Aula 03 - Estatística Ambiental

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Estatística Aplicada às 
Ciências Sociais e Ambientais 
Aula 3
Prof. Daniel de Christo
Organização da Aula
1. Medidas de Tendência Central
2. Medidas de Dispersão 
Contextualização
1. Medidas de Tendência 
Central
 Determinação do centro de 
distribuição de uma variável 
 Descrevem diferentes 
propriedades da distribuição de 
uma variável 
Instrumentalização
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1. Medidas de Tendência 
Central
Média Aritmética
 Somatória de todos os valores 
dividida pela frequência total
 Representada: x =  x . fn
n
 �Xis barra�: média amostral
  (mü): média populacional
 Propriedades:
� valor único
� mesma natureza da variável
� grande influência por valores 
extremos
� não pode ser calculada para 
valores em classes com 
extremos indefinidos
Média Ponderada
 Valores observados com peso 
ou relevância diferentes
� aplicar frequências 
hipotéticas para substituir os 
pesos 
Exemplo: prova de
concurso
»Conhecimentos gerais 
= peso 1 
»Matemática = peso 2 
»Conhecimentos Específicos 
= peso 3 
Mediana
 Valor central de uma distribuição 
em ordem crescente / decrescente
 3 situações:
1a) variável discreta e �n� é ímpar: 
n + 1
2
Ex.: 23, 32, 57, 58, 61
Mediana (M) = 57
3
Moda
 Mo: corresponde ao valor de 
maior frequência; �norma�. Ex.: 
2, 2, 2, 3, 10, 15, 28  Mo = 2
 Distribuição de valores: 
Unimodal, Bimodal, 
Multimodal
 Não existe: quando não há 
valores repetidos
 G = n x1f1 . x2f2 . ... xnfn
 log G =  (log xn) . fn
n
 log G = Média aritmética dos 
logaritmos dos valores de uma 
variável X
Média Geométrica (G)
Aplicação
1. Medidas de Tendência 
Central
Média Ponderada
 Valores observados com peso ou 
relevância diferentes
� aplicar frequências 
hipotéticas para substituir os 
pesos
Exemplo: prova de
concurso
»Conhecimentos Gerais = 
peso 1 
»Matemática = peso 2 
»Conhecimentos Específicos = 
peso 3 
4
 Exemplo: prova de concurso
� Notas do Aluno A  CG = 10; 
M = 9; CE = 8 
� Notas do Aluno B  CG = 8; M 
= 9; CE = 10
 Média aritmética
� Aluno A = 9
� Aluno B = 9 
 Exemplo: prova de concurso
� Média ponderada: aluno A
10 x 1 + 9 x 2 + 8 x 3 = 8,67
6 
� Média ponderada: aluno B
8 x 1 + 9 x 2 + 10 x 3 = 9,33
6
Mediana
 Valor central de uma distribuição 
em ordem crescente/decrescente
 3 situações:
1a) Variável discreta e �n� é ímpar: 
n + 1
2
Ex.: 23, 32, 57, 58, 61
Mediana (M) = 57
2a) Variável discreta e �n� é par:
 não existe valor central 
 Média aritmética dos valores: 
n e n + 2 
2 2
Ex.: 23, 32, 58, 61
M = 32 + 58 = 45
2
3a) Variável contínua
 �n� é par ou ímpar
 M = valor da variável que divide 
�n� em duas partes iguais
Ex.: Idade Hipertensos
30 40 23
40 50 20
50 60 27
n = 70
Ex.: Idade: 40-49 / Hipertensos: 20
 12 indivíduos para a classe 30-39 
e 8 indivíduos para a classe 50-59
 distribuição uniforme/intervalo 
10 anos
 �regra de 3�: 20 pacientes � 10 
anos
12 pacientes - x
x = 6
Mediana: 40 + 6 = 46 anos
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 Fácil interpretação  valores 
 Valores aberrantes
� Ex.: 24, 36, 52, 68, 1000
 M = 52; x = 236
 epidemiologia; DL 50
 Limitação: valores repetidos
Ex.: 2, 2, 2, 3, 8, 9, 10  M = 3; 
x = 5,1
 usar média aritmética
Moda
 Aplicação: variáveis qualitativas
� Ex.: doença cardíaca = causa 
principal de óbitos
 Distribuição de valores agrupados:
 Mo = classe de maior 
frequência
 qual valor?
Mo = L + t . f1
f1 + f2
 L = extremo inferior da classe Mo
 t = amplitude da classe
 f1 e f2 = frequência das classes 
adjacentes
Ex.: Idade Hipertensos
30 40 13
40 50 20
50 60 17
Mo = 40 + 10 . 13 
13 + 17
 Mo = 40 + 10 . 0,4333 
 Mo = 44,333 ou 44 anos e 4 
meses
 Aplicação restrita
Demografia: estimar a população 
em um determinado ano entre 
dois censos
tx - t1
Px = P1 . (P2 / P1) t2 - t1
Média Geométrica
Síntese
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1. Medidas de Tendência 
Central
 Média Aritmética
 Mediana
 Moda 
 Média Geométrica
Contextualização 2. Medidas de Dispersão
 Centro de distribuição de uma 
variável: não é suficiente para 
caracterizar a amostra 
 Exemplo: cidades A e B
� mesma renda média/hab.
� Questão: as cidades A e B
apresentam mesma situação 
econômica?
 Cidade A: todos os habitantes 
com a mesma renda
 Cidade B: poucos habitantes com 
renda elevadíssima e muitos com 
renda extremamente baixa
 Variabilidade na distribuição de 
rendas
 Dispersão nos valores
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Instrumentalização 2. Medidas de Dispersão
Amplitude de variação
 É a diferença entre os valores 
extremos de uma distribuição
� utiliza alguns valores da 
distribuição
� precária; não informa como é a 
dispersão
Variância
 Utiliza todos os valores de uma 
distribuição
 s2 = é a média dos quadrados dos 
desvios da amostra
� desvio: diferença entre o valor 
observado e a média aritmética 
da distribuição 
 2 (sigma) = para população
 s2 =  (xi - x)2 . fi
n
 Exemplo: peso (Kg)
Grupo A: 40, 50, 50, 60
x = 50
 s2 = (100).1+(0).2+(100).1
4
 s2 = 200 = 25
4
 Grupo A: s2 = 25 
 Grupo B: 40, 42, 58, 60 
 x = 50
 s2 = 
(100).1+(64).1+(64).1+(100).1
4
 s2 = 328 = 82
4
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Desvio Padrão
 Indica a variação em torno da 
média
 desvio padrão =  s2 = s
 Algumas considerações
1. Valor essencialmente POSITIVO
2. Nulo: somente se todos os 
valores da distribuição forem 
iguais
3. Distribuição das frequências 
em classes: cálculo do s
utilizando os pontos médios 
das classes 
4. Mesma natureza da variável X 
e depende da sua magnitude
Coeficiente de Variação de 
Pearson 
 Medida de variabilidade relativa
 Permite comparar a variabilidade 
de duas distribuições
 V ou CV = s
x
Aplicação
2. Medidas de Dispersão
Amplitude de variação
 É a diferença entre os valores 
extremos de uma distribuição
� não informa como é a dispersão 
� Exemplo: peso (Kg)
Grupo A: 40, 50, 50, 60
Grupo B: 40, 42, 58, 60 
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Variância
 s2 =  (xi - x)2 . fi
n
� Exemplo: peso (Kg)
Grupo A: 40, 50, 50, 60
 x = 50
 s2 = (100).1+(0).2+(100).1
4
 s2 = 200 = 25
4
 Grupo A: s2 = 25 
 Grupo B: 40, 42, 58, 60 
 x = 50
 s2 = 
(100).1+(64).1+(64).1+(100).1
4
 s2 = 328 = 82
4
Coeficiente de Variação de 
Pearson 
 Exemplo: distribuição de pesos
 Adultos: s = 500g ; x = 60Kg
 Recém-n.: s = 500g ; x = 3,5Kg
 É evidente que s tem significados 
diferentes
 Adultos: V = 0,5/60 = 0,83%
Recém-n:V = 0,5/3,5 = 14,3%
Síntese
2. Medidas de Dispersão
 Amplitude 
 Variância
 Desvio Padrão
 Coeficiente de Variação de 
Pearson