TRANSFORMADA Z

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SISTEMAS 
LINEARES
Raphael Issamu Tsukada
 
Transformadas Z
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Determinar as propriedades da transformada Z.
  Analisar a região de convergência para a transformada Z.
  Definir a transformada Z inversa.
Introdução
A transformada Z tem ampla aplicação nas análises do comportamento 
de sistemas em tempo discreto. A transformada de Laplace, por sua vez, 
é aplicada em sistemas contínuos no tempo, enquanto a transformada 
de Fourier, em sistemas discretos no tempo. A transformada Z representa 
uma generalização da transformada de Fourier, por isso pode ser aplicada 
mesmo em casos nos quais a transformada de Fourier não converge.
Neste capítulo, você vai estudar a transformada Z, suas aplicações e 
propriedades. Além disso, vai aprender a analisar a região de convergência 
para a transformada Z e a calcular a transformada Z inversa.
Propriedades da transformada Z
A transformada Z possui grande aplicação no estudo de sinais e sistemas 
discretos no tempo. Essa aplicação é facilitada devido a algumas propriedades 
que você vai ver de forma resumida nesta seção. Caso você queira aprender 
mais sobre esse tópico, leia o capítulo 5 de Lathi (2006).
Para entender a explicação a seguir, veja o seguinte par de transformadas:
 e 
Considere: g[n] = 0, n < 0 e h[n] = 0, n < 0.
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Linearidade
Para entender a propriedade da linearidade, considere que os sinais discretos 
x1[n] e x2[n] são multiplicados pelos escalares α e β, respectivamente. Dessa 
forma, a transformada Z desses sinais resultou na transformada deles, X1(z) 
e X2(z), multiplicada pelos seus respectivos escales α e β, como você pode 
ver na equação a seguir.
Deslocamento no tempo
Nesse caso, o deslocamento pode ser positivo ou negativo.
Deslocamento positivo no tempo discreto
Para você entender a propriedade de deslocamento positivo, imagine um sinal 
discreto x1[n] deslocado n0 para a direita. Esse sinal pode ser representado 
como x1[n – n0]. O resultado da transformada Z desse sinal será o produto do 
número complexo z elevado a menos o deslocamento n0 e a transformada de 
x1[n], que é X1(z), como você pode ver na equação a seguir.
Nesse caso, você deve considerar que o sinal x1 é causal para garantir que a 
relação entre as transformadas do sinal original e dos sinais deslocados seja única.
O sinal causal pode ser definido como um sinal que não começa antes do tempo t = 0. 
Dessa forma, se o sinal x
1
 for causal, x
1
[t] = 0 para qualquer t < 0. Veja a Figura 1, a seguir.
Figura 1. Sinal causal e sinal não causal.
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Deslocamento negativo no tempo discreto
Para o deslocamento negativo, imagine que o sinal discreto x1[n] foi deslocado 
n0 para a esquerda. Esse sinal é representado como x1[n + n0]. O resultado da 
transformada Z desse sinal será o produto do número complexo z elevado a 
menos o deslocamento n0 e a transformada de x1[n], que é X1(z) subtraídos 
dos n0 componentes deslocados x1[m]z
-m, sendo que m varia entre 0 e (n0 –1), 
como você pode ver na equação a seguir.
Modulação
Para entender a propriedade de modulação, imagine o sinal discreto dado pela 
multiplicação do sinal discreto x1[n] e o escalar α elevado a n. A transformada 
Z desse sinal se dará em função da razão entre z e α, isto é, X1(z/α), como você 
pode ver na equação a seguir.
Inversão do tempo
Para entender a propriedade da inversão do tempo, imagine que você inverteu 
o sinal discreto x1[n]. Essa inversão gerou o sinal x1[–n]. A transformada Z 
desse sinal se dará em função de 1/z, isto é, X1(1/z), como você pode ver na 
equação a seguir.
Convolução
Para entender a propriedade da convolução, imagine que você tenha dois sinais 
discretos x1[n] e x2[n]. A transformada Z da convolução dos sinais discretos 
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x1[n] e x2[n] será o produto das suas transformadas X1(z) e X2(z), como você 
pode ver na equação a seguir.
Considere o sistema invariante no tempo, no qual:
sendo:
Sabendo que u[n] representa a função degrau unitário
e
Utilizando a propriedade da convolução, você obtém:
Diferenciação no domínio Z
Para você entender a propriedade da diferenciação no domínio Z, imagine um 
sinal discreto dado pela multiplicação do sinal discreto x1[n] por n. Como você 
pode ver na equação a seguir, a transformada Z desse sinal será o produto de 
–z com a derivada da transformada X1(z) em relação a z.
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Considere o sinal a seguir.
Então, se você aplicar a propriedade de diferenciação no domínio Z, vai obter:
Aplicando a propriedade de diferenciação no domínio Z, você converteu a trans-
formada Z em uma divisão.
Região de convergência para a transformada Z
Por defi nição, a transformada Z é uma série.
Dessa forma, ela pode ou não convergir. A convergência depende dos 
valores de z, que é um número complexo (z = ejω). O conjunto de valores de 
z para o qual X(z) converge está contido na Região de Convergência (RDC 
ou ROC, do inglês Region of Convergence) para a transformada Z. A RDC 
é apresentada no plano Z por meio de um círculo unitário, como você pode 
ver na Figura 2.
Figura 2. Círculo unitário no plano Z.
Fonte: Adaptada de Oppenheim (1997).
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Para você entender o conceito de RDC, analise os dois exemplos a seguir.
Determine a RDC para este sinal:
Solução
Aplicando a definição da transformada Z, você encontra:
Nesse caso, u[n] é a função degrau unitário dada por:
Dessa forma, você pode simplificar X(z) e obter:
Para garantir a convergência de X(z), a seguinte condição deve ser obedecida:
Analisando a condição apresentada anteriormente, você vai concluir que, para a 
convergência ocorrer,
Logo, resolvendo a inequação, você obtém:
para satisfazer a condição de convergência.
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Dessa forma, você pode desenhar a RDC do sinal dado conforme a Figura 3, a seguir. 
A parte hachurada da figura representa a RDC da transformada Z do sinal, ou seja, os 
valores de z no plano complexo que satisfazem a convergência de X(z).
Continuando o cálculo da transformada Z, você tem:
Portanto:
Figura 3. RDC representada pela circunferência externa.
Além disso, você pode notar que na Figura 3 foram colocados os símbolos o e *. 
Esses símbolos representam, respectivamente, o zero e o polo de X(z). O limite da 
RDC é dado pelo polo.
Determine a RDC para o sinal a seguir.
Solução
Aplicando o mesmo procedimento do exemplo anterior e utilizando a definição da 
transformada Z, você vai encontrar:
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Nesse caso, u[-n-1] é a função degrau unitário deslocada, dada por:
Dessa forma, você pode simplificar X(z) e obter:
Para garantir a convergência de X(z), a seguinte condição deve ser obedecida:
Analisando a condição apresentada, você vai concluir que, para a convergência 
ocorrer,
Logo, resolvendo a inequação, você vai encontrar que:
para satisfazer a condição de convergência.
Se comparar este exemplo com o anterior, você vai notar que a expressão para X(z) 
é a mesma. Nela, o zero e o polo de X(z), respectivamente, se encontram em 0 e a. No 
entanto, diferentemente do que ocorre no exemplo anterior, a RDC é representada 
pela circunferência interna para valores de . Observe a Figura 4, a seguir.
Figura 4. RDC representada pela circunferência interna.
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Dessa forma, algumas regras sobre a RDC podem ser deduzidas. Veja:
1. para sinais x[n] definidos à direita (sinais causais), tal como ocorre no 
primeiro exemplo (x[n] = anu[n]), a RDC ficará situada fora da circun-
ferência definida pelo polo de X(z);
2. parasinais x[n] definidos à esquerda (sinais anticausais), tal como 
ocorre no segundo exemplo (x[n] = -anu[-n-1]), a RDC ficará situada 
no interior da circunferência definida pelo polo de X(z);
3. para sinais x[n] bilaterais ou não causais (definidos tanto à esquerda 
quanto à direita), a RDC ficará situada no anel formado entre os polos 
de X(z). Isso ocorre pois os sinais bilaterais são tratados como a soma 
de um sinal definido à esquerda e um sinal definido à direita.
Transformada Z inversa
A defi nição da transformada Z é dada por:
A integral é calculada em torno do contorno circular fechado C da RDC 
no plano complexo Z no sentido anti-horário. Assim como em Roberts (2009), 
aqui você vai ver métodos mais simplificados que não envolvem integrações 
no plano complexo. No entanto, caso você tenha interesse em se aperfeiçoar 
nesse assunto, veja Oppenheim (1997).
A seguir, você vai ver dois métodos mais simples e muito utilizados na 
prática para calcular a transformada Z inversa. O primeiro método é a divisão 
sintética da expressão no domínio Z. Nesse caso, X(z) é rearranjado de forma 
que seja apresentado com uma sequência de comprimento finito, no qual cada 
termo da sequência é uma potência de z. Para você entender melhor, veja o 
exemplo a seguir.
O segundo método utiliza a expansão em frações parciais para calcular a 
transformada Z inversa. Nesse caso, X(z) é representado como uma sequência 
de comprimento infinito e pode ser decomposto em expressões conhecidas.
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Calcule a transformada Z inversa de
Solução
Aplicando o método da divisão sintética, você vai dividir X(z) em numerador (N(z)) 
e denominador (D(z)), como mostrado a seguir:
Em seguida, você deve dividir o N(z) pelo D(z), como a seguir:
Agora, você precisa relembrar da definição da transformada Z e compará-la com o 
polinômio que você obteve:
A partir da expressão anterior, você pode identificar os coeficientes diretamente:
A série x[n] obtida a partir da transformada Z inversa pode ser visualizada na 
Figura 5, a seguir.
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Figura 5. Série x[n] obtida a partir da transformada Z inversa.
Calcule a transformada Z inversa de
Solução
Para calcular a transformada Z inversa desse sinal aplicando o método da expansão 
por frações parciais, você deve considerar os passos a seguir.
1. Cálculo dos polos de X(z)
Resolvendo essa equação, você vai ver que os polos de X(z) são p
1
 = 1 e p
2
 = 3. Dessa 
forma, X(z) pode ser rearranjado da seguinte forma:
2. Expansão por frações parciais
A aplicação direta da expansão por frações parciais resulta em:
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No entanto, isso não é suficiente para determinar os termos exponenciais. Para isso, 
é necessário que X(z) seja representado da seguinte forma:
Dessa forma, você deve expandir X(z)/z utilizando o método das frações parciais, 
como apresentado a seguir:
Caso você não se lembre de como é realizado o cálculo da expansão por frações 
parciais, siga os passos a seguir.
a) Passe z(z-1)(z-3) para o lado direito, multiplicando.
Rearranjando:
b) Substitua os polos de X(z)/z, ou seja, as raízes de z(z-1)(z-3), que são p
0
 = 0, p
1
 = 
1 e p
2
 = 3, no lugar de z.
Dessa forma, você obtém:
Portanto:
Transformadas Z12
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LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006.
OPPENHEIM, A. V. Signal and systems. 2nd ed. Upper Saddle River: Prentice Hall, 1997.
ROBERTS, M. J. Fundamentos em sinais e sistemas. São Paulo: McGraw-Hill, 2009.
Leitura recomendada
GIROD, B.; RABENSTEIN, R.; STENGER, A. Sinais e sistemas. São Paulo: LTC, 2003.
3. Transformada Z inversa de cada termo
As transformadas Z de alguns sinais são conhecidas, como você pode ver no 
Quadro 1, a seguir.
x[n] X(X(X z)
δ[n] 1
u[n]
anu[n]
Quadro 1. Quadro 1. Transformadas de ZTransformadas de Z
Com essa tabela, você pode realizar o cálculo da transformada Z inversa por meio 
da associação direta da tabela e da função X(z).
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