Prova N2

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Pergunta 1
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resposta:
Um tanque contém um líquido que, por conta da válvula da saída estar com defeito, o líquido está
gotejando em um recipiente. Por observação experimental, foi possível, através da modelagem
matemática, verificar que após t horas, há  litros no recipiente. Nesse contexto, encontre a
taxa de gotejamento do líquido no recipiente, em litros/horas, quando  horas. 
 
Após os cálculos, assinale a alternativa que indique o resultado encontrado.
4,875 litros/horas.
4,875 litros/horas.
Resposta correta. Para encontrar a taxa de variação do gotejamento do líquido no
recipiente em relação ao tempo, basta derivar a função   e aplicar o ponto 
horas, como mostram os cálculos a seguir.
Pergunta 2
Uma partícula move-se em uma linha reta, segundo a equação horária do movimento   em metros, 
  em segundos, velocidade instantânea   e aceleração  . Conhecendo-se a função velocidade, é
possível determinar as funções espaço-tempo (s) e a função aceleração por meio do cálculo diferencial
e integral. Nesse contexto, considere a função   e seu gráfico como suporte (figura a
seguir) e analise as afirmativas a seguir.
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
I. Sabendo que   e   quando  , a equação de s em função do tempo  é dada
por  .
II. O deslocamento da partícula é igual entre o tempo   e  , se, para 
 , é igual a integral  
III. A função aceleração da partícula no instante inicial  é igual a  . 
.IV. A distância percorrida pela partícula é igual ao seu deslocamento entre os instantes   e
1 em 1 pontos
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resposta:
 , em que  .
 
É correto o que se afirma em: 
 
II, III e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
Resposta correta. A resposta está correta, pois a alternativa I é verdadeira, uma vez
que, por mudança de variável, fazendo  , temos:  
 
, substituindo   ,  . A
alternativa II é verdadeira, pois o deslocamento é dado por
É fácil ver que a aceleração é igual à derivada da função velocidade
. Por fim, a alternativa é
verdadeira, pois o deslocamento quando a função é toda positiva e a posição inicial é
igual a zero, coincide com a distância percorrida.
Pergunta 3
É possível, por meio a análise gráfica, identificar pontos importantes para determinar a lei que rege a
função do gráfico em estudo. Para tanto, é necessário identificar o tipo de função elementar. Além
disso, é possível identificar ferramentas de suporte para o cálculo da área de regiões planas limitadas
pelo gráfico da função e pelos eixos coordenados. 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
Considerando o contexto apresentado e utilizando como suporte a figura anterior, analise as
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s) 
 
I. ( ) A equação da parábola é dada por  .
II. ( ) A área da região hachurada é igual a  
III. ( ) a área da região interna da parábola é igual a  
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resposta:
IV. ( ) A área hachurada no primeiro quadrante é igual a  
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
 
 
V, F, V, F.
V, F, V, F.
Resposta correta. A resposta está correta, pois a alternativa I é verdadeira, desde
quando ao substituir os ponto visualizados no gráfico   na lei
genérica da parábola ,  ; portanto, a lei da
função é dada por  . A alternativa II é falsa já que a área hachurada é
dada por . A alternativa
III é verdadeira, e a conta pode ser feita rapidamente diminuindo-se a área do
retângulo menos a área hachurada determinada no item II; portanto,
a área solicitada é   Finalmente, a  alternativa IV é falsa pois a área
hachurada do primeiro quadrante é igual a 
.
Pergunta 4
Arquimedes (287-212 a. C.), inventor, engenheiro militar, médico e o maior matemático dos tempos
clássicos no mundo ocidental, descobriu que a área sob um arco parabólico é dois terços da base
vezes a altura. Além disso, o cálculo da área também pode ser calculado por meio da integral
definida. 
 
Considerando o contexto apresentado e utilizando como suporte a figura a seguir, analise as
afirmativas e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s) 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
I. ( ) A área limitada pela curva   e o eixo x pode ser calculada por meio da integral
 , e seu valor é igual à  
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resposta:
II. ( ) A altura do arco (ver Figura) é dada por  
III. ( ) Segundo Arquimedes, a área do arco parabólico é igual a dois terços da base b vezes a altura h
do arco, portanto, a área é igual à  
IV. ( ) A área hachurada no primeiro quadrante é igual  
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
 
 
F, V, V, F.
F, V, V, F.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a alternativa I é falsa, uma vez que a
área é igual a  |  . A alternativa II é
verdadeira, pois a altura do arco parabólico é dada pelo y do vértice (  ) da parábola: 
. Consequentemente, a alternativa III também é
verdadeira, pois, para Arquimedes,  . Finalmente, a
alternativa IV é falsa, pois a área ao primeiro quadrante é igual a 
Pergunta 5
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resposta:
O estudante de uma universidade, para ter acesso ao seu armário, precisa de um código com 4
dígitos. O professor disponibilizou o código da seguinte forma: 1º dígito:  , em que 
 , 2º dígito:  , em que  , 3º dígito:  , em que 
 , 4º dígito:  , em que   Para descobrir qual é o código,
encontre o valor das derivadas. 
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique o código do armário do estudante.
2, 1, 1, 4.
2, 1, 1, 4.
Resposta incorreta. De acordo com os cálculos a seguir, obteve-se o código
igual a 2114. Cálculos: 
1º dígito:  , em que
 . 
2º dígito:  , em que 
3º dígito:  , em que   
 
4º dígito:  , em que   
Pergunta 6
Dois trens deixam a mesma direção num mesmo instante. Um deles em direção norte à razão de 80
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resposta:
km/h. O outro trem vai em direção leste à razão de 60 km/h, como mostra a Figura. Verifique que as
três grandezas, x, y e z variam com o tempo à medida que os trens se afastam. 
 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
A respeito da situação-problema apresentada, analise as afirmativas a seguir:
 
I. Por Pitágoras, é possível relacionar as variáveis x, y e z.
II. Os valores de x, y e z 1 hora depois que os trens deixaram a estação são iguais a 80, 60 e 120,
respectivamente.
III. Para encontrar a taxa de variação dz/dt é necessário derivar a equação da relação entre as variáveis
implicitamente.
IV. A velocidade com que os dois trens se afastam 1 hora depois de terem deixado a estação é igual a
100 km/h.
 
É correto o que se afirma apenas em:
I, III e IV apenas.
I, III e IV apenas.
Resposta correta.  A sequência está correta, pois por Pitágoras,
  
=   .
Pergunta 7
Uma função,  definida por várias sentenças pode ser derivada, respeitando-se a limitação
do domínio para cada sentença e atendendo a condição para que a derivada de uma função exista
num ponto  : as derivadas laterais a direita,  , e a derivada lateral à esquerda,  ,
existem e são iguais. Segundo Fleming (2006) nem toda função contínua num ponto é derivável, no
entanto, foi comprovado por teorema que toda função derivável num ponto é contínua. Considere a
função f(x) a seguir, definida por várias sentenças:
FLEMING, D. M. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
 
 
 
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Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s)
falsa(s). 
 
I. ( ) A função   é derivável em  .
II. ( ) A derivada de  existe, pois as derivadas laterais são:  .
III. ( ) A função   não é derivável em  porque   não é contínua em  .
IV. ( ) A função   é derivávelem  , porque   é contínua em  . 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
F, F, V, F.
F, F, V, F.
Resposta correta. A afirmativa I é falsa, sendo que    é derivável em  , logo,
. De fato:
 
. 
A afirmativa II é falsa, visto que a derivada de  existe, pois  , pois,
. De fato:
 
. 
A afirmativa III é verdadeira, dado que   não é derivável em  , porque   não é
contínua em  . De fato,   , portanto, f não é derivável em x=2. 
 
 
Já a afirmativa  IV é falsa, uma vez que   é derivável em   porque   é contínua em
. O fato de uma função ser contínua não garante a sua derivabilidade.
Pergunta 8
Considere o gráfico da função  , mostrado na figura abaixo, que servirá de suporte
para resolução da questão. Verifique a região sombreada no gráfico e determine os pontos de
interseção do gráfico da função com o eixo x. Avalie também de que forma é possível calcular a área
limitada por integração. 
 
Figura 4.3 - Região limitada pela função  e o eixo x
 
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resposta:
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
Considerando o contexto apresentado, sobre cálculo de área e integrais definidas, analise as
afirmativas a seguir.
 
I. A integral definida  .
II. A área hachurada no gráfico abaixo do eixo x é igual a  
III. Os pontos de interseção da curva  e o eixo x são  .
IV. A área limitada pela curva   e o eixo x ao 1º quadrante é igual a  u.a.
 
É correto o que se afirma em:
II e IV, apenas.
II e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a alternativa I é falsa, já que
. A
alternativa II verdadeira pois, por simetria, a área abaixo do eixo x é dada por: 
A alternativa III é falsa, pois há interseção com o eixo x ocorre em
. Finalmente,  a alternativa IV é verdadeira, pois a área ao
primeiro quadrante é dada por:
Pergunta 9
Para determinarmos o seno de um ângulo qualquer, devemos inicialmente localizá-lo no círculo
trigonométrico, e quando este ângulo não está localizado no primeiro quadrante, devemos fazer o seu
rebatimento ao primeiro quadrante. Assim, encontramos o seno do ângulo no primeiro quadrante, em
valor absoluto e associamos o sinal que o seno assume no quadrante de origem. Nesse contexto,
determine: 
 O seno de 450º, somado com o seno de 1620º, somado com o  e somado com   .
O valor encontrado é igual a:
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Sua resposta está incorreta. Os demais são incorretos, mostrados nos
cálculos.
  
 
 
 
 
Pergunta 10
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O conceito de integral indefinida de uma função está associado a uma família de primitiva dessa
função. Apenas usando esse conceito é possível determinar a função integranda. Assim, considere as
funções  e  , contínuas e, portanto, integráveis e analise suas primitivas.
Nesse contexto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I.   é primitiva da função  
Pois:
II.  .
  
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
 
As asserções I e II são proposições falsas. 
  
 
As asserções I e II são proposições falsas.
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, ao derivarmos a função   , temos
que: , portanto,   não é primitiva da  , e
a afirmativa I é falsa. A afirmativa II também é falsa, pois,  derivando-se a função
 Consequentemente,
.
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