Teste 4_ Revisão da tentativa

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Página inicial Meus cursos CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III - Turma: EQI03
AULA 12 - Integrais triplas em coordenadas cilíndricas Teste 4
Iniciado em quinta, 25 fev 2021, 13:06
Estado Finalizada
Concluída em quinta, 25 fev 2021, 15:35
Tempo
empregado
2 horas 29 minutos
Avaliar 5,00 de um máximo de 6,00(83%)
Questão 1
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Calcule a integral iterada
Resposta: 1,36 
( )dxdzdy∫
4
0
∫
1
0
∫
16−z2√
0
z
y+ 4
Integrando primeiro com relação a depois a e for fim com relação a temos
A resposta correta é: 1,36.
x z y
( )dxdzdy = ( )dzdy∫
4
0
∫
1
0
∫
16−z2√
0
z
y+ 4
∫
4
0
∫
1
0
z 16 − z2
− −−−−−√
y+ 4
= ( )dy = (−15 + 64) ln( ) ≈ 1.361
3
∫
4
0
−15 + 6415
−−√
y+ 4
1
3
15−−√
8
4
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Questão 2
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro 
 e pelos planos e .
Resposta: 47,12 
+ = 9x2 z2 y = −1 3y+ z = 2
Basta observar que o volume desejado é dado por
O sólido é descrito por onde é
um círculo de raio portanto
passando para coordenadas polares no plano temos
A resposta correta é: 47,12.
V (E) = dV∭
E
E E = {(x,y,z)|(x,z) ∈ D, −1 ≤ y ≤ (2 − z)/3} D
3
V (E) = dV = dydA∭
E
∬
D
∫
(2−z)/3
−1
xz
V (E) = ( + 1)rdrdθ ≈ 47.12∫
2π
0
∫
3
0
2 − rsen θ
3
Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Encontre o momento de inércia com relação ao eixo do cone sólido 
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d. 
z
≤ z ≤ h+x2 y2
− −−−−−√
π− π1
2
h3 2
5
h5/2
( )π3
80
h2
3
10
h5
π1
10
h5
A resposta correta é: 
.
π1
10
h5
Questão 4
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Calcule a integral
onde é a região que está dentro do cilindro e entre os planos e
.
Resposta: 452,39 
dV ,∭
E
+x2 y2
− −−−−−
√
E + = 9x2 y2 z = −5
z = 3
A região de integração é um cilindro circular reto, cujo eixo coincide com o eixo e de
altura , e é representado pela figura abaixo.
Temos então que
A resposta correta é: 452,39.
z
8
dV = r ⋅ rdz dr dθ = 2π z dr = π ⋅ 8 ≈ 452.39∭
E
+x2 y2
− −−−−−
√ ∫
2π
0
∫
3
0
∫
3
−5
∫
3
0
r2
∣
∣
∣
3
−5
2
3
33
Questão 5
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Calcule a integral
onde é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboliode 
.
Resposta: 16,91 
(x+ y+ z) dV ,∭
E
E
z = 4 − −x2 y2
A região de integração é limitada superiormente pelo paraboloide ,
conforme figura.
Temos então que
A resposta correta é: 16,91.
z = 4 − −x2 y2
(x+ y+ z) dV∭
E
=
=
=
=
(rcosθ+ r sen θ+ z) ⋅ rdz∫
π/2
0
∫
2
0
∫
4−r2
0
∫
π/2
0
∫
2
0
[ (cosθ+ sen θ)z+ r ]r2 z
2
2
4−
z=
[(cosθ+ sen θ)(4 − )+ (16r− 24 + )]∫
π/2
0
∫
2
0
r2 r4
1
2
r3 r5
[ 32(cosθ+ sen θ)+ 64]dθ∫
π/2
0
2
15
1
12
Questão 6
Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
Seja a integral tripla
Como a integral é descrita em coordenadas cilíndricas?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.  Falsa
d.
e.
I = xz dz dx dy .∫
2
−2
∫
4−y 2√
− 4−y 2√
∫
2
+x2 y 2√
I
z cosθ dz dr dθ.∫
2π
0
∫
2
0
∫
2
0
r2
r dz dr dθ.∫
2π
0
∫
2
0
∫
2
r
z cosθ dz dr dθ.∫
π
0
∫
2
0
∫
2
r
r2
z cosθ dz dr dθ.∫
π/2
−π/2
∫
2
0
∫
2
r
r2
z cosθ dz dr dθ.∫
2π
0
∫
2
0
∫
2
r
r2
Primeiro notemos que e , isso nos dá um
disco de centro na origem e raio , assim os novos limites de integração são 
 e . Já em basta passarmos os limites para as coordenadas
cilíndricas que teremos . Por fim o integrando é expresso como ,
mas não se esqueça de um extra multiplicando que vem do elemento de integração
.
a. Falsa
b. Falsa
c. Falsa
d. Falsa
e. Verdadeira
A resposta correta é: 
.
−2 ≤ y ≤ 2 − ≤ x ≤4 − y2
− −−−−√ 4 − y2− −−−−√
2
0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ r ≤ 2 z
r ≤ z ≤ 2 xz zrcosθ
r
dV = r dz dr dθ
z cosθ dz dr dθ.∫
2π
0
∫
2
0
∫
2
r
r2
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