Resumo_Análise combinatória

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📝Resumo → Análise Combinatória Prof. Gilciney 
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📑 ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Assunto Resumo 
Introdução 
 
A Análise Combinatória é a área da Matemática que trata das técnicas de 
contagem. 
 
 Ex.: 
Utilizamos técnicas de contagem, por exemplo, para descobrir quantas 
senhas podem ser formadas em um cadeado com segredo. 
 
Princípio 
Fundamental da 
Contagem 
📕 1ª DEFINIÇÃO 
 
Se um evento é composto de duas etapas sucessivas e 
independentes de tal maneira que o número de possibilidades na 1a 
etapa é m e para cada possibilidade da 1a etapa o número de 
possibilidades na 2a etapa é n, então o número total de 
possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m · n. 
 
📕 2ª DEFINIÇÃO 
 
Se uma DECISÃO 𝑫𝟏 pode ser tomada de 𝑝 modos e, qualquer que 
seja esta escolha, a DECISÃO 𝑫𝟐 pode ser tomada de 𝑞 modos, então 
o número de maneiras de se tomarem consecutivamente as 
decisões 𝑫𝟏 e 𝑫𝟐 é igual a 𝑝𝑞. 
 
⚠☢ às vezes é conveniente aplicar um diagrama denominado de árvores das 
possibilidades ou diagrama de árvore. ☢⚠ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Permutações 
Simples 
 
 
 
 
 
 
 
PERMUTAR é sinônimo de TROCAR. Intuitivamente, nos problemas de 
contagem, devemos associar a permutação à noção de EMBARALHAR, isto 
é, trocar objetos de posição. 
 
De modo geral, a pergunta é: 
 
De quantas maneiras podemos ordenar em fila n objetos distintos? 
 
Podemos escolher o primeiro elemento da fila de n maneiras. 
 
Agora, de quantas maneiras podemos escolher o segundo elemento da 
fila? 
De n – 1 maneiras. 
 
 
 
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Permutações 
Simples 
 
 
 
Prosseguindo dessa forma e usando o princípio multiplicativo, fica claro 
que o número de agrupamentos ordenados que podemos obter com todos 
esses n elementos é dado por: 
 
𝑛 · (𝑛 – 1) · (𝑛 – 2) · . . .· 3 · 2 · 1 
 
 Esses agrupamentos ordenados ((DIFEREM PELA ORDEM)) recebem o 
nome de Permutações simples. Indicamos por 𝑷𝒏 o número de 
permutações simples de n elementos e escrevemos: 
 
𝑃𝑛 = 𝑛 · (𝑛 – 1) · (𝑛 – 2) · . . .· 3 · 2 · 1 
 
 Permutações simples de n elementos é qualquer agrupamento 
ordenado desses n elementos. 
 
Fatorial 
 
O valor obtido com 𝑷𝒏 é também chamado fatorial do número natural n e 
indicado por n! (lê-se “fatorial de n” ou “n fatorial”). 
Assim, temos: 
 
𝑛! = 𝑛 · (𝑛 – 1) · (𝑛 – 2) · . . .· 3 · 2 · 1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 1. 
 
 
⚠☢ considera-se 0! = 1. ☢⚠ 
 
 
Permutações 
com repetição 
 
 O número de permutações de n elementos dos quais  é de um 
tipo,  é de outro e  é de outro, com 
 
 
 +  +  = n, é dado por: 
 
𝑃𝑛
𝛼,𝛽,𝛾
=
𝑛!
𝛼! 𝛽! 𝛾!
 
 
{
𝛼
𝛽
𝛾
 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑒 
 
 
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Arranjos 
Simples 
 
 A ideia principal está em fazer agrupamentos com 
 
1 elemento 
2 elementos 
3 elementos 
... 
p elementos, com 𝑝 ≤ 𝑛 
 
 ARRANJOS SIMPLES de n elementos tomados 𝑝 𝑎 𝑝 (𝑝 ≤ 𝑛) são os 
agrupamentos ordenados diferentes que se podem formar com p dos n 
elementos dados. 
Indica-se por  𝐴𝑛,𝑝 𝑜𝑢 𝐴𝑛
𝑝
 o total desses agrupamentos, que calculamos 
assim: 
𝐴𝑛,𝑝 = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2) ∙ ⋯ ∙ (𝑛 − 𝑝 + 1) 
ou 
𝐴𝑛,𝑝 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑝)!
 
 
Combinações 
Simples 
 
 O conceito de COMBINAÇÃO está intuitivamente associado à noção de 
ESCOLHER SUBCONJUNTOS. 
 
 COMBINAÇÕES SIMPLES de n elementos tomados 𝑝 𝑎 𝑝 (𝑝 ≤ 𝑛) são 
os SUBCONJUNTOS com exatamente p elementos que se podem formar 
com os n elementos dados. 
Indica-se por 𝐶𝑛,𝑝 𝑜𝑢 𝐶𝑛
𝑝
 𝑜𝑢 (𝑛
𝑝
) o número total de combinações de n 
elementos tomados 𝑝 𝑎 𝑝 e calcula-se por: 
 
𝐶𝑛,𝑝 =
𝑛!
𝑝! (𝑛 − 𝑝)!
 
ou 
𝐶𝑛,𝑝 =
𝐴𝑛,𝑝
𝑝!
 
 
⚠ Como são subconjuntos de um conjunto, a ORDEM dos elementos 
NÃO IMPORTA. Só consideramos subconjuntos distintos os 
subconjuntos que diferem pela natureza dos seus elementos. ⚠ 
 
 
Uma propriedade 
importante das 
Combinações 
𝐶𝑛,𝑝 = 𝐶𝑛,𝑛−𝑝