmitam vibrações ou pela própria execução da 
atividade que de alguma forma pode induzir na estrutura um movimento ondulatório. 
Anteriormente estudiosos no campo de vibração concentraram os esforços em 
entender os fenômenos naturais e em desenvolver teorias matemáticas para descrever a 
vibração de sistemas físicos. Nos tempos atuais, muitas investigações foram incentivadas 
pelas aplicações de engenharia, como o projeto de máquinas, fundações, estruturas, motores, 
turbinas, e sistemas de controle (RAO, 1995). 
A maioria dos principais equipamentos apresenta problemas de vibração devido ao 
desequilíbrio inerente às máquinas. O desequilíbrio pode ser devido a projeto defeituoso ou 
processo de fabricação inadequado. 
Por outro lado, a ação do próprio meio ambiente pode induzir vibrações nas estruturas 
construídas para desenvolvimento de diversas atividades humanas, que para determináveis 
níveis, trazem desconforto aos seus usuários, ou, além disso, risco quanto à segurança de 
quem faz uso de tais estruturas. Um caso clássico foi o registrado na Ponte Tacoma Narrows, 
na cidade de Washigton, Estados Unidos, em 1940. Está ponte recém inaugurada veio ao 
colapso pela simples ação dinâmica do vento, Figura 1. 
 
 
 
Figura 1. Colapso da Ponte Tacoma Narrows em 1940, devido à ação do vento. 
Fonte: Internet. 
 
O outro caso de vibrações induzidas em estrutura pela ação do vento é o da ponte 
Costa e Silva, muito conhecida como ponte Rio-Niterói, situada sobre a baía de Guanabara, 
ligando as cidades do Rio de Janeiro e de Niterói. A ponte tem sua localização nas 
proximidades de dois aeroportos, o internacional Maestro Antonio Carlos Jobim (Galeão), na 
Ilha do Governador, e o doméstico Santos Dumont, na ponta do Calabouço. Além disso, sob a 
ponte passam petroleiros de grande porte, a fim de utilizarem o terminal marítimo da 
Petrobrás, situado no interior da baía de Guanabara. Sendo assim, no canal de navegação, era 
necessário atender de um lado ao gabarito de navegação e de outro ao cone de aproximação 
dos aeroportos. No caso em questão, o espaço disponível entre as alturas do gabarito de 
navegação (60,00 m) e do cone de aproximação dos aeroportos (72,00 m) era de apenas 12,00 
m, sendo este a altura máxima disponível de construção. Isto eliminava a utilização de pontes 
 4 
pênseis ou estaiadas, cujas torres têm grandes alturas. As pontes em treliças para grandes vãos 
necessitam de alturas consideráveis e, além disso, seu aspecto estético é pouco satisfatório. 
Devido a todos estes fatores, os projetistas adotaram vigas celulares contínuas metálicas, que 
resolviam o problema estrutural em condições estéticas excelentes. A estrutura principal ficou 
formada por duas vigas celulares gêmeas contínuas com vão central de 300 metros sobre o 
canal principal de navegação. 
A superestrutura metálica, de comprimento total de 848 metros, consta de duas vigas 
celulares geminadas contínuas de três vãos (200, 300 e 200 m), com balanços de 30 metros 
em cada extremidade; dois vãos metálicos isostáticos, de 44 metros cada um, apoiados nos 
balanços de aço (30 m) e de concreto de (40 m), completam a superestrutura metálica. A 
Figura 2 mostra uma vista panorâmica do vão central. 
 
 
 
 
Figura 2. Vista panorâmica do vão central da ponte Rio-Niterói. 
 Fonte: Ronaldo Battista (2003) 
 
Todas essas características fizeram com que o vão central da ponte ficasse sensível a 
ação do vento. Em velocidades do vento em torno de 50 km/h e 100 km/h, há a formação em 
torno da estrutura de vórtices que induziam o aparecimento de vibrações, fazendo com que 
houvesse grandes deslocamentos verticais, o que dava a sensação as pessoas que estavam 
sobre o vão central de estarem em uma verdadeira montanha russa. Os relatos de pessoas que 
presenciaram o fenômeno ocorrido em 1997, segundo os jornais da época, dão conta do 
desespero que tomou conta de quem passavam pelo vão central naquele momento, com 
pessoas abandonando seus carros e correndo desesperadas ou para o Rio de Janeiro ou para a 
cidade de Niterói. Hoje não há mais relatos da ocorrência de tais vibrações, o trabalho 
realizado pela equipe do professor Ronaldo Battista da COPPE/UFRJ, com a introdução de 
mecanismos de redução de vibrações, parece ter amenizado os efeitos da ação do vento sobre 
a estrutura. 
Deve-se destacar que além da ação dos agentes naturais, a própria atividade humana, 
como correr, andar ou pular, por sua natureza dinâmica, pode também induzir nas estruturas, 
as quais são projetadas para o desenvolvimento de tais atividades, níveis de vibrações 
excessivas à estrutura, que em muitos casos podem não trazer à ruína a estrutura, porém, 
provocar o aparecimento de danos em elementos estruturais localizados, ou ainda, o 
desconforto dos usuários. O que se observa, portanto, é que um dos principais propósitos para 
o estudo das vibrações induzidas em elementos mecânicos ou estruturais é a redução e o 
 5 
controle de vibrações. Assim sendo, o engenheiro mecânico deve procurar projetar a máquina 
ou equipamento para minimizar o desequilíbrio entre os diversos elementos mecânicos, 
enquanto o engenheiro estrutural deve procurar projetar a estrutura para assegurar que o efeito 
das vibrações não seja prejudicial aos usuários. 
 Anteriormente, somente foram citados os efeitos danosos que as vibrações podem 
induzir em estruturas, elementos estruturais e elementos mecânicos. Porém, é bom salientar 
que existe outro aspecto a considerar; as vibrações podem ser utilizadas de forma proveitosa, 
como em equipamentos vibratórios ou em aplicações industriais. Por exemplo, as vibrações 
em esteiras vibratórios, funis, peneiras, compactadores, lavadoras de roupa, escovas de dente 
elétricas, brocas de dentista, relógios, e unidades de massagem elétricas. A Vibração também 
é usada em empilhadeiras, teste vibratório de materiais e circuitos eletrônicos para filtrar as 
frequências não desejadas (RAO, 1992). 
 Portanto, o que se observa é a importância cada vez maior por parte do engenheiro, 
mecânico ou estrutural, do estudo de elementos ou conjunto de elementos submetidos de 
alguma forma a uma excitação variável no tempo, ou em outras palavras ao estudo das 
vibrações. Este é o objetivo básico da parte da mecânica dos meios contínuos conhecida por 
mecânica vibratória ou vibrações mecânicas. A seguir são apresentados alguns conceitos 
básicos necessários no estudo das vibrações mecânicas. 
 
1.2. CONCEITOSPode-se definir vibração como o movimento de um sistema que se repete em um 
intervalo de tempo. O balanço de um pêndulo e o movimento de uma mola são exemplos 
típicos de vibração. A teoria da vibração estuda os movimentos oscilatórios de corpos e as 
forças associadas a eles. 
 O estudo do movimento de sistemas físicos e o relacionamento com as forças que 
causam este movimento têm ocupado um grande número de pesquisadores desde o século 
XVII. O primeiro a observar o movimento de corpos rígidos e a enunciar leis de movimento 
foi Galileo. Essas leis foram publicadas em 1638 em sua obra-prima de filosofia(1). Suas 
investigações experimentais sobre o movimento de corpos rígidos (como por exemplo: o da 
queda livre dos corpos, o de projéteis, o que envolve o conceito de força centrípeta, do 
princípio de relatividade galileano, etc.) constituem contribuição pioneira para o entendimento 
do movimento de sistemas mecânicos. Somente cerca de 50 anos mais tarde é que Newton 
formulou as leis do movimento de forma mais correta, com auxílio de ferramentas 
matemáticas (1) (2) (3). O estudo das relações entre forças e movimento é geralmente chamado 
de DINÂMICA e as leis que governam o movimento são as conhecidas leis de Newton. 
Além da 1a lei, que decorre da 2a e que nada acrescenta a descrição do movimento, a 3a lei de 
ação e reação entre corpos em contato, é básica para a compreensão do que é a força. Mas é a 
2a lei que é fundamental para a análise de sistemas mecânicos em movimento e, sua aplicação, 
resulta nas equações de movimento de qualquer sistema dinâmico (Battista e Vasconcelos, 
2003). 
 
 
 
 
(1) "Discorsi e Dimonstrazioni Matematiche intorno a Due Nuove Scienze", Galileo Galilei, 1638. 
 
 
(2) "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Isaac Newton, 1687. 
(3) "Galileu avaliado por Newton", Fernando Luis Lobo B. Carneiro, 1987, em Seminário em Comemoração aos 
300 anos da publicação dos "Principia" de Isaac Newton. 
 6 
1.3. GRAU DE LIBERDADE 
 
 O número mínimo de coordenadas independentes necessárias para determinar 
completamente a posição de todas as partes de um sistema em qualquer intervalo de tempo 
define o grau de liberdade do sistema (RAO, 1995). O movimento do reservatório elevado na 
direção horizontal, mostrado na Figura 3, pode ser descrito através de uma única coordenada. 
Sendo assim, este sistema possui apenas um grau de liberdade, também conhecido como 
sistema de um simples grau de liberdade (SDOF, na sigla inglês). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3. Movimento de um reservatório elevado. 
 
 Por outro lado, se mais de uma coordenada é necessária para descrever o movimento, 
diz-se que este movimento é de múltiplos graus de liberdade (MDOF, na sigla em inglês). 
Exemplos são apresentados na Figura 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4. Sistemas de múltiplos graus de liberdade. 
 
 
 
x 
x1 
x2 
x3 
x 
 
 7 
1.4. SISTEMA DISCRETO OU CONTÍNUO 
 
 Quando o movimento de um sistema em vibração puder ser descrito por um número 
finito de pontos, o sistema é dito discreto. A Figura 5 mostra um exemplo de um sistema 
discreto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 5. Sistema discreto composto por dois graus de liberdade. 
 
De modo oposto, elementos estruturais deformáveis tem seu movimento mais bem 
representado quando se consideram um número infinitos de pontos. Este tipo de sistema é 
chamado de sistema contínuo. Uma viga engastada em uma extremidade e livre na outra é um 
exemplo de um sistema contínuo (Figura 6). 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 6. Viga engastada representando um sistema contínuo. 
 
 
 Muito embora a análise de um sistema contínuo conduza a resultados mais precisos, as 
equações que descrevem o movimento desse tipo de sistema envolvem equações diferenciais 
parciais, cuja solução muitas vezes, quando encontradas, são complexas. Uma forma então de 
solução é transformar o sistema contínuo em um sistema discreto com um finito número de 
pontos, de modo que a solução seja mais simples de ser obtida. Deve-se observar que quanto 
mais pontos forem empregados no modelo discreto do sistema contínuo mais precisas serão as 
respostas obtidas. 
 
1.5. TIPOS DE VIBRAÇÃO 
 
 As vibrações podem ser classificadas nos seguintes grupos principais: 
 
 VIBRAÇÃO LIVRE E FORÇADA 
 
 Quando um sistema estrutural ou mecânico está em movimento sem que nenhuma 
energia externa, em geral na forma de força, seja fornecida ao sistema, diz-se que a vibração é 
livre. Por outro lado, se energia externa é fornecida a vibração resultante é dita forçada. 
2 
1 
m1 
m2 
 8 
 O pêndulo de Galileu mostrado na Figura 7 é um clássico exemplo de vibração livre, 
isto porque, ao ser deslocado de sua posição de equilíbrio de um ângulo , e abandonado, este 
entra em movimento devido somente à ação da força gravitacional sobre a massa. Deve-se 
destacar que se nenhuma força externa for aplicada, decorrido um certo intervalo de tempo, o 
movimento cessa devido ao atrito do sistema com meio, no caso o ar. Caso o sistema esteja no 
vácuo e não haja nenhum atrito nas ligações, o movimento será sempre contínuo e nunca irá 
parar, caso não haja interferência externa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7. Pêndulo simples ou pêndulo de Galileu. 
 
 Como exemplos de vibrações forçadas encontradas na prática podem ser citadas 
aquelas oriundas de máquinas fixadas sobre alguma estrutura, ou ainda, devido a algum tipo 
de atividade humana. Nestes casos haverá sempre fornecimento de energia adicional ao 
sistema. Ao cessar a ação dessas forças o sistema entra em vibração livre e caso haja perda de 
energia durante os ciclos de movimento, este logo voltará a sua posição de equilíbrio 
chegando ao repouso. 
 
VIBRAÇÃO AMORTECIDA E NÃO AMORTECIDA 
 
 Como observado anteriormente, em qualquer sistema parte da energia pode ser perdida 
ou não a cada ciclo de movimento. Se parte da energia é perdida durante o movimento, a 
vibração é conhecida como amortecida, caso contrário é não-amortecida. Deve-se salientar 
que os sistemas na prática possuem sempre amortecimento, porém, em alguns casos o 
amortecimento é tão pequeno que pode ser desprezado. Além disso, alguns conceitos básicos 
estudados em vibrações livres são aplicados no estudo de vibrações amortecidas, sendo, 
portanto, de fundamental importância o estudo da vibração de sistemas não-amortecidos. 
 
 VIBRAÇÃO DETERMINÍSTICA E ALEATÓRIA 
 
 Entende-se como vibração determinística aquela para o qual o valor ou magnitude da 
excitação (força ou movimento) agindo sobre um sistema é conhecido para qualquer intervalo 
de tempo. Caso contrário à vibração é dita aleatória. 
 Em alguns casos, cuja excitação é aleatória; o valor da excitação em um determinado 
momento não pode ser definido. Nestes casos, para análise de vibrações uma vasta coleção de 
registros da excitação pode exibir um pouco de regularidade estatística. É possível, então, 
 
rótula sem 
atrito 
barra rígida 
de massa 
desprezível 
m, massa 
Forças atuando sobre 
o corpo de massa m 
Aceleração do corpo, 
considerando que  é a 
velocidade angular 
instantânea. 
Aceleração centrípeta 
2L Aceleração 
tangencial 
L 
mg 
Tração na 
barra 
 
T 
 9 
calcular valores médios para a excitação (RAO, 1996). A Figura 8 mostra exemplos de 
excitação determinística e aleatória. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8. Exemplo de excitação determinística e aleatória. 
 
1.6. ANÁLISE DE VIBRAÇÕES 
 
Segundo RAO (1996): Um sistema vibratório é um sistema dinâmico para o qual as 
variáveis como as excitações (contribuições) e respostas (produtos) são dependentes do 
tempo. A resposta de um sistema vibrando geralmente depende das condições iniciais como 
também das excitações externas. Muitos sistemas vibratórios práticos sãomuito complexos, e 
é impossível considerar todos os detalhes para uma análise matemática. Só as características 
mais importantes são consideradas na análise para predizer o comportamento do sistema sob 
condições de contribuição especificas. Frequentemente, o comportamento global do sistema 
pode ser determinado considerando-se um modelo simples do sistema físico complexo. 
Assim, a análise de um sistema vibrando normalmente envolve modelagem matemática, 
desenvolvimento das equações de movimento, solução dessas equações, e interpretação dos 
resultados obtidos. 
O propósito da modelagem matemática é representar todas as características 
importantes do sistema com a finalidade de desenvolver as equações matemáticas (ou 
analíticas) que governam o comportamento do sistema. O modelo matemático deve possuir 
bastantes detalhes para poder descrever o sistema em termos de equações sem torná-lo muito 
complexo. O modelo matemático pode ser linear ou não-linear, dependendo do 
comportamento dos componentes do sistema. Modelos lineares permitem soluções rápidas e 
de simples manuseio; porém, modelos de sistemas não-lineares às vezes revelam certas 
características do sistema que não podem ser definidas usando modelos lineares. Assim, para 
este caso é necessária muita experiência no assunto para propor um modelo matemático 
satisfatório de um sistema vibrando (RAO, 1996). 
Deve-se observar, entretanto, que uma modelagem matemática correta depende de 
parâmetros de cunho essencialmente experimental, isto é, que só podem ser obtidos através de 
medidas experimentais. Alguns desses parâmetros são, por exemplo: propriedades físicas dos 
materiais, propriedades mecânicas das vinculações, coeficientes de amortecimento, etc..., 
além daqueles que são necessários para a descrição correta das forças externas que atuam 
sobre o sistema. 
Por outro lado, a validação do modelo matemático deve ser feita através de correlações 
entre as respostas teóricas por ele fornecidas e as respostas obtidas de ensaios experimentais: 
do próprio sistema existente (no caso de re-análise de estruturas ou mecanismos já 
construídos) ou de modelos físicos do sistema (principalmente no caso em que o projeto da 
estrutura ou do mecanismo está sendo executado), os quais podem ser modelos em escala 
F(t) 
t 
F(t) 
t 
Vibração determinística Vibração aleatória 
 10 
geométrica reduzida (ou, simplesmente, modelos reduzidos) projetados e construídos de 
maneira a respeitar as condições de semelhança física mais relevantes. Nessa fase de 
validação o modelo matemático poderá sofrer ajustes, através da correção dos parâmetros 
envolvidos, e o projeto poderá sofrer mudanças até mesmo de sua concepção original, 
dependendo do comportamento dinâmico (resposta do sistema) observado durante os ensaios. 
Definido o modelo matemático, usa-se algum principio da dinâmica para obter as 
equações que descrevem a vibração do sistema. As equações do movimento podem ser 
obtidas convenientemente desenhando-se os diagramas de corpo-livre de todas as massas 
envolvidas. O diagrama de corpo-livre de massa pode ser obtido isolando-se a massa e 
indicando-se todas as forças aplicadas externamente, as reações de força, e as forças de 
inércia. As equações do movimento de um sistema vibrando normalmente estão na forma de 
equações diferenciais ordinárias para um sistema discreto e equações diferenciais parciais 
para um sistema contínuo. Tais equações podem ser obtidas através da segunda lei de 
movimento de Newton, ou pelo princípio de d'Alembert, ou ainda, empregando o princípio da 
conservação de energia. 
A partir da definição das equações de acordo com a natureza do problema analisado 
pode-se utilizar uma das seguintes técnicas para encontrar a solução: método padrão de 
resolução de equações diferenciais, Transformada de Laplace, métodos da matriz, e métodos 
numéricos. Se as equações de movimento forem não-lineares, elas raramente podem ser 
resolvidas de forma fechada. Além disso, a solução de equações diferenciais parciais é mais 
complexa do que a de equações diferenciais ordinárias. Métodos numéricos computacionais 
podem ser usados para resolver as equações (RAO, 1996). 
Da solução das equações para um sistema sob vibração são obtidos os resultados em 
termos de deslocamentos, velocidades e acelerações, a partir dos quais é possível ser feita 
uma análise final do modelo em questão. Desta forma a análise de vibrações pode seguir o 
fluxograma apresentado na Figura 9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9. Fluxograma representativo de uma análise dinâmica. 
 
 
Estrutura real sob 
vibração 
Modelo Idealizado da 
Estrutura 
Modelo Físico 
(Análise Experimental) 
Modelo Teórico 
(Analítico e/ou Numérico) 
Equações e Soluções 
(Analítico e/ou Numérico) 
Resultados Finais 
 11 
1.6. MODELO MECÂNICO EQUIVALENTE 
 
 Um sistema mecânico ou estrutural sob vibrações pode ser constituído por um meio do 
qual parte da energia total é armazenada sob a forma de energia potencial, um meio em que 
parte é armazenada sob a forma de energia cinética e um meio em que parte dessa energia é 
perdida, no caso do sistema ser amortecido. 
 Em geral as deformações elásticas que o sistema sofre durante os períodos de 
vibrações, representam o meio pelo qual a energia potencial é armazenada, por isso, costuma-
se representar esse meio por uma mola equivalente, sendo a rigidez a característica do sistema 
na qual este resiste a essas deformações. Porém, este não é o único meio, como pode ser 
observado pelo clássico exemplo do pêndulo simples ou pêndulo de Galileu, Figura 8, cuja 
energia potencial é armazenada através da posição que a massa ocupa em um determinado 
tempo. 
 Em geral a energia é perdida através do atrito que ocorre entre o corpo e o meio no 
qual este está em movimento, tal como, um fluido (ar, água). Uma outra forma de dissipação 
de energia para corpos deformáveis é através da deformação que estes sofrem através do 
movimento interno, produzindo dissipação de energia na forma de calor. Uma forma de 
representar esta dissipação é através de um amortecedor. 
Para complementar, deve-se observar que a energia cinética é determinada através do 
movimento do corpo, sendo assim, o terceiro elemento constitutivo do modelo é a massa do 
sistema, tendo em vista que a energia cinética de movimento é proporcional a esta. 
 Assim, uma forma de representar um sistema estrutural ou mecânico em vibração é 
através de um modelo mecânico equivalente composto por molas, representado as rigidezes, 
amortecedores, representando representação a emergia perdida, e as massas, representando as 
diversas massas do sistema. A Figura 10 mostra o modelo mecânico equivalente para um 
sistema de um simples grau de liberdade. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10. Sistema massa-mola-amortecedor (Sistema Mecânico Equivalente). 
 
1.6.1. COMPONENTES DO MODELO MECÂNICO EQUIVALENTE 
 
MOLA 
 
 Sendo a rigidez de um sistema mecânico equivalente representado por um elemento de 
mola, assumi-se que esta não possui massa e nem amortecimento. Para este elemento uma 
força é desenvolvida quando há deslocamento relativo entre suas extremidades. Considera-se 
que a força desenvolvida na mola é proporcional a esse deslocamento relativo, também 
conhecido por deformação: 
 
 F = kx (1.1) 
 
k 
c 
x 
m 
 12 
sendo F a força desenvolvida, k a rigidez e x o deslocamento relativo ou deformação no 
elemento mola. 
 Por sua vez, a energia potencial armazenada durante a deformação do elemento mola é 
determinado pela expressão: 
 
 
2
kx
U
2
 (1.2) 
 
 Deve-se observar que em molas reais a força não é proporcional à deformação, 
portanto, são elementos não-lineares, seguem a equação (1.1) somente até certo ponto, em 
geral para pequenas deformações. Sendo assim, pode-se considerar como válida a equação 
(1.1), desde quese tenham pequenas deformações. 
 Um elemento elástico pode ter sua rigidez representada como uma mola, um exemplo 
disso é de uma viga engastada com uma massa concentrada em sua extremidade livre, ver 
Figura 11. Assumindo que a massa da viga é desprezível em relação à massa concentrada 
pode-se determinar uma constante k de uma mola equivalente a rigidez desse elemento. 
Assim, da resistência dos materiais, a deformação estática na extremidade provocada por uma 
força concentrada F é definida por: 
 
EI3
PL3
e  (1.3) 
 
sendo e a deformação elástica produzida por uma força P aplicada na extremidade livre de 
uma viga engastada l, E o módulo de elasticidade longitudinal do material (Módulo de 
Young) e I o momento de inércia de área da seção transversal da viga. 
Desta forma pode-se determinar a constante da mola através da expressão: 
 
 
3
e L
EI3P
k 

 (1.4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11. (a) Viga engastada com massa concentrada e (b) modelo mecânico equivalente. 
 
 
 Em muitas aplicações práticas, várias molas lineares podem ser usadas em 
combinação. Estas molas podem ser combinadas em uma única mola equivalente. 
y 
y 
x 
P = MT g 
MT 
L 
EI = Rigidez a flexão 
(a) 
l0 
yT (t) y(t) 
y 
Mola 
3
L
3EI
k  
Amortecedor 
 
c 
Massa 
 
MT 
(b) 
 13 
 Se várias molas são conectadas em paralelo como as duas molas mostradas na Figura 
12(a), quando uma força F é aplicada em suas extremidades, Figura 12(b), as molas se 
deformam da mesma quantidade e. Do equilíbrio estático mostrado na Figura 12(c) é obtida a 
expressão: 
 
21 FFF  
e2e1 kkF  (1.5) 
 
onde k1 e k2 são as constante de cada mola. 
 Considerando agora, uma mola equivalente de constante keq, que apresente a mesma 
deformação para a mesma força aplicada F, a equação (1.5) pode ser reescrita na forma: 
 
 e2e1eeq kkk  
 21eq kkk  (1.6) 
 
 Generalizando para n molas em paralelo: 
 
 n21eq k...kkk  (1.7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 12. Representação de uma associação de molas em paralelo. 
 
Por outro lado as molas são conectadas em série, tal como as duas molas mostradas na 
Figura 13(a), quando uma força F é aplicada na extremidade de uma das molas, pelo princípio 
de ação e reação, a mesma força é aplicada na extremidade da outra mola, Figura 13(c). Como 
as molas possuem constantes diferentes, as deformações sofridas por cada uma delas também 
serão diferentes – Figura 13(b), portanto, a deformação total experimentada pelo sistema será 
a soma das deformações de cada mola. 
Assim, para uma mola equivalente cuja deformação sofrida após a aplicação de uma 
força F é a mesma experimentada pelo sistema, podem ser expressas as seguintes igualdades: 
 
 eeq2211 kkk  (1.8) 
ou ainda, 
e 
k1 k2 k1 k2 keq 
F F 
k2 e k1 e keq e 
e 
 14 
 
1
eeq
1
k
k 
 e 
2
eeq
2
k
k 
 (1.9) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 13. Representação de uma associação de molas em série. 
 
 Por outro lado, como observado anteriormente, a deformação total do sistema é dada 
por: 
 
 21st  (1.10) 
 
 Assim, substituindo as deformações definidas pela equação (1.9) na equação (1.10): 
 
 
2
steq
1
steq
st
k
k
k
k 


 (1.11) 
 
Portanto, a expressão para a constante da mola equivalente pode ser definida por: 
 
 
21eq k
1
k
1
k
1
 (1.12) 
 
 Generalizando para n molas em série: 
k1 
k2 
F 
2 
k1 
k2 
e 
1 
keq 
F 
keq e 
F 
k2 
k1 
F 
F 
 15 
 
 
n21eq k
1
...
k
1
k
1
k
1
 (1.13) 
 
 Como exemplo de associação de molas, pode-se analisar o pórtico mostrado na Figura 
14. Considerando-se a viga horizontal de inércia muita grande em relação aos pilares, pode-se 
considerá-la rígida. Adotar E = 25 MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14. (a) Pórtico com viga horizontal rígida, (b) com a posição de equilíbrio deformada 
 após aplicação de uma força F. Dos diagramas de corpo livre (c) e (d), observa-se 
 que o sistema pode ser representado pela associação de molas em paralelo (d). 
 
 De acordo com as deformações e as forças que surgem devido a uma força aplicada 
sobre a viga rígida, Figura 14.c., observa-se que pela condição de viga rígida a deformação 
em ambos os pilares deve ser igual, Além disso, como as dimensões dos pilares podem ser 
diferentes as rigidezes também serão diferentes, como consequência, as forças em ambos 
serão diferentes. Estas características indicam um sistema equivalente de duas molas 
associadas em paralelo. Desta forma, a mola equivalente do sistema será dada por: 
 
 keq = k1 + k2 
 
45 cm 
20 cm 
3 m 
e e 
F 
(a) (b) 
e e 
F2 F1 
(c) 
F 
F2 F1 
F 
F2 
F1 
F 
k1 
k2 
(d) 
 16 
onde: 
 k1 = k2 = L
3/3EI (os pilares possuem as mesmas dimensões) 
 
 Desta forma, a mola equivalente é definida pela expressão: 
 
 Keq = 2L
3/3EI 
 
 Sendo: 
 
 I = bh3/12 = 0,2*(0,45)3/12 = 0,00151875 m4 
 E = 25*106 N/m² 
 
 Logo, 
 
 Keq = 2*(3,00)3/3*25*106*0,00151875 
 Keq = 0,00593 m 
 Keq = 5,93 mm 
 
 No exercício anterior admite-se que a ligação entre a viga e o pilar permite a rotação 
relativa entre eles, portanto, os pilares deverão se deformar como vigas engastadas em uma 
extremidade e livre na outra, sendo a rigidez dos pilares aquela definida no exemplo. Por 
outro lado, se a ligação entre viga e o pilar também é rígida, de tal forma que não há rotação 
relativa ente eles, os pilares irão se comportar a deformação como vigas bi-engastadas, sendo 
a rigidez de cada pilar para este caso definida pela expressão 12L3/EI. 
 
MASSA OU ELEMENTO DE INÉRCIA 
 
 Admite-se que o elemento de massa ou de inércia é um corpo rígido, portanto, sem 
deformação. Vale salientar que a rigidez já é considerada quando da análise do elemento 
mola. Além disso, a massa pode ganhar ou perder energia cinética à medida que sua 
velocidade varia. Deve-se lembrar que o produto da massa por sua aceleração é igual à força 
resultante aplicada sobre esta. 
 Assim como foi observado no caso das molas, uma associação de massas pode ser 
substituída por uma única massa a qual produz o mesmo efeito de translação ou rotação do 
conjunto de massas, esta única massa é chamada de massa equivalente. Para exemplificar, 
considera-se os dois sistemas de massas fixadas sobre suportes girando em torno de um pino 
articulado conforme mostrado na Figura 15. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 15. Representação de um (a) sistema de duas massas e de massa equivalente (b). 
(a) (b) 
m1 m2 
L1 
L2 
v1 
v2 
 
meq 
Leq 
v’ 
 
 17 
 
 Observando-se o sistema mostrado na Figura 15.a., pode-se substituir todas as massas 
por uma única massa equivalente, Figura 15.b., de tal forma que a energia cinética produzida 
pelas massas seja igual aquela produzida pela massa equivalente. Como o suporte é o mesmo, 
a velocidade angular é a mesma em ambos os sistemas, portanto, podem ser obtidas as 
seguintes relações: 
 
  = v1/L1 = v2/L2 = v’/Leq 
 
Ou ainda: 
 
 v1 = v’ L1/Leq ( I ) 
 
 v2 = v’ L2/Leq (I I) 
 
 
Da condição da energia cinética ser a mesma em ambos os sistemas tem-se: 
 
 meqv’
2/2 = m1v1
2/2 + m2v2
2/2 
 
 meq = m1 (v1/v’)
2 + m2 (v2/v’)
2 (III) 
 
Considerando-se as relações ( I ) e (II), a expressão para a massa equivalente do 
sistema mostrado na Figura 15.a. assume a forma: 
 
 meq = m1 (L1/Leq)
2 + m2 (L2/ Leq)
2 (IV) 
 
 
Deve-se observar que a massa equivalente pode ser colocada em qualquer posição do 
suporte. Sendo assim, duas posições são de interesse. A primeira na posição da primeira 
massa (Leq = L1) e a segunda na posição da segundamassa (Leq = L2). 
No primeiro caso: 
 
 meq = m1 + m2 (L2/ L1)
2 
 
No segundo caso: 
 
 meq = m2 + m1 (L1/ L2)
2 
 
 
AMORTECIMENTO 
 
 Diversos são os fatores que contribuem para a perda de energia durante o movimento 
de um sistema e em geral, a dissipação de energia produz calor, o que se traduz em aumento 
de temperatura do sistema. Em alguns casos além do calor parte da energia também é 
convertida em som. No modelo mecânico equivalente admite-se que o meio no qual se dá esta 
perda, o amortecimento, representado por um amortecedor, não possui massa e nem rigidez, 
ambas as propriedades já são consideradas através dos elementos massa e mola 
respectivamente. Como é difícil a determinação do amortecimento em sistemas práticos, para 
modelagem dessa propriedade admitem-se os seguintes modelos: 
 18 
 Amortecimento viscoso. O amortecedor viscoso é muito comumente utilizado na 
análise de vibração de mecanismo amortecido. Quando sistemas mecânicos vibram em um 
meio fluido como ar, gás, água, e óleo, a resistência oferecida pelo fluido ao corpo produz 
dissipação de energia. Neste caso, a quantidade de energia dissipada depende de muitos 
fatores, os quais podem ser citados: 
1. em relação ao corpo - o tamanho, a velocidade e a forma do corpo, quando 
este se movimenta no fluido; 
2. em relação ao fluido – da sua viscosidade; 
3. do movimento - da frequência de vibração do corpo. 
No amortecimento viscoso, a força de amortecimento é proporcional à velocidade do 
corpo em vibração. 
 Amortecimento de Coulomb. Para este caso a força amortecedora é constante na 
magnitude, mas em direção oposta ao movimento do corpo em vibração. Este amortecimento 
surge devido ao atrito entre superfícies que estão secas ou têm lubrificação insuficiente. 
 Amortecimento Histerético. Quando materiais são deformados, a energia é absorvida 
ou dissipada pelo material. O efeito se dá devido ao atrito entre as superfícies internas do 
corpo, as quais apresentam deslocamentos internos quando as deformações acontecem. 
 As estruturas em geral apresentam amortecimento viscoso e histerético, relativo as 
deformações sofridas durante a vibração. Como o segundo tipo é de modelagem mais 
complexa, admite-se para o modelo mecânico equivalente que o amortecimento estrutural é 
somente do tipo viscoso, portanto, proporcional a velocidade do sistema, o que conduz a uma 
equação de movimento com solução mais simplificada. 
 
 
 
 19 
2. VIBRAÇÃO LIVRE DE UM SISTEMA DE SIMPLES GRAU DE LIBERDADE 
 
2.1. VIBRAÇÃO LIVRE 
 
 Quando um sistema, após uma perturbação inicial entra em movimento sem qualquer 
força externa atuando, diz-se que este sistema está sob vibração livre. O pêndulo simples 
mostrado na Figura 7 é um exemplo de vibração livre. 
A Figura 16.a. mostra o modelo mecânico mola-massa do sistema vibratório mais 
simples, aquele de um grau de liberdade. Como não há nenhuma força externa aplicada à 
massa, o movimento resultante da uma perturbação inicial será uma vibração livre. Além do 
mais, quando não há nenhum elemento que cause dissipação de energia durante o movimento 
da massa, a amplitude do movimento permanece constante com o tempo; é um sistema não 
amortecido. Na prática, com exceção do vácuo, a amplitude da vibração livre diminui 
gradualmente com o passar do tempo, devido à resistência oferecida pelo meio externo (ar), 
desta forma, as vibrações usualmente encontradas são as amortecidas. Porém, como a 
vibração livre é mais fácil de ser analisada e os conceitos básicos envolvidas em sua análise 
serviram de base para o estudo das vibrações amortecidas, a análise de sistemas em viração 
livre é de fundamental importância para compreensão dos fenômenos envolvendo as 
vibrações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16. (a) Sistema mecânico equivalente na posição de equilíbrio e (b) em 
 movimento com deslocamento em relação a posição de equilíbrio. 
 
 
Vários sistemas mecânicos e estruturais podem ser idealizados como sistemas de um 
único grau de liberdade. Na maioria dos casos, estes sistemas práticos possuem a massa 
distribuída, mas para uma análise simplificada, esta pode ser aproximada a um único ponto de 
massa. De modo semelhante, a rigidez do sistema encontra-se distribuída ao longo do sistema 
e pode ser idealizada como uma única mola. Assim, para uma análise simplificada de 
vibração não-amortecida, o sistema pode ser idealizado como um sistema mola-massa de um 
único grau de liberdade. 
Estruturas reais idealizadas como um sistema de um grau de liberdade são encontradas 
com relativa frequência diariamente, são exemplos típicos as torre de transmissão e os 
reservatórios elevados (Figura 17). 
 
k 
c 
m m k 
c 
x . 
x
 
.. 
x
 
(a) (b) 
 20 
 
 
Figura 17. Exemplos de estruturais reais que podem ser modeladas com um grau de liberdade. 
 
O modelo estrutural para a análise das deformações produzidas por um deslocamento 
qualquer e consequentemente para determinação da rigidez, pode ser aquele considerando a 
torre como uma viga engastada fixa ao chão. Para o estudo da vibração transversal, a massa 
na extremidade superior pode ser considerada como uma massa concentrada e a estrutura de 
sustentação, representada por uma viga vertical, pode ser aproximada a uma mola, de modo 
que se tem um modelo de um único grau de liberdade, conforme mostrado na Figura 18. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 18. (a) Modelo estrutural e (b) mecânico equivalente para as estruturas da Figura 17. 
 
 
2.2 VIBRAÇÃO LIVRE DE UM SISTEMA TRANSLACIONAL NÃO AMORTECIDO 
 
 Se o sistema é sem amortecimento o modelo mecânico equivalente é aquele mostrado 
na Figura 18.1. Para determinar a equação que descreve o movimento diversos métodos 
podem ser adotados, particularmente, no presente texto, dois métodos são escolhidos: a 
Segunda Lei de Newton e o método de energia. Tal escolha reside no fato que são métodos 
simples e com aplicação em um grande faixa de problemas encontrados na Engenharia 
envolvendo vibrações. Porém, deve ser ressaltado que através de outros métodos, tais como, o 
princípio de D’Alambert ou dos Trabalhos Virtuais (PTV), chega-se a mesma equação. 
 
x(t) 
m 
m 
k 
x (t) 
.. 
x (t) 
(a) (b) 
 21 
Para a dedução da equação de movimento de um sistema a partir da segunda lei de 
Newton, deve-se definir inicialmente uma coordenada que possa descrever de forma 
satisfatório a posição em qualquer instante de tempo da massa ou do corpo rígido, no segundo 
caso, em geral, com relação ao centro de gravidade. Deve-se observar que no caso do 
movimento linear é escolhida uma coordenada linear que deverá ser medida de um referencial 
até o ponto da massa concentrada ou o centróide do corpo rígido. Para o movimento angular, 
mede-se a partir de um referencial o ângulo entre este e o ponto de massa ou o centróide do 
corpo rígido, esta medida é a chamada de coordenada angular. Definida a coordenada, 
determina-se a configuração de equilíbrio estático do sistema e o deslocamento da massa ou 
do corpo rígido em movimento a partir dessa posição. Em seguida a partir do diagrama de 
corpo livre (DCL) da massa ou do corpo rígido, aplica-se a Segunda Lei de Newton levando-
se em consideração todas as forças que aparecem no diagrama de corpo livre. Desta forma 
chega-se a equação de movimento. A seguir é mostrado um diagrama do procedimento 
descrito acima (Figura 19). 
 
Seleciona-se uma
coordena satisfatória para
descrever a posição da
massa.
Determina-se a
configuração de equilibrio
estático
Determina-se o
deslocamento sofrido pela
barra.
Desenha-se o diagrama
de corpo-livre
INICIO
FIM
Indica-se todas as força
de reação atuantes
Aplica-se a segunda Lei
de Newtom a massa em
estudo.
 
 
Figura 19. Diagrama do procedimento empregando a Segunda Lei de Newton. 
 22 
A Segunda Lei de Newton relaciona a taxa de mudança de movimento de umamassa 
com a força que nela atua. Assim, se a massa m sofre um deslocamento x(t) devido à ação de 
uma força resultante na mesma direção, a segunda Lei de Newton pode ser escrita como: 
 
 
 (2.1) 
 
No caso da massa constante, tem-se: 
 
 (2.2) 
 
 Sendo a aceleração de translação do corpo. Se o corpo sofre movimento rotacional a 
Segunda Lei de Newton pode ser escrita como: 
 
 (2.3) 
 
 Onde M é o momento resultante de todas as forças em relação ao ponto de rotação do 
corpo rígido e é a aceleração angular do corpo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 20. (a) Sistema de um grau de liberdade com (b) DCL. 
 
 Tomando-se como exemplo o modelo mecânico equivalente com um grau de liberdade 
em movimento, mostrado na Figura 20.a., observa-se que a única força atuante sobre a massa 
é a da mola, a equação (2.2) para um deslocamento positivo x da posição de equilíbrio torna-
e: 
 
 (2.4) 
 
 (2.5) 
 
 A equação (2.5) resultante é a equação de vibração para um sistema de um grau de 
liberdade. É o caso mais simples de vibração. 
 No método de energia, utiliza-se o principio de conservação de energia, o qual é 
empregado em um sistema conservativo, isto é, um sistema em que durante o movimento 
vibratório não perda de energia. Desta forma, a energia total, soma da energia cinética e 
energia potencial deve se manter constante para qualquer instante de tempo. Assim: 
 
 Energia Cinética + Energia Potencial = Constante 
 
 T + U = Constante 
m d 
dt 
F = 
dx 
dt 
=
 
m F = 
d2x 
dt2 
x 
.. 
x 
.. 
m 
.. 
M = θ J 
θ 
.. 
m 
k 
x (t) 
.. 
x (t) 
m 
.. 
x (t) 
kx 
(a) (b) 
F = - kx = m x 
.. 
m + kx = 0 x 
.. 
 23 
 
 Considerando-se que a energia potencial armazenada na mola é aquela mostrada na 
equação (1.2), a energia cinética definida por: 
 
 (2.5) 
 
 Logo, no sistema conservativo, a derivada da energia total deverá ser nula. Portanto: 
 
 
 
 
 
 (2.7) 
 
 Como o sistema está em movimento, observa-se que para um instante de tempo 
qualquer em que ocorram simultaneamente ambas as energias, a velocidade não poderá ser 
nula, portanto, para que a equação (2.7) seja atendida é necessário que o termo em parênteses 
assuma um valor nulo. Então: 
 
 
 
 A equação acima é a idêntica àquela obtida através da Segunda Lei de Newton. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 21. Sistema massa-mola na vertical. 
 
 Agora considerando um sistema massa-mola na vertical, conforme mostrado na Figura 
21.a., de acordo com o diagrama de corpo livre (DCL) na posição de movimento (Figura 
21.c.), para um deslocamento vertical positivo x, aplica-se a Segunda Lei de Newton de modo 
que é obtida a seguinte relação: 
 
 (2.8) 
 
Da posição de equilíbrio estático, Figura 21.b., tem-se: 
T = 
x2 
. 
m
 2
 
d 
dt 
d 
dt 
( T + U ) = 
kx2 
 2 
m 
 2 
x2 
+ = 0 
. 
x (kx+ mx ) = 0 
.. . 
m + kx = 0 x 
.. 
k 
m 
mg – k [ x + e ] = mx 
.. 
mg 
e 
k 
m 
x(t) 
mg 
k 
m m 
mg 
k [ x(t) + e ] 
mg 
m 
k e 
(a) (b) (c) 
kxx + mxx = 0 
. .. . 
 24 
 
 (2.9) 
 
 Substituindo-se a relação anterior na equação (2.8) tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 Da última relação, conclui-se que ao se considerar a vibração a partir da posição 
deformada de equilíbrio estático, a equação de movimento obtida é a mesma daquela definida 
sem levar em consideração forças estáticas atuantes no sistema. Portanto, para análise de 
vibrações, as equações de movimento de um determinado sistema podem ser estabelecidas 
sem a necessidade da consideração das forças estáticas atuantes, se tais equações forem 
definidas a partir da posição deformada de equilíbrio estático desse sistema. 
 
2.2.1. SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE MOVIMENTO 
 
Do cálculo de equações diferenciais sabe-se que a equação (2.5) pode ser resolvida 
assumindo-se uma solução na forma: 
 
stCe)t(x  (2.10) 
 
onde C e s são constantes a serem determinadas de acordo com as condições do problema. 
Substituindo-se a equação (2.10) na equação (2.5) tem-se: 
 
0)kms(C 2  
 
Para uma solução não-trivial, a constante C deverá assumir um valor diferente de zero. 
Logo, a única solução possível é: 
 
0kms2  (2.11) 
 
consequentemente, 
 
n
2
1
i
m
k
s 





 (2.12) 
 
onde 2
1
)1(i  e 
 
2
1
n
m
k






 (2.13) 
 
A equação (2.11) é conhecida com equação auxiliar ou equação característica da 
equação diferencial (2.5). Os dois valores de s dados pela equação (2.12) são as raízes da 
mg = ke 
ke – k [ x + e ] = mx 
.. 
– kx = mx 
.. 
m + kx = 0 x 
.. 
 25 
equação característica, também conhecidos como autovalores ou valores característicos do 
problema. Considerando-se que ambos os valores de s satisfazem a equação (2.12), a solução 
geral da equação (2.5) pode ser expressa como: 
 
ti
2
ti
1
nn eCeC)t(x

 (2.14) 
 
onde C1 e C2 são constantes. Usando-se a identidade: 
 
tsen itcose ti  
 
A eq. (2.15) pode ser reescrita como: 
 
tsenAtcosA)t(x n2n1  (2.15) 
 
onde A1 e A2 são novas constantes. As constantes C1 e C2 ou A1 e A2 podem ser determinadas 
a partir das condições iniciais do sistema. Para analisar estas constantes faz-se necessário 
especificar duas condições iniciais. O número de condições a se especificar é igual à ordem da 
equação diferencial estudada. No presente caso, se os valores do deslocamento x(t) e da 
velocidade )t)(dt/dx()t(x  são especificados como xo e 0x para t = 0, tem-se, da equação 
(2.15) que: 
 
01 xA)0t(x  (posição inicial) (2.16) 
02n xA)0t(x   (velocidade inicial) (2.17) 
 
Portanto, o1 xA  e no2 /xA   . Assim a solução da equação (2.5) considerando-se 
as condições iniciais especificadas a partir das equações (2.16) e (2.17) é definida por: 
 
tsen 
x
tcosx)t(x n
n
o
no 



 (2.18) 
 
As equações (2.15) e (2.18) são funções harmônicas variáveis com o tempo. O 
movimento é simétrico em relação à posição de equilíbrio da massa m. A velocidade é 
máxima e a aceleração é nula toda vez que a massa passa por esta posição. Na posição de 
deslocamento máximo, a velocidade é zero e a aceleração é máxima, caracterizando um 
movimento harmônico simples de tal forma que o sistema massa-mola é chamado de 
oscilador harmônico. O valor n, dado pela Eq. (2.13), representa a frequência natural de 
vibração do sistema, tendo em vista que o movimento descrito pelas equações (2.15) e (2.18) 
é um movimento oscilatório, ou seja, o movimento se repete em ciclos constantes de tempo. 
A equação (2.15) também pode ser expressa através de: 
 
  cosAA1 
 AsenA2 (2.19) 
 
onde A e  são as novas constantes que podem ser expressas em termos de A1 e A2: 
 
 26 
  amplitudexxAAA
2
1
2
n
o2
o
2
1
2
2
2
1 

















 
 















 
no
o1
1
21
x
x
tan
A
A
tan

 = ângulo de fase 
 
Substituindo a equação (2.19) na equação (2.15), tem-se que: 
 
)tcos(A)t(x n  (2.20) 
 
Utilizando-se as relações: 
 
 oo1 senAA  
oo2 cosAA  (2.21) 
 
A equação (2.16) pode ser expressa como: 
 
)t(senA)t(x ono  (2.22) 
 
onde: 
 
2
1
2
n
o2
oo
x
xAA

















 (2.23) 
 
e 
 







 
 
o
no1
o
x
x
tan

 (2.24) 
 
A Figura 27(a) mostra a representação gráfica de uma oscilação harmônica. Sendo A

 
um vetor de magnitude A que forma um ângulo  tn com o eixo vertical (x), a solução da 
equação (2.20) é a projeção do vetor A

 no eixo x. As constantesA1 e A2 da equação (2.15), 
dadas pela equação (2.19), são meramente componentes retangulares de A

 ao longo de dois 
eixos ortogonais formando ângulos  e 








2
 em relação ao vetor A

 O ângulo  tn 
aumenta linearmente com o tempo de tal forma que o diagrama sofre rotação no sentido anti-
horário com velocidade angular n. Assim, a projeção de A

 sobre o eixo x varia 
harmonicamente de forma que o movimento se repete toda vez que o vetor A

 completa um 
ângulo de 2. A projeção de A

, isto é x(t), mostrada na Figura 27 (b) é função do tempo. O 
ângulo de fase  é o ângulo entre a origem e o primeiro pico. 
 
 27 
 
 
Figura 22. Representação gráfica da oscilação harmônica. 
Fonte: RAO (1996) 
 
 A partir destas características pode-se observar os seguintes aspectos de um sistema 
massa-mola: 
 
1. Se o sistema massa-mola está em uma posição vertical, conforme mostrado na 
Figura 26(a), sua frequência natural circular é dada por: 
 
2
1
n
m
k






 (2.25) 
 
A partir da equação (2.9) é possível expressar a constante da mola k em função da 
massa m como: 
 
ee
mgW
k



 (2.26) 
 
Substituindo-se a equação (2.26) na equação (2.14) tem-se que: 
 
2
1
e
n
g









 (2.27) 
 
A partir da equação (2.27) duas grandezas fundamentais podem ser definidas, a 
frequência natural e o período natural, as quais são obtidas pelas relações: 
 
2
1
e
n
g
2
1
f 








 (2.28) 
2
1
en
n
g
 2
f
1
T 








 (2.29) 
 
 A frequência natural pode ser definida como o número de ciclos de movimento em um 
intervalo de tempo, em geral medida em ciclos/seg (Hz) ou rotações por minuto (RPM). 
 28 
 Por sua vez, o período natural pode ser definido como o tempo necessário para 
complementar um ciclo de movimento, em geral medido em segundos. 
 Das equações (2.28) e (2.29) observa-se que quando uma massa em vibração estiver 
posicionada em uma direção vertical, pode-se calcular a frequência natural e o período de 
vibração medindo-se simplesmente a deformação estática e. Não é necessário conhecer a 
rigidez da mola k e a massa m. 
 
2. A partir da equação (2.20), a velocidade )t(x e a aceleração )t(x da massa m em 
um tempo qualquer t são dadas por: 
 





 

2
tcosA)t(Asen)t(
dt
dx
)t(x nnnn 
 
  tcosA)tcos(A)t(
dt
xd
)t(x n
2
nn
2
n2
2
 (2.30) 
 
Observa-se a partir da equação (2.30) que a velocidade conduz a um deslocamento /2 
e a aceleração conduz a um deslocamento . 
 
3. Se o deslocamento inicial (x0) é zero, tem-se pela equação (2.20): 
 
tsen
x
2
tcos
x
)t(x n
n
o
n
n
o 






 




 (2.31) 
 
Por outro lado, se a velocidade inicial )x(  é zero, tem-se que: 
 
tcosx)t(x no  (2.32) 
 
4. A resposta de um sistema de um simples grau de liberdade pode ser representada no 
plano deslocamento (x) - velocidade ( x ), conhecido como plano de fase. Para isto considera-
se o deslocamento e a velocidade dados pela equação (2.20): 
 )tcos(A)t(x n  
 
ou 
 
A
x
)tcos( n  (2.33) 
)t(senA)t(x nn  
 
ou 
 
A
y
A
x
)t(sen
n
n 



 (2.34) 
 
onde n/xy   . Somando-se as equações (2.33) e (2.34) e elevando-se os termos ao 
quadrado, obtém-se: 
 
 29 
1)t(sen)t(cos n
2
n
2  
 
ou 
 
1
A
y
A
x
2
2
2
2
 (2.35) 
 
O gráfico da equação (2.35) no plano (x, y) é um círculo, conforme mostrado na 
Figura 23(a), e constitui o plano de fase ou representação espacial de um sistema não 
amortecido. O raio do círculo, A, é determinado pelas condições iniciais de movimento. O 
gráfico da equação (2.35) no plano (x, x ) é uma elipse conforme mostrado na Figura 23(b). 
 
 
 
Figura 23. Gráfico do plano de fase. 
Fonte: RAO (1996) 
 
Para exemplificar a determinação de frequências naturais, considere o reservatório 
elevado mostrado na Figura 24. A coluna do reservatório tem 90 m de altura e é feita de 
concreto armado com uma seção transversal tubular de diâmetro interno 2,45 m e diâmetro 
externo 3,05 m. O reservatório com água possui um peso próprio de 2,67 x 106 N. Encontre a 
frequência natural de vibração transversal do reservatório desprezando a massa da coluna. 
 
 
 
 
Figura 24. Reservatório elevado em concreto. 
Fonte: RAO (1996) 
 
 30 
O reservatório de água pode ser considerado como uma viga engastada com uma carga 
concentrada (peso) na extremidade livre. A deformação transversal da viga,  , devido a uma 
carga P é determinado por 
EI3
Pl3
, onde l é o comprimento, E é o modulo de Elasticidade 
Longitudinal e I é o momento de inércia de área da seção transversal da viga. A rigidez da 
viga (coluna do tanque) é determinada por: 
 
3l
EI3P
k 

 
 
Para este caso, l = 90 m e E = 26,5 GPa: 
 
4444
i
4
0 m 4792,2)45,205,3(
64
)dd(
64
I 



 
 
e consequentemente 
 
kN/m 36,270
90
)4792,2( )10 x 5,26( 3
k
3
9
 
 
A frequência natural do tanque de água na direção transversal é determinada por: 
 
seg/rad 997.0
10 x 67,2
81,9 x10 x 36,270
m
k
6
3
n  
 
 
2.3. VIBRAÇÃO LIVRE DE UM SISTEMA TORSIONAL NÃO-AMORTECIDO 
 
Quando um corpo rígido oscila em torno de um eixo de referência específico, o 
movimento resultante é chamado de vibração torsional, Figura 25. Para este caso o 
deslocamento do corpo é medido através de uma coordenada angular. Em um problema de 
vibração torsional, o momento restaurador pode ser função de um membro elástico ou de um 
momento produzido por uma força ou par de forças. Sendo assim, 
 
l
GJ
M ot  (2.36) 
 
onde Mt é o torque que produz a torção , G é o modulo de elasticidade transversal, L é o 
comprimento do eixo, e Jt é o momento de inércia à torção da seção transversal do eixo. 
Empregando-se a Segunda Lei de Newton, para este caso tem-se: 
 
 (2.37) 
 
Sendo Jo o momento de inércia polar do corpo rígido fixado ao eixo de torção. Desta forma a 
equação (2.37) torna-se: 
 
 (2.38) 
 
.. 
Mr = - Mt = Joθ 
.. 
Joθ + 
GJo 
 L = 0 
 31 
 Ou ainda: 
 
 
 (2.39) 
 
 
 Considerando-se que a rigidez torsional do eixo é definida por 
 
 
 
a equação (2.39) pode ser reescrita na forma: 
 
 (2.40) 
 
 A equação anterior define o movimento de um sistema torsional em vibração. 
Observa-se que esta equação é semelhante àquela que define o movimento translacional do 
sistema massa-mola definido no item anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 25. Elemento estrutural sob ação de movimento torsional. 
 
 
Da mesma forma que no movimento translacional, pode-se definir a freqüência 
circular natural do sistema torsional através da expressão: 
 
2
1
0
t
n
J
k








 (2.41) 
 
Sendo o período e a freqüência de vibração em ciclos por segundo definidas por: 
 
2
1
t
0
n
k
J
2T 







 (2.42) 
2
1
o
t
n
J
k
2
1
f 








 (2.43) 
 
,  
.. 
Mt 
,  
.. 
Mt 
(a) (b) 
.. 
Joθ + 
GJoθ 
 Lθ = 0 
.. 
Joθ + kt θ = 0 
kt = 
GJo 
 Lθ 
 32 
Devem ser observados alguns aspectos deste sistema: 
 
1. se a seção transversal do eixo que apóia o corpo rígido não for circular, uma 
constante torsional apropriada deverá ser determinada. 
2. caso o corpo rígido seja um disco o momento polar de inércia é dado por: 
 
g8
WD
32
Dh
J
24
0 

 
 
onde  é a densidade de massa, h é a espessura, D é o diâmetro, e W é o peso do disco. 
 
2.3.1. SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE MOVIMENTO 
 
A equação (2.40) pode ser resolvida, como no caso da equação (2.5) considerando-se 
uma solução do tipo: 
 
tsinAtcosA)t( n2n1  (2.42) 
 
onde n, é determinadopela equação (2.41), e as constantes A1 e A2 determinadas a partir das 
condições iniciais. Considerando-se que: 
 
0)0t(  e 0)0t( 
 (2.43) 
 
as constantes A1 e A2 são: 
 
 01A  
n02 /A 
 
 
a equação (2.42) também pode ser utilizada para representar um movimento harmônico 
simples. 
 
2.3.2. PÊNDULO FÍSICO 
 
 Qualquer corpo rígido que gira em um ponto diferente de seu centro de massa oscila 
em torno deste ponto devido à ação da força gravitacional. Tal sistema é conhecido como 
pêndulo físico (Figura 26). Um corpo rígido oscilando devido à ação da gravidade em torno 
de um ponto qualquer, que não seja o seu centro de gravidade, pode ser idealizado como um 
sistema torsional de um simples grau de liberdade. 
Considera-se que o ponto O é o ponto de suspensão do pêndulo e que G é o centro de 
massa do pêndulo físico, conforme mostrado na Figura 26. Considera-se, ainda, que o corpo 
rígido oscila no plano xy de tal forma que a coordenada  possa ser utilizada para descrever 
seu movimento. Defini-se d como a distância entre O e G, e J0 como o momento de inércia do 
corpo em torno do eixo-z (perpendicular a x e y). 
 
 
 33 
 
 
Figura 26. Movimento de um pêndulo físico. 
Fonte: RAO (1996) 
 
Para um deslocamento , o torque restaurador devido ao peso do corpo W é dado por 
 
Mt = W d sen  (2.44) 
 
e a equação de movimento é: 
 
 0WdsenJo 
 (2.45) 
 
A equação acima é uma equação diferencial ordinária não-linear de segunda ordem. 
Embora seja possível determinar uma solução exata para esta equação, na maioria dos casos, 
as equações diferenciais não-lineares não possuem esta característica. Uma solução 
aproximada para a mesma pode ser encontrada através da utilização de um procedimento 
numérico ou ainda pode-se aproximá-la a uma equação linear cuja solução exata pode ser 
determinada facilmente. Ao utilizar-se o procedimento de aproximação da equação não-linear 
a uma equação linear, assume-se que os deslocamentos angulares sofridos são muitos 
pequenos, ou seja,  é pequeno de tal forma que sen . Assim, tem-se a equação linear: 
 
0 Wd Jo 
 (2.46) 
 
Portanto, a freqüência natural do pêndulo físico é dada por: 
 
2
1
0
2
1
o
n
J
mdg
J
Wd
















 
 
Comparando-se esta equação com a da freqüência natural de um pêndulo simples, 
2
1
n )l/g( , é possível determinar o comprimento equivalente do pêndulo simples: 
 
md
J
l o 
 
 34 
Substituindo-se Jo por 
2
0mk , onde k0 é o raio de rotação do corpo em torno do ponto O, 
tem-se: 
 
2
1
2
0
n
k
gd








 









d
k
l
2
0 
 
sendo kG o raio de rotação do corpo em torno do ponto G, tem-se: 
 
22
G
2
0 dkk  
 
e conseqüentemente: 
 








 d
d
k
l
2
G 
 
Estendendo-se a linha OG para o ponto A de tal forma que: 
 
d
k
GA
2
G 
 
tem-se: 
 
OAdGAl  
 
Portanto, n é determinada por: 
 
 
2
1
2
1
2
1
2
0
n
OA
g
l
g
d/k
g



















 
 
Observa-se a partir desta equação que, não importa se o corpo gira em torno do O ou do A, a 
freqüência natural é a mesma. O ponto A é chamado de centro de percussão. Os conceitos de 
pêndulo físico e centro de percussão podem ser utilizados em muitas aplicações práticas. 
 
2.4. CONDIÇÕES DE ESTABILIDADE 
 
A Figura 27(a) mostra uma barra rígida uniforme articulada em uma extremidade e 
conectada simetricamente por duas molas na outra. Considerando-se que a massa da barra é m 
e que as molas são indeformáveis quando a barra encontra-se na posição vertical, ao sofrer um 
deslocamento θ, a força em cada mola é sen kl e a força total devido às duas molas é 
sen kl2 . A força mgP  atua verticalmente para baixo no centro de gravidade, G. O 
momento em torno do ponto O devido a aceleração angular  é   )3/ml(J 20 . Assim a 
equação de movimento da barra, para a rotação em torno do ponto O, é: 
 
 35 
0sen 
2
l
Pcosl )sen kl2( 
3
ml2
 (2.47) 
 
 
 
Figura 27. Barra vertical articulada com molas na extremidade. 
Fonte: RAO (1996) 
 
Considerando-se pequenas oscilações, tem-se a partir da equação (2.47) que: 
 
0 
2
Pl
 kl2 
3
ml 2
2
 
ou ainda, 
 0 
ml2
Pl3kl12
 
2
2





 
 (2.48) 
 
O sinal do termo 22 ml2/)Pl3kl12(  influencia na solução da equação (2.48), 
conforme discutido a seguir: 
 
Caso 1. Quando (12kl2 – 3Pl)/2ml2 >0, a solução da Eq. (2.48) representa oscilações 
estáveis ou movimento estável, e pode ser expressa como: 
 
tsen AtcosA)t( n2n1  (2.49) 
 
onde A1 e A2 são constantes e 
 
2
1
2
2
n
ml2
Pl3kl12





 
 (2.50) 
 
Caso 2. Quando (12kl2 – 3Pl)/2ml2 = 0, a Eq. (2.48) reduz a 0 e a solução pode ser 
obtida diretamente integrando-se duas vezes: 
 
21 CtC)t(  (2.51) 
 36 
 
Considerando-se as condições iniciais 0)0t(  e 0)0t( 
 tem-se a solução: 
 
0t)t( 
 (2.52) 
 
A equação (2.52) mostra que o deslocamento angular aumenta linearmente a uma 
velocidade constante  . Porém, quando 0 , a equação (2.52) determina uma posição de 
equilíbrio estático com 0 que representa a permanência do pêndulo em sua posição 
inicial, definida por 0 , caracterizando um movimento indiferente. 
 
Caso 3. Quando (12kl2 – 3Pl)/2ml2 < 0, tem-se: 
 
2
1
2
2
ml2
kl12Pl3





 
 
 
assim, a solução da equação (2.48) será dada por: 
 
t
2
t
1 eBeB)t(
  (2.53) 
 
onde B1 e B2 são constantes. 
Considerando-se as condições iniciais 0)0t(  e 0)0t( 
 na equação (2.53), 
tem-se: 
 
    t0t0 ee
2
1
)t(    (2.54) 
 
Observa-se a partir da equação (2.54) que (t) aumenta exponencialmente com o 
tempo; consequentemente o movimento é instável, ou seja, o momento restaurador devido à 
mola )kl2( 2 , que tende a fazer com que o sistema volte para a posição de equilíbrio, é menor 
que o momento devido a gravidade   )2/l(P que tende a mover a massa para longe desta 
posição. Embora as condições de estabilidade consideradas aqui façam referência a Figura 27, 
condições semelhantes precisam ser examinadas na análise de vibração de muitos sistemas de 
engenharia. 
 
2.5. O MÉTODO DE RAYLEIGH 
 
Para determinar as frequências naturais de um sistema de um simples grau de 
liberdade, pode-se utilizar o método de energia. O princípio da conservação de energia, no 
contexto de um sistema vibratório não amortecido, pode ser definido como: 
 
2211 UTUT  (2.55) 
 
onde 1 e 2 delimitam um intervalo de tempo qualquer. Utiliza-se o sub-índice 1 para o tempo 
em que a massa estiver atravessando sua posição de equilíbrio estático, escolhendo-se U1 = 0 
como referência para a energia potencial. Quando o subscrito 2 indicar o tempo 
 37 
correspondente ao deslocamento máximo da massa, tem-se T2 = O. Assim, a equação (2.55) 
se torna: 
 
21 U00T  (2.56) 
 
Quando o sistema caracterizar um movimento harmônico, T1 e U2 definem os 
máximos valores de T e U, respectivamente, de tal forma que: 
 
Tmáx = Umáx (2.57) 
 
O emprego da equação (2.57) que também é conhecida como método de energia de 
Rayleigh permite determinar a frequência natural de um sistema diretamente. 
 
 
2.6 VIBRAÇÃO LIVRE COM AMORTECIMENTO VISCOSO 
 
A força de amortecimento viscoso F é proporcional à velocidade x e pode ser 
expressa como: 
 
x c F  (2.58) 
 
onde c é a constante de amortecimento ou coeficiente de amortecimento viscoso e o sinal 
negativo indica que a força de amortecimento é contrária à direção da velocidade. Aplicando-
se a segunda Lei de Newton ao sistema de um simples grau deliberdade com amortecimento 
viscoso mostrado na Figura 28 e considerando-se que x é medido a partir da posição de 
equilíbrio da massa m, tem-se: 
 
kx xc xm   
 
ou ainda, 
 
0kxxcxm   (2.59) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 28. Sistema de um grau de liberdade não amortecido. 
 
 
 
 
 
kx(t) 
m k 
c 
x . 
x
 
.. 
x
 
m 
.. 
x (t) 
. 
x (t) 
cx(t) 
. 
(a) (b) 
 38 
2.6.1. SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO 
 
A equação (2.59), possui uma solução na forma: 
 
stCe)t(x  (2.60) 
 
onde C e s são constantes a determinar. Substituindo esta solução na equação (2.59) obtém-se: 
 
0kcsms2  (2.61) 
 
As raízes da equação (2.61) são: 
 
m
k
m2
c
m2
c
m2
mk4cc
s
22
2,1 







 (2.62) 
 
Estas raízes fornecem duas soluções para a equação (2.59): 
 
ts
11
1eC)t(x  e 
ts
22
2eC)t(x  (2.63) 
 
Assim, a solução geral da equação (2.59) é determinada pela combinação das duas 
soluções x1(t) e x2(t): 
 
ts
2
ts
1
21 eCeC)t(x  
 
t
m
k
m2
c
m2
c
2
t
m
k
m2
c
m2
c
1
22
eCeC)t(x






























 (2.64) 
 
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas a partir das condições iniciais do 
sistema. 
 Constante de Amortecimento crítico e Taxa de Amortecimento. O amortecimento 
crítico cc é definido como o valor da constante de amortecimento c para qual o radical na 
equação (2.62) é zero: 
 
0
m
k
m2
c
2
c 





 
 
ou ainda, 
 
nc m2km2
m
k
m2c  (2.65) 
 
Para qualquer sistema amortecido, a taxa de amortecimento  é dada pela relação entre 
a constante de amortecimento e a constante de amortecimento crítico: 
 
cc/c (2.66) 
 
 39 
A partir das relações (2.66) e (2.65), tem-se: 
 
n
c
c m2
c
c
c
m2
c
 (2.67) 
 
e, portanto, 
 
  n22,1 1s  (2.68) 
 
Desta forma a solução da equação (2.66) é dada por: 
 
t1
2
t1
1
n
2
n
2
eCeC)t(x




 



 
 (2.69) 
 
A natureza das raízes s1 e s2, e consequentemente o comportamento da solução da 
equação (2.69), dependem da magnitude do amortecimento. Para o caso  = 0 têm-se 
vibrações não amortecidas já discutidas anteriormente, portanto, para a presente análise 
assume-se que   0 e consideram-se os seguintes casos: 
 
Caso 1. Sistema Sub-amortecido ( 1 ou ccc  ou m/km2/c  ). Nesta condição, 
 12  é negativo e as raízes s1 e s2 são: 
  n21 1is  
  n22 1is  
 
 consequentemente, a solução da equação (2.69), pode ser escrita de diversas formas: 
 
t1i
2
t1i
1
n
2
n
2
eCeC)t(x




 



 
 
  t1i2t1i1t n2n2n eCeCe   
     t1sinCCit1cosCCe n221n221tn   
  t1sinCt1cosCe n22'n21'tn   
    t1sinXe n2tn 
  0n2t0 t1coseX n   (2.70) 
 
onde (C’1, C’2), (X, ), e (X0,0) são constantes arbitrárias a serem determinadas a partir das 
condições iniciais do sistema. 
 Para as condições iniciais 0x)0t(x  e 0x)0t(x   , tem-se que: 
 
 0
'
1 xC  e 
n
2
0n0'
2
1
xx
C




 (2.71) 
 
e consequentemente: 
 
 40 













t1sen
1
xx
t1cosxe)t(x n
2
n
2
0n0
n
2
0
tn

 (2.72) 
 
As constantes (X, ) e (X0, 0) são dadas por: 
 
   2'2
2'
10 CCXX  (2.73) 
 '2'11 C/Ctan (2.74) 
 '1'210 C/Ctan   (2.75) 
 
O movimento descrito pela equação (2.72) é um movimento harmônico amortecido de 
frequência angular t1 n
2 , porém, devido ao fator 
tne

, a amplitude do movimento 
diminui exponencialmente com tempo, conforme mostrado na Figura 29. Assim, 
 
n
2
d 1  (2.76) 
 
é a frequência de vibração amortecida. Observa-se que a frequência de vibração amortecida 
d é sempre menor que a frequência natural não amortecida n. A variação da diminuição na 
frequência de vibração amortecida (dada pela equação 2.76) com a quantidade crescente de 
amortecimento. O caso de sistema sub-amortecido é muito importante no estudo de vibrações 
mecânicas, pois é o único caso que conduz a um movimento oscilatório. 
 
 
 
Figura 29. Solução para um sistema sub-amortecido. 
Fonte: RAO (1996) 
 
Caso 2. Sistema criticamente amortecido ( 1 ou ccc  ou m/km2/c  ). Para 
este caso as duas raízes s1 e s2 da equação (2.68) são iguais: 
 
n
c
21
m2
c
ss  (2.77) 
 
 
Assim, a solução da equação (2.59) é dada por: 
 
 41 
  t21 ne tCC)t(x

 (2.78) 
 
Aplicando-se as condições iniciais do sistema 0x)0t(x  e 0x)0t( x   , tem-se: 
 
 01 xC  
0n02 xxC   (2.79) 
 
 e consequentemente: 
 
   t0n00 ne txxx)t(x

  (2.80) 
 
Observa-se que o movimento descrito pela equação 2.80 é não-periódico. Quando 

 tne , t , o movimento diminui até cessar conforme mostrado na Figura 30. 
 
Caso 3. Sistema Super-amortecido ( 1 ou ccc  ou m/km2/c  ). Como 01
2  , 
as raízes s1 e s2 da equação (2.68) são reais e distintas: 
 
  0 1s n21  
  0 1s n22  
 
com s2 << s1. Para este caso, a solução da equação (2.69) é: 
 
t1
2
t1
1
n
2
n
2
eCeC)t(x




 



 
 (2.81) 
 
 
 
 
Figura 30. Comparação entre os movimentos com diferentes tipos de amortecimento. 
Fonte: RAO (1996) 
 
 42 
Para um sistema com condições iniciais 0x)0t(x  e 0x)0t( x   as constantes 
C1 e C2 são: 
 
 
12
x1x
C
2
n
0
2
n0
1




 
 
12
x1x
C
2
n
0
2
n0
2




 (2.82) 
 
A equação (2.81) mostra que o movimento é aperiódico independente das condições 
iniciais impostas ao sistema. Quando ambas as raízes, s1 e s2, são negativas, o movimento 
diminui exponencialmente com tempo. 
 
 
2.6.2. DECREMENTO LOGARÍTMICO OU DECAÍMENTO LOGARÍTMICO 
 
 O decremento logarítmico é definido como o logaritmo natural da relação entre 
quaisquer duas amplitudes sucessivas do movimento de um sistema vibratório, representando 
desta forma a taxa com a qual a amplitude de uma vibração amortecida decresce. Utilizando-
se a equação (2.70) é possível determinar a relação (2.83) considerando-se os tempos t1 e t2 
correspondentes a duas amplitudes sucessivas medidas após um ciclo de movimento, de um 
sistema sub-amortecido, conforme mostra a Figura 35: 
 
)tcos(eX
)tcos(eX
x
x
02d
t
0
01d
t
0
2
1
2n
1n





 (2.83) 
 
 
onde d12 Ttt  e dd /2T  é o período de vibração amortecida. Assim, 
     01d01d02d tcost2costcos  , e consequentemente a equação (2.83) 
torna-se: 
 
 
dn
d1n
1n
T
Tt
t
2
1 e
e
e
x
x 


 (2.84) 
 
 A partir da equação (2.84) tem-se que o decremento logarítmico  é dada por: 
 
m2
c2
1
2
1
2
x
x
ln
d
2
n
2
ndn
2
1 








 (2.85) 
 
 Para pequenos amortecimentos, tem-se que: 
 
 2 , caso 1 . (2.86) 
 
 A variação do decremento logarítmico  com a taxa de amortecimento  dadas pelas 
equações (2.85) e (2.86) são mostradas graficamente através da Figura 31, onde é possível 
observar que as curvas para valores de  até 0,3 são coincidentes. 
 43 
 O decremento logarítmico é adimensional e é uma forma de representar a taxa de 
amortecimento adimensional . Conhecendo-se  pode-se determinar  a partir da equação 
(2.85): 
 
  222 

 (2.87) 
 
e ainda, a partir da equação (2.86): 
 



2
 (2.88) 
 
 
 
Figura 31. Variação do decremento logarítmico com a taxa de amortecimento. 
Fonte: RAO (1996) 
 
 Quandoo amortecimento de um sistema não é conhecido, pode-se determiná-lo 
experimentalmente medindo-se dois deslocamentos sucessivos quaisquer x1 e x2. Com o 
logaritmo natural da relação entre x1 e x2 obtém-se  e em seguida, utilizando-se a equação 
(2.87), pode-se calcular a taxa de amortecimento . É possível ainda determinar a taxa de 
amortecimento  por meio da medição de dois deslocamentos separados por qualquer número 
de ciclos completos. Sendo x1 e xp+1 as amplitudes que correspondem aos tempos t1 e 
d11p T ptt  , respectivamente, onde p é um número inteiro, tem-se que: 
 
1p
p
4
3
3
2
2
1
1p
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

 (2.89) 
 
Considerando-se que dois deslocamentos sucessivos quaisquer separados por um ciclo 
de movimento satisfazem a equação 
 
 44 
dnT
1j
j
e
x
x


 (2.90) 
 
tem-se que: 
 
  dndn T pp T
1p
1 ee
x
x 

 (2.91) 
 
Utilizando-se as equações (2.91) e (2.85) tem-se: 
 









1p
1
x
x
ln
p
1
 (2.92) 
 
que pode ser substituído na equação (2.87) ou (2.88) para se obter a taxa de amortecimento 
viscoso . 
 
2.7. VIBRAÇÃO LIVRE COM AMORTECIMENTO COULOMB 
 
 Na análise de muitos sistemas mecânicos utilizam-se amortecedores de Coulomb ou 
fricção-seca (atrito) devido a sua simplicidade mecânica e conveniência. O amortecimento de 
Coulomb surge em estruturas sob vibração sempre que houver deslizamento relativo entre 
seus componentes. A lei de Coulomb diz que quando dois corpos entram em contato, a força 
exigida para produzir o deslizamento entre eles é proporcional à força normal que atua no 
plano de contato. Assim, a força de atrito F é determinada por: 
 
mgWNF  (2.93) 
 
onde N é a força normal e  é o coeficiente de atrito. A força de atrito atua em sentido 
contrário ao da velocidade. Quando a força de amortecimento independe do deslocamento e 
da velocidade, diz-se que o amortecimento Coulomb é constante, ou seja, depende somente da 
força normal N entre as superfícies deslizantes. 
A Figura 32(a) mostra um sistema de simples grau de liberdade com atrito seco. 
Considerando-se que a força de atrito varia com a direção da velocidade, têm-se dois casos 
conforme indicado nas Figuras. 32(b) e 32(c). 
 
 
 
Figura 32. Sistema massa-mola com amortecimento de Coulomb. 
Fonte: RAO (1996) 
 
 Caso 1. Quando x é positivo e dx/dt é positivo, ou quando x é negativo e dx/dt é 
positivo (a massa se move da esquerda para a direita caracterizando metade do movimento 
 45 
total). Aplicando-se a segunda Lei de Newton, de acordo com a Figura 40(b), tem-se a 
equação de movimento: 
 
Nkxxm  ou Nkxxm  (2.94) 
 
caracterizando uma equação diferencial de segunda ordem não-homogênea com solução: 
 
k
N
tsenAtcosA)t(x n2n1

 (2.95) 
 
onde m/kn  é a frequência de vibração, e A1 e A2 são constantes que dependem das 
condições iniciais do sistema considerando-se a metade do movimento (da esquerda para a 
direita). 
 Caso 2. Quando x é positivo e dx/dt é negativo, ou quando x é negativo e dx/dt é 
negativo (a massa se move da direita para a esquerda). Aplicando-se a segunda Lei de 
Newton, de acordo com a Figura 32(c), tem-se: 
 
x mNkx  ou Nkxx m  (2.96) 
 
com solução: 
 
k
N
tsenAtcosA)t(x n4n3

 (2.97) 
 
onde A3 e A4 são constantes que dependem das condições iniciais do sistema considerando-se 
a metade do movimento (da direita para a esquerda). O termo k/N que aparece nas 
equações (2.95) e (2.97) é uma constante que representa o deslocamento virtual da mola 
devido à força N. As equações (2.95) e (2.97) indicam que cada uma das metades do ciclo de 
movimento é harmônica, com mudança da posição de equilíbrio de k/N para  k/N em 
cada meio ciclo de movimento, conforme mostra a Figura 33. 
 
 
 
Figura 33. Movimento da massa com amortecimento Coulomb. 
Fonte: RAO (1996) 
 46 
 2.7.1. SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE MOVIMENTO 
 
Considerando-se as condições iniciais do sistema: 
 
0x)0t(x  
0)0t( x  (2.98) 
 
ou seja, quando t = 0 o sistema inicia o movimento da direita para a esquerda com velocidade 
zero e deslocamento xo. Sendo x = x0 e x0, x1, x2,... as amplitudes de movimento de meio-
ciclos sucessivos, as constantes A3 e A4 obtidas a partir das equações (2.97) e (2.98) são: 
 
k
N
xA 03

 e 0A4  
 
Substituindo-as na equação (2.97) tem-se: 
 
k
N
tcos
k
N
x)t(x n0






 
 (2.99) 
 
Esta solução só é válida para o meio ciclo, ou seja, para o intervalo n/t0  . 
Quando n/t  , a massa tem deslocamento máximo para esquerda (medido a partir da 
posição de equilíbrio), determinado por meio da equação (2.99) como: 
 





 







 









k
N2
x
k
N
cos
k
N
xtxx 00
n
1 (2.100.a) 
 
Considerando-se que o movimento começa com um deslocamento x = xo na metade do 
ciclo, o valor de x é   k/N2x 0  e a redução na magnitude de x no tempo n/ é 
k/N2 . 
 Na segunda metade do movimento, a massa se move da esquerda para a direita, de tal 
forma que, a equação (2.98) pode ser utilizada para determinar a resposta do sistema neste 
intervalo. As condições iniciais para esta segunda metade do movimento são: 
 
)0t(x  = valor de x para 
n
t


 na Eq. (2.100) = 




 

k
N2
x0 
 
e 
 
)0t(x  = valor de x para 
n
t


 na equação (2.100) 
0 tem tsin
k
N
xde valor)0t(x
n
n0n 













 
 
 
de tal forma que as constantes da equação (2.95) são: 
 
 47 
k
N3
xA 01

 e 0A2  
 
Portanto, 
k
N
tcos
k
N3
x)t(x n0






 
 (2.101.b) 
 
Esta equação só é válida para a segunda metade do movimento, ou seja, para o 
intervalo nn /2t/  . Ao término deste meio ciclo o valor de x(t) é: 
 









n
2 txx na Eq. (2.101.b) 
k
N4
x 0

 
 
e 
 









n
tx na Eq. (2.101.b) = 0 
 
assim, estas são as condições iniciais para o terceiro meio ciclo, e o procedimento pode ser 
repetido para o restante do movimento. Quando k/Nx n  o movimento cessa desde que a 
força restauradora exercida pela mola (kx) seja menor que a força de atrito N. Assim o 
número de meio ciclos (r) que ocorrem antes do movimento cessar é determinado por: 
 
k
N
k
N2
rx 0



 
 
ou seja, 
 














k
N2
k
N
x
r
0
 (2.102) 
 
 
 
Observam-se as seguintes características de um sistema com amortecimento de 
Coulomb: 
 
1. A equação de movimento considerando-se o amortecimento de Coulomb é não-linear, 
enquanto que com amortecimento viscoso é linear. 
 
2. A frequência natural do sistema permanece inalterada ao se considerar amortecimento de 
Coulomb enquanto que se reduz ao se considerar amortecimento viscoso. 
 
3. O movimento do sistema é periódico quando se considera o amortecimento de Coulomb, 
enquanto que pode ser não-periódico em um sistema amortecido viscosamente (para o caso de 
sistemas superamortecidos). 
 48 
 
4. A amplitude do movimento de um sistema com amortecimento de Coulomb reduz-se 
linearmente enquanto que em um sistema com amortecimento viscoso reduz-se 
exponencialmente. 
 
5. Em cada ciclo sucessivo, a amplitude de movimento sofre uma redução de 4N/k, assim as 
amplitudes ao término de dois ciclos sucessivos quaisquer é: 
 
k
N4
XX 1mm

  (2.103) 
 
Como em cada ciclo a amplitude reduz-se em 4N/k (no tempo n/2  ), a inclinação 
das linhas pontilhadas na Figura 33 é dada por: 
 





















 

k
N22
/
k
N4 n
n
 
 
A posição final da massa é normalmente diferente da posição de equilíbrio