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· APRESENTAÇÃO · MÓDULO 1 · MÓDULO 2 · MÓDULO 3 · MÓDULO 4 · CONCLUSÃO DEFINIÇÃO Abordagem das funções por vários pontos de vista complementares: descrição como conceito matemático, estudo analítico e representação gráfica. Consolidação da importante noção de função real de uma variável real. PROPÓSITO Compreender a relevância do conceito de função para a interpretação e a resolução de problemas diversos, inclusive fenômenos naturais, sociais e de outras áreas. OBJETIVOS Módulo 1 Reconhecer graficamente o domínio, a imagem e o contradomínio de funções Módulo 2 Identificar graficamente os tipos de funções: injetora, sobrejetora e bijetora Módulo 3 Definir funções crescentes e decrescentes Módulo 4 Definir funções periódicas Reconhecer graficamente o domínio, a imagem e o contradomínio de funções INTRODUÇÃO Para fazermos modelos matemáticos de nossa realidade, associamos quantidades numéricas aos acontecimentos, fatos e objetos que desejamos estudar ou analisar. É comum obtermos relações expressas em termos de fórmulas ou expressões matemáticas, porém, muitas vezes, as expressões obtidas nem sempre dão origem a um número real para todos os possíveis valores da variável independente. Nessa situação, é importante determinar o conjunto dos valores da variável independente para os quais a fórmula matemática define uma função. Nosso estudo se restringirá ao estudo das funções reais de variável real, ou seja, tanto o domínio quanto o contradomínio são subconjuntos de ℝ ou até mesmo todo o ℝ. Antes de darmos prosseguimentos ao nosso estudo de funções, assista ao vídeo que relembra as definições básicas relativas às funções. Adicione um comentário Avalie esse vídeo: ENVIAR DEFINIÇÃO O domínio da função 𝑓 é o maior subconjunto de ℝ onde a expressão (ou fórmula) que define a função assume valores reais, ou seja: 𝐷(𝑓)={𝑥∈ℝ| 𝑓(𝑥)∈ℝ} Veja nas imagens três representações gráficas de funções cuja lei de formação é 𝑓(𝑥)=𝑥2 e os seus domínios. 𝐷1=ℝ D2={-2;-2;-1;0;1;2;2} 𝐷3=[0;+∞[ Quando uma função está definida por uma fórmula matemática, a fórmula em si pode impor restrições sobre os valores reais para os quais podemos calculá-la. Exemplo 1 Qual é o domínio da função 𝑓(x)=1x? Repare que 𝑥=0 não está no domínio dessa função, pois a divisão por 0 (zero) não está definida. Logo, 𝐷(𝑓)=ℝ∗. Exemplo 2 Qual é o maior subconjunto de 𝑋⊂ℝ, tal que a fórmula g(x)=x define uma função 𝑓:𝑋→ℝ? Como só podemos calcular a raiz quadrada de valores não negativos, temos: 𝐷(𝑔)=[0; +∞[. Vamos ver na prática como determinar o domínio de uma função? Exemplo 3 Pensando em construir uma piscina retangular em sua casa, João recorreu à Revista Casa e Jardim, da Globo, onde encontrou um modelo de piscina que contracena com a represa no projeto assinado pela arquiteta Eliana Marques Lisboa. Sabendo que o terreno onde será construída a piscina deve ser cercado com 240 m de cerca, faça o que se pede: A - Expresse a área do terreno em metros quadrados em função do comprimento do terreno. B - Determine o domínio da função resultante. Lembre-se de que a expressão que determina a área de uma figura retangular é dada pelo produto entre o comprimento e a largura. Assista ao vídeo com a resolução das questões apresentadas no exemplo 1.3. Adicione um comentário Avalie esse vídeo: ENVIAR Exemplo 4 Sabendo que o comprimento do terreno de João é de 100 m, utilize a expressão obtida 𝐴=𝑥⋅(120−𝑥) para determinar a área do terreno onde será construída a piscina. Resolução da questão Atenção Os gráficos das funções podem fornecer informações visuais importantes sobre uma função. O gráfico de uma função pode ser definido como: 𝐺𝑟𝑎𝑓(𝑓)={(𝑥; 𝑓(𝑥)) | 𝑥∈𝐷(𝑓)} Portanto, a ordenada 𝑦 de um ponto do gráfico da função 𝑓 é o valor de 𝑓 na abscissa 𝑥 correspondente. O gráfico de 𝑓 também nos permite visualizar o domínio e a imagem, além de muitas outras informações. LEITURA GRÁFICA: DOMÍNIO E IMAGEM O domínio da função 𝑓 é o maior subconjunto de ℝ onde a expressão (ou fórmula) que define a função assume valores reais, ou seja: Como saber se um número real 𝒂 pertence ao domínio de uma função 𝒇? O número real 𝑎 pertence ao domínio de uma função 𝑓 se a reta vertical 𝑥=𝑎 corta o gráfico de 𝑓 em um ponto. Como f é uma função, este ponto é necessariamente único. Fonte: Shutterstock Exemplo 1 Taxa de crescimento 2010-2060 do Brasil e de Tocantins: Verifique que, no ano de 2030, temos uma única taxa de crescimento, tanto no Brasil quanto em Tocantins. Como saber se um número real 𝑏 pertence à imagem de uma função 𝑓? O número real 𝑏 pertence à imagem de uma função 𝑓 se a reta horizontal 𝑦=𝑏 corta o gráfico de 𝑓 em pelo menos um ponto. Exemplo 2 Verifique que o valor 0,82 pertence tanto à imagem da função que representa a taxa de crescimento no Tocantins quanto à função que representa a taxa de crescimento no Brasil, em 2029 e 2018, respectivamente. Taxa de crescimento 2010-2060 do Brasil e de Tocantins: DOMÍNIO Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar o domínio da função é projetar o gráfico no Eixo 𝑂𝑥. Exemplo 1: Observe o gráfico da função 𝑓: O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑥? Exemplo 2: Observe o gráfico da função 𝑔: O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑥? Assista ao vídeo com mais um exemplo de domínio da função. Adicione um comentário Avalie esse vídeo: ENVIAR IMAGEM Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar a imagem da função é projetar o seu gráfico no Eixo 𝑂𝑦. Exemplo 1: Observe o gráfico da função 𝑓: O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑦? Exemplo 2: Observe o gráfico da função 𝑔: O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑦? Exemplo 3 Gráfico da função ℎ Se Projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑦, vemos que a imagem da função ℎ é o intervalo indicado em vermelho no Eixo 𝑂𝑦. Sua imagem é o intervalo (−2; 5,25]. 𝐼𝑚(ℎ)=(−2; 5,25]. Em resumo, é possível determinar a imagem de um conjunto de pontos: Se 𝑫 é um subconjunto do domínio da função 𝑓 (pintado de azul na figura), então, a imagem deste subconjunto é dada por 𝒇(𝑫)={ 𝑓(𝑥) | 𝑥 ∈𝐷 }. Exemplo 4 Assista ao vídeo com mais um exemplo de imagem da função. Adicione um comentário Avalie esse vídeo: ENVIAR Exemplo 5 Observe o gráfico da função 𝑓 e o intervalo -23;512 destacado em verde no Eixo 𝑂𝑦, que é um subconjunto da imagem de 𝑓 : Ao traçar as retas y=512 e y=-23 de forma horizontal, partindo no Eixo 𝑂𝑦, temos: Se pegarmos a parte do gráfico restrita à região entre as retas y=-23 e y=512, temos: Agora, para descobrirmos a parte do domínio correspondente ao intervalo -25;512 da imagem, basta projetarmos no Eixo 𝑂𝑥 : A parte do Eixo 𝑂𝑥 que nos interessa está destacada em vermelho: [−0,4; 2]∪[3,6; 3,8] VERIFICANDO O APRENDIZADO Parte superior do formulário 1. Considere a seguinte função: fx=-2x, se x<0x, se 0≤x≤42, se x>4 O domínio e a imagem da função são, respectivamente: a) 𝐷(𝑓)=ℝ e 𝐼𝑚(𝑓)=[0; +∞┤[. b) 𝐷(𝑓) = [0; +∞┤[ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ. c) 𝐷(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ. d) 𝐷(𝑓) = [0; +∞┤[ e 𝐼𝑚(𝑓) = [0; +∞┤[. Parte inferior do formulário Responder Comentário Parabéns! A alternativa A está correta. A função é formada por três pedaços de funções já conhecidas. Cada um desses pedaços corresponde a uma parte do domínio. Para 𝑥<0, o gráfico é parte da reta 𝑦=−2𝑥. Para traçar, basta considerarmos dois pontos. 𝑥 𝑦= −2𝑥 (𝑥; -2𝑥) 0 -2 . 0 = 0 (0; 0) -2 -2 . (-2) = 4 (-2; 4) Marcando esses pontos no plano, obtemos a parte da reta que nos interessa: Repare que o ponto (0;0) ficou traçado como “bolinha aberta”, pois 𝑥=0 não pertence a essa parte do domínio da função. Para 0≤𝑥≤4, o gráfico é parte do gráfico de 𝑦=√𝑥. Para traçá-lo, devemos olhar para o esboço apresentado anteriormente, bem como calcular o valor da função nos extremos. 𝑥 𝑦=√𝑥 (𝑥; √𝑥) 0 √0=0 (0; 0) 4 √4=2 (4; 2) Marcamos, então,esses pontos e, em seguida, traçamos uma curva passando por eles com o formato parecido com o do esboço já apresentado. Finalmente, para 𝑥>4, a função é constante e igual a 2. Seu gráfico é uma reta paralela ao Eixo 𝑂𝑥: Aqui, o ponto (4;2) também ficou como “bolinha aberta”, pois 𝑥=4 não pertence a essa parte do domínio. Juntando todas essas informações em um único plano, obtemos o gráfico da função 𝑓: A partir da representação gráfica, fica fácil perceber que 𝐷(𝑓)=ℝ e 𝐼𝑚(𝑓)=[0; +∞┤[. Parte superior do formulário 2. (PETROBRAS - 2008) Considere que 𝑓 é uma função definida do conjunto 𝐷 em ℝ por: 𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+8. Sendo 𝐼𝑚 a imagem de 𝑓, é correto afirmar que, se: a) 𝐷=[−2,0], então 𝐼𝑚(𝑓)=ℝ+. b) 𝐷=[2,+∞[, então 𝐼𝑚(𝑓)=[0;4]. c) 𝐷=[2,+∞[, então 𝐼𝑚(𝑓)=ℝ+. d) 𝐷=[0;2], então 𝐼𝑚(𝑓)=[4;8]. Parte inferior do formulário Responder Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. O gráfico da função 𝑓 é dado por: Vamos analisar cada restrição do domínio da função 𝑓. Note que, se 𝐷=[−2,0], temos que 𝐼𝑚(𝑓)=[8,20]. Se 𝐷=[2,+∞[, temos que 𝐼𝑚(𝑓)=[4,+∞). Se 𝐷=[0;2], temos que I𝑚(𝑓)=[4;8]. Parte superior do formulário 3. Observe os gráficos das funções 𝒚=𝒇(𝒙), 𝒚=𝒈(𝒙) e 𝒚=𝒉(𝒙): No mesmo par de eixos, podemos afirmar que: a) 𝑓(2)=2, 𝑔(2)=2 𝑒 ℎ(2)=−2. b) 𝐷𝑜𝑚(𝑔)=[−3,3] 𝑒 𝐼𝑚(ℎ)=[−4,3]. c) 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4,4] 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3]. d) 𝐷𝑜𝑚(ℎ)=[−2,2] 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3]. Parte inferior do formulário Responder Comentário Parabéns! A alternativa C está correta. Observando o gráfico, temos: 𝑓(2)=2, 𝑔(2)=2 e ℎ(2)=2. 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4,4] e 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3]. 𝐷𝑜𝑚(𝑔)=[−3,3] e 𝐼𝑚(𝑔)=[−1,𝑔(3)] 𝐷𝑜𝑚(ℎ)=[−2,2] e 𝐼𝑚(ℎ)=[1,2]. Parte superior do formulário 4. Considere a função f(x)=120x300-x. Podemos afirmar que o domínio da função 𝑓 é: a) Todo número real 𝑥. b) Todo número real 𝑥, exceto os números positivos. c) Todo número real 𝑥, exceto 𝑥=300. d) Todo número real 𝑥, exceto os números negativos. Parte inferior do formulário Responder Comentário Parabéns! A alternativa C está correta. A função não está definida para 𝑥=300, pois este número anula o denominador. Parte superior do formulário 5. Considere o gráfico da função 𝑓: Após a análise do gráfico, podemos afirmar que: a) A função não está definida em 𝑥=1,6 ( ) b) 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,5]. c) 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4.5, 11]. d) 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4.5, 2)∪(2,11]. Parte inferior do formulário Responder Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. Projetando o gráfico da função no eixo -𝒙, vemos que o domínio da função 𝒇 é o conjunto no eixo -𝑥 indicado em vermelho na figura. Seu domínio é a seguinte união de intervalos:[−𝟒.𝟓 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟏𝟏]. 𝑫𝒐𝒎(𝒇)=[−𝟒.𝟓 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟏𝟏]. Projetando o gráfico da função no eixo -𝒚, vemos que a imagem da função 𝒇 é o intervalo no eixo -𝑦 indicado em vermelho na figura. Sua imagem é o intervalo [−𝟒, 𝟖.𝟑]. 𝑰𝒎(𝒇)=[−𝟒, 𝟖.𝟑]. Parte superior do formulário 6. Se a função real definida por f(x)=x+1x-2+11-x possui 𝐷 como domínio e 𝐷=[𝑎,𝑏], então, 𝑎+𝑏 vale: a) 11 b) 5 c) 15 d) 3 Parte inferior do formulário Responder Comentário Parabéns! A alternativa C está correta. Primeiramente, vamos determinar o domínio da função 𝑓. Para isso, precisamos analisar para quais valores de 𝑥 a função x-2 e 11-x está bem definida e fazer a interseção dos intervalos. Note que x-2 está bem definida para 𝑥≥2, e 11-x está bem definida para 11−𝑥≥0, ou seja, 𝑥≤11. Como [2,+∞)∩(−∞,11]=[2,11], temos que 𝐷=[2,11]. Em contrapartida, 𝐵=[1,4]. Por um lado, 𝐷−𝐵=]𝑎,𝑏[, por outro, 𝐷−𝐵= ]4,11[. Logo, 𝑎+𝑏=4+11=15. Identificar graficamente os tipos de funções: injetora, sobrejetora e bijetora FUNÇÕES INJETORAS Uma função 𝑓 é dita injetora (ou injetiva) se, para quaisquer dois números 𝑎1, 𝑎2 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), tais que 𝑎1≠𝑎2, os números 𝑓(𝑎1) e 𝑓(𝑎2) na imagem de 𝑓 são também distintos. Exemplo 1 A função 𝑓(𝑥)=𝑥2−1, definida para todos os números reais, é injetiva? Observe que: 𝑓(−2)=(−2)2−1=3=22−1=𝑓(2) Em outros termos, –2 e 2 têm a mesma imagem. Gráfico da função 𝒇 e reta horizontal 𝒚=𝟑 A partir da representação gráfica da função 𝑓(𝑥)=𝑥2−1, é possível observar que há retas horizontais que intersectam seu gráfico mais de uma vez. Atenção Teste da reta horizontal Uma função é injetiva se, e somente se, toda reta horizontal intersecta seu gráfico em, no máximo, um ponto. Observe que, pelo teste da reta horizontal, a função do exemplo citado não é injetiva. Exemplo 2 A função 𝑔(𝑥)=𝑥3 é injetiva. Gráfico de 𝒈(𝒙)=𝒙𝟑 Qualquer reta horizontal intersecta o gráfico em apenas um ponto. Logo, pelo teste da reta horizontal, a função 𝑔 é injetiva. FUNÇÕES SOBREJETORAS E BIJETORAS Clique nos botões para ver as informações. Sobrejetoras Bijetoras RELAÇÃO GEOMÉTRICA ENTRE OS GRÁFICOS DE UMA FUNÇÃO E SUA INVERSA O objetivo é mostrar graficamente a relação existente entre o gráfico de uma função bijetora e sua inversa. Atenção Lembre-se de que uma função ter inversa é equivalente a ela ser bijetiva. No quadro a seguir, sintetizamos algumas informações sobre uma função 𝑓 e sua inversa 𝑓−1: f: A→B e f-1: B→A se f"leva" a em b então f-1 "traz" b "de volta" em a f(a)=b⇔f-1(b)=a Dom(f)=Im(f-1) e Dom(f-1)=Im(f) É preciso notar que: f(a)=b⇔f-1(b)=a Mas o que essa equivalência significa geometricamente? Que o ponto (𝑎;𝑏) estar no gráfico da função 𝑓 é equivalente ao ponto (𝑏;𝑎) estar no gráfico da função 𝑓−1. Simetria dos pontos (𝒂;𝒃) e (𝒃;𝒂) em relação à reta 𝒚=𝒙 No gráfico, percebemos que os pontos (𝑎;𝑏) e (𝑏;𝑎) são simétricos em relação à reta 𝑦=𝑥. Mas isso é verdade para todos os pontos das funções 𝑓 e 𝑓−1. O gráfico de 𝐟−𝟏 é obtido refletindo-se o gráfico de 𝐟 em torno da reta 𝐲=𝐱. Se 𝑓 e 𝑔 forem funções inversas entre si, temos: f∘g=g∘f Assim, temos: 𝑓(𝑓−1 (𝑦))=𝑓(𝑥)=𝑦, para todo 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1). 𝑓(𝑓−1 (𝑦))=𝑓(𝑥)=𝑦, para todo 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1) A lei da esquerda nos diz que, se começarmos em 𝑥, aplicando 𝑓, e, em seguida, 𝑓−1, obteremos de volta 𝑥. Da mesma forma, a lei da direita nos diz que, se começarmos em 𝑦, aplicando 𝑓−1, e, em seguida, 𝑓, obteremos de volta 𝑦. Exemplo 1 Assista ao vídeo com um exemplo de relação geométrica entre os gráficos de uma função e sua inversa. Avalie esse vídeo: ENVIAR VERIFICANDO O PRENDIZADO Parte superior do formulário 1. (Adaptada de: LIVRO ABERTO - s.d.) Considere a função 𝑔:ℝ→ℝ tal que 𝑔(𝑥)=9−𝑥2. Assinale a alternativa correta: a) Existe algum 𝑥∈ℝ cuja imagem é igual a 10. b) A função 𝑔 é injetora. c) A função 𝑔 é sobrejetora. d) Restringindo o domínio da função 𝑔 para o intervalo [0,+∞), temos que 𝑔 é injetora. Parte inferior do formulário Responder Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. Observe o gráfico da função 𝑔(𝑥)=9−𝑥2: Ao traçarmos a reta horizontal 𝑦=10, ela não intersecta o gráfico da função 𝑔. Logo, não existe 𝑥∈ℝ, cuja imagem é igual a 10. Além disso, utilizando o teste da reta horizontal para saber se a função 𝑔 é injetora em todo o seu domínio, notamos que existem vários números diferentes com imagens iguais. Por exemplo: 𝑔(−1)=8 e 𝑔(1)=8. Assim, 𝑔 não é injetora em ℝ. Em contrapartida, ao restringir o domínio da função 𝑔 ao intervalo [0,+∞), o gráfico da função 𝑔 é dado por: Utilizando o teste da horizontal, observamos que a função é injetora nesse intervalo. Parte superior do formulário 2. Considere a função bijetora 𝑓:[1,∞)→(−∞,3] definida por 𝑓(𝑥)=−3𝑥2+2𝑥+2 e seja (𝑎,𝑏) o ponto de interseção de 𝑓 com sua inversa 𝑓−1. O valor numérico da expressão 𝑎+𝑏 é: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 Comentário Parabéns! A alternativa A está correta. Para determinar o gráfico da função inversa de uma função bijetiva, basta fazer a reflexão sobre a reta y=x. Dessa forma, a fim de encontrar tal ponto, devemos apenas resolver o sistema: y=xy=-3x2+2x+2 Fique atento ao fato de que a solução deve estar contida no domínio da função 𝑓,sugerido na questão. Assim, devemos resolver a equação: x=-3x2+2x+2 -3x2+x+2=0 x=-1±5-6=x1=1x2=-23 Como -23 não pertence ao domínio da função 𝑓, a única solução é 𝑥=1 e, portanto, 𝑦=1, como podemos ver graficamente: Consequentemente 𝑎+𝑏=2. Parte superior do formulário 3. (Adaptada de: OBMEP-2019) A calculadora de Dario tem uma tecla especial. Se um número 𝑛, diferente de 2, está no visor, ele aperta a tecla especial e aparece o número, 2×nn-2. Por exemplo, se o número 6 está no visor, ao apertar a tecla especial, aparece 3, pois 2×66-2=3. Para quais valores Dario obtém o mesmo número que está inicialmente no visor? a) 1 e 0 b) 2 e 0 c) 3 e 0 d) 4 e 0 Parte inferior do formulário Responder Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. Note que a tecla especial é uma função. Portanto, podemos considerar: f(n)=nx2n-2 Desejamos obter os valores de 𝑛, tais que 𝑓(𝑛)=𝑛. Note ainda que 2 não está no domínio da função dada. Vamos aos cálculos: nx2n-2=n 0=n2-4n=n(n-4) Logo, 𝑛=0 e 𝑛=4. Parte superior do formulário 4. Considere a função 𝑓:(−1,2]→ℝ, dada por: fx=x2, se -1≤x≤0x+12, se 0<x≤1-x+2, se 1<x≤2 Nestas condições, é correto afirmar que: a) 𝑓 é sobrejetora. b) 𝑓 é injetora. c) 𝑓 é bijetora. d) 𝐼𝑚(𝑓)=[0,1]. Parte inferior do formulário Responder Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. Observe o gráfico da função 𝑓: Utilizando o teste da horizontal, vemos que a função não é injetora e, consequentemente, não é bijetora. Em contrapartida, 𝐼𝑚(𝑓)=[0,1]≠ℝ. Logo, a função 𝑓 não é sobrejetora. Parte superior do formulário 5. Seja a função 𝑓: ℝ\2→ℝ\3, definida por f(x)=2x-3x-2+1, cujo gráfico é este: Com os conhecimentos adquiridos no exemplo do vídeo deste módulo, construa o gráfico da função inversa da 𝑓 antes de responder à atividade. Sobre a sua inversa, podemos garantir que: a) Não está definida, pois 𝑓 não é sobrejetora. b) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico: c) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico: d) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico: Parte inferior do formulário Responder Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. O gráfico da função inversa é dado por: Parte superior do formulário 6. Seja 𝑓 a função 𝑓:[𝑡,+∞)→ℝ, definida por 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2+1. O menor valor de 𝑡 para que a função seja injetora é: a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 Parte inferior do formulário Responder Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. Observe o gráfico da função 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2+1: Note que, para a função 𝑓 ser bijetora, 𝑡=2. O gráfico em roxo é a função 𝑓:[2,+∞)→ℝ, que é injetora pelo teste da reta horizontal. m isso, você: Identificou graficamente os tipos de funções: injetora, sobrejetora e bijetora. Retornar para o início do módulo 2 Definir os conceitos de funções crescentes e decrescentes INTRODUÇÃO Grande parte do estudo de Cálculo dirige-se à determinação do comportamento de uma função em certo intervalo. Por exemplo, estamos interessados em algumas perguntas como: Onde a função é crescente? Onde ela é decrescente? O lucro da empresa aumentou? Neste módulo, mostraremos como as funções se comportam em determinados intervalos da reta real e algumas de suas aplicações. DEFINIÇÃO Uma função 𝑓:ℝ→ℝ é considerada crescente quando os valores das imagens, 𝑓(𝑥), aumentam à medida que os valores de 𝑥 aumentam, ou seja, para 𝑥2>𝑥1, temos: 𝑓(𝑥2 )>𝑓(𝑥1 ). Em termos gráficos: Uma função 𝑓:ℝ→ℝ é considerada decrescente quando os valores das imagens, 𝑓(𝑥), diminuem à medida em que os valores de 𝑥 aumentam, ou seja, para 𝑥2>𝑥1, temos 𝑓(𝑥2)<𝑓(𝑥1). Exemplo 1 O gráfico mostra a Chuva Acumulada Mensal no município de Campos (RJ), em 2020, e a Chuva Acumulada Mensal de acordo com as normas climatológicas entre 61-90: Fonte: Instituto Nacional de Meteorologia (INMET). Note que ocorreu um decréscimo da quantidade de chuva acumulada do mês de janeiro ao mês de fevereiro. Além disso, de acordo com a Normal Climatológica, no mês de outubro, a previsão é de um aumento significativo das chuvas acumuladas. Exemplo 2 Veja a projeção do crescimento da taxa bruta de mortalidade e natalidade do Brasil, do início de 2010 a 2058. Observe que a taxa bruta de natalidade decresceu, enquanto ocorreu um crescimento na taxa bruta de mortalidade. Exemplo 3 Considere a função 𝑓(𝑥)=𝑥3 Note que essa função é crescente em toda a reta real. De fato, dados 𝑥1<𝑥2, temos que 𝑓(𝑥1)=𝑥31<𝑥32=𝑓(𝑥2). Exemplo 4 Considere a função 𝑓x=−𝑥2, 𝑥<00, 0≤𝑥≤1(𝑥−1)2, 𝑥>1 Observe que a função apresentada não é estritamente crescente em toda reta real, já que ela é constante no intervalo [0,1]. As funções estritamente crescentes têm um papel especial em Cálculo I. Exemplo 5 Vamos praticar: analise o gráfico da função. Agora, determine os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente. Resolução da questão Observando o gráfico, vemos que a função é crescente em (−∞,−0.22)∪(1.55,+∞) e decrescente em (−0.22,1.55). VERIFICANDO O APRENDIZADO Atenção! Para desbloquear o próximo módulo, é necessário que responda corretamente a uma das seguintes questões. Parte superior do formulário 1. (Adaptada de: UFPE - 2017) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada em uma barragem ao longo de três anos: De acordo com o gráfico, podemos afirmar que: a) O nível de 70 m foi atingido uma única vez. b) O nível da água armazenada cresce em todo tempo. c) O nível da água armazenada é estritamente decrescente. d) O nível de 40 m foi atingido 2 vezes nesse período. Parte inferior do formulário Responder Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. Traçando uma reta horizontal paralela ao eixo x (tempo), vemos que o nível de 40 m foi atingido 2 vezes no período de 3 anos. Isso já mostra que a função, cujo gráfico tem a representação da figura, não é injetora. Além disso, como existem oscilações no nível da água armazenada, em alguns instantes ela cresce e em outros decresce. Assim, a função em questão não é crescente nem decrescente. Parte superior do formulário 2. No ano de 2020, o mundo foi assolado por uma pandemia, causada pelo vírus SAR-COV-2, conforme mostra o gráfico a seguir: De acordo com o gráfico, podemos afirmar que: a) De 03 a 12 de fevereiro, a número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 12 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer. b) De 03 a 18 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer. c) De 03 a 12 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 24 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer. d) De 03 a 12 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer. Parte inferior do formulário Responder Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. Fazendo uma análise do gráfico, ou seja, traçando uma reta vertical paralela ao eixo y (correspondente ao número de casos com o vírus SAR-COV-2) e perpendicular às retas 𝑦=20𝑘 e 𝑦=40𝑘, vemos que essas retas intersectam o eixo x (correspondente ao tempo) em 03 e 12 de fevereiro, respectivamente. Assim, o número de casos passa de 20k para 40k de 03 a 12 de fevereiro. Além disso, a partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer. Parte superior do formulário 3. Após várias experiências em laboratórios, observou-se que a concentração de certo antibiótico no sangue de cobaias varia de acordo com a função 𝑓(𝑥)=12𝑥−2𝑥2, em que 𝑥 é o tempo decorrido, em horas, após a ingestão do antibiótico. Nessas condições, a partir de qual momento a concentração desse antibiótico começa a decrescer? a) 0 b) 6 c) 3 d) 18 Parte inferior do formulário Responder ComentárioParabéns! A alternativa C está correta. Observe o gráfico da função 𝑓: Podemos constatar que a concentração desse antibiótico começa a decrescer a partir do 𝑥𝑉 da parábola. Logo, precisamos determinar o vértice dessa parábola. Isso pode ser feito algebricamente. Algebricamente, temos: 𝑥𝑉=−𝑏2𝑎 Onde: 𝑎=−2 → coeficiente de 𝑥2 na função quadrática; 𝑏=12 → coeficiente de 𝑥 na função quadrática. Assim: 𝑥𝑉=−122(−2) =3 Parte superior do formulário 4. Uma função 𝑓:ℝ+→ℝ+ é crescente e satisfaz a seguinte condição: 𝑓(3𝑥)=3𝑓(𝑥), para todo 𝑥∈ℝ+. Se 𝑓(9)=27, qual o valor de 𝑓(1)? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Parte inferior do formulário Responder Comentário Parabéns! A alternativa C está correta. Note que: 27=𝑓(9)=𝑓(3⋅3)=3⋅𝑓(3⋅1)=3⋅3⋅𝑓(1) Logo, temos: 𝑓(1)=279=3 Parte superior do formulário 5. Sabendo que 𝑑 é um número real, o maior valor de 𝑑, tal que a função 𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+3, para x < d, seja decrescente, é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 Parte inferior do formulário Responder Comentário Parabéns! A alternativa C está correta. A parte do gráfico onde x < d é uma parábola, cujo vértice é o ponto (−𝑏2𝑎,−Δ4𝑎)=(2,−1). Assim, a função é decrescente, nas condições do problema, para 𝑥≤2, portanto, o maior valor de 𝑑 é 2. Parte superior do formulário 6. (Adaptada de: ENEM - 2010) As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos, e quase sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil, em 2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados brasileiros se prepararam para acabar com as sacolas plásticas até 2016. Sabemos que a função: 𝑁(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏 Onde: 𝑎,𝑏∈ℝ; 𝑁 = número de sacolas (em bilhões); 𝑥 = número de anos (após 2007). Observe o gráfico a seguir, que considera a origem como o ano de 2007: Fonte: LUCENA, 2010 De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidas em 2011? a) 4,0 b) 6,5 c) 7,0 d) 10 Parte inferior do formulário Responder Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. Para encontrar o valor pedido, ou seja, 𝑓(4), porque se passaram 4 anos de 2007 até 2011, precisamos determinar os valores de 𝑎 e 𝑏. Analisando o gráfico, 𝑓(0)=18 e 𝑓(9)=0, onde 9 corresponde ao ano de 2016. Assim, temos: 18=0𝑎+𝑏, 𝑏=18. Além disso, substituindo o valor de 𝑏 em 𝑓(9)=0, obtemos: 0=9𝑎+18⇒9𝑎=−18⇒𝑎=−2. Logo: 𝑓(𝑥)=−2𝑥+18. Portanto: 𝑓(4)=(−2)⋅4+18=10. Retornar para oinício do módulo 3 Definir o conceito de funções periódicas INTRODUÇÃO Se olharmos para a natureza, vamos descobrir muitos fenômenos que acontecem de forma repetitiva em intervalos de tempos regulares, obedecendo, portanto, a padrões cíclicos. Veja a seguir alguns exemplos: As estações do ano Os batimentos cardíacos O movimento dos ponteiros de um relógio de pulso O movimento dos planetas A corrente elétrica alternada A circulação do sangue Fenômenos como esses são modelados usando uma classe importante de funções: as periódicas. Dentre a classe das funções periódicas, destacamos as chamadas funções trigonométricas: SENO COSSENO TANGENTE DEFINIÇÃO Uma função é considerada periódica quando existe um número real 𝑇>0, tal que 𝑓(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥), para todo 𝑥 no domínio da função. O menor dos valores de 𝑇>0, para os quais a propriedade é verificada, é chamado de período da 𝑓. Atenção Se uma função 𝑓 é periódica de período 𝑇, então, 𝑓 também é periódica de período 𝑛𝑇, onde 𝑛∈ℕ, já que: 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥+2𝑇)=𝑓(𝑥+3𝑇)=⋯=𝑓(𝑥+𝑛𝑇) Exemplo 1 Considere a função 𝑓 do gráfico mostrado na figura a seguir, que corresponde ao eletrocardiograma de uma pessoa saudável: Observe que o padrão de repetição ocorre em intervalos de comprimento T, e não em intervalos de comprimento menor. Assim, a função 𝑓 é uma função periódica de período T. Exemplo 2 Considere a função: 𝑓:ℕ→ℤ, tal que 𝑓(𝑥)=(−1)𝑥 A tabela abaixo mostra o valor da função 𝑓 para os valores de 𝑥 de 0 a 5. x 0 1 2 3 4 5 f(x) (-1)0=1 (-1)1=-1 (-1)2=1 (-1)3=-1 (-1)4=1 (-1)5=-1 2 - Se 𝑥 é um número par, 𝑓(𝑥)=1. 3 - Se 𝑥 é um número ímpar, 𝑓(𝑥)=−1. Esta é uma função periódica de período 2. Por quê? Exemplo 3 Considere a função 𝑓(𝑡)=sen(𝑡) e 𝑃 um ponto no ciclo trigonométrico. Imagine que o ponto 𝑃 se movimenta no ciclo no sentido anti-horário, a partir da posição (1,0) e dá uma volta completa, ou seja, o ângulo 𝑡 varia de 0 até 2𝜋. Pensando no ciclo, é possível perceber que: Quando o ângulo 𝒕 cresce de O valor 𝒇(𝒕)=sen(𝒕) 0 a π2 Cresce de 0 𝑎 1 π2 a π Decresce de 1 𝑎 0 π a 3π2 Decresce de 0 𝑎 −1 3π2 a 2π Cresce de −1 𝑎 0 Assista ao vídeo e veja uma representação gráfica do que foi descrito no exemplo 3. Adicione um comentário Avalie esse vídeo: ENVIAR Fonte: Shutterstock O fluxo de ar através da traqueia é uma função periódica do tempo 𝑥 e ocorre em ambos os sentidos dos pulmões (inspiração e expiração). O fluxo pode ser representado pela função: 𝑓(𝑥)=Asen(𝜔𝑥) Onde: A = fluxo máximo durante a expiração e inspiração 𝜔 = período respiratório ω=2πT→T= o tempo que o indivíduo leva para fazer um ciclo completo A função 𝑓 é, certamente, uma aproximação, pois 𝑇 varia de indivíduo para indivíduo. Mas estudos experimentais mostram que é uma “boa” aproximação da realidade. VERIFICANDO O APRENDIZADO Parte superior do formulário 1. Observe o gráfico da função a seguir: Assinale a resposta correta: a) É uma função periódica de período 2. b) É uma função periódica de período 1. c) É uma função periódica de período 4, e se o gráfico continuar com esse comportamento, 𝑓(14)=2. d) É uma função periódica de período 4, e se o gráfico de da função 𝑓 continuar com o mesmo comportamento, 𝑓(17)=0. Parte inferior do formulário Responder Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. Observe que a função é periódica de período 4, porque: 𝑓(𝑥+4)=𝑓(𝑥), ∀ 𝑥∈𝐷𝑜𝑚(𝑓) Assim: • 𝑓(14)=𝑓(10+4)=𝑓(10)=𝑓(6)=𝑓(2)=1; • 𝑓(17)=𝑓(13+4)=𝑓(13)=0. Parte superior do formulário 2. Sendo 𝑓:ℝ→ℝ uma função periódica de período 2, podemos afirmar que: a) A função 𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥) é periódica de período 4. b) A função 𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥) é periódica de período 1. c) A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥/2) é periódica de período 1. d) A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑞), onde 𝑞 é uma constante positiva, não é periódica. Parte inferior do formulário Responder Comentário Parabéns! A alternativa B está correta. Note que a função 𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥) é periódica de período 1, pois: 𝑔(𝑥+1)=𝑓(2(𝑥+1))=𝑓(2𝑥+2)=𝑓(2𝑥)=𝑔(𝑥). A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥/2) é periódica de período 4. A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑞) é periódica de período 4. Parte superior do formulário 3. Considere que a função 𝒇:[𝟒, +∞[ →[−𝟑,𝟕] seja periódica com período 6 e seja crescente no intervalo [4,10[. Logo, podemos afirmar que: a) 𝑓(10)=𝑓(25) 𝑒 𝑓(4)<𝑓(8). b) 𝑓(12)=𝑓(24) 𝑒 𝑓(15)<𝑓(16). c) 𝑓(15)=𝑓(21) 𝑒 𝑓(21)<𝑓(22). d) 𝑓(18)=𝑓(24) 𝑒 𝑓(28)<𝑓(27). Parte inferior do formulário Responder Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. Inicialmente, vamos entender os dados e a situação da função dada. Sabemos que a função é periódica com período 6. Isso significa que: 𝒇(𝒙)=𝒇(𝒙+𝟔), 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒙 ∈[𝟒, +∞[. Como a função é crescente no intervalo [4,10[, então, sempre teremos que: 𝑥,𝑦 ∈[4,10[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦). Sendo 𝒇 uma função periódica com período 6 e valendo a desigualdade anterior, então, o mesmo vale para os intervalos: • 𝑥,𝑦 ∈[10,16[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦); • 𝑥,𝑦 ∈[16,22[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦); 𝑥,𝑦 ∈[22,28[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦); 𝑥,𝑦 ∈[28,34[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦). E assim sucessivamente para os intervalos seguintes com tamanho 6 (que é o período). Agora vamos analisar cada alternativa: a) Como 𝒇 é uma função periódica com período 6, então: 𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟏𝟎+𝟔)=𝒇(𝟏𝟔) 𝒆 𝒇(𝟏𝟔)=𝒇(𝟏𝟔+𝟔)=𝒇(𝟐𝟐) ⇒ 𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟐𝟐). Assim, como 22 e 25 estão no intervalo [22,28[, pelo terceiro item anterior, temos:𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟐𝟐)<𝒇(𝟐𝟓). Portanto, a letra A é falsa. b) Como 𝒇 é uma função periódica com período 6, então: 𝒇(𝟏𝟐)=𝒇(𝟏𝟐+𝟔)=𝒇(𝟏𝟖) 𝒆 𝒇(𝟏𝟖)=𝒇(𝟏𝟖+𝟔)=𝒇(𝟐𝟒) ⇒ 𝒇(𝟏𝟐)=𝒇(𝟐𝟒). Agora, vamos analisar 𝒇(𝟏𝟓) e 𝒇(𝟏𝟔). Como vimos na letra A, 𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟏𝟔). Como 10 e 15 estão no intervalo [10,16[, pelo primeiro item listado anteriormente, temos: 𝒇(𝟏𝟔)=𝒇(𝟏𝟎)<𝒇(𝟏𝟓). Portanto, a letra B é falsa. c) Como 𝒇 é uma função periódica com período 6, então: 𝒇(𝟏𝟓)=𝒇(𝟏𝟓+𝟔)=𝒇(𝟐𝟏). Agora, vamos analisar 𝒇(𝟐𝟏) e 𝒇(𝟐𝟐). Na letra A, vimos que 𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟐𝟐). Como 10 e 15 estão no intervalo [10,16[, pelo primeiro item listado anteriormente, temos: 𝒇(𝟐𝟐)=𝒇(𝟏𝟎)<𝒇(𝟏𝟓)=𝒇(𝟐𝟏). Portanto, a letra C é falsa. d) Como 𝒇 é uma função periódica com período 6, então: 𝒇(𝟏𝟖)=𝒇(𝟏𝟖+𝟔)=𝒇(𝟐𝟒). Agora, vamos analisar 𝒇(𝟐𝟖) e 𝒇(𝟐𝟕). Note que: 𝒇(𝟐𝟐)=𝒇(𝟐𝟐+𝟔)=𝒇(𝟐𝟖). Como 22 e 27 estão no intervalo [22,28[, pelo terceiro item listado anteriormente, temos: 𝒇(𝟐𝟖)=𝒇(𝟐𝟐)<𝒇(𝟐𝟕). Portanto, a letra D é verdadeira. Parte superior do formulário 4. Seja f(x)=-2+3.cosπx4+π6. a) 4 e [-2,2]. b) 4 e [-5,1]. c) 8 e [-2,2]. d) 8 e [-5,1]. Parte inferior do formulário Responder Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. O período de uma função do tipo 𝒈(𝒙)= 𝒅 +𝒄.𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙+𝒃) é dado por P=2πa Então, no caso de nossa função 𝒇(𝒙), temos a=π4 O período será: P=2πa=2ππ4=2π × 4π=8ππ=8 Uma função da forma 𝑔(𝑥)=𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙+𝒃) tem imagem: 𝑰𝒎(𝒈)=[−𝟏,𝟏] Então, sendo f(x)=-2+3.cosπx4+π6, temos: -1≤cosπx4+π6≤1 multiplicando por 3⇒ -3≤3.cosπx4+π6≤3 somando -2⇒ -5≤-8+3.cosπx4+π6≤1 somando -2⇒ Im(f)=[-5,1] Parte superior do formulário 5. Em determinada ilha de turismo, determinou-se que a variação da maré ao longo do dia pode ser descrita pela seguinte função: f(x)=2+senπx12 Onde 𝒙 é medido em horas e 𝒇(𝒙) em metros. Qual gráfico representa a variação da maré ao longo de um dia? a) b) c) d) Parte inferior do formulário Responder Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. Lembrando que uma função da forma 𝑔(𝑥)=𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒙+𝒃) tem imagem dada pelo seguinte intervalo: 𝑰𝒎(𝒈)=[−𝟏,𝟏] Então, a imagem da função f(x)=2+senπx12 pode ser obtida da seguinte forma: -1 ≤senπx12≤1 (somando 2)⇒ -1 ≤2+senπx12≤3 ⇒ -1 ≤f(x)≤3. Logo, a imagem da função f(x)=2+senπx12 é o intervalo [𝟏;𝟑], ou seja, a altura mínima da maré é de 1 metro, enquanto a altura máxima é de 3 metros. Assim, as possíveis alternativas são as das letras (b) e (d). Pelos gráficos dessas letras, vemos que as marés baixas ocorrem às 6h e às 18h. Calculando 𝒇(𝟔) e 𝒇(𝟏𝟖), obtemos: f(6)=2+senπ.612=2+senπ2=2+1=3 f(18)=2+senπ.1812=2+sen3π2=2+(-1)=1 Portanto, o gráfico que representa a variação da maré é o que consta na letra D. Parte superior do formulário 6. Considerando a função 𝒇:ℝ→ℝ, dada por f(x)=-2+cosπx2+π3, determine a alternativa correta: a) A função 𝒇 é periódica com período 2. b) A imagem de 𝒇 é o intervalo [-2,2]. c) A função 𝒇 é bijetora. d) Existe 𝑥 ∈ℝ, tal que 𝒇(𝒙)= −𝟏,𝟓. Parte inferior do formulário Responder Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. Vamos analisar cada alternativa: a) O período de uma função do tipo 𝒈(𝒙)= 𝒅 +𝒄.𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙+𝒃) é dado por P=2πa. Então, no caso de nossa função 𝒇(𝒙), temos a=π2. O período será: P=2πa=2ππ2=2π×2π=4ππ=4 Logo, o período da função dada não é 2. b) Uma função da forma 𝑔(𝑥)=𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙+𝒃) tem imagem: 𝑰𝒎(𝒈)=[−𝟏,𝟏] Então, sendo f(x)=-2+cosπx2+π3, temos: -1≤cosπx2+π3≤1 (somando -2)⇒ -3≤-2+cosπx2+π3≤-1⇒ Im(f)=[-3,-1] Logo, a imagem de 𝒇 não é o intervalo [-2,2]. c) Como vimos na letra B, a imagem de 𝒇 é: íIm(f)=[-3,-1] ≠R=contradomínio Logo, 𝒇 não é sobrejetora e, portanto, não pode ser bijetora. d) Como vimos na letra B, a imagem da função é o intervalo [−𝟑,−𝟏]. Como −𝟏,𝟓 ∈[−𝟑,−𝟏], então, existe 𝒙 ∈𝑫𝒐𝒎í𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒇=ℝ, tal que 𝒇(𝒙)= −𝟏,𝟓. REFERÊNCIAS BRASIL. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Projeção da população do Brasil e das Unidades da Federação. Brasília: IBGE, 2008. DELGADO GÓMEZ, J. J. Pré-cálculo. Rio de Janeiro: CEDERJ, 2002. v. 4. FOMIN, D. A. Círculos matemáticos. Rio de Janeiro: IMPA, 2010. IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar I. São Paulo: Atual, 2013. v. 1. LIMA, E.; CARVALHO, P. E. W.; MORCAGO, C. A Matemática do Ensino Médio. 9. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006. v. 1. LIVRO ABERTO. Funções. (s.d.). LUCENA, M. Guerra às sacolinhas. Galileu, n. 225, 2010. MAESTRI, R. Algumas boas notícias com algumas não tanto do Covid-19. Jornal GGN, mar. 2020. STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. v. 1. VISÃO SAÚDE. Covid-19: que países conseguiram contrariar a curva do Coronavírus? Publicação em: 20 mar. 2020. EXPLORE+ Pesquise e consulte: · O aplicativo on-line GeoGebra; · O Portal OBMEP do Saber. Busque e analise os seguintes resultados do uso do aplicativo GeoGebra: BORGES, A. Desenho da função seno. GeoGebra. (s.d.). CORREIA, P. Duração do dia. GeoGebra, (s.d.). No primeiro, você encontra a construção do gráfico da função seno, e no segundo, um exercício interessante que mostra o número de horas de sol ao longo do ano em diferentes locais do planeta. CONTEUDISTA Loisi Carla Monteiro Pereira Currículo Lattes
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