Questão resolvida - Dispõe-se de um rolo com 100 m (lineares) de tela para cercar um terreno retangular, que tem uma parede em um de seus lados (que não será cercada) Determine as dimensões do terreno

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• Dispõe-se de um rolo com (lineares) de tela para cercar um terreno retangular, 100 m
que tem uma parede em um de seus lados (que não será cercada). Determine as 
dimensões do terreno de modo que a área seja máxima.
 
 a. □ 31 m × 22 m
 b. □ 16 m × 29 m
 c. ⬛ 50 m × 25 m
 d. □ 47 m × 19 m
 e. □ 60 m × 20 m
 
Resolução:
 
Uma representação da área retangular pode ser vista a seguir;
 
 
Como a parede não será cercada, o perímetro da parte cercada é dada por;
 
P = 2x + ycercado
 
E esse perímetro deve ter , com isso;100 m
 
2x + y = 100
 
 
x
x
yTerreno
Parede
(1)
A área do retângulo formado pelo terreno é;
 
A = xy
 
Isolando na expressão 1, temos;y
 
2x + y = 100 y = 100 - 2x→
 
Substituindo a expressão encontrada para em 2, fica;y
 
A = x 100 - 2x( )
 
Distribuindo o , a expressão fica;x 4
 
A = 100x - 2x2
 
Agora, derivamos a expressão encontrada para a área e obtemos seus pontos críticos;
 
A = 100x - 2x A' = 100 - 2 ⋅ 2x A' = 100 - 4x2 → →
 
Igualando a expressão encontrada para a derivada a zero e resolvendo para ;x
 
100 - 4x = 0 -4x = -100 x =→ →
100
4
x = 25 m
Perceba que a função que representa a área é uma parábola com concavidade voltada para 
baixo, dessa forma, o encontrado é de um ponto de máximo. Substituindo o valor para x x
máximo na expressão 3, temos que o valor de máximo é;y
 
y = 100 - 2 ⋅ 25 y = 100 - 50→
 
y = 50 m
 
 
(2)
(3)
(4)
(Resposta - 1)
(Resposta - 2)