Exercícios de Cálculo 3 - Semana 4

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Universidade de Brasília
Departamento de Matemática
Cálculo 3 - D
Exercícios – Semana 4
Vetor gradiente, regra da cadeia e derivada direcional
Questão 1. Use a regra da cadeia para determinar dz/dt para as funções abaixo:
a) z = sinxy, γ(t) = (3t, t2);
b) z = x2 + y2, x = cos t+ sin t, y = cos t− sin t;
Questão 2. Use a regra da cadeia para determinar ∂w/∂u e ∂w/∂v para as funções
abaixo:
a) w = 4ex ln y, x = ln (u cos v); y = u sin v;
b) w = tan−1 (x/y), x = u cos v, y = u sin v;
Questão 3. Use a regra da cadeia para calcular df/dt para as funções abaixo:
a) f(x, y, z) = ln (x2 + y2 + z2), p(t) = (cos t, sin t, 4
√
t);
b) f(x, y, z) = 2yex − ln z, x = ln (t2 + 1), y = tan−1 t, z = et.
Questão 4. Use a regra da cadeia para determine ∂f/∂u e ∂f/∂v para as funções abaixo:
a) f(x, y, z) = xy + yz + xz, x = u+ v, y = u− v, z = uv;
b) f(x, y, z) = ln (x2 + y2 + z2), x = uev sinu, y = uev cosu z = uev
Questão 5. A voltagem V em um circuito que satisfaz a lei V = IR vai caindo à medida
que a bateria descarrega. Ao mesmo tempo, a resistência R vai aumentando, conforme o
resistor esquenta. Determine a taxa de variação da corrente I está variando no instante em
que R = 6 · 102 ohms e I = 4 · 10−2 A, sabendo que a resistência está aumentando a uma
taxa de 0, 5 ohms/s, enquanto a voltagem está diminuindo a uma taxa de 10−2 V/s.
Questão 6. (Variações das dimensões de uma caixa) Os comprimentos a, b e c das
arestas de uma caixa retangular variam com o tempo. No instante em questão, a = 1 m,
b = 2 m, c = 3 m, da/dt = db/dt = 1 m/s e dc/dt = −3 m/s. A quais taxas o volume V e a
área S da caixa variam nesse instante? As diagonais do interior da caixa estão aumentando
ou diminuído de comprimento?
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Questão 7. (Temperatura em uma elipse) Seja T = g(x, y) a temperatura no ponto
(x, y) na elipse
x = 2
√
2 cos t, y =
√
2 sin t, 0 ≤ t ≤ 2π
e suponha que
∂T
∂x
= y,
∂T
∂y
= x.
a) Localize as temperaturas máxima e mínima na elipse examinando dT/dt e d2T/dt2.
b) Suponha que T = xy − 2. Encontre os valores máximo e mínimo de T na elipse.
Questão 8. Suponha que, para todo x, f(3x, x3) = arctan x.
a) Calcule ∂f
∂x
(3, 1) admitindo que ∂f
∂y
(3, 1) = 2;
b) Determinar a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (3, 1, f(3, 1))
Questão 9. Seja
f(x, y) =

x3 + y3
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
a) Calcule ∇f(0, 0);
b) Mostre que
d
dt
(f ◦ p)(t) 6= ∇f(p(t)) · p′(t),
para t = 0, onde p(t) = (−t,−t).
c) Seja ~v = (a, b) um vetor unitário. Use a definição para calcular D~vf(0, 0).
d) f é diferenciável em (0, 0)? Justifique.
Questão 10. Seja
f(x, y) =

x3y
x4 + y2
se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
a) Mostre que existem as derivadas direcionais de f em todas as direções no ponto (0, 0)
e que
D~vf(0, 0) = ∇f(0, 0) · ~v,
para todo vetor unitário ~v = (a, b).
b) Seja p(t) = (t, t2 sin 1/t) para t 6= 0 e p(0) = (0, 0). Mostre que d
dt
(f ◦ p)(t) não existe
para t = 0;.
c) f é diferenciável em (0, 0)? Justifique.
Questão 11. Seja r a reta tangente à curva x3 + 3xy + y3 + 3x = 18 no ponto (1, 2).
Determine as retas que são tangentes à curva x2 + xy + y2 = 7 e paralelas à reta r.
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Questão 12. (Variação de temperatura ao longo de uma circunferência) A
temperatura em Celsius o ponto (x, y) no plano cartesiano seja T (x, y) = x sin 2y e a distância
no plano xy seja mensurada em metros. Uma partícula esta se movendo no sentido horário
ao redor de uma circunferência de raio 1 m centrada na origem na taxa constante de 2m/s.
a) Qual a velocidade da variação de temperatura apresentada pela partícula, em oC/m,
no ponto P = (1/2,
√
3/2)?.
b) Qual a velocidade da variação de temperatura apresentada pela partícula em oC/s em
P?
Questão 13. Existe alguma direção na qual a taxa de variação de f(x, y) = x2−3xy+4y2
no ponto (1, 2) é igual a 14? Justifique sua resposta.
Questão 14. Seja A = {(x, y) ∈ R; 5 − x2 − 4y2 ≥ 0}. Suponha que o gráfico de
z = 5− x2− 4y2, (x, y) ∈ A represente a superfície de um monte (adote o km como unidade
de medida). Um alpinista que se encontra na posição (1, 1, 0) pretende escalá-lo. Determine
a trajetória a ser descrita pelo alpinista admitindo que ele busque sempre a direção de maior
aclive.
Questão 15. Uma plataforma retangular é representada no plano pelo conjunto
{(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 15, 0 ≤ y ≤ 10}.
A temperatura nos pontos da plataforma é dado por T (x, y) = x + 3y. Suponha que duas
partículas P1 e P2 estão localizadas nos pontos (1, 1) e (3, 7), respectivamente.
a) Se a partícula P1 se deslocar na direção em que se esquentará mais rapidamente e
a partícula P2 se deslocar na direção em que se resfriará mais rapidamente, elas se
encontrarão?
b) Obter uma equação para a trajetória da partícula P1, representando-a sobre a plata-
forma.
Questão 16. (Fórmula do tamanho do lote de Wilson) A fórmula do tamanho
do lote de Wilson na economia afirma que a quantidade mais econômica Q de bens (rádio,
sapatos, vassouras, o que quer que seja) para uma loja pedir é fornecida pela fórmula Q =√
2KM/h, onde K é o custo do pedido, M é o número de itens vendidos por semana e
h é o custo de estocagem semanal para cada item (custo do espaço, serviços, segurança e
assim por diante). Para qual das variáveis K,M e h, Q é mais suscetível próximo do ponto
(K0,M0, h0) = (2, 20, 0, 05)? Justifique sua resposta
Questão 17. A energia consumida num resistor elétrico é dada por P = V 2/R watts.
Se V = 100 volts e R = 10 ohms, calcule o valor aproximado para a variação em P , quando
v decresce 0, 2 volt e R aumenta 0, 01 ohm.
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Gabarito
Questão 1. a) dz/dt = 9t2 cos (3t3). b) dz/dt = 0.
Questão 2. a)
∂w
∂u
= 4 cos v(ln(u sin v) + 1)
∂w
∂u
= 4u
(
− sin v ln (u sin v) + cos
2 v
sin v
)
.
b) ∂w/∂u = 0 ∂w/∂v = −1
Questão 3. a)
df
dt
=
16
1 + 16t
b)
df
dt
= 4t tan−1 t+ 1.
Questão 4. a)
∂f
∂u
= 2u+ 4vu
∂f
∂v
= 2u2 − 2v b) ∂f
∂u
=
2
u
∂f
∂u
=
3
2
Questão 5. dI/dt = −5 · 10−5 A/s
Questão 6. dV/dt = 3; dS/dt = 0. A diagonal está diminuindo.
Questão 7. a) Temperaturas máximas ocorrem para t = π/4 e t = 5π/4, ou seja, nos
pontos (2, 1) e (−2,−1), respectivamente. Temperaturas mínimas ocorrem para t = 3π/4 e
t = 7π/4, ou seja, nos pontos (−2, 1) e (2,−1), respectivamente.
b)Temperatura máxima na elipse: T (2, 1) = T (−2,−1) = 0. Temperatura mínima na
elipse: T (−2, 1) = T (2,−1) = −4.
Questão 8.
a)
∂f
∂y
(3, 1) = −11
6
.
b) z =
π
4
− 11
6
(x− 3) + 2(y − 1).
Questão 9.
a) ∇f(0, 0) = (1, 1);
b)
d
dt
(f ◦ p)(0) = −1 enquanto que ∇f(0, 0) · p′(0) = (1, 1) · (−1,−1) = −2;
c) D~vf(0,0) = a3 + b3;
d) Não, pois não vale a Regra da Cadeia para a função p(t) = (−t,−t) em t = 0.
Questão 10.
a) D~v(0, 0) = 0, ∇f(0, 0) = (0, 0). Logo
D~v(0, 0) = ∇f(0, 0) · ~v = (0, 0) · ~v = 0,
para todo ~v = (a, b) não nulo.
b) Temos que
d
dt
(f ◦ p)(0) = lim
h→0
sin 1/h
1 + sin 1/h
e este limite não existe.
c) Não, se f fosse diferenciável, valeria a regra da cadeia e deveríamos ter
d
dt
(f ◦ p)(0) = D~v(0, 0) · p′(0) = 0
porém, a derivada d
dt
(f ◦ p)(0) nem sequer existe!!!
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Questão 11. São as retas tangentes à x2 + xy + y2 = 7 nos pontos (1, 2) e (−1,−2), a
saber:
Em (1, 2): (4, 5) · (x− 1, y − 2) = 0;
Em (−1,−2): (−4,−5) · (x+ 1, y + 2) = 0
Questão 12. a)
√
3/2 sin
√
3− 1/2 cos
√
3 b)
√
3 sin
√
3− cos
√
3
Questão 13. Não, pois a taxa de variação máxima neste ponto é ‖∇f(1, 2)‖ =
√
185 <
14.
Questão 14. P (t) = (t, t4, 5− t2 − 4t8)
Questão 15. a) Sim b) (t+ 1, 3t+ 1), 0 ≤ t ≤ 3.
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