Medidas de centralidade e de disperçao

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· Medidas de centralidade e de disperçao 
· Medidas de centralidade
· Média
Média aritmética simples-
Para calcular a média aritmética simples, é preciso realizar:
· A soma de todos os elementos do conjunto;
· A divisão desse conjunto, após a soma, pela quantidade de valores.
Em uma escola de Ensino Fundamental um concurso estabelece regras para conceder uma bolsa de estudos para o Ensino Médio. Em cada bimestre os alunos do 9.º ano realizam uma avaliação e, após os quatro bimestres, as notas são somadas. Os quatro alunos finalistas são os que alcançam as maiores pontuações. Ganhará a bolsa aquele que possuir a média mais alta das quatro notas das avaliações.
As notas dos quatro alunos finalistas são:
	
	1º bimestre
	2º bimestre
	3º bimestre
	4º bimestre
	Aluno A
	75
	86
	83
	91
	Aluno B
	78
	98
	67
	99
	Aluno C
	83
	84
	89
	87
	Aluno D
	98
	65
	87
	77
O aluno que ganhou a bolsa de estudos foi
RESPOSTA
Precisamos calcular a média aritmética dos quatro alunos.
Aluno A
Aluno B
Aluno C
Aluno D
Portanto, o aluno C ganhou a bolsa de estudos.
Exemplo 02
Pedro e Natália estão disputando quem consegue a melhor média aritmética no jogo de lançamento de dados. Eles lançam dois dados e somam os pontos. Após três lançamentos eles calculam a média e, aquele que obtiver a maior média dos lançamentos vencerá o jogo.
Natália obteve os seguintes pontos nos lançamentos:
Estas são as pontuações de Pedro nos dois primeiros lançamentos:
Quantos pontos, Pedro precisa no terceiro lançamento para vencer a partida?
RESPOSTA
O jogo considera a média dos lançamentos, sendo assim, Natália obteve:
1º lançamento: 4 + 1 = 5
2º lançamento: 2 + 6 = 8
3° lançamento: 4 + 5 = 9
Calculando sua média, obtemos:
Assim, Pedro precisa de uma média maior que 7,33 pontos. Seus pontos nos dois primeiros lançamentos são:
1º lançamento: 3 + 1 = 4
2º lançamento: 2 + 4 = 6
Calculando a média e chamando de X a pontuação do terceiro lançamento, temos:
Para vencer, Pedro de somar, pelo menos 11,99 pontos.
A única maneira de Pedro vencer a partida é tirando 6 nos dois dados
· Média Ponderada
Na média simples, os valores são somados e divididos pela quantidade de termos adicionados. A média ponderada é calculada por meio do somatório das multiplicações entre valores e pesos divididos pelo somatório dos pesos. Vamos, por meio de exemplos, demonstrar os cálculos envolvendo a média ponderada.
EXEMPLO
Buscando melhorar o atendimento ao usuário do sistema de saúde de um município, a Prefeitura realizou uma pesquisa de rendimento satisfatório com 500 pessoas. As notas disponibilizadas aos entrevistados no intuito de avaliar o nível de satisfação compreendem as notas inteiras de 1 a 10. Veja os resultados na tabela a seguir. Qual nota media obtida.
Mp = 1·5 + 2·15 + 3·40 + 4·128 + 5·150 + 6·90 + 7·35 + 8·25 + 9·10 + 10·2
   	  5 + 15 + 40 + 128 + 150+ 90 + 35 + 25 + 10 + 2
Mp= 5 + 30 +120 + 512 +750 +540 + 245 +200 +90 +20
464
Mp = 2512 /464
Mp= 5,4
· Moda
A Moda (Mo) representa o valor mais frequente de um conjunto de dados, sendo assim, para defini-la basta observar a frequência com que os valores aparecem.
Um conjunto de dados é chamado de bimodal quando apresenta duas modas, ou seja, dois valores são mais frequentes.
EXEMPLO- 01
Em uma sapataria durante um dia foram vendidos os seguintes números de sapato: 34, 39, 36, 35, 37, 40, 36, 38, 36, 38 e 41. Qual o valor da moda desta amostra?
SOLUÇÃO
Observando os números vendidos notamos que o número 36 foi o que apresentou maior frequência (3 pares), portanto, a moda é igual a:
Mo = 36
EXEMPLO -02
(Enem) Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos.
As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro:
Em relação à temperatura, o valor da moda e: 
SOLUÇÃO:
 À moda, o valor mais recorrente nessa distribuição é 13,5
· Mediana
A Mediana (Md) representa o valor central de um conjunto de dados. Para encontrar o valor da mediana é necessário colocar os valores em ordem crescente ou decrescente. Quando o número elementos de um conjunto é par, a mediana é encontrada pela média dos dois valores centrais. Assim, esses valores são somados e divididos por dois.
(Enem 2017)    O gráfico apresenta a taxa de desemprego (em %) para o período de março de 2008 a abril de 2009, obtida com base nos dados observados nas regiões metropolitanas de Recife, Salvador, Belo Horizonte, Rio de Janeiro, São Paulo e Porto Alegre.
A mediana dessa taxa de desemprego, no período de março de 2008 a abril de 2009, foi de
SOLUÇÃO
Primeiro colocaremos os dados em ordem e encontraremos os termos centrais:
6,8; 7,5; 7,6; 7,6; 7,7; 7,9; 7,9; 8,1; 8,2; 8,5; 8,5; 8,6; 8,9; 9,0.
	 6	 Termos Centrais 		 6
Calculando a média entre esses valores, (7,9 + 8,1) : 2 = 	16 : 2 = 8. 
Mediana e igual = 8
EXEMPLO 02
(Enem 2017) Cinco regiões de um país estão buscando recursos no Governo Federal para diminuir a taxa de desemprego de sua população. Para decidir qual região receberia o recurso, foram colhidas as taxas de desemprego, em porcentagem, dos últimos três anos. Os dados estão apresentados na tabela.
Ficou decidido que a região contemplada com a maior parte do recurso seria aquela com a maior mediana das taxas de desemprego dos últimos três anos.
A região que deve receber a maior parte do recurso é a
Calculando a mediana de cada uma delas, temos que:
Região A 11,7 : 12,0 : 12,0 Mediana: 12,0
Região B 10,5 :11,6 : 12,5 Mediana: 11,6
Região C 10,9 : 11,9 : 12,7 Mediana: 11,9
Região D 9,5 : 11,6 : 12,8 Mediana: 11,6
Região E 8,2 : 12,6 : 12,7 Mediana: 12,6
· Medidas de dispersão:
· Amplitude
A amplitude de um conjunto, em Estatística, é a diferença entre o maior elemento desse conjunto e o menor. Em outras palavras, para encontrar a amplitude de uma lista de números, basta subtrair o menor elemento do maior
EXEMPLO- 01.
Um professor fez uma pesquisa de idades em uma turma do ensino médio, composta por 15 alunos, e obteve os seguintes resultados: 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 14, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18.
Qual é a amplitude das idades dos alunos dessa sala de aula?
SOLUÇÃO
Para encontrar a amplitude de um conjunto, basta calcular a diferença entre o maior e o menor valor da lista:
18 – 14 = 4
Então, as idades dos alunos dessa turma têm uma amplitude de 4 anos.
· Desvio Médio
O desvio médio de um conjunto de dados é a média do total de todos os desvios do ponto de destaque de um conjunto. É um instrumento estatístico para avaliar o intervalo a partir de uma média ou mediana. 
Exemplo 01
Um tenista participou de cinco jogos nesta temporada, e as pontuações para cada um desses cinco jogos são
	RODADA
	PONTOS
	1º
	23
	2º
	30
	3º
	31
	4º
	15
	5º
	46
1º Passo – Media 
23+30+31+15+46=145 
145/5 = 29 
2° Passo - Como você conseguiu deduzir que o jogador alcançou uma média de 29 pontos para cada jogo, o próximo passo é encontrar o desvio da média de cada jogo.
23-29=6 
30-29=1 
31-29=2 
15-29 = 14 
46-29=17
3° Passo - Depois, encontre o agregado de todas as variações.
6+1+2+14+17=40
4º Passo - O desvio médio é o agregado de todos os desvios dividido pelo número absoluto de entradas.
Desvio médio=40/5=8 
· Desvio Padrão
O desvio padrão é uma medida que expressa o grau de dispersão de um conjunto de dados. Ou seja, o desvio padrão indica o quanto um conjunto de dados é uniforme. Quanto mais próximo de 0 for o desvio padrão, mais homogêneo são os dados.
Exemplo 01-
Em uma equipe de remo os atletas possuem as seguintes alturas: 1,55 m ; 1,70 m e 1,80 m. Qual é o valor da média e do desvio padrão da altura desta equipe?
1º Passo Cálculo da média
2º Passo Cálculo do desvio padrão
Variância
A variância é uma medida de dispersão que permite identificar a distância em que os temposde cada atleta estão de um valor médio. Suponha que o treinador registrou em uma tabela os tempos de três atletas após realizarem o mesmo percurso em cinco dias diferentes:
VAMOS CALCULAR
Suponha que o treinador registrou em uma tabela os tempos de três atletas após realizarem o mesmo percurso em cinco dias diferentes:
Antes de calcular a variância, é necessário encontrar a média aritmética (x) dos tempos de cada atleta. Para tanto, o treinador fez os seguintes cálculos:
João → xJ = 63 + 60 + 59 + 55 + 62 = 299 = 59,8 min.
                                       5                        5
Pedro → xP = 54 + 59 + 60 + 57 + 61 = 291 = 58,2 min.
                                     5                           5
Marcos → xM = 60 + 63 + 58 + 62 + 55 = 298 = 59,6min
                                           5                       5
Agora que o treinador já conhece o tempo médio de cada atleta, ele pode utilizar a variância para obter a distância dos períodos de cada corrida em relação a esse valor médio. Para calcular a variância de cada corredor, pode ser realizado o seguinte cálculo:
Var (J) = (63 – 59,8)² + (60 – 59,8)² + (59 – 59,8)² + (55 – 59,8)² + (62 – 59,8)²
5
Veja mais sobre "Variância " em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/variancia.htm
Var (J) = 10,24 + 0,04 + 0,64 + 23,04 + 4,84
 5
Var (J) = 38,8
 5
Var (J) = 7,76 min
Var (M) = (60 – 59,6) ² + (63 – 59,6) ² + (58 – 59,6) ² + (62 – 59,6) ² + (55 – 59,6) ²
               5
Var (M) = 0,16 + 11,56 + 2,56 + 5,76 + 21,16
            5
Var (M) = 41,2
              5
Var (M) = 8,24 min"
Veja mais sobre "Variância " em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/variancia.htm
Var (P) = (54 – 58,2)² + (59 – 58,2)² + (60 – 58,2)² + (57 – 58,2)² + (61 – 58,2)²
5
Var (P) = 17,64 + 0,64 + 3,24 + 1,44 + 7,84
           5
Var (P) = 30,8
             5
Var (P) = 6,16 min