Aula 04 - impressao

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ESTRUTURAS DE CONCRETO II 
AULA 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Monalisa Coelho Martins 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Neste estudo, concluiremos o exercício de dimensionamento das 
armaduras. Em seguida, procederemos ao cálculo das reações de apoio das 
lajes para as vigas, finalizando, assim, o tema relacionado às lajes. 
Posteriormente, iniciaremos o tópico de dimensionamento de pilares, que 
abrange a análise das cargas que os pilares devem suportar, incluindo forças 
axiais, momentos fletores e os efeitos de flambagem. É crucial considerar as 
características do material utilizado, as condições de apoio e as normas técnicas 
pertinentes. Um dimensionamento adequado garante que os pilares resistam a 
solicitações externas, como vento e sismos, reduzindo o risco de falhas 
estruturais. 
TEMA 1 – LAJES – DIMENSIONAMENTO DE ARMADURAS 
1.1 Continuação do exercício da Aula 3 
• Para Laje 3 
1º Passo – Momento de cálculo com coeficiente de segurança 
Momento negativo 
 𝑀𝑀𝑑𝑑2,3 = γ𝑓𝑓 . 𝑀𝑀𝑘𝑘2,3 
𝑀𝑀𝑑𝑑2,3 = 1,4 . 8,33 
𝑀𝑀𝑑𝑑2,3 = 11,66 kNm/m 
𝑀𝑀𝑑𝑑2,3 = 1166 kNm/cm 
Momento positivo 
𝑀𝑀𝑑𝑑3 = γ𝑓𝑓 . 𝑀𝑀𝑘𝑘3 
𝑀𝑀𝑑𝑑3 = 1,4 . 4,0 
𝑀𝑀𝑑𝑑3 = 5,60 kNm/m 
𝑀𝑀𝑑𝑑3 = 560 kNm/cm 
Momento positivo 
𝑀𝑀𝑑𝑑3,4 = γ𝑓𝑓 . 𝑀𝑀𝑘𝑘3,4 
𝑀𝑀𝑑𝑑3,4 = 1,4 . 7,83 
𝑀𝑀𝑑𝑑3,4 = 10,96 kNm/m 
𝑀𝑀𝑑𝑑3,4 = 1096 kNm/cm 
 
 
 
 
3 
2º Passo – Cálculo do coeficiente do concreto 
Momento negativo 
kc2,3 = 
bw . d2
Md
 
kc2,3 = 
100 . 72
1166
 
kc2,3 = 4,20 cm2/kN 
tabela 1 
Momento positivo 
kc3 = 
bw . d2
Md
 
kc3 = 
100 . 72
560
 
kc3 = 8,75 cm2/kN 
tabela 1 
Momento positivo 
kc3,4 = 
bw . d2
Md
 
kc3,4 = 
100 . 72
1096
 
kc3,4 = 4,47 cm2/kN 
tabela 1 
3º Passo – Determinação do Ks  Tabela 1 
Momento negativo 
Ks2,3 = 0,026 
Momento positivo 
Ks3 = 0,024 
Momento positivo 
Ks3,4 = 0,026 
4º Passo – Cálculo de área de aço 
Momento negativo 
𝐴𝐴𝑠𝑠2,3 = 
𝑀𝑀𝑑𝑑 . 𝑘𝑘𝑠𝑠 
𝑑𝑑
 
𝐴𝐴𝑠𝑠2,3 = 
1166. 0,026 
7
 
𝐴𝐴𝑠𝑠2,3 = 4,33 cm²/m 
Momento positivo 
𝐴𝐴𝑠𝑠3 = 
𝑀𝑀𝑑𝑑 . 𝑘𝑘𝑠𝑠 
𝑑𝑑
 
𝐴𝐴𝑠𝑠3 = 
560. 0,024 
7
 
𝐴𝐴𝑠𝑠3 = 1,92 cm²/m 
Momento positivo 
𝐴𝐴𝑠𝑠3,4 = 
𝑀𝑀𝑑𝑑 . 𝑘𝑘𝑠𝑠 
𝑑𝑑
 
𝐴𝐴𝑠𝑠3,4 = 
1096. 0,026 
7
 
𝐴𝐴𝑠𝑠3,4 = 4,07 cm²/m 
5º Passo – Verificação da taxa de armadura mínima - Tabela 2 
 Para concreto FCK 20 MPa 
𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑚𝑚í𝑛𝑛 = ρ𝑠𝑠,𝑚𝑚í𝑛𝑛 bw. h 
ρ𝑠𝑠,𝑚𝑚í𝑛𝑛 = 0,15% então, 
𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑚𝑚í𝑛𝑛 = 0,15
100
. 100.12 = 1,80 cm²/m  área de aço mínima da NBR 6118 
 
 
 
 
4 
6º Passo – Espaçamento 
Momento negativo 
AÇO ADOTADO 
φ 8,0 mm 
𝑠𝑠2,3 = 𝐴𝐴φ
𝐴𝐴𝑠𝑠
 então, 
𝑠𝑠2,3 =
0,50
4,33
 = 0,12 m 
Adotar número inteiro 
𝑠𝑠 = 12 cm 
(arredondar para baixo) 
Momento positivo 
AÇO ADOTADO 
φ 6,3 mm 
𝑠𝑠3 = 𝐴𝐴φ
𝐴𝐴𝑠𝑠
 então, 
𝑠𝑠3 = 0,32
1,92
 = 0,16 m 
Adotar número inteiro 
𝑠𝑠 = 16 cm 
(arredondar para baixo) 
Momento positivo 
AÇO ADOTADO 
φ 8,0 mm 
𝑠𝑠3,4 = 𝐴𝐴φ
𝐴𝐴𝑠𝑠
 então, 
𝑠𝑠3,4 = 0,50
4,07
 = 0,12 m 
Adotar número inteiro 
𝑠𝑠 = 12 cm 
(arredondar para baixo) 
Agora, vamos analisar se está dentro do espaçamento permitido por 
norma: 
Armadura principal  7 cm ≤ s ≤ min �𝟐𝟐𝟐𝟐 𝐜𝐜𝐜𝐜
𝟐𝟐𝟐𝟐 � → 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄 
 
Momento negativo 
Armadura principal 
7 cm ≤ s ≤ min �20 cm
24 cm� 
 calculado 12 cm ok! 
Momento positivo 
Armadura principal 
7 cm ≤ s ≤ min �20 cm
24 cm� 
 calculado 16 cm ok! 
Momento positivo 
Armadura principal 
7 cm ≤ s ≤ min �20 cm
24 cm� 
calculado 12 cm ok! 
Créditos: Mr.Creative/Shutterstock. 
7º Passo – Quantidade de barras 
Momento negativo 
Armadura principal 
𝑄𝑄2,3 = 𝑙𝑙
𝑠𝑠
 + 1 então, 
𝑄𝑄2,3 =
400
12
 + 1 = 34,3 
barras 
Adotado  35 barras 
Momento positivo 
Armadura principal 
𝑄𝑄3 = 𝑙𝑙
𝑠𝑠
 + 1 então, 
𝑄𝑄3 =
500
16
 + 1 = 32,25 barras 
 
Adotado  33 barras 
Momento positivo 
Armadura principal 
𝑄𝑄3,4 = 𝑙𝑙
𝑠𝑠
 + 1 então, 
𝑄𝑄3,4 =
400
12
 + 1 = 34,3 
barras 
Adotado  35 barras 
 
 
 
5 
Saiba mais 
Reflita: foi calculado com diâmetros diferentes para que os espaçamentos 
fiquem no mesmo padrão de distância, pensando na execução da obra. 
Sugestão: refaçam o cálculo do espaçamento utilizando aço de 6,3 mm e avaliem 
se os espaçamentos continuam dentro na NBR 6118 (ABNT, 2023). 
8º Passo – Resumo Laje 3 
Armadura principal negativa: 35 φ 8,0 mm com 12 cm 
Armadura principal positiva: 33 φ 6,3 mm com 16 cm 
Armadura principal positiva: 35 φ 8,0 mm com 12 cm 
• Para Laje 4 
1º Passo – Momento de cálculo com coeficiente de segurança 
Momento negativo 
 𝑀𝑀𝑑𝑑4 = γ𝑓𝑓 . 𝑀𝑀𝑘𝑘 
𝑀𝑀𝑑𝑑4 = 1,4 . 6,05 
𝑀𝑀𝑑𝑑4 = 8,47 kNm/m 
𝑀𝑀𝑑𝑑4 = 847 kNm/cm 
 2º Passo – Cálculo do coeficiente do concreto 
Momento negativo 
𝑘𝑘𝑐𝑐4 = 
𝑏𝑏𝑏𝑏 . 𝑑𝑑2
𝑀𝑀𝑑𝑑
 
𝑘𝑘𝑐𝑐4 = 100 .72
847
 
𝑘𝑘𝑐𝑐4 = 5,79 𝑐𝑐𝑚𝑚2/𝑘𝑘𝑘𝑘  tabela 1 
3º Passo – Determinação do KS  Tabela 1 
Momento negativo 
Ks4 = 0,025 
 
 
 
 
 
6 
4º Passo – Cálculo de área de aço 
Momento negativo 
𝐴𝐴𝑠𝑠,4 = 
𝑀𝑀𝑑𝑑 . 𝑘𝑘𝑠𝑠 
𝑑𝑑
 
𝐴𝐴𝑠𝑠,4 = 
847. 0,025 
7
 
𝐴𝐴𝑠𝑠,4 = 3,03 cm²/m 
5º Passo – Verificação da taxa de armadura mínima  Tabela 2 
Para concreto fck 20 MPa. 
𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑚𝑚í𝑛𝑛 = ρ𝑠𝑠,𝑚𝑚í𝑛𝑛 bw. h e 
ρ𝑠𝑠,𝑚𝑚í𝑛𝑛 = 0,15% então, 
𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑚𝑚í𝑛𝑛 = 0,15
100
. 100.12 = 1,80 cm²/m  área de aço mínima da NBR 6118 
6º Passo – Espaçamento 
Momento negativo 
AÇO ADOTADO 
φ 8,0 mm 
𝑠𝑠4 = 𝐴𝐴φ
𝐴𝐴𝑠𝑠
 então, 
𝑠𝑠4 = 0,50
3,03
 = 0,17 m 
 17 cm 
 Adotar número inteiro 𝑠𝑠 = 17 cm 
Momento positivo 
AÇO ADOTADO 
φ 6,3 mm 
𝑠𝑠4 = 𝐴𝐴φ
𝐴𝐴𝑠𝑠
 então, 
𝑠𝑠4 = 0,32
1,80
 = 0,18 m 
 18 cm 
 Adotar número inteiro 𝑠𝑠 = 18 cm 
Agora, vamos analisar se o espaçamento está dentro da norma: 
Armadura principal  7 cm ≤ s ≤ min �20 cm
2h � → ℎ = 12 𝑐𝑐𝑚𝑚 
Momento negativo 
Armadura principal 
7 cm ≤ s ≤ min �20 cm
24 cm� 
calculado 17 cm ok! 
Momento positivo 
Armadura secundária 
10 cm ≤ s ≤ 33 cm 
calculado 18 cm ok! 
 
 
7 
Créditos: Mr.Creative/Shutterstock. 
7º Passo – Quantidade de barras 
Saiba mais 
Importante: foi calculado com diâmetros diferentes para que os 
espaçamentos fiquem no mesmo padrão. Sugestão: refaçam o cálculo do 
espaçamento utilizando aço de 6,3 mm e avaliem se os espaçamentos 
continuam dentro na norma. 
Momento negativo 
Armadura principal 
𝑄𝑄 = 𝑙𝑙
𝑠𝑠
 + 1 então, 
𝑄𝑄 = 980
17
 + 1 = 70 barras 
Adotado  70 barras 
8º Passo – Resumo Laje 4 
Momento positivo 
Armadura secundária 
𝑄𝑄 = 𝑙𝑙
𝑠𝑠
 + 1 então, 
𝑄𝑄 = 120
18
 + 1 = 6,6 barras 
Adotado  7 barras 
 
Armadura principal: 70 φ 8,0 mm com 17 cm 
Armadura Secundária: 7 φ 6,3 mm com 18 cm 
• Armadura positiva calculada 
 
• Armadura negativa calculada 
 
 
33 φ 6,3 mm c/ 16 cm
35 φ 8,0 mm c/ 12 cm
70 φ 8,0 mm c/ 17 cm
 
 
8 
 
TEMA 2 – REAÇÕES DE APOIO 
Conforme vimos anteriormente, a distribuição das cargas sobre as vigas 
que sustentam uma laje armada é calculada pelo método das áreas descrito na 
NBR 6118. As reações obtidas são tratadas como uniformemente distribuídas 
nas vigas de suporte, o que permite uma simplificação no processo de cálculo. 
O cálculo das reações pode ser realizado utilizando tabelas, assim como 
estamos utilizando para os cálculos dos momentos fletores máximos, positivos 
e negativos. Essas tabelas são baseadas no método das áreas e fornecem 
coeficientes adimensionais (υ1, υ2, υ3 e υ4) que dependem das condições de 
apoio e da razão entre os comprimentosα = 𝑙𝑙𝑦𝑦
𝑙𝑙𝑥𝑥
. Com esses coeficientes, é 
possível determinar as reações de suporte. O fator de multiplicação depende de 
lx e é o mesmo para todos os casos. 
Agora, vamos continuar com o nosso exemplo de painel de laje que já 
realizamos os cálculos e uniformização dos momentos fletores e das armaduras 
e agora serão determinadas as reações de apoio nas vigas das lajes L1, L2, L3 e 
L4. 
2.1 Exemplo 1 – Determinar as reações de apoio (método da tabela) 
Determinar as reações de apoios nas vigas V1, V2, V3, V4, V5 e V6 do painel 
a seguir representado, considerando os dados estruturais listados. 
• Painel de laje maciça de concreto armado 
30 N5 φ 6,3 mm c/ 17 cm 35 φ 8,0 mm c/ 12 cm
70 φ 8,0 mm c/ 17 cm
 
 
9 
 
Dados: 
Estado limite último, combinações últimas normais (γg = 1,4 e γq = 1,4) 
• fck = 20 Mpa. 
• Ecs = 21.000 MPa = 21.000.000 N/cm². 
• Carga permanente uniformemente distribuída (gk): 4 kN/m². 
• Carga acidental uniformemente distribuída (qk): 2 kN/m². 
• Altura útil: 7 cm. 
• Espessura da laje: 12 cm. 
• Peso próprio das vigas (20 cm x 50 cm): 2,5 kN/m. 
• Laje L1 
Passo 1 – Carregamento Distribuído 
Para as lajes armadas em uma só direção, a solução é simples. A carga 
total da laje é transferida para as vigas colocadas paralelas à direção do 
comprimento menor. Sendo assim, toda a carga da laje é transferida, em 
igualdade, para as vigas V3 e V4 da laje 1. 
• Carga permanente uniformemente distribuída (gk): 4 kN/m². 
• Carga acidental uniformemente distribuída (qk): 2 kN/m². 
Passo 2 – Curvatura da laje 
α = 𝑙𝑙𝑦𝑦1
𝑙𝑙𝑥𝑥1 
  α = 4,0
1,8
 = 2,22 
α > 2  armada em uma direção - (menor vão) 
L1
1,8 m
4,
0 
m
L2
3,0 m
L4
1,
2 
m
L3
5,0 m
P1 P2
P3 P4
V1A
V2A
V3 V4 V5 V6
V1B
V2B
V1C
V2C
 
 
10 
Passo 3 – Cálculo da carga permanente e acidental nas vigas 
Área: 
AL1 = lx . ly 
AL1 = 1,8 m . 4,0 m = 7,2 m² 
Carga permanente total: 
PL1 = AL1. gk 
PL1 = 7,2 m². 4,0 kN/m² = 28,8 kN 
Espessura da Laje 1: 
ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 = 𝑙𝑙𝑥𝑥
40
  300
40
 = 7,5 cm 
ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 = 8 cm adotado (conforme critérios da NBR 6118 visto anteriormente) 
Peso próprio da Laje 1: 
PP L1 = lx . ly . ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 . γ𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐.𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 
γ𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐.𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 = 25 kN/m³ 
PP L1 = 1,8 m . 4,0 m . 0,08 m . 25,00 kN/m³ = 14,4 kN 
Agora, soma-se a carga permanente total e o peso próprio da laje para 
encontrar carga uniformemente distribuída (q): 
q = PL1 + + PP L1 
q = 28,8 k/N + 14,4 KN 
q = 43,2 kN 
Esse peso será transferido para as duas vigas, cada uma com 4 metros. 
A carga permanente por metro transmitida será: 
q = 𝑞𝑞 (𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎𝑎𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑝𝑝 [𝑘𝑘𝑘𝑘])
𝑉𝑉(𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎𝑛𝑛𝑝𝑝𝑚𝑚𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑐𝑐𝑎𝑎𝑠𝑠) 𝑥𝑥 (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑝𝑝𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑐𝑐𝑎𝑎 [𝑚𝑚])
 
q = 43,2
2 𝑥𝑥 4
= 5,4 kN/m 
Peso acidental total: 
PL1 = AL1. qk 
PL1 = 7,2 m². 2,0 kN/m² = 14,4 kN 
O peso da carga acidental também será transferido para as duas vigas, 
cada uma com 4 metros. A carga acidental por metro transmitida será: 
 
 
11 
q' = 𝑞𝑞 (𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑚𝑚𝑑𝑑𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑎𝑎𝑙𝑙 [𝑘𝑘𝑘𝑘])
𝑉𝑉(𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎𝑛𝑛𝑝𝑝𝑚𝑚𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑐𝑐𝑎𝑎𝑠𝑠) 𝑥𝑥 (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑝𝑝𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑐𝑐𝑎𝑎 [𝑚𝑚])
 
q' = 14,4
2 𝑥𝑥 4
= 1,8 kN/m 
Passo 4 – Distribuição das cargas distribuídas para as vigas 
 A distribuição das cargas nas vigas é ilustrada na figura a seguir. 
Reações de apoio devido à carga 
permanente de 4,0 kN/m² 
Reações de apoio devido à 
carga acidental de 2,0 kN/m² 
 
• Laje L2 
Passo 1 – Carregamento distribuído 
Para as lajes armadas em duas direções o processo de cálculo muda um 
pouco. Vamos continuar empregando as tabelas de Barës-Czerny, contudo, 
utilizando os coeficientes para cálculo de cargas nas vigas (υ). 
Carga permanente uniformemente distribuída (gk): 4 kN/m² 
Carga acidental uniformemente distribuída (qk): 2 kN/m² 
Passo 2 – Curvatura da laje 
α = 
 ly2
lx2 
  α = 
 4,0
3,0
 = 1,33 
α = 1,33 se α 2  armada em uma direção (menor vão) 
Passo 3 – Cálculo da carga permanente eacidental nas vigas 
Área: 
AL4 = lx . ly 
AL4 = 1,2 m . 9,8 m = 11,76 m² 
Carga permanente total: 
PL4 = AL4. gk 
PL4 = 11,76 m². 4,0 kN/m² = 47,04 kN 
Espessura da Laje 1: 
ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 = 𝑙𝑙𝑥𝑥
40
  120
40
 = 3 cm 
ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 = 8 cm adotado (conforme critérios da NBR 6118 visto anteriormente) 
Peso próprio da Laje 1: 
PP L4 = lx . ly . ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 . γ𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐.𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 
γ𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐.𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 = 25 kN/m³ 
PP L4 = 1,2 m . 9,8 m . 0,08 m . 25,00 kN/m³ = 23,52 kN 
Agora, soma-se a carga permanente total e o peso próprio da laje para 
encontrar carga uniformemente distribuída (q): 
q = PL4 + + PP L4 
q = 47,04 k/N + 23,52 KN 
q = 70,56 kN 
 
 
 
15 
Esse peso será transferido para a viga, com 9,8 metros. A carga 
permanente por metro transmitida será: 
q = 𝑞𝑞 (𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎𝑎𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑝𝑝 [𝑘𝑘𝑘𝑘])
𝑉𝑉(𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎𝑛𝑛𝑝𝑝𝑚𝑚𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑐𝑐𝑎𝑎𝑠𝑠) 𝑥𝑥 (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑝𝑝𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑐𝑐𝑎𝑎 [𝑚𝑚])
 
q = 70,56
9,8
= 7,2 kN/m 
Peso acidental total: 
PL4 = AL4. qk 
PL4 = 11,76 m². 2,0 kN/m² = 23,52 kN 
O peso da carga acidental também será transferido para as duas vigas, 
cada uma com 4 metros. A carga acidental por metro transmitida será: 
q' = 𝑞𝑞 (𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑚𝑚𝑑𝑑𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑎𝑎𝑙𝑙 [𝑘𝑘𝑘𝑘])
𝑉𝑉(𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎𝑛𝑛𝑝𝑝𝑚𝑚𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑐𝑐𝑎𝑎𝑠𝑠) 𝑥𝑥 (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑝𝑝𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑐𝑐𝑎𝑎 [𝑚𝑚])
 
q' = 23,52
9,8
= 2,4kN/m 
Passo 4 – Distribuição das cargas distribuídas para as vigas 
 A distribuição das cargas nas vigas é ilustrada na figura a seguir. 
Reações de apoio devido a carga permanente de 4,0 kN/m² 
 
Reações de apoio devido a carga acidental de 2,0 kN/m² 
 
 
L4
9,8 m
1,
2 
m
R1 = 3,488 kN/m
V2
L4
9,8 m
1,
2 
m
R1 = 3,488 kN/m
V2
R1 = 1,744 kN/m
V2
 
 
16 
TEMA 3 – ESTUDO DOS PILARES DE UMA EDIFICAÇÃO 
3.1 Classificação de pilar, tirante, pilar-parede e viga inclinada 
Antes de iniciarmos o dimensionamento dos pilares, é fundamental 
entender a natureza do elemento estrutural em questão. Frequentemente, há 
confusões entre pilares, tirantes, pilares-parede e vigas inclinadas, sendo 
tratados como elementos equivalentes. A Figura 1 apresenta os quatros 
elementos estruturais citados anteriormente. 
Figura 1 – Elementos estruturais
 
Fonte: Martins, com base em Neto, 2024. 
O dimensionamento de cada um apresenta diferenças significativas. 
Assim, a correta identificação do elemento em análise é essencial antes de 
avançar para os cálculos estruturais. Segundo as diretrizes da NBR 6118 (ABNT, 
2023), pilares são “elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na 
vertical, em que as forças normais de compressão são preponderantes”. 
Os tirantes são elementos estruturais que atuam predominantemente sob 
tensão, ou seja, é projetado para suportar forças que tendem a alongá-lo. 
Geralmente, os tirantes são utilizados para estabilizar estruturas, transferindo 
cargas de compressão ou tensão entre diferentes partes de uma edificação, 
como em sistemas de treliça ou estruturas de suporte. Eles são frequentemente 
feitos de aço ou outros materiais resistentes à tração, proporcionando eficiência 
e segurança nas construções. 
Um pilar-parede é um elemento estrutural que combina as funções de pilar 
e parede. Ele é projetado para suportar cargas verticais, como os pilares, 
 
 
17 
enquanto também atua como uma barreira ou divisão, similar a uma parede. 
Esses elementos são frequentemente utilizados em construções de concreto, 
onde podem proporcionar tanto resistência estrutural quanto funcionalidade, 
como isolamento acústico e térmico. Os pilares-parede são essenciais em 
projetos de edificações para otimizar o espaço e melhorar a eficiência estrutural. 
Uma viga inclinada é um elemento estrutural que se apresenta em uma 
posição não horizontal, geralmente com um ângulo em relação ao plano 
horizontal. Esse tipo de estrutura irá apresentar esforços significativos de 
cisalhamento e flexão. É utilizada em construções para transferir cargas de uma 
parte da estrutura para outra, podendo ser aplicada em telhados, lajes inclinadas 
ou como parte de sistemas de suporte. 
3.2 Pilares 
Como vimos, os pilares são lineares de eixo reto, usualmente dispostos 
na vertical e juntamente com as vigas, os pilares compõem os pórticos, que, na 
maioria das construções, são responsáveis por suportar as ações verticais e 
horizontais, assegurando a estabilidade global da estrutura. As ações verticais 
são transmitidas aos pórticos por meio das estruturas dos andares, enquanto as 
ações horizontais resultantes da ação do vento são conduzidas aos pórticos 
pelas paredes externas. 
Os pilares de concreto armado irão sofrer força de compressão axial, 
devido as cargas da estrutura. O módulo de elasticidade do aço desempenha 
um papel fundamental no projeto e na análise de estruturas de aço. Ele afeta 
diretamente a capacidade de carga, a rigidez e a deformação das estruturas. Um 
módulo de elasticidade alto indica um aço mais rígido, capaz de suportar grandes 
cargas sem deformações excessivas. Nesse contexto, o módulo de elasticidade 
do aço é Es = 210 GPa e, para comparação, ao módulo de elasticidade do 
concreto o valor é Ec = 21 GPa. Portanto, ao utilizar ambos os materiais em um 
pilar, a força de compressão aplicada à estrutura será predominantemente 
suportada pelo aço, que absorverá uma carga maior em comparação ao 
concreto. Isso ocorre devido ao aço ter maior módulo de elasticidade (oferece 
maior dificuldade de ser comprimido) do que o concreto (Botelho; Marchetti, 
2019). 
 
 
 
18 
Saiba mais 
Importante: não é correto falar do módulo do concreto (Ec) como um 
número fixo, já que esse valor varia com p fck. O valor numérico indicado no texto 
é apenas um exemplo comparativo. De qualquer forma, a variação do módulo de 
elasticidade do concreto (Ec) não é significativa quando se compara com o 
módulo de elasticidade do aço é (Es), visto que sempre é um valor muito maior 
(Botelho; Marchetti, 2019). 
Em resumo, os elementos estruturais verticais lineares com eixo reto, 
que apresentam predominância de forças de compressão ao longo de seu eixo 
longitudinal e pequenas excentricidades em relação ao centroide da seção 
transversal, são caracterizados como pilares (Argenta, 2021). 
TEMA 4 – CARGAS NOS PILARES 
4.1 Conceito 
Nas estruturas convencionais, formadas por lajes, vigas e pilares, o fluxo 
de cargas se inicia nas lajes, que transferem as cargas para as vigas, as quais, 
por sua vez, encaminham as forças para os pilares, que as conduzem até a 
fundação, conforme ilustra a Figura 2. 
Figura 2 – Caminho das cargas na estrutura 
 
Fonte: Martins, com base em Botelho e Marchetti, 2019. 
As lajes recebem tanto as cargas permanentes (peso próprio, 
revestimentos etc.) quanto as variáveis (ocupação, equipamentos etc.), 
transmitindo-as para as vigas de suporte. As vigas, além de suportar seu próprio 
Pilar Pilar
Carga distribuída
Viga
Ação do vento
 
 
19 
peso e as cargas transferidas pelas lajes, também suportam cargas adicionais 
provenientes de paredes e cargas concentradas de outras vigas, levando todas 
essas forças para os pilares aos quais estão conectadas. 
Os pilares desempenham a função de receber as cargas provenientes dos 
andares superiores, acumulando as reações das vigas em cada nível e 
transmitindo esses esforços para as fundações. Em edifícios de múltiplos 
andares, para cada pilar e em cada nível de andar, calcula-se o subtotal de carga 
atuante, abrangendo desde a cobertura até os andares inferiores. Essas cargas, 
no nível de cada andar, são utilizadas para o dimensionamento dos elementos 
do pilar, enquanto a carga total é empregada no projeto da fundação (Pinheiro, 
2007). 
Em estruturascompostas por lajes sem vigas, as cargas são transmitidas 
diretamente das lajes para os pilares. Nesses casos, é imprescindível uma 
atenção especial à verificação de punção nas lajes. 
4.2 Dimensões mínimas 
A NBR 6118 (ABNT, 2023) estabelece que a seção transversal dos 
pilares, independentemente de sua forma, não deve ter dimensões inferiores a 
19 cm. Em situações excepcionais, admite-se a consideração de dimensões 
variando entre 19 cm e 14 cm, desde que no dimensionamento as ações sejam 
multiplicadas por um coeficiente adicional γn, conforme indicado na Tabela 1 e 
fundamentado na Equação 1: 
γn = 1,95 – 0,05 . b Equação 1 
Em que: b é a menor dimensão da seção transversal do pilar (em cm). 
Tabela 1 – Valores do coeficiente adicional γn em função de b 
b (cm) ≥ 19 18 17 16 15 14 
γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 
Fonte: ABNT, 2023. 
Assim, o coeficiente γn deve ser aplicado para aumentar os esforços 
solicitantes finais de cálculo nos pilares durante o processo de 
dimensionamento. 
 
 
 
20 
Saiba mais 
Importante: independentemente das dimensões laterais, a ABNT NBR 
6118 estabelece que a área da seção transversal dos pilares não deve ser 
inferior a 360 cm². 
4.3 Comprimento equivalente 
O comprimento equivalente e do elemento comprimido (pilar), suposto 
vinculado em ambas as extremidades, é dado pela Equação 2 e é ilustrado na 
Figura 3. 
𝑙𝑙𝑝𝑝 = 𝑙𝑙0 + h ≤ 𝑙𝑙 Equação 2 
Em que: 
𝑙𝑙0 é a distância entre as faces internas dos elementos estruturais, 
supostos horizontais, que vinculam o pilar. 
h é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura 
em estudo. 
𝑙𝑙 é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar 
está vinculado. 
Figura 3 – Elemento isolado de estrutura 
 
Fonte: Martins, com base em Argenta, 2021. 
Viga 
Pilar 
Eixo da viga 
 
 
21 
Os pilares serão tratados como tendo seção e armadura constantes ao 
longo de seu eixo, sujeitos a flexo-compressão. Eles suportam as cargas 
provenientes das vigas, que estão se deformando, como ilustrado na Figura 4. 
Nessas circunstâncias, além da carga uniformemente distribuída, um momento 
fletor adicional é gerado no pilar. Importante destacar que os estribos irão 
combater a flambagem das armaduras longitudinais. 
Figura 4 – Elemento isolado de estrutura
 
Fonte: Botelho e Marchetti, 2019. 
Para exemplificar essa teoria, vamos considerar um pilar que está 
recebendo uma carga vertical P (não obrigatoriamente centrada). A tensão de 
compressão do pilar, não considerando o peso próprio do pilar, seria σ = 𝑃𝑃
𝐴𝐴
, se a 
excentricidade fosse nula, M=0. 
Contudo, quando consideramos a excentricidade (Figura 5) e, associada 
à força P, cria momento fletor M = (P.e) que sobrecarrega a face C e descarrega 
a face B do pilar, conforme descrito nas Estuações 3 e 4: 
σ𝐵𝐵= 𝑃𝑃
𝐴𝐴
− 𝑀𝑀
𝑊𝑊
 Equação 3 
σ𝐶𝐶= 𝑃𝑃
𝐴𝐴
+ 𝑀𝑀
𝑊𝑊
 Equação 4 
Em que: 
A é a área da seção. 
W é o módulo de resistência da seção. 
M = (P . e) é o momento fletor causado pela excentricidade e e pela carga 
P. 
 
 
 
22 
Figura 5 – Detalhe do pilar recebendo uma carga excêntrica 
 
Fonte: Botelho e Marchetti, 2019. 
Podemos verificar que, à medida que a excentricidade é reduzida, o 
acréscimo de tensões em C e em B pode ser considerado desprezível. Do 
contrário, considerando a excentricidade, a face C seria muito comprimida e, na 
face B, a tensão passaria a ser de tração (se 𝑀𝑀
𝑊𝑊
 > 𝑃𝑃
𝐴𝐴
 ). Um exemplo é a construção 
de chaminés de alvenaria (Figura 6). A alvenaria resiste razoavelmente bem à 
compressão e trabalha muito mal à tração. Se durante a construção o eixo da 
chaminé se deslocar, o peso próprio que atua sairá do eixo, criando momentos 
fletores e, com ele, trações na alvenaria, que, não resistindo, poderá levar ao 
colapso. 
Figura 6 – Construção de chaminé de alvenaria, com e sem excentricidade 
 
Fonte: Botelho e Marchetti, 2019. 
1º caso: construção geometricamente perfeita, sem excentricidade da carga 
(e=0) e a tensão de compressão na base da chaminé será: σ = 𝑃𝑃
𝐴𝐴
 . 
2º caso: construção com excentricidade (e1), com isso ocorre um momento fletor, 
que sobrecarrega a face 2 e descarrega a face 1, sendo: σ1 = 𝑃𝑃
𝐴𝐴
 - 𝑀𝑀1
𝑊𝑊
 e 
σ2 = 𝑃𝑃
𝐴𝐴
 + 𝑀𝑀1
𝑊𝑊
, ou seja, M1 = (P. e1). 
 
 
23 
3º caso: construção com mais excentricidade (e1) para (e2), ocorre um momento 
fletor maior em relação ao M1, que sobrecarrega a face 2 e descarrega 
a face 1, sendo: σ2 = 𝑃𝑃
𝐴𝐴
 - 𝑀𝑀2
𝑊𝑊
 e σ2 = 𝑃𝑃
𝐴𝐴
 + 𝑀𝑀2
𝑊𝑊
, ou seja, M2 = (P. e2). 
4.4 Considerações sobre flambagem 
O índice de esbeltez de um pilar é uma medida que relaciona a altura do 
pilar (ou comprimento efetivo) à sua largura (ou dimensão característica). É 
utilizado para avaliar a suscetibilidade de um pilar à flambagem. Quanto maior o 
índice de esbeltez, maior é o risco de flambagem sob compressão axial. 
Considerando dois pilares (Figura 7), de seção iguais submetidos à mesma força 
P, contudo com alturas diferentes. Nos dois casos, temos a ação da carga e a 
reação dos apoios. Entre os dois modelos, qual parece ser mais estável e mais 
resistente? Pela nossa experiência, sabemos que o aumento da altura do pilar 
proporciona a redução da resistência e, esse fenômeno é explicado pelo 
fenômeno da flambagem. Podemos garantir que, se os pilares fossem 
construídos de forma geométrica perfeita, se a força fosse centrada no eixo ou 
tivesse uma distribuição uniforme, não ocorreria a perda da resistência quando 
eles têm aumento da altura, ou seja, não ocorreria a flambagem. Contudo, na 
prática, nenhum pilar tem sua construção geométrica perfeita, a carga não é 
colocada geometricamente no meio nem é distribuída corretamente. O que 
ocorre na realidade são excentricidades entre a carga e o eixo do pilar, causando 
um momento adicional, conforme discutimos nas Equações 3 e 4. 
Figura 7 – Efeito da flambagem em pilares 
 
Fonte: Botelho; Marchetti, 2019. 
 
 
24 
O fenômeno de flambagem pode se dar em qualquer posição. Não adianta 
ter um pilar resistente em um lado e fraco do outro. Para resolver esse problema, 
devemos nos preocupar com a seção de menor módulo de resistência (W), pois 
é para ele que teremos o maior coeficiente 𝑀𝑀
𝑊𝑊
 . 
A Figura 8 ilustra como a forma dos pilares está intimamente ligada à 
resistência do elemento e à flambagem. Diferentes formatos em planta que 
produzem, segundo algum eixo, momentos de inércia reduzidos, farão com que 
aumente a possibilidade de flambagem, ou seja, dados dois pilares, com a 
mesma altura, a mesma taxa de armadura e tendo a mesma área de concreto, 
o pilar A resiste menos que o pilar B. 
Figura 8 – Resistência à flambagem 
 
Fonte: Botelho e Marchetti, 2019. 
Conforme a Figura 8, é possível verificar que o pilar A tem boa condição 
de não flambar em relação ao eixo yy e possui elevada condição de flambar em 
relação ao eixo xx. Já o pilar B tem chances iguais de flambar em relação ao 
eixo xx. 
TEMA 5 – CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES 
A classificação de pilares permite entender as diferentes funções e 
comportamentos desses elementos em uma edificação. Os pilares podem ser 
categorizados de várias formas, incluindo sua geometria, modo de 
carregamento, material utilizado e condições de apoio. Essa classificação é 
essencial para a escolha adequada de técnicas de dimensionamento e análise 
estrutural, além de influenciar diretamente a segurança e a eficiência da estrutura 
como um todo. Os pilares podem ser considerados esbeltos ou robustos, 
dependendo do índice de esbeltez, e podem ser classificados em pilares de 
seção retangular, circular, entre outros. Compreender essas categorias é crucial 
para garantirque os pilares atendam às exigências de resistência e estabilidade. 
 
 
25 
5.2 Classificação conforme a posição no projeto arquitetônico 
Os pilares podem ser classificados com base em sua localização, como 
pilares centrais, que suportam cargas diretamente do teto ou laje, e pilares 
periféricos, que ajudam a definir as bordas da edificação. Além disso, podem ser 
agrupados conforme sua interação com a geometria do espaço, conforme ilustra 
a Figura 10. 
Figura 10 – Tipos de pilares 
Pilar central 
 
Suportam predominantemente cargas 
verticais e não estão sujeitos a momentos 
significativos. 
Pilar lateral 
 
Apoia trecho intermediário de viga contínua 
em um sentido. 
Suporta a outra extremidade da viga de forma 
diferente. 
Está sujeito à flexocompressão normal. 
Frequentemente localizado nas bordas do 
edifício. 
Pilar de canto 
 
Apoia extremidades de vigas nos dois 
sentidos. 
 Está sendo solicitado à flexocompressão 
oblíqua. 
 Geralmente se localiza nos cantos do 
edifício. 
Fonte: Martins, com base em Neto, 2024. 
 
 
 
26 
5.2 Índice de esbeltez (λ) 
No que se refere à flambagem, é importante determinar dois parâmetros: 
o raio de giração e o índice de esbeltez. Teoricamente, o raio de giração de uma 
secção representa o quanto a área equivalente dessa secção, considerada toda 
concentrada, está distante do seu centro de giro, mantendo a mesma inércia da 
secção original (Figura 11). 
Figura 11 – Configuração das dimensões do pilar 
 
Fonte: Bomjardim; Fernandes; Gualberto, 2024. 
Matematicamente, o raio de giração é expresso pela relação: 
𝑖𝑖𝑦𝑦 = �𝑙𝑙𝑦𝑦
𝐴𝐴
 ou 𝑖𝑖𝑥𝑥 = �𝑙𝑙𝑥𝑥
𝐴𝐴
 Equação 5 
Em que: 
I é o momento de inércia da seção transversal em x ou y. 
A é a área de seção transversal do pilar. 
Para o caso em que a seção transversal é retangular, resulta (Equação 
6): 
 Equação 6 
 
 
 
27 
Matematicamente, o índice de esbeltez λ é definido conforme Equação 
7: 
λ𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑒𝑒,𝑥𝑥
𝑚𝑚𝑦𝑦
 ou λ𝑦𝑦 = 𝑙𝑙𝑒𝑒,𝑦𝑦
𝑚𝑚𝑥𝑥
 Equação 7 
Para seções transversais retangulares, tem-se (Equação 8): 
λ = 𝑙𝑙𝑒𝑒
𝑚𝑚
 = 𝑙𝑙𝑒𝑒
ℎ
√12
→ λ = 𝑙𝑙𝑒𝑒 √12
ℎ
  λ = 3,46 𝑙𝑙𝑓𝑓𝑙𝑙 
𝑏𝑏𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
 Equação 8 
Em que: 
𝑙𝑙𝑝𝑝 é o comprimento efetivo do pilar. 
lfl é o comprimento de flambagem. 
h considera-se o menor lado do pilar, podendo ser representado por bmin. 
i é seu raio de giração. 
Para outras seções, tem-se (Equação 9): 
λ = 𝑙𝑙𝑓𝑓𝑙𝑙 
𝑚𝑚
 Equação 9 
Sendo: 
 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝐿𝐿 para pilares travados. 
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 2𝐿𝐿 para pilares não travados. 
O comprimento de flambagem para barras isoladas segue de acordo com 
as convolações das extremidades do pilar (Figura 12). 
Figura 12 – Comprimento de flambagem para barras isoladas 
 
Fonte: Bomjardim; Fernandes; Gualberto, 2024. 
 
 
28 
Segundo a NBR 6118, a classificação dos pilares quanto à esbeltez pode 
ser definida como: 
• Pilares curtos  λ ≤ 35. 
• Pilares médios  35