Transformada de Fourier

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ESTI003-17 - Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares
Lista de Exercícios 4
Transformada de Fourier
1. (7.1-1) Mostre que se x(t) é uma função par de t, então
X(ω) = 2
∫ ∞
0
x(t) cosωtdt
e se x(t) for uma funcão impar de t, então
X(ω) = −2j
∫ ∞
0
x(t) senωtdt
Logo, prove que se x(t) for real e uma função par de t, então X(ω) é real e uma
função par de ω. Além disto, se x(t) for real e uma função ímpar de t, então X(ω)
é imaginário e uma função ímpar de ω.
2. (7.1-4/-5) Utilizando a fórmula de definição de transformada de Fourier, obtenha a
transformada dos sinais abaixo:
Resp: (2/τω2) (cos(ωτ)+ωτ sen(ωτ)−1); (4− 2e−jω − 2e−j2ω) /jω;
(
1− e−(jω+a)T
)
/(a+
jω);
(
1− e−(jω−a)T
)
/(−a+ jω)
3. (7.1-6) Utilizando a fórmula de definição, obtenha a transformada de Fourier inversa
dos seguintes sinais:
Resp: ((ω2
0t
2 − 2) sen (ω0t) + 2ω0 tcos (ω0t)) (πt
3) ; (sen(2t) + sen(t))(πt)
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4. Utilizando a dualidade multiplicação-convolução da Transformada de Fourier, de-
termine uma expressão para y(t) que não utilize o operador convolução ⋆ e trace o
gráfico de y(t)
a) y(t) = ret(t)⋆ cos(πt)
b) y(t) = ret(t)⋆ cos(2πt)
c) y(t) = sinc(t)⋆sinc(t/2)
d) y(t) = sinc(t)⋆sinc2(t/2)
e) y(t) = e−tu(t)⋆ sen(2πt)
Resp: π sinc(t/2); 2/π cos(πt);π sinc2(t/2); (sen(2πt)− 2π cos(2πt))/ (1 + 4π2) ; 0
5. (16) Determine as transformadas de Fourier direta e inversa seguintes. Nenhum
resultado final deve conter o operador de convolução.
a) F{15 ret((t+ 2)/7)}
b) F−1
{
2 tri(f/2)e−j6πf
}
c) F{sen(20πt) cos(200πt)}
Resp: jπ/2(δ(ω+220π)+δ(ω−180π)−δ(ω+180π)−δ(ω−220π)); 105 sinc(7ω/2)ej2ω;
2 sinc2(π(t− 3))
6. (6-17.6) Utilize o teorema de Parseval para mostrar que∫ ∞
−∞
sinc2(kx)dx =
π
k
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7. (7.3-4) Utilize a propriedade de deslocamento no tempo para mostrar que se x(t) ⇔
X(ω), então
x(t+ T ) + x(t− T ) ⇔ 2X(ω) cos(Tω)
Utilize este resultado e a tabela de transformadas para obter a transformada de
Fourier dos sinais abaixo:
Resp: 4sinc(ω)cos(3ω); 2sinc2(ω/2)cos(3ω)
8. (7.3-6) Os sinais da Fig. P7.3-6 são sinais modulados com portadora cos 10t.
Obtenha a transformada de Fourier desses sinais usando as propriedades apropri-
adas da transformada de Fourier e a Tabela 7.1. Trace o espectro de amplitude e
fase para a Fig. P7.3-6a e P7.3-6b.
Resp: π/2[sinc2((ω−10)ω/2)+sinc2((ω+10)π/2)]e−j2πω; π/2[sinc2((ω−10)π/2)+
sinc2((ω + 10)π/2)]; π[sinc((ω − 10)) + sinc((ω + 10)π)]e−j2πω
9. Usando a propriedade da convolução-multiplicação, encontre a transformada de
Fourier inversa de X(ω) = 1/(a+ jω)2
Resp: te−atu(t)
10. Usando o teorema de Parseval, determine a energia destes sinais:
a) x(t)=4sinc(t/5)
b) x(t) = 2sinc2(3t)
Resp: 8π/9, 80π
11. Um sinal x(t) com transformada de Fourier X(ω) sofre amostragem com trem de
impulsos para gerar xp =
∑∞
n=−∞ x(nT )δ(t−nT ) sendo T = 10−4. Para cada um dos
seguintes conjuntos de restrições sobre x(t) e/ou X(ω), o teorema da amostragem
garante que x(t) pode ser recuperado exatamente a partir de xp(t)? Justifique
a) X(ω) = 0 para |ω| > 5000π
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b) X(ω) = 0 para |ω| > 15000π
c) x(t) real e X(ω)=0 para ω>5000π
d) x(t) real e X(ω)=0 para ω>15000 π
12. Considere a amostragem do sinal x(t)=cos(πt). Para cada período de amostragem
abaixo, determine e desenhe o espectro do sinal x(t) amostrado:
a) T0 = 1/4 s
b) T0 = 1 s
c) T0 = 3/2 s
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