Aula-03 Cálculo

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Instituto de Matema´tica - UFRJ
Ca´lculo 1 - Semipresencial
Aula 3 – O limite de uma func¸a˜o - ass´ıntotas
Este material foi produzido no aˆmbito do projeto “Elaborac¸a˜o de material para disciplinas na
modalidade semi-presencial”, do Departamento de Matema´tica do IM/UFRJ.
Equipe:
Coordenac¸a˜o: Paulo Amorim
Participantes: Bruno Telch, Rafael Lobosco, Leonardo Damasceno
Noc¸a˜o de limite
Um dos objetivo dessa aula e´ entender com precisa˜o a seguinte tirinha retirada da pa´gina
“Piadas Nerds”:
O que significa quando dizemos que uma quantidade se aproxima de um certo valor limite?
Consideremos, por exemplo, a a´rea dos pol´ıgonos de lado n “ 3, n “ 6 e n “ 14 inscritos
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em uma circunfereˆncia, como na figura:
O que acontece ao valor da a´rea quando n cresce? Intuitivamente esse valor se aproxima
indefinidamente da a´rea do circulo no qual tais poligonos esta˜o inscritos, pore´m sem
nunca la´ chegar. Poder´ıamos dizer que, quando n e´ infinito, o pol´ıgono de n lados e´
a circunfereˆncia. Pore´m, “n ser infinito” e´ um conceito que na˜o esta´ definido... afinal,
“infinito” na˜o e´ um nu´mero. Mesmo assim, e´ claro que, em algum sentido, podemos dizer
que a` medida que n cresce, o pol´ıgono de n lados se aproxima da circunfereˆncia ta˜o perto
quanto queiramos.
Um outro exemplo sa˜o sequeˆncias nume´ricas, como por exemplo
i.
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
,
1
6
,
1
7
, . . . ,
ii. 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
iii. 1,´1, 1,´1, 1, . . . .
Os termos em (i.) esta˜o cada vez mais se aproximando do valor 0, enquando em (ii.)
os valores va˜o crescendo sem se aproximar de um valor “limite”. Ja´ em (iii.), os valores
oscilam entre 1 e ´1, e portanto na˜o se va˜o poder aproximar indefinidamente de algum
nu´mero. Matematicamente, temos a seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o (Definic¸a˜o formal de limite). Dizemos que o limite da func¸a˜o fpxq, quando
x tende a a, e´ L, e escrevemos
lim
xÑa fpxq “ L,
se, para todo o � ą 0, existir um δ ą 0 tal que se tenha |fpxq ´ L| ă � sempre que
|x´ a| ă δ, com x ‰ a.
Uma maneira de traduzir esta definic¸a˜o em linguagem corrente e´ dizer o seguinte:
Definic¸a˜o (Definic¸a˜o informal de limite). Dizemos que lim
xÑa fpxq “ L quando conse-
guimos que o valor da func¸a˜o fique ta˜o pro´ximo de L quanto se queira, bastando para
isso tomar um valor de x suficientemente pro´ximo de a, mas diferente de a.
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Note bem que o conceito de lim
xÑa fpxq na˜o faz envolver o valor fpaq; este pode ser igual
ao limite, ou na˜o.
Graficamente, o fato de que lim
xÑa fpxq “ L pode ser interpretado como na figura:
0
L´ �
L
L` �
0 1{2 a´ δ a a` δ 1
fpxq
Dado qualquer � ą 0, por menor que seja, conseguimos achar um δ ą 0 (que tera´ de ser
pequeno tambe´m) tal que a imagem do intervalo pa ´ δ, a ` δq esta´ contida no intervalo
pL´ �, L` �q. Ou ainda, todos os pontos pro´ximos de a teˆm sua imagem pro´xima de L.
Exemplo 1. Examinemos o comportamento da func¸a˜o fpxq “ x2 ´ x ` 1 quando x de
aproxima de 2.
Observando tabela e gra´fico constatamos que o limite de x2´ x` 1 quando x tende a 2 e´
3, por ambos os lados de 2, isto e´, para nu´meros pro´ximos a 2 pore´m menores e tambe´m
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por nu´meros pro´ximos a 2, pore´m maiores. Escrevemos
lim
xÑ2 x
2 ´ x` 1 “ 2.
Vale observar que neste exemplo a func¸a˜o fpxq “ x2 ´ x ` 1 esta´ definida em x “ 2 e
acontece fp2q “ 3, pore´m quando falamos de limites na˜o nos interessa o valor da func¸a˜o
no ponto, e sim o comportamento da func¸a˜o pro´ximo ao ponto.
Exemplo 2. Um exemplo mais elaborado seria considerar fpxq “ x?
x`1´1 e analisar o que
acontece com seu limite quando x tende a 0, Vejamos a tabela com valores pro´ximos:
Por evideˆncia nume´rica queremos acreditar que
lim
xÑ0
x?
x` 1´ 1 “ 2,
apesar de, neste caso, a func¸a˜o fpxq na˜o estar definida no ponto x “ 2.
De fato, isso pode ser algebricamente verificado. Vejamos que
fpxq “ x?
x` 1´ 1 “
x?
x` 1´ 1 ¨
?
x` 1` 1?
x` 1` 1 “
?
x` 1` 1,
donde fica mais veros´ımel que tal limite e´ de fato 2. Na pro´xima aula vamos ver que o
ca´lculo de limites fornece certas leis que nos permitem mostrar que o limite acima e´, de
fato, 2.
Limites laterais
A noc¸a˜o de limite lateral de uma func¸a˜o num ponto a e´ semelhante a` de limite em a.
Pore´m, ao calcularmos um limite lateral, estamos apenas interessados no comportamento
da func¸a˜o em pontos pro´ximos de a, mas maiores (ou menores) que a.
Definic¸a˜o (Definic¸a˜o informal de limite lateral). Dizemos que lim
xÑa`
fpxq “ L quando
conseguimos que o valor de fpxq fique ta˜o pro´ximo de L quanto se queira, bastando para
isso tomar um valor de x suficientemente pro´ximo de a, mas maior que a.
De forma semelhante, dizemos que lim
xÑa´
fpxq “ L quando conseguimos que o valor de
fpxq fique ta˜o pro´ximo de L quanto se queira, bastando para isso tomar um valor de x
suficientemente pro´ximo de a, mas menor que a.
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Pode acontecer uma func¸a˜o ter limites laterais diferentes num ponto. Por exemplo:
Exemplo 3. Analisemos os limites laterais quando x tende a 0 da func¸a˜o f : Rzt0u Ñ R
definida abaixo.
fpxq “
"
1, x ą 0,
´1, x ă 0
Temos que lim
xÑ0´
fpxq “ ´1 e lim
xÑ0`
fpxq “ 1. Note que os limites laterais em x “ 0
existem, apesar de a func¸a˜o na˜o estar definida em x “ 0.
A pro´xima propriedade, muito importante, e´ clara a partir das definic¸o˜es de limites que
usa´mos:
Proposic¸a˜o 4. O limite lim
xÑa fpxq existe se, e somente se, os dois limites laterais
lim
xÑa´
fpxq e lim
xÑa`
fpxq
existem e sa˜o iguais.
Assim, uma maneira poss´ıvel de ver se uma func¸a˜o tem (ou na˜o) limite num ponto e´
calcular os limites laterais; se forem iguais, enta˜o o limite da func¸a˜o sera´ esse mesmo. Se
na˜o forem iguais, ou algum deles na˜o existir, enta˜o o limite na˜o existe.
Limites infinitos e ass´ıntotas verticais
Consideremos a func¸a˜o fpxq “ 1
x
e observemos seu gra´fico:
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
fpxq “ 1{x
Considerando valores positivos, pore´m pro´ximos a zero, vemos que os valores de f crescem
arbitrariamente. Por exemplo, se x “ 0,001, enta˜o fpxq “ 1000. Ja´ se x “ 0,000001,
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enta˜o fpxq “ 1.000.000. E´ claro que, neste exemplo, quanto menor (isto e´, mais pro´ximo
de zero) tomarmos x, maior sera´ o valor da func¸a˜o. Dizemos enta˜o que
lim
xÑ0`
1
x
“ `8.
Vale o mesmo para obter lim
xÑ0´
1
x
“ ´8.
Uma maneira equivalente de afirmar o mesmo e´ dizer que para que 1{x fique ta˜o grande
quanto eu queira, basta para isso tomar x suficientemente pro´ximo de 0, mas positivo.
A ideia para o caso geral enta˜o e´ formalizada da seguinte maneira: tomemos um nu´mero
qualquer M ą 0 ta˜o grande quanto desejarmos. Dizemos que lim
xÑa fpxq “ `8 se existe
δ ą 0 suficientemente pequeno de maneira que para x na faixa pa ´ δ, a ` δq tenhamos
fpxq ąM . O racioc´ınio e´ ana´logo para lim
xÑa fpxq “ ´8. Vejamos a figura:
Exemplo 5. Das aulas anteriores, podemos observar agora que esse comportamento ocorre
nos multiplos ı´mpares de pi
2
para tanx e secx e nos mu´ltiplos inteiros de pi para cotx e
cossecx.
Quando, para algum ponto a, se tem lim
xÑa˘
fpxq “ `8 ou limxÑa˘
fpxq “ ´8, dizemos que
fpxq tem uma ass´ıntota vertical em x “ a. Por outras palavras, quando algum limite
lateral em x “ a vale 8, enta˜o existe uma ass´ıntota vertical, que e´ a reta de equac¸a˜o
x “ a. Por exemplo, a func¸a˜o 1{x tem ass´ıntota vertical em x “ 0.
A natureza dos limites infinitos
O leitor atento pode reparar que nunca definimos verdadeiramente o que significam os
s´ımbolos ˘8. Na verdade, eles na˜o sa˜o nu´meros reais, pois e´ fa´cil de ver que na˜o podem
obedecer a`s leis usuais dos nu´meros reais.1 Portanto, na verdade, os s´ımbolos ˘8 ficam
definidos pelas definic¸o˜es acima de lim
xÑa fpxq “ ˘8. Ou seja, o s´ımbolo ˘8 na igualdade
precedente e´ apenas uma maneira que temos de representar a situac¸a˜o em que a func¸a˜o
1Por exemplo, para todo o nu´mero real x vale x` 1 ą x, o que na˜o se enquadra na ideia intuitiva de
8.
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fpxq tem o comportamento apresentado na definic¸a˜o (i.e., tomar valores arbitrariamente
grandes quando x se aproxima de a).
Por isso, e´ importante na˜o esquecer que quando lim
xÑa fpxq “ ˘8, na verdade a func¸a˜o
fpxq na˜o tem limite quando xÑ a; so´ que, esse limite na˜o existe por uma raza˜o precisa,
que e´ os valores de fpxq se tornarem muito grandes perto de a.
Por esta raza˜o, podemos perguntar-nos se existem exemplos de func¸o˜es que na˜o tenham
sequer limites laterais num ponto, mas na˜o porque esses limites sejam infinitos. De fato,
sim, vejamos um exemplo. Uma func¸a˜o sem limites laterais em x “ 0 mas que permanece
limitada (logo seus limites laterais na˜o podem ser infinitos) e´ a func¸a˜o
fpxq “ sen
´1
x
¯
,
cujo gra´fico esta´ abaixo:
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1
fpxq “ sen
´
1
x
¯
Como podemos ver, esta func¸a˜o na˜o possui limites laterais em x “ 0 (logo, tambe´m
na˜o tem limite em x “ 0), sem que a raza˜o disso seja esses limites serem infinitos. O
que acontece e´ que os valores de fpxq oscilam infinitas vezes entre 1 e ´1 quando x se
aproxima de zero, quer pela direita, quer pela esquerda. Por isso os valores de fpxq na˜o
podem aproximar-se de nenhum valor L fixo, o que seria necessa´rio para que existisse
limite (lateral ou bilateral).
Limites no infinito e ass´ıntotas horizontais
A ideia e´ pensar no que acontece aos valores de uma func¸a˜o fpxq quando x se torna muito
grande (positivo ou negativo).
Se b P R, dizemos que
lim
xÑ`8 fpxq “ b
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quando, dado qualquer � ą 0, por menor que seja, o gra´fico de f estara´ na faixa |fpxq´b| ă
� a partir de um certo valor de x suficientemente grande (na figura, x ą M). O mesmo
racioc´ınio vale para x decrescendo para ´8. Vajamos a figura:
Por outras palavras, os valores de fpxq aproximam-se cada vez mais de b a` medida que x
cresce.
Quando lim
xÑ`8 fpxq “ b ou limxÑ´8 fpxq “ b, dizemos que o gra´fico de fpxq tem uma
ass´ıntota horizontal y “ b.
Exemplo 6. Pelo que foi trabalhado nas primeiras aulas, pudemos ver agora, por exem-
plo, que lim
xÑ`8 e
´x “ lim
xÑ´8 e
x “ 0. Observemos tambe´m que lim
xÑ`8 arctanx “
pi
2
e
lim
xÑ´8 arctanx “ ´
pi
2
, e que lim
xÑ˘8
1
x
“ 0. Assim, ex, e´x e 1{x teˆm assintota horizontal
y “ 0, e arctanx tem duas ass´ıntotas horizontais, y “ ´pi{2 e y “ pi{2.
Limites infinitos no infinito
Pode acontecer a combinac¸a˜o dos casos anteriores. Dizer, por exemplo, que lim
xÑ`8 fpxq “
`8 e´ dizer que dado M ą 0 ta˜o grande quanto desejarmos, deve existir N ą 0 suficien-
temente grande tal que sempre que x ą N tenhamos fpxq ą M . Reparemos que dessa
vez ha´ treˆs situac¸o˜es poss´ıveis ale´m dessa, que sa˜o
lim
xÑ`8 fpxq “ ´8, limxÑ´8 fpxq “ `8 e limxÑ´8 fpxq “ ´8.
Exemplo 7. Exemplos cla´ssicos desses limites sa˜o as exponenciais ex e e´x, que crescem
para `8 quando x cresce para infinito (no caso de ex) e decresce para ´8 (no caso de
e´x). Qualquer polinoˆmio na˜o constante apresenta algum dos comportamentos indicados
acima em ambos os lados.
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Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1. Determine os seguintes limites para f como no gra´fico abaixo.
Exerc´ıcio 2. Determine os seguintes limites para f como no gra´fico abaixo.
Exerc´ıcio 3. Determine os seguintes limites para f como no gra´fico abaixo.
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Exerc´ıcio 4. Determine os seguintes limites para f como no gra´fico abaixo.
Exerc´ıcio 5. Determine os seguintes limites para f como no gra´fico abaixo.
Exerc´ıcio 6. Determine os seguintes limites para f como no gra´fico abaixo.
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Exerc´ıcio 7. Determine os seguintes limites para f como no gra´fico abaixo.
Exerc´ıcio 8. Determine os seguintes limites para f como no gra´fico abaixo.
Exerc´ıcio 9. Determine os pontos onde f como abaixo possui limites bilaterais
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