3-Aulas 5 - 6 e 7

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ESTRUTURAS DE FUNDAÇÕES E CONTENÇÕES
AULAS 05 – 06 - 07 
PLANEJAMENTO DA AULA
• Sapata com carga centrada e momento
• Sapata Associada
• Radier
Fonte de Consulta
Material Professor Renato Grossi
SAPATA COM CARGA 
CENTRADA E 
MOMENTO
 Estudo de caso 2
A seguinte estrutura de uma sacada precisa do
projeto de fundação, a carga concentrada que chega até a
sapata é de 1.300 kN e um momento de 300 kN.m. Estes
carregamentos foram fornecidos pelo engenheiro calculista
responsável por calcular toda a estrutura do prédio .
Sabendo que a tensão admissível do solo é de
0,6 MPa e que as dimensões do pilar são de 60 cm x 20 cm.
Dimensione a sapata geometricamente e estruturalmente.
Resposta: 
Dimensionamento Geométrico
A= 2,2 m2 (=área)
a= 1,70 m
b=1,30 m
h = 40 cm
a/6 = 0,283 (a base “B” representa o maior 
valor entre as duas dimensões, no caso “a”)
 Verificação de Sapata com Momento
Até o momento trabalhamos com uma única carga
concentrada na sapata, esta carga, era transmitida para o solo
uniformemente. Porém, quando ocorre carga concentrada e
momento atuando juntos no elemento de fundação torna-se
necessário a verificação da excentricidade na sapata.
Para esta verificação geralmente utiliza-se a hipótese da
sapata rígida de Winkler, que tem como objetivo analisar se a
excentricidade da sapata encontra-se dentro do núcleo central.
Se caso, a excentricidade não cair dentro do núcleo central
a sapata estará sujeita a esforços de tração, neste caso a fundação
em sapata deve ser redimensionada até que a excentricidade fique
dentro do núcleo central.
e = M/P
• Verificação de tensão da estrutura em relação à tensão admissível do
solo
σ1 = σmax = (P/A).(1+(6.e)/a) ou σ2 =(P/A).(1-(6.e)/a) 
Núcleo central
Aconselha-se que a resultante das forças atuantes,
R, passe dentro do núcleo central (terço médio, da base
AB), e o mais próximo quanto possível do ponto médio “O”
quando o muro se apoia sobre terreno muito compressível.
ii. Força ΣR caindo fora do núcleo central da base, ou seja,
e > B/6: o diagrama de tensões na base terá uma distribuição
triangular, mas limitada à parte que gera compressão.
O valor da tensão máxima será:
𝟏
Continuação do estudo de caso...
• Verificação da excentricidade:
e = M/F M= (F). (e)
e = 300/1300 = 0,23 m
Condição: e ≤ B/6 
B – largura da base
(maior dimensão = a)
0,23 m ≤ 0,283 m 
A excentricidade está
dentro do núcleo central.
Portanto, a sapata está
totalmente comprimida.
Ok. Aprovada!!
F
e
VERIFICAÇÃO QUANTO AO RECALQUE EXCESSIVO
CONDIÇÃO: σadm > σest (= σmáx)
0,6 MPa > σest (= σmáx)
σmáx =(P/A).(1+(6.e)/a)
P = carga do pilar = 1.300 kN
A = área da base = 2,2 m²
e = excentricidade = 0,23 m
a = maior comprimento da base = 1,70
Aconselha-se que a resultante das forças atuantes,
R, passe dentro do núcleo central (terço médio, da base
AB), e o mais próximo quanto possível do ponto médio “O”
quando o muro se apoia sobre terreno muito compressível.
• Verificação de tensão
σmáx =(P/A).(1+(6.e)/a)
σmáx =(1.300/2,2).(1+(6.0,23)/1,7) 
σmáx = 1.070,58 kN/m2
Como a tensão máxima que o solo resiste é de 600 kN/m2 (= 0,6 MPa) e a tensão
máxima que atuará no solo será de 1.070,58 kN/m2 “haverá ruptura do solo”
Portanto, a sapata deverá ser redimensionada.
Observação em relação à tensão de ruptura 𝒓𝒖𝒑
𝒂𝒅𝒎 ( 𝟔𝟎𝟎
𝒌𝑵
𝒎𝟐
)
𝒓𝒖𝒑
𝒓𝒖𝒑 = 
𝒌𝑵
𝒎𝟐
Fator de Correção (FC) 1.070,58/600 = 1,78
Nova área (A2) = área anterior x FC
A2 = 2,2 x 1,78 A2 = 3,925 = 4,0 m²
Novo Dimensionamento geométrico da sapata:
Utilizando uma área estimada:
A = 4 m²
• Cálculo das dimensões em planta da sapata:
A = a x b → a = 4/b substituindo na seguinte equação: a0 – b0 = a - b
Tem-se:
b² + 0,40b – 4 = 0 
Resolvendo a equação de segundo grau, tem-se o valor de b = 
1,85m e a = 2,25m
• Cálculo da altura da sapata:
h ≥ (a – ap)/3 → h ≥ (2,25 – 0,60)/3 → h = 0,55m
Recomendações de projeto: h ≥ 20 cm.
Ok!!!
Continuação do estudo de caso...
• Verificação da excentricidade:
e = M/P
e = 300/1300 = 0,23 m
0,23 m ≤ 0,375 m 
A excentricidade está 
dentro do núcleo central.
Portanto, a sapata está
totalmente comprimida.
• Verificação da tensão atuante no solo.
σmáx =(P/A).(1+(6.e)/a)
P = carga do pilar = 1.300 kN
A = área da base = 4 m²
e = excentricidade = 0,23 m
a = maior comprimento da base = 2,25
σmax = (1300/4).(1+(6.0,23)/2,25) = 524,33 kN/m²
Com o novo dimensionamento da sapata, a máxima tensão
que irá atuar na base da sapata será inferior a tensão admissível
do solo (=600 kN/m²). Portanto, a sapata está aprovada.
Dimensões da sapata:
Dimensionamento Estrutural da sapata:
Para o dimensionamento da armadura localizada na base
da sapata será considerado uma viga engastada no eixo do pilar.
CALCULAR NAS DUAS DIMENSÕES
Dados:
Fck = 20 MPa
σS = 0,6 MPa = 600 kN/m2
Cobrimento 5cm (CAA 4)
Dimensionamento Estrutural da sapata:
Para o dimensionamento da armadura localizada na base
da sapata será considerado uma viga engastada no eixo do pilar.
Dados:
Fck =20MPa
σS = 0,6 MPa = 600 kN/m2
Cobrimento 5cm (CAA 4)
• Cálculo do Esforço de momento:
 Carga distribuída por metro:
q = 600 kN/m² . 1 m (largura da faixa considerada) = 600 kN/m
 Carga concentrada:
P = 600 kN/m . 1,125 m = 675kN
 Momento:
M = 675 . 0,56 = 378 kN.m/m
• Cálculo do coeficiente k:
𝒅
𝐜
Sendo:
Md = 1,4 . M 
Md = 1,4 . 378 = 529,20kN.m
𝐜𝐝
𝐜𝐤
𝐜
𝐜 = 1,4
𝐜𝐝
fc = 0,85 . fcd
fc = 0,85 . 14,29 
fc = 12,14MPa = 12.140kN/m² = 121,4 kgf/cm²
Portanto,
𝒅
𝐜
d = h – 5 = 55 – 5 = 50 cm = 0,5 m
= 0,174 (k ≤ klim=0,295) → seções sub armadas 
• Cálculo da área de aço mínima exigido por norma:
Asmin = 0,15% . Ac (=bxh) 
Asmin = 0,15% . 100 . 55 = 8,25 cm²/m
• Cálculo da área de aço:
A
𝐜
 .
𝐲𝐝
sabendo que fyd =
A
A 26,88 cm²/m
Deve-se utilizar As = 26,88 cm²/m (As > Asmim)
Quantidade de barras e espaçamentos:
Área da barra de 16 mm
A = 2,01 cm²
Total de barras por metro: 
= área por metro/pela área de uma barra
26,88/2,01
14 barras por metro.
Portanto, para o lado “a” tem-se: 
14 x 2,25 = 31
cálculo do espaçamento entre os 
eixos das barras: 
= (lado- 2xcobrimento)/(número de barras -1)
= (2,25 – 0,10)/(31 – 1) = 0,072m = 7,2 cm
Lado “a” será 31 Ø 16 c/ 7,2 cm
E para o lado “b”
Lado b será 26 Ø 16 c/ 7 cm 
Ao longo da menor direção (perpendicular a 
ela) coloca-se a menor quantidade de 
armadura
Ao longo da maior direção (perpendicular a 
ela) coloca-se a maior quantidade de armadura
Lado a
Lado b
Dimensionamento Estrutural da sapata:
Para o dimensionamento da armadura localizada na base
da sapata será considerado uma viga engastada no eixo do pilar.
Dados:
Fck =20MPa
σS = 0,6 MPa = 600 kN/m2
Cobrimento 5cm (CAA 4)
• Cálculo do Esforço de momento:
 Carga distribuída por metro:
q = 600 kN/m² . 1 m (largura da faixa considerada) = 600 kN/m
 Carga concentrada:
P = 600 kN/m . 0,925 m = 555kN
 Momento:
M = 555 . 0,46 = 255,3 kN.m/m
0,925m 0,46m
• Cálculo do coeficiente k:
𝒅
𝐜
Sendo:
Md = 1,4 . M 
Md = 1,4 . 255,3 = 357,42 kN.m
𝐜𝐝
𝐜𝐤
𝐜
𝐜 = 1,4
𝐜𝐝
fc = 0,85 . fcd
fc = 0,85 . 14,29 
fc = 12,14MPa = 12.140kN/m² = 121,4 kgf/cm²
Portanto,
= 0,118 (k ≤ klim = 0,295) → seções sub armadas 
• Cálculo da área de aço mínima exigido por norma:
Asmin = 0,15% . Ac 
Asmin = 0,15% . 100 . 46 = 6,90 cm²/m
• Cálculo da área de aço:
A
𝐜
 .
𝐲𝐝
sabendo que fyd =
A
A 14,42 cm²/m
Deve-se utilizar As = 14,42 cm²/m (As > Asmim)
 Exercício 1 Proposto
2) Sapata de concreto armado com carga centrada.
A seguinte sapata de concreto armado deverá servir de suporte
para um pilar de (50 x 30)cm, suportar uma carga de 1700 kN para um solo
que oferece uma tensão admissível de 0,8 MPa.
Dados: fck = 15 MPa.
Pede-se:
Dimensionamento geométrico
Dimensionamento estrutural
 Exercício 2 Proposto
3)Sapata de concreto armado com carga centrada e momento fletor.
O seguinte sapata de concreto armado deverá servir desuporte
para um pilar de (90 x 30) cm, suportar uma carga de 1500 kN e um
momento de 900 kN.m para um solo que oferece uma tensão admissível de
1,2 MPa.
Dados: fck = 20 MPa.
Pede-se:
Dimensionamento geométrico
Dimensionamento estrutural
Verificação da excentricidade
e verificação da tensão atuante
O engenheiro calculista deve sempre que
possível optar pela sapata isolada por conta do
baixo custo de execução. Porém, nem sempre é
possível deixar de utilizar a sapata associada
devido ao curto espaço entre pilares, causando
assim, sobreposição entre sapatas. Ex: pilares
de banheiros, escadas etc.
A sapata associada é dimensionada para
que a carga de dois pilares ou mais, seja
distribuída para o solo de uma forma uniforme,
mesmo que a carga dos pilares sejam diferentes,
o objetivo será sempre distribuir a carga dos
pilares de uma forma uniforme para o solo.
Quando existem cargas iguais ou
diferentes entre os pilares é obrigatório a
utilização de uma viga de rigidez que une
todos os pilares, esta viga tem como principal
objetivo fazer com que a sapata trabalhe com
tensão constante na sua base.
Modelo de sapata associada
Modelo de sapata associada
Modelo de sapata associada
DIMENSIONAMENTO DA 
SAPATA ASSOCIADA 
(LAJE + VIGA DE RIGIDEZ)
Quando existem dois pilares com O MESMO VALOR DE
CARGA pode-se dimensionar a sapata associada considerando os
dois balanços iguais a b/5. Esta forma de dimensionamento é
considerada mais econômico.
DE ACORDO COM A NORMA NBR 6118: “a” menor valor e “b” maior
valor
Quando cada pilar possuir uma carga diferente o
dimensionamento econômico não será possível, visto
que, o centro de gravidade não estará no meio entre os
dois pilares. Nesta situação, ficará a critério do
engenheiro calculista o comprimento (a) a ser adotado.
Geralmente o engenheiro calcula o momento na
viga de rigidez e procura aproximar os momentos
negativos dos momentos positivos. Lembrando que as
dimensões da base da sapata não deve ultrapassar
muito o valor da área calculada, levando em
consideração a tensão do solo e as cargas dos pilares
( ).
Estudo de caso:
Para calcular a fundação de um edifício um
engenheiro civil procurou fazer o máximo de
sapatas isoladas porém, existem dois pilares que
estão muito próximos e no dimensionamento das
sapatas isoladas houve a sobreposição de uma em
relação a outra. A única alternativa que o
engenheiro possuía é utilizar uma sapata
associada. Conforme ilustrado na planta de
fundação.
Lv = largura da viga de rigidez = largura do pilar + (5 cm + 5 cm)  cobrimento
DADOS:
σs = 0,3 MPa; 
P1 = P2 = 1500 kN
Pede-se:
Dimensionamento geométrico;
Dimensionamento estrutural.
σs = Tensão do Solo
P1 e P2 = carregamento dos pilares
Como os carregamentos nos
pilares são iguais, pode ser
considerado o dimensionamento
geométrico mais econômico
D
c2
c1
Dimensionamento 
geométrico mais 
econômico [P1=P2]
DIMENSIONAMENTO GEOMÉTRICO
• Cálculo do comprimento (a) da sapata associada:
D² = (c1)² + (c2)²  D = 
D = 3/5b
3/5b = 
b = 3,53 = 3,55 m
** σs = 0,3 MPa = 0,3 
MN/m² = 300 kN/m²
DIMENSIONAMENTO GEOMÉTRICO
• Cálculo dos balanços (a/5):
Balanço = b/5
Balanço = 3,55 /5 m
Balanço = 0,70 m
• Cálculo da área da sapata:
→ Á
𝒔
 Área = 10 m²
• Cálculo da largura da sapata (b):
Área = a x b 
10 m² = a x 3,55 
a = 2,82 = 2,85 m
• Cálculo da altura da sapata (apenas a laje):
𝒂 𝑳𝒗
𝟑

𝟐,𝟖𝟐 𝟎,𝟓𝟎
𝟑
Lv = 0,40 + 0,05 + 0,05
Lv = 0,50 m
H = 0,77 m = 0,80 m
Lv = largura da viga de rigidez = dimensão do pilar + 0,05 cm + 0,05 cm
Dimensionamento 
geométrico mais 
econômico 
[P1=P2]
Dimensões da sapata associada
DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL
Dados: fck = 20 MPa
Cálculo dos esforços solicitantes:
Q = (1500 + 1500)/3,55 = 845 kN/m [carga por metro de sapata]
* Programa utilizado: FTool
Diagrama
De
Cortante
Diagrama
De
Momento
Maior momento superior [281,2 kN.m]
Maior cortante [908,4 kN]
Maior momento inferior [207 kN.m]
Dimensionamento Estrutural - Viga
O cálculo de dimensionamento das sapatas, como de qualquer
outro elemento estrutural submetido à flexão, é conduzido para
obtenção de seções sub armadas (k ≤ klim).
Onde, para concretos com classe até C50
klim = 0,295.
E o “k” é calculado pela seguinte expressão:
𝒅
𝒄
Onde,
f
𝒄𝒌
𝒄
 na qual ɣc = 1,4
M = maior valor no gráfico de momento fletor
Para o cálculo da área de aço a ser utilizado na base da viga, pode-se 
utilizar a seguinte equação:
𝒔
𝒄
𝒚𝒅
Onde:
fyd = 4348 kgf/cm²
A área de aço mínima exigida pela norma ABNT-NBR 6118 deve 
ser:
Asmin = 0,15% . Ac
Ac = área de concreto. (b x ht) da viga
Cálculo da ARMADURA SUPERIOR:
1. Cálculo do coeficiente k:
𝒅
𝒄 𝒘
𝒅
f
𝒄𝒅
𝑭𝒄𝒌
𝜸𝒄
Sendo:
Md = 1,4 . 281,2 = 393,68 kN.m
fcd = fck/ɣc →ɣc = 1,4
fcd = 20/1,4 = 14,28 MPa 
fcd = 14.280 kN/m²
b = Lv largura do pilar + (5 cm + 5 cm)
[5 cm cobrimento de cada lado]
d = h + 0,20 – cobrimento
cobrimento = 5 cm
Cálculo da ARMADURA SUPERIOR:
1. Cálculo do coeficiente k:
fc = 0,85 . fcd
fc = 0,85 . 14,28 = 12,14 MPa = 12.140 kN/m² = 121,4 kgf/cm²
Portanto,
𝒅
𝒄 𝒘
𝒌𝑵
𝒎
 k = 0,072 < 0,295 [Klim]
Cálculo da ARMADURA SUPERIOR:
2. Cálculo da área de aço superior:
𝒄 𝒘
𝒚𝒅
As = 10,12 cm²
Cálculo da ARMADURA SUPERIOR:
2. Cálculo da área de aço superior:
Cálculo da área de aço mínima exigido por norma:
Asmin = 0,15% . Ac
Ac = bw.d
Asmin = 0,15% . (50 . 100) 
Asmin = 7,5 cm²/m de viga
Logo, deve-se utilizar : As = 10,12 cm²
Cálculo da ARMADURA INFERIOR:
1. Cálculo do coeficiente k:
𝑴𝒅
𝒇𝒄.𝒃𝒘.𝒅²
; 𝒅 ; ; 𝒄𝒅
𝑭𝒄𝒌
𝜸𝒄
Sendo:
Md = 1,4 . 207 = 289,80 kN.m
Fcd = 14280 kN/m²
Fc = 12,14 MPa = 12.140 kN/m² = 123,79 kgf/cm²
Portanto
𝒌𝑵
𝒎
 k = 0,053 < 0,295 [Klim]
Cálculo da ARMADURA INFERIOR:
2. Cálculo da área de aço inferior:
𝒄 𝒘
𝒚𝒅
As = 7,37 cm²
Cálculo da ARMADURA INFERIOR:
2. Cálculo da área de aço inferior:
Cálculo da área de aço mínima exigido por norma:
Asmin = 0,15% . Ac
Ac = bw.d
Asmin = 0,15% . (50 .100) 
Asmin = 7,50 cm² de viga
Logo, deve-se utilizar : As = 7,50 cm²
CÁLCULO DA ARMADURA DE CISALHAMENTO - ESTRIBO
Deseja-se encontrar a Área de Aço do estribo (Asw)
. 
ρw =
100 (τwd – τc0)
bw (dado) 
τwd = 1,4.Vbw. d τc0 = 0,009. 
𝟐/𝟑
τwd2 = 0,27 . αv2 .fcd
αv2 = 1 –
 Cálculo da armadura de cisalhamento ou transversal (estribo)
1. Tensão de cisalhamento atuante:
τwd = (1,4.V)/(bw . d)
2. Tensão máxima de cisalhamento:
τwd2 = 0,27 . αv2 .fcd
Onde,
αv2 = 1 – (fck/250)
Se, τwd < τwd2 ok. Concreto verificado. Não haverá rompimento.
3. Área de armadura transversal:
Asw = ρw . 𝒘
ρw = 100(τwd – τc0)/39,15 kN/cm²
Onde,
τc0 = 0,009. 𝟐/𝟑
V = força cortante máxima
Cálculo da armadura de cisalhamento
1. Tensão de cisalhamento atuante:
τwd = (1,4.V)/(bw . d)
τwd = (1,4 . 908,4 kN)/(0,50 m . 0,95 m) = 2677,4 kN/m² = 0,26774 kN/cm²
2. Tensão máxima de cisalhamento:
τwd2 = 0,27 . αv2 .fcd
αv2 = 1 – (fck/250) → αv2 = 1 – (20/250) = 0,92 
τwd2 = 0,27 . αv2 .fcd → τwd2 = 0,27 . 0,92 . 14280 kN/m²= 3547,15 kN/m² 
= 0,354715 kN/cm²
Como τwd < τwd2 ok. não haverá rompimento.
Cálculo da armadura de cisalhamento
3. Área de armadura transversal:
Asw = ρw . 𝒘
ρw = 100(τwd – τc0)/39,15 
Onde,
τc0 = 0,009. 𝟐/𝟑
τc0 = 0,009. 𝟐/𝟑 = 0,066 kN/cm²
ρw = 100(0,26774 kN/cm² – 0,066 kN/cm²)/39,15 kN/cm² = 0,52
Asw = 0,52 . 50 = 26 cm²
DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE SAPATAS DE FUNDAÇÃO
Deseja-se encontrar a Área de Aço ( As)
𝒄 𝒘
𝒚𝒅
Fc d Fyd k
Fcd calculado h-cob 
𝒘
 M Fc d 
carga pontual e carga distribuída
Dimensionamento Estrutural da sapata:
Para o dimensionamento da armadura localizada na base da sapata 
será considerado uma viga engastada no eixo da viga de rigidez. 
FAZER O CÁLCULO NA DIREÇÃO DA MAIOR DIMENSÃO DA 
SAPATA
Dados:
Fck = 20 MPa
σS = 0,3 MPa = 300 kN/m2
Cobrimento=5 cm
Cálculo do Esforço de momento:
Carga distribuída:
q = 300 . 1 (largura da faixa considerada) = 300 kN/m
Carga concentrada:
P = 300 kN/m . 1,425 m = 427,50 kN
Momento:
M = 427,50 kN . 0,7125 m = 304,60 kN.m/m
𝒂
𝟐
= 
𝟐, 𝟖𝟓
𝟐
𝒂
𝟒
= 
𝟐, 𝟖𝟓
𝟒
Cálculo do coeficiente k:
K = Md / (fc. 𝒘.d²)
Sendo:
Md = 1,4 . 304,6 kN.m = 426,44 kN.m
fcd = fck/ɣc → ɣc = 1,4 (fator de segurança)
fcd = 20 MPa/1,4 = 14,28 MPa
fc = 0,85 . fcd → fc = 0,85 . 14,28 = 12,14 MPa = 12140 kN/m² = 121,4 kgf/cm² 
Portanto,
K = 426,44 / (12140 . 1 . 0,75²) = 0,062 d = h – cobrimento (d=80-5)
À cada 1m
Cálculo da área de aço:
As = [(fc . 𝒘.d)/fyd].[1- √(1-2k)]
As =[ (121,4 . 100 . 75)/4348] .[1- √(1-2 . 0,062)] 
As = 13,7 cm²/m
Cálculo da área de aço mínima exigido por norma:
Asmin = 0,15% . Ac 
Asmin = 0,15% . (100 . 80) = 12 cm²/m
Deve-se utilizar As = 13,7 cm²/m
Detalhamento da Armadura:
10,12 cm²
7,50 cm²
26 cm² [tabela Estribos]
12 cm²
13,7 cm²
Exercício Proposto 1:
Projetar uma sapata associada (dimensionamento da
geometria e dimensionamento estrutural).
Dados: fck = 15 MPa, P1 e P2 = 500 kN, σs = 0,3 MPa,
cobrimento = 5 cm.
DADOS COMPLEMENTARES:
fyd = 4348 kgf/cm²
V = 300 kN
M = -80 kN.m (superior)
M = 64 kN.m (inferior)
Exercício Proposto 2:
Projetar uma sapata associada (dimensionamento da
geometria e dimensionamento estrutural).
Dados: fck = 15 MPa, P1 e P2 = 500 kN, σs = 0,3 MPa,
cobrimento = 5 cm.
DADOS COMPLEMENTARES:
Fyd = 4348 kgf/cm²
V = 300 kN
M = -80 kN.m (superior)
M = 64 kN.m (inferior)
O radier é um tipo de estrutura de
fundação superficial (rasa), executada
em concreto armado ou protendido, que
recebe todas as cargas através de
pilares ou alvenarias da edificação,
distribuindo-as de forma uniforme ao
solo.
UTILIZAÇÕES DO RADIER:
A fundação do tipo radier é empregada quando:
• O solo possui “baixa capacidade de carga”;
• Deseja-se uniformizar os recalques;
• As áreas das sapatas se aproximam umas das outras
A escolha da disposição estrutural e das
dimensões dos elementos é, provavelmente, a
decisão mais importante do projeto, a não ser
quando a experiência prévia ou fatores
determinantes ditarem a forma exata do projeto.
Várias possibilidades devem ser estudadas,
apesar do projetista poder limitar o número de
soluções, considerando as diversas restrições.
DIMENSIONAMENTO DO 
RADIER
DICAS:
• Não é recomendável utilizar fundações rasas,
inclusive radier, quando encontrar no relatório de
sondagem: Aterro não compactado, argila mole,
areia fofa e presença de água.
• Espessuras Comuns : 10, 12, 15 ou 20 cm
(dependendo das cargas que serão descarregadas no
radier).
• O cálculo de um radier é igual ao cálculo de uma laje
maciça.
• Distância mínima da estrutura até o radier: 60 cm 
• Distância máxima da estrutura até o radier: 120 cm 
• Espessura mínima de um radier: 10 cm
Estimativa de espessura a se utilizar no radier:
h = L ( 2,5 – 0,1n) ; sendo n= número de engastes da maior laje
Exemplo: Calcular a espessura da L3
h = L ( 2,5 – 0,1n) ; 
a = 4,20 m  L = 4, 20 m
0,7b = 0,7. 6,30 = 4,41 m
h = 4,20.( 2,5 – 0,1. 2) = 9, 7 = 10 cm
Experiência prática: b/50 = 12 cm (aproximadamente)
L
EXEMPLO: Dimensionar e detalhar a estrutura do radier
indicado a seguir utilizando os seguintes dados:
Valores das tensões retirados da NBR 6118/2014
Cobertura :
Sobrecarga = 0,5 kN/m²
Telhado = 0,8 kN/m²
Revestimento = 0,5 kN/m² (valor varia entre 0,5 e 1,0 kN/m²)
Pavimento 1 :
Sobrecarga = 2,0 kN/m² (NBR - cargas residenciais)
Revestimento = 0,7 kN/m²
RESOLUÇÃO:
1– Carregamento
Cobertura espessura da laje de cobertura (m) - dado
dimensões (m)
γconc (kN/m³)
≈ 22 tfPeso próprio 11,74 . 7,44 . 0,10 . 25 = 218,36 kN
Telhado 11,74 . 7,44 . 0,80 = 69,88 kN
Revestimento 11,74 . 7,44 . 0,50 = 43,67 kN
Sobrecarga 11,74 . 7,44 . 0,50 = 43,67 kN
Total = 375,58 kN Dados da NBR
Pavimento 1 = radier
espessura do radier (m)
Peso próprio 13,34. 9,04 . 0,12 . 25 = 361,78 kN
Revestimento 13,34 . 9,04 . 0,70 = 84,42 kN
Sobrecarga 13,34 . 9,04 . 2,00 = 241,19 kN
Total = 687,39 kN
325,61 kN
pé direito
comprimento = 18,90 . 3 espessura do tijolo
Peso alvenaria = 56,70 . 2,80 . 0,14 . 13,0 = 288,94 kN
peso específico do tijolo furado
Pressão (tensão) total
carga da cobertura carga do pvto 1 carga da alvenaria
área do radier
Objetivo: comparar este valor com a tensão admissível do solo
2– Momentos Fletores (objetivo: dimensionar estruturalmente
o radier)
Para dimensionamento das armações, utilizar:
desconsidera o peso próprio do pavimento 1 = radier
1,26
3,45
1,673,26
1
5
,0
8
 
 
9
,8
6
9
,2
4
 
 
1
2
,9
3
11,67 6,84
11,67 10,78
6,47 10,78
4
,2
9
5
,6
05
,5
5
6
,8
5
Mb
MbMb
Ma
Ma
Ma
Ma
xb xb
xb
xb
xb
xb xa
xa
xa
Mb
b = maior dimensão a = menor dimensão
Usar planilha Professor Renato Grossi
Compensação de momentos negativos (X) entre L1 e L2
Xb1 = Momento negativo L1 = 6,47 kNm
Xb2 = Momento negativo L2 = 10,78 kNm
Xfinal na direção ‘b’ será o maior valor entre a média e 80% do maior 
momento negativo
𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
, ,
𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = 8,63 kNm
Xb2
Xb1
Xfinal
Compensação de momentos positivos (M) entre L1 e L2
Mb1 = Momento positivo L1 = 1,26 kN.m
Mb2 = Momento positivo L2 = 3,45 kN.m
ΔM = 0,3 * (Xmáx - Xfinal)
ΔM = 0,3 * (10,78 kNm - 8,63 kN.m)
ΔΜ = 0,65 kN.m
Μfinal = M + ΔΜ = 3,45 + 0,65 = 4,10 kN.m
Momento da laje dominante: momento negativo maior
Essa compensação
somente será realizada
para as lajes, cujos
momentos negativos
forem maiores que os
momentos equilibrados.
1,26
4,10
1,673,96
1
2
,4
7
 
1
2
,4
7
1
1
,0
9
 
1
1
,0
9
9,34 9,34
11,23 11,23
8,63 8,63
4
,2
9
6
,1
55
,5
5
7
,6
3
Dimensionar toda a estrutura com o 
maior momento negativo
Momentos positivos 
Momentos negativos
Usar planilha
CONSIDERAÇÕES PARA OS MOMENTOS FLETORES
Momento atuante na direção vertical
Momento atuante na 
direção horizontal
CONSIDERAÇÕES PARA OS MOMENTOS FLETORES
3 – Armação
Dados:
Concreto estrutural fck = 25 MPa = 2,5 kN/cm²
Aço CA 50
1) Direção Horizontal
12 – 3,0(=d’) = 9,0 cm
m
m

kN.m m cm
kN/cm² cm
d’ para radier, 
normalmente, é 
3,0 ou 3,5 cm
3 – Armação
2) Direção Vertical
𝐬 𝟏
𝟏,𝟓𝟏𝟖 .𝟏𝟎𝟎 .𝟗,𝟎
𝟒𝟑,𝟑𝟖
\m
\m
As = 4,33 cm²

EXERCÍCIO: 
DIMENSIONAR O RADIER 
A SEGUIR