Aula 04 - Estatística Ambiental

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Estatística Aplicada às 
Ciências Sociais e Ambientais 
Aula 4
Prof. Daniel de Christo
Organização da Aula
1. Teoria das probabilidades
2. Distribuição discreta, binomial 
e normal
Contextualização 1. Teoria das Probabilidades
� Análise dos dados: médias, s etc.
� Pesquisador: inferências; 
estender as conclusões a outros 
indivíduos
� Probabilidade (P) = m/n
• m = eventos com determinada 
característica
• n = total de eventos possíveis
Noções sobre Probabilidade
� Eventos: mutuamente exclusivos; 
mesma chance de ocorrência 
� Probabilidade = 01
• porcentagem (%)
• 1 = 100%
0 = 0% 
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Instrumentalização � É a probabilidade de ocorrer um 
determinado evento sob uma 
dada condição
Probabilidade Condicional
� A probabilidade de ocorrer um 
determinado evento não interfere 
na probabilidade de ocorrer um 
outro evento ���� P (AB) = P(A)
� Eventos independentes
• Exemplos: muitos na área 
biológica
• Leis de Mendel, ABO e RH, 
doenças etc.
Eventos Independentes
� A probabilidade de dois eventos 
independentes ocorrerem 
simultaneamente é igual ao 
produto das probabilidades dos 
eventos ocorrerem isoladamente 
� P (A e B) = P(A).P(B)
� Também chamada Teorema do 
Produto
Lei das Probabilidades 
Independentes
� A probabilidade de ocorrer o 
evento A ou B é igual P(A) + P(B) 
Teorema da Soma
Aplicação
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� Exemplo: lançamento de uma 
moeda
• Probabilidade de “cara” = 1/2 = 
0,5 
• Probabilidade de “coroa” = 1/2 = 
0,5
Probabilidade
� Exemplo: ao jogar um dado, qual 
a chance do número “2” sabendo 
que ocorreu um número par? 
� P = 1 / 3 = 0,33 ou 33%
� P (AB) = P(A) sob a condição de 
ter ocorrido B
Probabilidade Condicional
� Exemplo 1: lançamento de moeda
P cara e cara = _1_._1_ = _1_
2 2 4
� Exemplo 2: urna com três bolas 
• Duas brancas e uma vermelha
• Probabilidade de duas bolas 
brancas?
� Com ou sem reposição? 
Lei das Probabilidades 
Independentes
� Com reposição: probabilidades 
independentes
P 1a branca . P 2a branca =
P(A e B) = P(A).P(B) 
P(A e B) = _2_._2_ 
3 3
P(A e B) = _4_
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� Sem reposição: não 
independentes
• P 1a branca = 2/3 
(duas brancas e uma vermelha)
• P 2a branca = 1/2 
(uma branca e uma vermelha)
• P(A e B) = P(A).P(BA) = 
• P(A e B) = _2_._1_ 
3 2
• P(A e B) = _2_
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� Exemplo 1: urna com cinco bolas
• Duas brancas, uma vermelha 
e uma azul
�Probabilidade de sortear uma 
bola colorida? (vermelha ou 
azul)
» P(v) = 1/5; P(a) = 1/5
» P(v) + P(a) = _2_
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Teorema da Soma
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� Exemplo 2: baralho 
• 52 cartas, 4 naipes (♦♥♦♥♦♥♦♥♣♠♣♠♣♠♣♠)
�Probabilidade de um ÁS ou 
uma carta de copas?
» P(Ás) = 4/52 �
P(copas) = 13/52
» P(Ás) + P(copas) =
_4_ + _13_ = _17_
52 52 52
���� Errado!
• E o Ás ♥♥♥♥? Computado duas 
vezes!
�Probabilidade de um Ás ou 
uma carta de ♥♥♥♥?
» P(Ás) + P(♥♥♥♥) - P(A♥♥♥♥) =
_4_ + _13_ - _1_ =
52 52 52
= _16_
52
Síntese
� Noções de probabilidade
� Probabilidade condicional
� Lei das probabilidades 
independentes
� Teorema da soma
Contextualização 2. Distribuição Discreta, 
Binomial e Normal
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� Todos os valores de uma variável 
aleatória discreta e suas 
probabilidades
� Soma das probabilidades = 1
Distribuição Discreta
� Distribuição discreta da soma de 
variáveis aleatórias binárias
� Necessita de dois parâmetros
• n = número de observações
• p = probabilidade de ocorrer 
o evento
Distribuição Binomial
Distribuição Normal/Gauss
� Variável aleatória: 
• variação ao acaso
• exemplo: peso de cobaias, 
gêmeos monozigóticos etc.
� Distribuição típica ou distribuição 
normal
• Curva em forma de “sino” 
simétrica em torno da 
média µµµµ (mi)
Instrumentalização
Características da 
Distribuição Normal
� Pode assumir qualquer valor real
� Área da curva = 1; 
probabilidade da variável 
assumir qualquer valor real
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� Valores maiores e menores que 
a média ocorrem com igual 
probabilidade
� A configuração da curva envolve 
dois parâmetros:
• média (µµµµ) 
• variância (σσσσ2)
Distribuição Normal Reduzida
� Média (µµµµ) = 0; variância (σσσσ2) = 1
� Distribuição disponível em tabelas
� Área da curva = 1 
• P variável < 0 = 0,5
• P variável > 0 = 0,5
Aplicação
� Soma das probabilidades = 1
Distribuição Discreta
Figura 1: Distribuição dos possíveis 
resultados ao lançar um dado
� Necessita de dois parâmetros
• n = número de observações
• p = probabilidade de ocorrer 
o evento
�P(x) = n . p x . q n-x
x
Distribuição Binomial � Exemplo: 
• Qual a probabilidade de 
nascerem cinco meninos 
em seis nascimentos?
�n = 6; p = 0,5; q = 0,5
»P(5) = __6! . 0,5 5 . 0,5 6-5
5! (6-5)!
»P(5) = 6 . 0,5 6 = 0,09375 
ou 9,4%
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Exemplos da 
Distribuição Normal
� Média µµµµ1 = µµµµ2 = µµµµ3 > µµµµ4
� Variância σσσσ2 1 > σσσσ2 2 > σσσσ2 3
Exemplos Teóricos
1. Qual a probabilidade de ocorrer 
um valor entre 0 e z ? (z = 0,62) 
• P = área da curva 
• P = tabelas da distribuição 
normal
Distribuição Normal Reduzida
� z = 0,62
• P = área da curva
• P = 0,2324 ou 23,24%
2. Qual a probabilidade de ocorrer 
um valor maior do que z?
• P = 0,5 - 0,2324 = 0,2676
• P valor menor - 0,62 = 26,76%
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Exemplo Prático
1. Em uma população de peixes 
contaminada por chumbo, qual 
a probabilidade de um peixe 
apresentar de 21 a 23,5 mg/Kg 
de chumbo?
• Chumbo nos tecidos: 
distribuição normal
• µµµµ = 21 mg/Kg , σσσσ = 2 mg
• P = área da curva; tabelas? 
Não!
• Reduzir a distribuição = 
tabelas
� Distribuição normal reduzida:
z = X - µµµµ = 22,5 - 21 = 0,75
σσσσ 2
• z = 0,75 
• P = área da curva � tabela 
• P = 27,34%
Aproximação da Distribuição 
Normal e Binomial
� Sempre que np > 5 e nq > 5, 
distribuição binomial = normal
� Calcular µµµµ e σσσσ
z = X - µµµµ
σσσσ
Síntese
� Distribuição discreta
� Distribuição binomial
� Distribuição normal
• Distribuição normal reduzida
• Aplicação