UN 6 - Avaliação Objetiva_ Revisão da tentativa

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Minhas Disciplinas / Meus cursos / 420775 / Unidade 6 - Equações diferenciais de segunda ordem e aplicações
/ UN 6 - Avaliação Objetiva
Cálculo III
Iniciado em domingo, 23 out 2022, 14:43
Estado Finalizada
Concluída em domingo, 23 out 2022, 14:48
Tempo
empregado
4 minutos 13 segundos
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Questão 1
Correto
Atingiu 0,15 de 0,15
É sabido que as equações diferenciais de segunda ordem são de fundamental importância para qualquer
estudo associado à mecânica dos �uidos, da condução do calor, do movimento ondulatório ou dos fenômenos
eletromagnéticos, que são problemas essenciais no contexto do engenheiro. Nesse sentido, assinale a alternativa
que caracteriza uma solução particular de y'’ – 3.y’ – 4.y = 2.sent.
Escolha uma opção:
Y(t) = .sent + 5.cost.
Y(t) = 4.sent + 5.cost.
Y(t) = .sent + 7.cost.
Y(t) = 2.sent + .cost.
Y(t) = .sent + .cost. 
Sua resposta está correta.
 Admitamos inicialmente que:
Y(t) = A. sent
Em que A é uma constante que devemos encontrar. Temos que,
Y’ (t) = A.cost
e
Y” (t) = – A.sent
Logo, substituindo na EDO dada, obtemos:
– 5A.sent – 3A.cost = 2sent
Ou seja,
A =
e
A = 0 (Absurdo)
Dessa maneira, concluímos que a hipótese feita inicialmente acerca da função Y(t) é inadequada, i.e, devemos
efetuar uma outra escolha. Como no segundo membro da EDO dada aparece um termo “co-seno”, isso nos
sugere a incluir um termo “co-seno” na função Y(t), ou seja, tomando agora:
Y(t) = A. sent + B.cost
Em que A e B são constantes que devemos encontrar. Logo, temos que:
Y’ (t) = A.cost – B.sent
e
Y” (t) = – A.sent – B.cost
A substituição de Y(t), Y’(t) e Y’’(t) na EDO dada, resulta em:
(– A + 3B – 4A).sent + (– B – 3A – 4B).cost = 2sent
E, então, devemos ter:
– 5A + 3B = 2,
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Questão 2
Correto
Atingiu 0,15 de 0,15
– 3A – 5B = 0
Ou seja,
A = e B =
E, portanto, uma solução particular da E.D.O dada é:
Y(t) = .sent + .cost
Da literatura foi visto que uma das razões primordiais da utilidade do estudo das equações diferenciais de
segunda ordem reside exatamente no fato de que elas são modelos matemáticos de diversos processos físicos
importantes que são fundamentais no contexto da Engenharia. Especi�camente falando, duas áreas
signi�cativas de aplicação são a das oscilações mecânicas e a das oscilações elétricas. Sendo mais peculiar ainda,
por exemplo, o movimento de um corpo rígido ligado a uma mola, as oscilações de um eixo acoplado a um
volante, a corrente elétrica em um circuito simples em séries e muitos outros problemas físicos e da engenharia.
Dessa forma, calcule o wronskiano entre os seguintes pares de funções y = t², y= t: e assinale a alternativa que
apresenta o resultado correto.
Escolha uma opção:
– 2t².
–3 t².
– 4t².
– t². 
– 5t².
Sua resposta está correta.
  Nesse caso, temos que, considerando y = t² e y= t, vem que o wrosnkiano que as envolve é dado pelo
determinante:
W(y, y) = = = t² – 2.t²= – t²
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Questão 3
Correto
Atingiu 0,15 de 0,15
É sabido que as equações diferenciais de segunda ordem lineares são amplamente investigadas por serem
consideradas essenciais para qualquer estudo sério das áreas clássicas da Matemática e da Física e, por
conseguinte, em diversos contextos da Engenharia como um todo. Assim sendo, encontre a solução do PVI dado
por: y” + 5y’+ 6y = 0, y(0) = 1, y’(0) = 2.
Escolha uma opção:
y(t) = 5.e + 4.e .
y(t) = 5.e – 3.e.
y(t) = 2.e – 4.e.
y(t) = 5.e + 4.e.
y(t) = 5.e – 4.e . 
-2t -3t
-2t -3t
Sua resposta está correta.
 Nesse caso, a partir da solução geral da EDO dada por:
y(t) = c.e + c.e
Logo, de acordo com as condições iniciais, temos que:
y(0) = 1 implica que: c.e + c.e= 1, ou seja, c.e + c.e= 1, ou ainda, encontramos a equação: c + c= 1
Agora, notemos que y’(t) = c.(– 2).e + c.(– 3)e = – 2 c.e – 3.c.e. Dessa forma, substituindo y’(0) = 2, vamos obter:
y’(0) = 2
– 2 c. e – 3.c. e= 2
– 2 c– 3.c= 2
Portanto, temos um sistema linear 2 x 2 com as seguintes equações:
c + c= 1
– 2 c– 3.c= 2
Cuja solução é dada por:
c = 5
c= – 4
Então, a solução do PVI é dadapor:
y(t) = 5.e – 4.e
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Questão 4
Correto
Atingiu 0,15 de 0,15
Sabe-se que o aparato teórico da Engenharia em grande parte vem da linguagem e da análise Matemática, seja
em contextos físicos ou não. Por isso, o engenheiro deve ter um bom embasamento dos cálculos diferenciais e
integrais, equações diferenciais, álgebra linear, dentre outros recursos matemáticos para resolver a maioria dos
problemas no âmbito da Engenharia. Ilustrando, na parte de análise estrutural, as equações diferenciais são de
fundamental importância, mais especi�camente falando na parte de de�exão de vigas. Nesse sentido,
considerando que, se o wronskiano entre u e v for W(u,v) = 2.e e se u(x) = e, podemos a�rmar que a função v(x) é
dada por:
Escolha uma opção:
v(x) = 2 e. 
v(x) = 4 e.
v(x) = 5 e.
v(x) = 3 e.
v(x) = 7 e.
Sua resposta está correta.
 Nesse caso, temos que:
W(u, v) = = = 2.e
Ou seja,
e.v’(x) – e.v(x) = 2.e
Dividindo a equação por e, segue que:
v’(x) – v(x) = 2.e
Ou seja, temos uma equação diferencial de primeira ordem, que se encontra no formato para resolvermos pelo
método dos fatores integrantes, discutido anteriormente, dessa forma, devemos determinar o fator integrante (x)
pela expressão:
(x) = exp
E, como p(x) = – 1, segue que:
(x) = exp = exp= e = e
Agora, pegamos a equação e multiplicamos pelo fator integrante, obtendo:
ev’(x) – ev(x) = 2.e.e
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Ou seja,
[v(x). e] ’ = 2.e
Agora, integrando, vem que:
[[v(x). e]’dx = 2.e.dx
e.v(x) = 2 e+ C
Ou seja, temos que v(x) é dada por:
v(x) = 2.e+ C. e
Portanto, tomando a constante C = 0, encontramos a função v(x) mais simples possível, que é:
v(x) = 2 e
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Questão 5
Correto
Atingiu 0,15 de 0,15
É sabido que as equações lineares de segunda ordem têm importância decisiva no estudo das equações
diferenciais, por duas razões principais: a primeira é a de as equações lineares terem uma rica estrutura teórica
subjacente e vários métodos sistemáticos de solução, enquanto que a segunda é que boa parte dessa estrutura
e desses métodos é compreensível em um nível matemático bastante elementar. Nesse sentido, assinale a
alternativa que caracteriza a solução geral da EDO de segunda ordem com coe�cientes constantes y” + 5y’+ 6y =
0.
Escolha uma opção:
y(t) = c .e + c .e .
y(t) = c .e + c .e .
y(t) = c .e + c .e . 
y(t) = c .e + c .e .
y(t) = c .e + c .e .
1
3t
2
6t
1
-3t
2
-5 t
1
-2t
2
-3t
1
4t
2
3t
1
5t
2
2t
Sua resposta está correta.
 Nesse caso, temos que:
a = 1
b = 5
c = 6
Logo, admitindo que y = e seja a solução da equação com r a raiz da equação característica,
r + 5.r + 6 = 0
Segue que,
r = – 2 e r = – 3
Portanto, a solução geral da equação acima é dada por:
y(t) = c.e + c.e
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