A EQUAÇÃO DE SLUTSKY - lista 2

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LABORATÓRIO DE MICROECONOMIA II – NOTURNO 
 
LISTA 2 – A EQUAÇÃO DE SLUTSKY 
 
LISTA NÃO-AVALIATIVA 
 
Instruções: 
i. As respostas não precisam ser entregues. 
ii. O gabarito desta lista será postado no Classroom no dia 09/09/22. 
 
1. Considere um consumidor com renda m = 100, função utilidade 𝑈(𝑥 , 𝑦) = 𝑥𝑦 e 
que se depara com os preços 𝑝𝑥 = 2 e 𝑝𝑦 = 2. Encontre o que se pede: 
a) A cesta que maximiza a utilidade do consumidor. 
b) A utilidade total obtida. 
c) Suponha que o preço do bem x dobre, enquanto o preço de y e a renda se 
mantém constantes. Qual a nova quantidade demandada de x? 
d) Considerando a alteração no preço informada no item anterior, qual deverá 
ser a nova renda para que o consumidor seja capaz de manter seu consumo 
na cesta original? 
e) Quais serão os efeitos renda e substituição considerando a mudança de 
preço informada no item c)? 
 
 
2. Diga se as alternativas são verdadeiras ou falsas e justifique: 
a) ( ) Bens normais têm efeito substituição positivo. 
b) ( ) Nos bens de Giffen, o valor absoluto do efeito renda domina o 
valor absoluto do efeito substituição. 
c) ( ) Um indivíduo consome apenas os bens 1 e 2 e o bem 1 é um bem 
inferior, enquanto o bem 2 é um bem normal. Se o preço do bem normal 
cair, o efeito renda age no sentido de aumentar o consumo do bem 1. 
d) ( ) Considerando a mesma situação do item anterior, o efeito 
substituição implicará no menor consumo do bem 1 e o efeito renda em um 
menor consumo do bem 2. 
 
3. Explique qual a diferença entre o efeito substituição de Hicks e o efeito 
substituição de Slutsky e como essa diferença se relaciona com a ótica da 
maximização do lucro e da minimização do dispêndio. 
 
4. Renan possui uma função de utilidade 𝑈(𝑥 , 𝑦) = 𝑥0,5𝑦0,5 que representa seu 
consumo de frutas (x) e vegetais (y), que possuem preços 𝑝𝑥 = 𝑅$4, 𝑝𝑦 = 𝑅$2 e 
sua renda é 𝑚 = 100. Considerando a mudança repentina do preço das frutas para 
R$ 1, pergunta-se: 
a) As demandas marshallianas dos bens x e y antes da mudança de preços. 
b) Após a mudança de preço, se a renda de Renan se ajustar de modo que ele 
possa consumir a cesta anterior, quanto ela será? 
c) Com os valores novos de renda e preços, qual é a quantidade de cada bem 
que Renan vai consumir? 
d) O efeito substituição gerado pela queda no preço das frutas fez Renan 
consumir mais ou menos desse bem? 
e) O efeito renda gerado pela queda nos preços das frutas fez Renan consumir 
mais ou menos desse bem? 
f) Qual efeito total devido a mudança no preço das frutas sobre a demanda 
por vegetais? Logo, as frutas são, para Renan, bens normais ou inferiores? 
 
 
1. a) 
Max. 𝑈(𝑥 , 𝑦) = 𝑥𝑦 
Sujeito a 𝑚 = 𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 
𝐿(𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝑥𝑦 + λ ( 𝑚 − 𝑝𝑥𝑥 − 𝑝𝑦𝑦) 
𝜕𝐿
𝜕𝑥
= 𝑦 − λ𝑝𝑥 = 0 → λ =
𝑦
𝑝𝑥
 (1) 
𝜕𝐿
𝜕𝑦
= 𝑥 − λ𝑝𝑦 = 0 → λ =
𝑥
𝑝𝑦
 (2) 
𝜕𝐿
𝜕λ
= 𝑚 − 𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 = 0 → 𝑚 = 𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 (3) 
 
(1) = (2) 
𝑦
𝑝𝑥
=
𝑥
𝑝𝑦
→ 𝑝𝑥𝑥 = 𝑝𝑦𝑦 
𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖 𝑒𝑚 (3) 
𝑚 = 𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 
𝑚 = 𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑥𝑥 
𝑚 = 2𝑝𝑥𝑥 
𝑥∗ =
𝑚
2𝑝
𝑥
 
 
𝑚 = 𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 
𝑚 = 𝑝𝑦𝑦 + 𝑝𝑦𝑦 
𝑚 = 2𝑝𝑦𝑦 
𝑦∗ =
𝑚
2𝑝
𝑦
 
𝑥∗(2, 100) =
𝑚
2𝑝
𝑥
=
100
2.2
=
100
4
= 25 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝑦∗(2, 100) =
𝑚
2𝑝
𝑦
=
100
2.2
=
100
4
= 25 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
 
b) 
𝑈(𝑥∗ , 𝑦∗) = 𝑥𝑦 
𝑈(25,25) = 25.25 = 625 
 
 
c) Utilizando a demanda marshalliana de x encontrada no item a), basta calcular a nova 
demanda com preço R$4. 
 
 
𝑥(4, 100) =
𝑚
2𝑝
𝑥
=
100
2.4
=
100
8
= 12,5 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
Percebe-se que o aumento do preço fez com que a demanda pelo bem x reduzisse em 
12,5 unidades. 
d) 
𝑚 = 𝑥∗.𝑝 
𝑚 = 𝑥∗. ( 𝑝𝑥
′ − 𝑝𝑥) 
𝑚 = 25. ( 4 − 2) 
𝑚 = 25.2 
𝑚 = 50 
Assim, 
𝑚′ = 𝑚 + 𝑚 
𝑚′ = 100 + 50 
𝑚′ = 150 
𝑅𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑠á𝑟𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 
e) 
𝐸𝑆 = 𝑥(𝑝𝑥
′ , 𝑚′) − 𝑥(𝑝𝑥, 𝑚) 
𝐸𝑆 = 𝑥(4, 150) − 𝑥(2,100) 
𝐸𝑆 = 18,75 − 25 = − 𝟔, 𝟐𝟓 
𝑥(4, 150) =
𝑚
2𝑝𝑥
=
150
2.4
= 18,75 
 
 
𝐸𝑅 = 𝑥(𝑝𝑥
′ , 𝑚) − 𝑥(𝑝𝑥
′ , 𝑚′) 
𝐸𝑅 = 12,5 − 18,75 = − 𝟔, 𝟐𝟓 
 
𝐸𝑇 = 𝐸𝑆 + 𝐸𝑅 = −6,25 − 6,25 = −12,5 
2. 
a) Falso. O Efeito Substituição (ES) corresponde à variação na demanda devido à 
variação da taxa à qual os dois bens são trocados, ou seja, a variação dos preços 
relativos. Neste caso, compensa-se a renda de modo a manter o poder de compra 
constante (à la Slutsky) ou a utilidade constante (à la Hicks). Logo, o efeito 
substituição sempre se move em sentido contrário ao do movimento de preços. 
Dizemos que o efeito substituição é negativo porque a variação na demanda 
devida ao efeito substituição é oposta à variação no preço: se este aumentar, 
diminui a demanda do bem por causa do efeito substituição. 
b) Verdadeiro. A Equação de Slutsky diz que a variação total na demanda é a soma 
do Efeito Substituição (ES) e do Efeito Renda (ER). Assim, o Efeito Preço total 
(EP) é dado por EP = ES + ER. O bem é dito de Giffen se o ES e o ER atuarem 
em sentidos opostos e o ER for de magnitude superior ao ES. 
c) Falso. O bem 1 é um bem inferior. A queda no preço do bem 2 implica em um 
aumento relativo na renda total disponível para aquisição dos 2 bens. Desse modo, 
o aumento da renda faz com que o consumo do bem 1 caia. 
d) Falso. A redução do preço do bem 2 ocasiona uma variação no consumo dos dois 
bens decorrente de dois efeitos: o efeito-renda e o efeito substituição. O efeito 
renda decorre do aumento do poder de compra ocorrido em função da redução do 
preço do bem 2. O aumento da renda faz com que o consumo do bem 1 caia, pois 
este é um bem inferior e que o consumo do bem 2 aumente, pois é um bem normal. 
O efeito substituição mostra a mudança no consumo dos indivíduos devido à 
mudança nos preços relativos. Como o preço do bem 2 caiu, ele fica relativamente 
mais barato, de modo que o indivíduo terá que abrir mão de menos quantidade do 
bem 1 para adquirir uma unidade adicional do bem 2. A partir do mesmo 
raciocínio, o bem 1 tomou-se mais caro, porque o indivíduo terá que abrir mão de 
mais unidades do bem 2 para adquirir uma unidade a mais do bem 1. Nesse 
sentido, o efeito substituição ocasiona o aumento do consumo do bem 2, em 
detrimento do consumo do bem 1 (primeira sentença correta). Porém o efeito 
renda aumenta o consumo do bem 2 e reduz o consumo do bem 1 (segunda 
sentença errada). 
3. 
O efeito substituição de Slutsky é o nome que os economistas dão à variação na demanda 
quando os preços variam, mas o poder aquisitivo do consumidor permanece constante, de 
modo que a cesta original continua acessível. O efeito substituição de Slutsky fornece ao 
consumidor, portanto, o dinheiro exatamente necessário para voltar a seu nível original 
de consumo; O efeito substituição de Hicks mantém constante a utilidade, em vez de 
manter constante o poder aquisitivo. O efeito substituição de Hicks fornece ao 
consumidor a quantidade de dinheiro exatamente necessária para que retorne à sua antiga 
curva de indiferença. Apesar dessa diferença nas definições, o efeito substituição de Hicks 
tem de ser negativo – no sentido de que ele opera na direção contrária da variação do 
preço, exatamente igual ao efeito substituição de Slutsky. 
Observando o efeito substituição de Hicks, portanto, notamos que a curva de utilidade 
funciona como restrição do problema, assim como na ótica da minimização do gasto. Esse 
é o motivo de as demandas calculadas pelo problema da minimização serem chamadas de 
demandas hickisianas. Por outro lado, o efeito substituição de Slutsky mantem o poder 
aquisitivo do consumidor constante, em referência ao problema da maximização da 
utilidade. 
4.a) 
Max. 𝑈(𝑥 , 𝑦) = 𝑥0,5𝑦0,5 
Sujeito a 𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 − 𝑚 = 0 
Já sabemos que: 
𝑥∗ =
𝑚
2𝑝𝑥
 𝐷𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑠ℎ𝑎𝑙𝑙𝑖𝑎𝑛𝑎𝑑𝑒 𝑥 
𝑦∗ =
𝑚
2𝑝𝑦
 𝐷𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑠ℎ𝑎𝑙𝑙𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑦 
𝑥∗ =
𝑚
2𝑝𝑥
=
100
2.4
= 12,5 𝑓𝑟𝑢𝑡𝑎𝑠 
𝑦∗ =
𝑚
2𝑝𝑦
=
100
2.2
= 25 𝑣𝑒𝑔𝑒𝑡𝑎𝑖𝑠 
b) 
𝑚 = 𝑥∗.𝑝 
𝑚 = 𝑥∗. ( 𝑝𝑥
′ − 𝑝𝑥) 
𝑚 = 12,5. ( 1 − 4) 
𝑚 = 12,5. (−3) 
𝑚 = −37,5 
Assim 
𝑚′ = 𝑚 + 𝑚 
𝑚′ = 100 − 37,5 
𝑚′ = 62,5 
𝑅𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑠á𝑟𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 
c) 
𝑥(𝑝𝑥
′ , 𝑚′) =
𝑚
2𝑝𝑥
 𝑦(𝑝𝑦, 𝑚
′) =
𝑚
2𝑝𝑦
 
𝑥(1, 62,5) =
62,5
2.1
= 31,25 𝑓𝑟𝑢𝑡𝑎𝑠 𝑦(2, 62,5) =
62,5
2.2
= 15,625 𝑣𝑒𝑔𝑒𝑡𝑎𝑖𝑠 
 
 
d) 
𝐸𝑆 = 𝑥(𝑝𝑥
′ , 𝑚′) − 𝑥(𝑝𝑥, 𝑚) 
𝐸𝑆 = 𝑥(1, 62,5) − 𝑥(4,100) 
𝐸𝑆 = 31,25 − 12,5 
𝐸𝑆 = 𝟏𝟖, 𝟕𝟓 → 𝑜 𝑓𝑒𝑧 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑟 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑓𝑟𝑢𝑡𝑎𝑠 
e) 
𝐸𝑅 = 𝑥(𝑝𝑥
′ , 𝑚) − 𝑥(𝑝𝑥
′ , 𝑚′) 
𝐸𝑅 = 𝑥(1, 100) − 𝑥(1, 62,5) 
𝐸𝑅 = 50 − 31,25 = 𝟏𝟖, 𝟕𝟓 
→ 𝑜 𝑓𝑒𝑧 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑟 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑓𝑟𝑢𝑡𝑎𝑠 
𝑥(1, 100) =
𝑚
2𝑝𝑥
=
100
2.1
= 50 
 
 
f) 
𝐸𝑇 = 𝐸𝑆 + 𝐸𝑅 = 18,75 + 18,75 = 37,5 
Para Renan, frutas são bem normais, já que ambos os efeitos se somam e demonstram um 
aumento na demanda por esse bem no caso de uma queda nos preços.