Bases Matematicas - exercícios aula

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1. Considere a seguinte função:
fx=-2x,   se   x<0x,   se    0≤x≤42,   se   x>4   
O domínio e a imagem da função são, respectivamente:
a) 𝐷(𝑓)=ℝ e 𝐼𝑚(𝑓)=[0; +∞┤[.
b) 𝐷(𝑓) = [0; +∞┤[ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ.
c) 𝐷(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ.
d) 𝐷(𝑓) = [0; +∞┤[ e 𝐼𝑚(𝑓) = [0; +∞┤[.
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Parabéns! A alternativa A está correta.
A função é formada por três pedaços de funções já conhecidas. Cada um desses pedaços corresponde a uma parte do domínio. Para 𝑥<0, o gráfico é parte da reta 𝑦=−2𝑥. Para traçar, basta considerarmos dois pontos.
	𝑥
	𝑦= −2𝑥
	(𝑥; -2𝑥)
	0
	-2 . 0 = 0
	(0; 0)
	-2
	-2 . (-2) = 4
	(-2; 4)
Marcando esses pontos no plano, obtemos a parte da reta que nos interessa:
Repare que o ponto (0;0) ficou traçado como “bolinha aberta”, pois 𝑥=0 não pertence a essa parte do domínio da função.
Para 0≤𝑥≤4, o gráfico é parte do gráfico de 𝑦=√𝑥. Para traçá-lo, devemos olhar para o esboço apresentado anteriormente, bem como calcular o valor da função nos extremos.
	𝑥
	𝑦=√𝑥
	(𝑥; √𝑥)
	0
	√0=0
	(0; 0)
	4
	√4=2
	(4; 2)
Marcamos, então, esses pontos e, em seguida, traçamos uma curva passando por eles com o formato parecido com o do esboço já apresentado.
Finalmente, para 𝑥>4, a função é constante e igual a 2. Seu gráfico é uma reta paralela ao Eixo 𝑂𝑥:
Aqui, o ponto (4;2) também ficou como “bolinha aberta”, pois 𝑥=4 não pertence a essa parte do domínio.
Juntando todas essas informações em um único plano, obtemos o gráfico da função 𝑓:
A partir da representação gráfica, fica fácil perceber que 𝐷(𝑓)=ℝ e 𝐼𝑚(𝑓)=[0; +∞┤[.
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2. (PETROBRAS - 2008) Considere que 𝑓 é uma função definida do conjunto 𝐷 em ℝ por: 𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+8.
Sendo 𝐼𝑚 a imagem de 𝑓, é correto afirmar que, se:
a) 𝐷=[−2,0], então 𝐼𝑚(𝑓)=ℝ+.
b) 𝐷=[2,+∞[, então 𝐼𝑚(𝑓)=[0;4].
c) 𝐷=[2,+∞[, então 𝐼𝑚(𝑓)=ℝ+.
d) 𝐷=[0;2], então 𝐼𝑚(𝑓)=[4;8].
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Parabéns! A alternativa D está correta.
O gráfico da função 𝑓 é dado por:
Vamos analisar cada restrição do domínio da função 𝑓.
Note que, se 𝐷=[−2,0], temos que 𝐼𝑚(𝑓)=[8,20].
Se 𝐷=[2,+∞[, temos que 𝐼𝑚(𝑓)=[4,+∞).
Se 𝐷=[0;2], temos que I𝑚(𝑓)=[4;8].
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1. (Adaptada de: LIVRO ABERTO - s.d.) Considere a função 𝑔:ℝ→ℝ tal que 𝑔(𝑥)=9−𝑥2. Assinale a alternativa correta:
a) Existe algum 𝑥∈ℝ cuja imagem é igual a 10.
b) A função 𝑔 é injetora.
c) A função 𝑔 é sobrejetora.
d) Restringindo o domínio da função 𝑔 para o intervalo [0,+∞), temos que 𝑔 é injetora.
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Parabéns! A alternativa D está correta.
Observe o gráfico da função 𝑔(𝑥)=9−𝑥2:
Ao traçarmos a reta horizontal 𝑦=10, ela não intersecta o gráfico da função 𝑔. Logo, não existe 𝑥∈ℝ, cuja imagem é igual a 10. Além disso, utilizando o teste da reta horizontal para saber se a função 𝑔 é injetora em todo o seu domínio, notamos que existem vários números diferentes com imagens iguais. Por exemplo: 𝑔(−1)=8 e 𝑔(1)=8. Assim, 𝑔 não é injetora em ℝ.Em contrapartida, ao restringir o domínio da função 𝑔 ao intervalo [0,+∞), o gráfico da função 𝑔 é dado por:
Utilizando o teste da horizontal, observamos que a função é injetora nesse intervalo.
Top of Form2. Considere a função bijetora 𝑓:[1,∞)→(−∞,3] definida por 𝑓(𝑥)=−3𝑥2+2𝑥+2 e seja (𝑎,𝑏) o ponto de interseção de 𝑓 com sua inversa 𝑓−1. O valor numérico da expressão 𝑎+𝑏 é:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
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Parabéns! A alternativa A está correta.
Para determinar o gráfico da função inversa de uma função bijetiva, basta fazer a reflexão sobre a reta y=x. Dessa forma, a fim de encontrar tal ponto, devemos apenas resolver o sistema:
y=xy=-3x2+2x+2
Fique atento ao fato de que a solução deve estar contida no domínio da função 𝑓, sugerido na questão. Assim, devemos resolver a equação:
x=-3x2+2x+2
-3x2+x+2=0
x=-1±5-6=x1=1x2=-23
Como -23 não pertence ao domínio da função 𝑓, a única solução é 𝑥=1 e, portanto, 𝑦=1, como podemos ver graficamente: Consequentemente 𝑎+𝑏=2.
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3. (Adaptada de: OBMEP-2019) A calculadora de Dario tem uma tecla especial. Se um número 𝑛, diferente de 2, está no visor, ele aperta a tecla especial e aparece o número, 2×nn-2. Por exemplo, se o número 6 está no visor, ao apertar a tecla especial, aparece 3, pois 2×66-2=3. Para quais valores Dario obtém o mesmo número que está inicialmente no visor?
a) 1 e 0
b) 2 e 0
c) 3 e 0
d) 4 e 0
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Parabéns! A alternativa D está correta.
Note que a tecla especial é uma função. Portanto, podemos considerar:
f(n)=nx2n-2
Desejamos obter os valores de 𝑛, tais que 𝑓(𝑛)=𝑛. Note ainda que 2 não está no domínio da função dada. Vamos aos cálculos:
nx2n-2=n
0=n2-4n=n(n-4)
Logo, 𝑛=0 e 𝑛=4.
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4. Considere a função 𝑓:(−1,2]→ℝ, dada por:
fx=x2, se -1≤x≤0x+12, se 0<x≤1-x+2, se 1<x≤2
Nestas condições, é correto afirmar que:
a) 𝑓 é sobrejetora.
b) 𝑓 é injetora.
c) 𝑓 é bijetora.
d) 𝐼𝑚(𝑓)=[0,1].
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Parabéns! A alternativa D está correta.
Observe o gráfico da função 𝑓:
Utilizando o teste da horizontal, vemos que a função não é injetora e, consequentemente, não é bijetora. Em contrapartida, 𝐼𝑚(𝑓)=[0,1]≠ℝ. Logo, a função 𝑓 não é sobrejetora.
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5. Seja a função 𝑓: ℝ\2→ℝ\3, definida por f(x)=2x-3x-2+1, cujo gráfico é este:
Com os conhecimentos adquiridos no exemplo do vídeo deste módulo, construa o gráfico da função inversa da 𝑓 antes de responder à atividade.
Sobre a sua inversa, podemos garantir que:
a) Não está definida, pois 𝑓 não é sobrejetora.
b) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico:
c) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico:
d) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico:
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Parabéns! A alternativa D está correta.
O gráfico da função inversa é dado por:
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6. Seja 𝑓 a função 𝑓:[𝑡,+∞)→ℝ, definida por 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2+1. O menor valor de 𝑡 para que a função seja injetora é:
a) -1
b) 0
c) 1
d) 2
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Parabéns! A alternativa D está correta.
Observe o gráfico da função 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2+1:
Note que, para a função 𝑓 ser bijetora, 𝑡=2.
O gráfico em roxo é a função 𝑓:[2,+∞)→ℝ, que é injetora pelo teste da reta horizontal.
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1. (Adaptada de: UFPE - 2017) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada em uma barragem ao longo de três anos:
De acordo com o gráfico, podemos afirmar que:
a) O nível de 70 m foi atingido uma única vez.
b) O nível da água armazenada cresce em todo tempo.
c) O nível da água armazenada é estritamente decrescente.
d) O nível de 40 m foi atingido 2 vezes nesse período.
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Parabéns! A alternativa D está correta.
Traçando uma reta horizontal paralela ao eixo x (tempo), vemos que o nível de 40 m foi atingido 2 vezes no período de 3 anos. Isso já mostra que a função, cujo gráfico tem a representação da figura, não é injetora. Além disso, como existem oscilações no nível da água armazenada, em alguns instantes ela cresce e em outros decresce. Assim, a função em questão não é crescente nem decrescente.
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2. No ano de 2020, o mundo foi assolado por uma pandemia, causada pelo vírus SAR-COV-2, conforme mostra o gráfico a seguir:
De acordo com o gráfico, podemos afirmar que:
a) De 03 a 12 de fevereiro, a número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 12 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
b) De 03 a 18 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
c) De 03 a 12 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 24 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
d) De 03 a 12 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
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Parabéns! A alternativa D está correta.
Fazendo uma análise do gráfico, ou seja, traçando uma reta vertical paralela ao eixo y (correspondente ao númerode casos com o vírus SAR-COV-2) e perpendicular às retas 𝑦=20𝑘 e 𝑦=40𝑘, vemos que essas retas intersectam o eixo x (correspondente ao tempo) em 03 e 12 de fevereiro, respectivamente. Assim, o número de casos passa de 20k para 40k de 03 a 12 de fevereiro. Além disso, a partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
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3. Após várias experiências em laboratórios, observou-se que a concentração de certo antibiótico no sangue de cobaias varia de acordo com a função 𝑓(𝑥)=12𝑥−2𝑥2, em que 𝑥 é o tempo decorrido, em horas, após a ingestão do antibiótico.
Nessas condições, a partir de qual momento a concentração desse antibiótico começa a decrescer?
a) 0
b) 6
c) 3
d) 18
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Observe o gráfico da função 𝑓:
Podemos constatar que a concentração desse antibiótico começa a decrescer a partir do 𝑥𝑉 da parábola. Logo, precisamos determinar o vértice dessa parábola. Isso pode ser feito algebricamente.
Algebricamente, temos:
𝑥𝑉=−𝑏2𝑎
Onde:
𝑎=−2 → coeficiente de  𝑥2 na função quadrática;
𝑏=12 → coeficiente de  𝑥 na função quadrática.
Assim:
𝑥𝑉=−122(−2) =3
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4. Uma função 𝑓:ℝ+→ℝ+ é crescente e satisfaz a seguinte condição: 𝑓(3𝑥)=3𝑓(𝑥), para todo 𝑥∈ℝ+. Se 𝑓(9)=27, qual o valor de 𝑓(1)?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Note que:
 27=𝑓(9)=𝑓(3⋅3)=3⋅𝑓(3⋅1)=3⋅3⋅𝑓(1)
Logo, temos:
𝑓(1)=279=3
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5. Sabendo que 𝑑 é um número real, o maior valor de 𝑑, tal que a função 𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+3, para x < d, seja decrescente, é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
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Parabéns! A alternativa C está correta.
A parte do gráfico onde x < d é uma parábola, cujo vértice é o ponto (−𝑏2𝑎,−Δ4𝑎)=(2,−1). Assim, a função é decrescente, nas condições do problema, para 𝑥≤2, portanto, o maior valor de 𝑑 é 2.
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6. (Adaptada de: ENEM - 2010) As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos, e quase sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil, em 2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados brasileiros se prepararam para acabar com as sacolas plásticas até 2016.
Sabemos que a função:
𝑁(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏
Onde:
𝑎,𝑏∈ℝ;
𝑁 = número de sacolas (em bilhões);
𝑥 = número de anos (após 2007).
Observe o gráfico a seguir, que considera a origem como o ano de 2007:
De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidas em 2011?
a) 4,0
b) 6,5
c) 7,0
d) 10
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Parabéns! A alternativa D está correta.
Para encontrar o valor pedido, ou seja, 𝑓(4), porque se passaram 4 anos de 2007 até 2011, precisamos determinar os valores de 𝑎 e 𝑏.
Analisando o gráfico, 𝑓(0)=18  e 𝑓(9)=0, onde 9 corresponde ao ano de 2016. Assim, temos:
18=0𝑎+𝑏,     𝑏=18.
Além disso, substituindo o valor de 𝑏 em 𝑓(9)=0, obtemos:
0=9𝑎+18⇒9𝑎=−18⇒𝑎=−2.
Logo: 𝑓(𝑥)=−2𝑥+18.
Portanto: 𝑓(4)=(−2)⋅4+18=10.
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1. Observe o gráfico da função a seguir:
Assinale a resposta correta:
a) É uma função periódica de período 2.
b) É uma função periódica de período 1.
c) É uma função periódica de período 4, e se o gráfico continuar com esse comportamento, 𝑓(14)=2.
d) É uma função periódica de período 4, e se o gráfico de da função 𝑓 continuar com o mesmo comportamento, 𝑓(17)=0.
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Parabéns! A alternativa D está correta.
Observe que a função é periódica de período 4, porque:
𝑓(𝑥+4)=𝑓(𝑥), ∀ 𝑥∈𝐷𝑜𝑚(𝑓)
Assim:
• 𝑓(14)=𝑓(10+4)=𝑓(10)=𝑓(6)=𝑓(2)=1;
• 𝑓(17)=𝑓(13+4)=𝑓(13)=0.
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2. Sendo 𝑓:ℝ→ℝ uma função periódica de período 2, podemos afirmar que:
a) A função 𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥) é periódica de período 4.
b) A função 𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥) é periódica de período 1.
c) A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥/2) é periódica de período 1.
d) A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑞), onde 𝑞 é uma constante positiva, não é periódica.
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Parabéns! A alternativa B está correta.
Note que a função 𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥) é periódica de período 1, pois:
𝑔(𝑥+1)=𝑓(2(𝑥+1))=𝑓(2𝑥+2)=𝑓(2𝑥)=𝑔(𝑥).
A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥/2) é periódica de período 4.
A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑞) é periódica de período 4.
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3. Considere que a função 𝒇:[𝟒, +∞[ →[−𝟑,𝟕] seja periódica com período 6 e seja crescente no intervalo [4,10[. Logo, podemos afirmar que:
a) 𝑓(10)=𝑓(25) 𝑒 𝑓(4)<𝑓(8).
b) 𝑓(12)=𝑓(24) 𝑒 𝑓(15)<𝑓(16).
c) 𝑓(15)=𝑓(21) 𝑒 𝑓(21)<𝑓(22).
d) 𝑓(18)=𝑓(24) 𝑒 𝑓(28)<𝑓(27).
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Parabéns! A alternativa D está correta.
Inicialmente, vamos entender os dados e a situação da função dada. Sabemos que a função é periódica com período 6. Isso significa que:
𝒇(𝒙)=𝒇(𝒙+𝟔), 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒙 ∈[𝟒, +∞[.
Como a função é crescente no intervalo [4,10[, então, sempre teremos que:
𝑥,𝑦 ∈[4,10[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦).
Sendo 𝒇 uma função periódica com período 6 e valendo a desigualdade anterior, então, o mesmo vale para os intervalos:
• 𝑥,𝑦 ∈[10,16[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦);
• 𝑥,𝑦 ∈[16,22[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦);
𝑥,𝑦 ∈[22,28[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦);
𝑥,𝑦 ∈[28,34[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦).
E assim sucessivamente para os intervalos seguintes com tamanho 6 (que é o período).
Agora vamos analisar cada alternativa:
a) Como 𝒇 é uma função periódica com período 6, então:
𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟏𝟎+𝟔)=𝒇(𝟏𝟔) 𝒆 𝒇(𝟏𝟔)=𝒇(𝟏𝟔+𝟔)=𝒇(𝟐𝟐)
⇒ 𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟐𝟐).
Assim, como 22 e 25 estão no intervalo [22,28[, pelo terceiro item anterior, temos:
𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟐𝟐)<𝒇(𝟐𝟓).
Portanto, a letra A é falsa.
b) Como 𝒇 é uma função periódica com período 6, então:
𝒇(𝟏𝟐)=𝒇(𝟏𝟐+𝟔)=𝒇(𝟏𝟖) 𝒆 𝒇(𝟏𝟖)=𝒇(𝟏𝟖+𝟔)=𝒇(𝟐𝟒)
⇒ 𝒇(𝟏𝟐)=𝒇(𝟐𝟒).
Agora, vamos analisar 𝒇(𝟏𝟓) e 𝒇(𝟏𝟔). Como vimos na letra A, 𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟏𝟔). Como 10 e 15 estão no intervalo [10,16[, pelo primeiro item listado anteriormente, temos:
𝒇(𝟏𝟔)=𝒇(𝟏𝟎)<𝒇(𝟏𝟓).
Portanto, a letra B é falsa.
c) Como 𝒇 é uma função periódica com período 6, então:
𝒇(𝟏𝟓)=𝒇(𝟏𝟓+𝟔)=𝒇(𝟐𝟏).
Agora, vamos analisar 𝒇(𝟐𝟏) e 𝒇(𝟐𝟐). Na letra A, vimos que 𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟐𝟐). Como 10 e 15 estão no intervalo [10,16[, pelo primeiro item listado anteriormente, temos:
𝒇(𝟐𝟐)=𝒇(𝟏𝟎)<𝒇(𝟏𝟓)=𝒇(𝟐𝟏).
Portanto, a letra C é falsa.
d) Como 𝒇 é uma função periódica com período 6, então:
𝒇(𝟏𝟖)=𝒇(𝟏𝟖+𝟔)=𝒇(𝟐𝟒).
Agora, vamos analisar 𝒇(𝟐𝟖) e 𝒇(𝟐𝟕). Note que:
𝒇(𝟐𝟐)=𝒇(𝟐𝟐+𝟔)=𝒇(𝟐𝟖).
Como 22 e 27 estão no intervalo [22,28[, pelo terceiro item listado anteriormente, temos:
𝒇(𝟐𝟖)=𝒇(𝟐𝟐)<𝒇(𝟐𝟕).
Portanto, a letra D é verdadeira.
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4. Seja f(x)=-2+3.cosπx4+π6.
a) 4 e [-2,2].
b) 4 e [-5,1].
c) 8 e [-2,2].
d) 8 e [-5,1].
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Parabéns! A alternativa D está correta.
O período de uma função do tipo 𝒈(𝒙)= 𝒅 +𝒄.𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙+𝒃) é dado por P=2πa Então, no caso de nossa função 𝒇(𝒙), temos a=π4 O período será:
P=2πa=2ππ4=2π × 4π=8ππ=8
Uma função da forma 𝑔(𝑥)=𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙+𝒃) tem imagem:
𝑰𝒎(𝒈)=[−𝟏,𝟏]
Então, sendo f(x)=-2+3.cosπx4+π6, temos:
-1≤cosπx4+π6≤1 multiplicando por 3⇒
-3≤3.cosπx4+π6≤3 somando -2⇒
-5≤-8+3.cosπx4+π6≤1 somando -2⇒
Im(f)=[-5,1]
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5. Em determinada ilha de turismo, determinou-se que a variação da maré ao longo do dia pode ser descrita pela seguinte função: f(x)=2+senπx12 
Onde 𝒙 é medido em horas e 𝒇(𝒙) em metros.
Qual gráfico representa a variação da maré ao longo de um dia?
a)
b)
c)
d)
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Parabéns! A alternativa D está correta.
Lembrando que uma função da forma 𝑔(𝑥)=𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒙+𝒃) tem imagem dada pelo seguinte intervalo:
𝑰𝒎(𝒈)=[−𝟏,𝟏]
Então, a imagem da função f(x)=2+senπx12 pode ser obtida da seguinte forma:
-1 ≤senπx12≤1 (somando 2)⇒
-1 ≤2+senπx12≤3 ⇒
-1 ≤f(x)≤3.
Logo, a imagem da função f(x)=2+senπx12 é o intervalo [𝟏;𝟑], ou seja, a altura mínima da maré é de 1 metro, enquanto a altura máxima é de 3 metros.
Assim, as possíveis alternativas são as das letras (b) e (d). Pelos gráficos dessas letras, vemos que as marés baixas ocorrem às 6h e às 18h.
Calculando 𝒇(𝟔) e 𝒇(𝟏𝟖), obtemos:f(6)=2+senπ.612=2+senπ2=2+1=3
f(18)=2+senπ.1812=2+sen3π2=2+(-1)=1
Portanto, o gráfico que representa a variação da maré é o que consta na letra D.
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6. Considerando a função 𝒇:ℝ→ℝ, dada por f(x)=-2+cosπx2+π3, determine a alternativa correta:
a) A função 𝒇 é periódica com período 2.
b) A imagem de 𝒇 é o intervalo [-2,2].
c) A função 𝒇 é bijetora.
d) Existe 𝑥 ∈ℝ, tal que 𝒇(𝒙)= −𝟏,𝟓.
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Parabéns! A alternativa D está correta.
Vamos analisar cada alternativa:
a) O período de uma função do tipo 𝒈(𝒙)= 𝒅 +𝒄.𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙+𝒃) é dado por P=2πa. Então, no caso de nossa função 𝒇(𝒙), temos a=π2. O período será:
P=2πa=2ππ2=2π×2π=4ππ=4
Logo, o período da função dada não é 2.
b) Uma função da forma 𝑔(𝑥)=𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙+𝒃) tem imagem: 𝑰𝒎(𝒈)=[−𝟏,𝟏]
Então, sendo f(x)=-2+cosπx2+π3, temos:
-1≤cosπx2+π3≤1 (somando -2)⇒
-3≤-2+cosπx2+π3≤-1⇒
Im(f)=[-3,-1]
Logo, a imagem de 𝒇 não é o intervalo [-2,2].
c) Como vimos na letra B, a imagem de 𝒇 é:
íIm(f)=[-3,-1] ≠R=contradomínio
Logo, 𝒇 não é sobrejetora e, portanto, não pode ser bijetora.
d) Como vimos na letra B, a imagem da função é o intervalo [−𝟑,−𝟏]. Como −𝟏,𝟓 ∈[−𝟑,−𝟏], então, existe 𝒙 ∈𝑫𝒐𝒎í𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒇=ℝ, tal que 𝒇(𝒙)= −𝟏,𝟓.