Aula 2 Cinemtica Fsica Mecnica

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FÍSICA MECÂNICA 
 
AULA 2 – CINEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROFESSOR : PAULO VENUTO 
FÍSICA MECÂNICA 
AULA 2 - CINEMÁTICA 
CONTEXTO 
 
 A Cinemática é o ramo da Física que estuda o movimento dos corpos sem se 
preocupar com a análise de sua causa. Este ramo estuda a velocidade dos objetos, sua 
aceleração, faz previsões sobre onde poderá ser localizado um objeto que está se 
movendo com determinadas características e assim por diante. 
 Estudaremos, por exemplo, o movimento de queda livre de um corpo, podendo 
determinar seu tempo de queda, a velocidade ao atingir o solo, a altura máxima 
atingida por ele, etc. 
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CONTEXTO 
 
•Aceleração: grandeza relacionada com a variação da velocidade ao longo do tempo. 
 
•Apresentar a equação: a = Δv/Δt. 
 
•MRUV: Movimento Retilíneo Uniformemente Variado. Observar que nesse movimento 
a aceleração é constante. Apresentar as equações envolvendo posição, velocidade e 
aceleração em função do tempo. Exemplo: um corpo em queda livre, abandonado a 
partir do repouso. 
 
•Aceleração instantânea: apresentá-la como a derivada da velocidade em relação ao 
tempo: a = dv/dt ou como a derivada segunda da posição em relação ao tempo: 
a = d2x/dt2. 
 
•Mostrar que se v = dx/dt então Δx = ∫v·dt e que se a = dv/dt então Δv = ∫a·dt. 
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CONTEXTO 
 
•Análises gráficas: 
a) No gráfico posição x tempo, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico 
corresponde à velocidade. 
b) No gráfico velocidade x tempo, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico 
corresponde à aceleração e a área sob o gráfico corresponde ao deslocamento. 
c) No gráfico aceleração x tempo, a área sob o gráfico corresponde à variação de 
velocidade. 
 
•Apresentar os gráficos mencionados anteriores para o MRU, MRUV e um movimento 
qualquer, com aceleração variável. 
 
•Sempre enfatizar os conceitos do cálculo diferencial, derivada e integral, aplicando-os 
às variáveis posição, velocidade e aceleração. 
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MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIÁVEL 
 
Aceleração média e aceleração instantânea: Definição. 
 
•Aceleração: Como vimos anteriormente a velocidade indica uma taxa de variação de 
posição com o tempo. A aceleração descreve uma taxa de variação da velocidade com 
o tempo. 
 
•Aceleração média: Definimos aceleração média (amx) da partícula que se move de um 
ponto P1 a P2 como uma grandeza vetorial cujo componente x é dado pela razão entre 
∆vx. 
 
 
(aceleração média, movimento retilíneo) 
 
 
 
Δt
Δv
a xmx 
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MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIÁVEL 
 
Aceleração média e aceleração instantânea: Definição. 
 
•Aceleração instantânea: É o limite da aceleração média quando o intervalo de tempo 
tende a zero. 
 
 
 
 
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MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIÁVEL 
 
Aceleração média e aceleração instantânea constantes: Fórmulas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Exemplos. 
 
1)Durante uma corrida de carros, um dos competidores consegue atingir 100km/h 
desde a largada em 5s. Qual a aceleração média por ele descrita? 
Solução: 
 
am = ∆v/∆t 
 
am = (100km/h)/(5s) observando que: 100km/h = 27,7m/s logo, 
 
am = (27,7m/s)/(5s) = 5,55m/s
2. 
 
 
 
 
 
 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Exemplos. 
 
2)Um foguete, partindo do repouso com uma aceleração constante igual 1m/s² se 
desloca durante 5 minutos. Ao final deste tempo, qual é a velocidade por ele adquirida? 
Solução: 
 
v = v0 + a·∆t 
 
v = (0m/s) + (1m/s
2)·(5min) observando que: 5 minutos = (5·60) = 300s logo, 
 
v = (0m/s) + (1m/s
2)·(300s) = 300m/s 
 
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MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIÁVEL 
 
Aceleração média e aceleração instantânea: Cálculo da aceleração usando gráficos. 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Cálculo da aceleração usando gráficos. 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Cálculo da aceleração usando gráficos. 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Cálculo da aceleração usando gráficos. 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Cálculo da aceleração usando gráficos. 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Cálculo da aceleração usando gráficos. 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Cálculo da aceleração usando gráficos. 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Exemplos. 
 
3)Um astronauta saiu de um ônibus espacial em órbita no espaço para testar uma nova 
unidade de manobra pessoal. À medida que ele se move em linha reta, seu 
companheiro a bordo do ônibus espacial mede sua velocidade a cada intervalo de 2s, 
começando em t = 1s, seguinte modo: 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule a aceleração média e verifique se a velocidade do astronauta aumenta ou 
diminui para cada um dos seguintes intervalos de tempo: a) t1 = 1s até t2 = 3s; b) t1 = 5s 
até t2 = 7s; c) t1 = 9s até t2 = 11s; d) t1 = 13s até t2 = 15s. 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Exemplos. 
 
Solução 3): Calculando e traçando o gráfico abaixo com base nos dados fornecidos, 
temos: 
a) amx = ∆vx/∆t. 
amx = (1,2m/s – 0,8m/s)/(3s – 1s) = 0,2m/s
2. 
A velocidade aumenta. 
 
b) amx = (1,2m/s – 1,6m/s)/(7s – 5s) = -0,3m/s
2. 
A velocidade diminui. 
 
c) amx = [-1m/s – (-0,4m/s)]/(11s – 9s) = -0,3m/s
2. 
A velocidade aumenta. 
 
d) amx = [-0,8m/s – (-1,6m/s)]/(15s – 13s) = 0,4m/s
2. 
A velocidade diminui. 
 
 
 
 
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Aceleração média e aceleração instantânea : Exemplos. 
 
4)Suponha que a velocidade vx do carro na figura abaixo em qualquer instante de 
tempo t seja dada pela equação 
vx = 60m/s + (0,50m/s
3)·t2. 
a)Ache a variação da velocidade média do carro no intervalo de tempo entre t1 = 1s e t2 
= 3s. 
b)Ache a aceleração média do carro nesse intervalo de tempo. 
c)Ache a aceleração instantânea do carro para t1 = 1s, considerando ∆t = 0,1s, ∆t = 
0,01s e ∆t = 0,001s. 
d)Deduza uma expressão geral para a aceleração instantânea em função do tempo e, a 
partir dela, calcule a aceleração para t = 1s e t = 3s. 
 
 
 
 
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Aceleração média e aceleração instantânea : Exemplos. 
 
Solução 4): 
 
a)Para t1 = 1s 
v1x = 60m/s + (0,50m/s
3)·(1)2 = 60,5m/s. 
Para t2 = 3s 
v2x = 60m/s + (0,50m/s
3)·(3)2 = 64,5m/s. Logo a ∆vx = v2x - v1x = 64,5 – 60,5 = 4m/s. 
O ∆t = t2 – t1 = 3s – 1s = 2s. 
 
b)amx = (v2x - v1x)/(t2 – t1) = (64,5m/s – 60,5m/s)/(3s – 1s) = (4m/s)/(2s) = 2m/s
2. 
 
c)Para ∆t = 0,1s temos t2 = 1,1s: v2x = 60m/s + (0,50m/s
3)·(1,1s)2 = 60,605m/s. 
∆vx = 60,605 – 60,5 = 0,105m/s e amx = (0,105m/s)/(0,1s) = 1,05m/s
2. 
Para ∆t = 0,01s temos ∆vx = 0,1005m/s e amx = 1,005m/s
2. 
Para ∆t = 0,001s temos ∆vx = 0,10005m/s e amx = 1,0005m/s
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Aceleração média e aceleração instantânea : Exemplos. 
 
Solução 4): 
 
d)A aceleração instantânea é ax = dvx/ dt, a derivada de uma constante é igual a zero e 
a derivada de t2 é 2·t. 
 
ax = dvx/ dt = d/dt[60m/s + (0,5m/s
3)·t2] = 0m/s + (0,5m/s3)·(2·t) = (1m/s3)·t. 
 
Para t = 1s: 
ax = (1m/s
3)·(1s) = 1m/s2. 
 
Para t = 3s: 
ax = (1m/s
3)·(3s) = 3m/s2. 
 
 
 
 
 
 
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Aceleração média e aceleração instantânea : Exemplos. 
 
5)Um motociclista se dirige para leste ao longo de uma cidade de Estado de São Paulo 
e acelera a moto depois de passar pela placa que indica os limites da cidade. Sua 
aceleração é constante e igual a 4m/s2. No instante t = 0 ele está a 5m a leste do sinal, 
movendo-se para leste a 15m/s. a)Determine a sua posição e velocidade para t = 2s. 
b)Onde está o motociclista quando sua velocidade é de 25m/s? 
 
 
 
 
 
 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Exemplos. 
 
Solução 5): 
 
a)Sua posição para t = 2s. 
x = x0 + v0·t + 1/2·a·t
2 → x = (5m) + (15m/s)·(2s) + 1/2·(4m/s2)·(2s)2 → x = 43m. 
Sua velocidade para t = 2s. 
v = v0 + a·t → v = (15m/s) + (4m/s
2)·(2s) → v = 23m/s. 
 
b)Queremos a posição x para a v = 25m/s, mas não sabemos quando ela tem essa 
velocidade. Logo utilizamos, v2 = v0
2 + 2·a·(x - x0), isolamos o x final. 
x = x0 + (v
2 - v0
2)/(2·a) → x = 5m + [(25m/s)2 – (15m/s)2)/(2· 4m/s2)] → x = 55m. 
 
 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Queda livre. 
 
Análogo a MRUV horizontal. 
 
Movimento na vertical com aceleração constante no caso g = 9,8m/s2. 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Queda livre (exemplos). 
 
6)Uma moeda de 1 euro é largada da Torre de Pisa. Ela parte do repouso e se move 
em queda livre conforme figura abaixo. Calcule sua posição e sua velocidade nos 
instantes t = 1s; t = 2s e t = 3s. Considere g = 9,8m/s2. 
Solução: 
 
Para t = 1s: 
v = v0 + a·t → v = (0m/s) + (-9,8m/s
2 )·(1s) 
v = -9,8m/s. 
y = y0 + v0·t + ½·a·t
2 
y = (0m) + (0m/s)·(1s) + ½·(-9,8m/s2 )·(1s)2 
y = -4,9m. 
Para t = 2s: v = -19,6m/s e y = -19,6m. 
Para t = 3s: v = -29,4m/s e y = -44,1m. 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Velocidade e posição por integração. 
 
Quando a ax não é constante. Temos que: 
 
 
 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Velocidade e posição por integração. 
 
Quando a ax não é constante. Temos que: 
 
 
 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Velocidade e posição por integração 
(exemplo). 
 
7)Sueli está dirigindo um carro em um trecho retilíneo de uma estrada. No tempo t = 0, 
quando está se movendo a 10m/s no sentido positivo de eixo Ox. Ela passa por um 
poste de sinalização a uma distância x = 50m. Sua aceleração em função do tempo é 
dada por: ax = (2m/s
2) – (0,1m/s3)·t. 
a)Deduza uma expressão para a posição e a velocidade em função de tempo. 
b)Qual o instante em que sua velocidade atinge o valor máximo? 
c)Qual é a velocidade máxima? 
d)Onde está o carro quando a velocidade atinge o valor máximo? 
 
 
 
 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Velocidade e posição por integração 
(exemplo). 
 
Solução 7): 
 
Lembrando que: A integral tn é ∫tn·dt = [1/(n +1)]·t(n + 1) 
 
a)vx = v0x + ∫(0,t) ax·dt → vx = (10m/s) + ∫(0,t) [(2m/s
2) – (0,1m/s3)]·dt 
vx = (10m/s) + (2m/s
2)·t – ½·(0,1m/s3)·t2 
 
x = x0x + ∫(0,t) vx·dt → x = (50m) + ∫(0,t) [(10m/s) + (2m/s
2)·t – ½·(0,1m/s3)·t2)]·dt 
x = (50m) + (10m/s)·t + ½·(2m/s2)·t2 – 1/6·(0,1m/s3)·t3) 
 
 
 
 
 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Velocidade e posição por integração 
(exemplo). 
 
Solução 7): 
 
b)O valor máximo de v ocorre quando v para de crescer e começa a decrescer, ou seja, 
ax = 0. 
ax = (2m/s
2) – (0,1m/s3)·t → 0 = (2m/s2) – (0,1m/s3)·t → t = (2m/s2)/(0,1m/s3) = 20s. 
 
c)Para t = 20s. 
vx = (10m/s) + (2m/s
2)·t – ½·(0,1m/s3)·t2 
vx = (10m/s) + (2m/s
2)·(20s) – ½·(0,1m/s3)·(20s)2 = 30m/s. 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Velocidade e posição por integração 
(exemplo). 
 
Solução 7): 
 
d)Para t = 20s. 
x = (50m) + (10m/s)·t + ½·(2m/s2)·t2 – 1/6·(0,1m/s3)·t3) 
x = (50m) + (10m/s)·(20s) + ½·(2m/s2)·(20s)2 – 1/6·(0,1m/s3)·(20s)3 
x = 517m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIÁVEL 
 
Aceleração média e aceleração instantânea: Exercícios propostos. 
 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Exercícios propostos. 
 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Exercícios propostos. 
 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Exercícios propostos. 
 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Exercícios propostos. 
 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Exercícios propostos. 
 
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Aceleração média e aceleração instantânea: Exercícios propostos. 
 
Respostas: 
1) (a) não. (b) i) 12,8m/s2 ii) 3,5m/s2. iii) 0,72m/s2; sim. 
2) (a) 2cm/s, 50cm, -0,125cm/s2. (b) 16s. (c) 32s. (d) 6,2s, 1,22cm/s; 25,8s, -1,22cm/s; 
36,4s, -2,55cm/s. 
3) (a) 3m/s2. (b) 10m/s2. (c) depende da direção positiva da coordenada. 
4) (a) 5m/s. (b) 1,43m/s2. 
5) (a) 675m/s2. (b) 0,067s. 
6) 1,70m. 
7) (a) 2,94m/s. (b)0,599s. 
8) (a) -25,5m/s. (b) -31,6m. (c) -15,2m/s. 
9) (a) x(t) = (0,25m/s3)·t3 – (0,01m/s4)·t4. vx(t)= (0,75m/s
3)·t2 – (0,04m/s4)·t3. (b) 39,1m/s. 
10) (a) 30cm/s. 
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BIBLIOGRAFIA ADOTADA 
 
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física I. Capítulo: 2 - Movimento Retilíneo 
Uniformemente Variável.