RM-B4-Lei de Hooke e Módulo de Young

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Prof. M.Sc. Rafael Bertoncini
rbertoncini@prof.unisa.br
Resistência dos Materiais
Lei de Hooke e Módulo de Young
Diagrama convencional de tensão-deformação
▪ A tensão nominal (de engenharia) é determinada dividindo a carga aplicada P
pela área da seção transversal original do corpo de prova A0:
▪ Este cálculo assume que a tensão é constante ao longo da seção transversal e ao longo do 
comprimento do medidor:
▪ A deformação nominal (de engenharia) é encontrada diretamente da leitura do 
strain gage, ou dividindo a mudança no comprimento padrão do corpo de prova, 
δ, pelo comprimento original L0 do corpo de prova:
Diagrama convencional de tensão-deformação
▪ Quando os valores de σ e ε são 
plotados, onde o eixo vertical é a 
tensão e o eixo horizontal é a 
deformação, a curva resultante é 
chamada de diagrama tensão-
deformação convencional:
Lembrem-se que dois diagramas tensão-
deformação para um determinado material serão 
bastante semelhantes, mas nunca serão 
exatamente os mesmos: os resultados dependem 
de variáveis como a composição do material, 
imperfeições microscópicas, a forma como a 
amostra é fabricada, a taxa de carregamento e a 
temperatura durante o tempo do teste
Fonte: HIBBELER, R. C., 2018
Tensão de fratura verdadeira
Tensão de 
fratura
Tensão 
final
Limite proporcional
Limite elástico
Tensão ruptura
Região 
elástica
Ruptura Endurecimento 
sob tensão
Formação 
do pescoço
Comp.
elástico
Comportamento 
plástico
Comportamento elástico
▪ A região inicial da curva (em laranja) é chamada de 
região elástica:
▪ A curva é uma linha reta até o ponto onde a tensão atinge o 
limite proporcional, σlp:
▪ Quando a tensão excede ligeiramente esse valor, a curva se dobra 
até que a tensão atinja um limite elástico ➔ para a maioria dos 
materiais, esses pontos são muito próximos ➔ torna-se bastante 
difícil distinguir seus valores exatos;
▪ O que torna a região elástica única é que após atingir σY, se a 
carga for removida, o corpo de prova recuperará sua forma original 
➔ nenhum dano será feito ao material.
Fonte: HIBBELER, R. C., 2018
Comportamento elástico
▪ Como a curva é uma linha reta até σlp, qualquer aumento na tensão causará um 
aumento proporcional na deformação:
▪ Este fato foi descoberto em 1676 por Robert Hooke, usando molas, e é conhecido como Lei 
de Hooke:
▪ E representa a constante de proporcionalidade, que é chamada de módulo de elasticidade ou 
módulo de Young, em homenagem a Thomas Young, que publicou um relato sobre ela em 
1807:
▪ O módulo de elasticidade representa a inclinação da parte de linha reta da curva;
▪ Como a deformação é adimensional, E terá as mesmas unidades de tensão: Pascal (Pa), 
megapascal (MPa) ou gigapascal (GPa).
Comportamento plástico | Escoamento
▪ Um ligeiro aumento na tensão acima do limite elástico 
resultará em uma ruptura do material e fará com que ele se 
deforme permanentemente:
▪ Esse comportamento é chamado de escoamento e é indicado pela 
região retangular laranja escura;
▪ A tensão que causa o escoamento é chamada de tensão de 
escoamento (ruptura) ou ponto de escoamento, σY, e a deformação 
que ocorre é chamada de deformação plástica
▪ Para aços de baixo carbono ou laminados a quente, o limite de 
escoamento é frequentemente distinguido por dois valores:
▪ O limite de escoamento superior ocorre primeiro, seguido por uma 
diminuição repentina na capacidade de carga para um limite de 
escoamento inferior;
▪ Uma vez que o ponto de escoamento é alcançado, o corpo de prova 
continuará a se alongar (deformar) sem qualquer aumento na carga ➔
quando o material se comporta dessa maneira, muitas vezes é referido 
como sendo perfeitamente plástico.
Fonte: HIBBELER, R. C., 2018
Comportamento plástico | Encruamento
▪ Quando o escoamento terminar, qualquer carga 
que cause um aumento na tensão será suportada 
pelo corpo de prova, resultando em uma curva 
que se eleva continuamente, mas se torna mais 
plana até atingir uma tensão máxima conhecida 
como tensão última, σu:
▪ O aumento na curva dessa maneira é chamado de 
encruamento (verde claro):
Fonte: HIBBELER, R. C., 2018
Comportamento plástico | Formação do pescoço
▪ À medida que o corpo de prova se 
alonga, sua área de seção transversal 
diminuirá de maneira bastante 
uniforme ao longo de todo o 
comprimento do corpo de prova:
▪ Logo após atingir a tensão máxima, a área 
da seção transversal começará a diminuir 
em uma região do corpo de prova ➔ a 
tensão começa a aumentar ➔ uma 
constrição ou “pescoço” tende a se formar 
com o alongamento adicional:
▪ O diagrama tensão-deformação tende a se 
curvar para baixo até que o corpo de prova 
se quebre na tensão de fratura, σf;
Fonte: HIBBELER, R. C., 2018
Tensão de fratura verdadeira
Tensão de 
fratura
Tensão 
final
Limite proporcional
Limite elástico
Tensão ruptura
Região 
elástica
Ruptura Endurecimento 
sob tensão
Formação 
do pescoço
Comp.
elástico
Comportamento 
plástico
Comportamento plástico | Formação do pescoço
Fonte: HIBBELER, R. C., 2018
Formação do pescoço Fratura
Comportamento de materiais dúcteis
▪ Qualquer material que possa ser submetido a grandes deformações antes de 
fraturar é chamado de material dúctil:
▪ O aço macio é um exemplo típico;
▪ Os engenheiros geralmente escolhem materiais dúcteis para o projeto porque esses materiais 
são capazes de absorver choque ou energia e, se ficarem sobrecarregados, geralmente 
exibirão grande deformação antes de falhar;
▪ Uma maneira de especificar a ductilidade de um material é relatar seu alongamento 
percentual ou redução percentual na área no momento da fratura:
▪ O alongamento percentual é a tensão de fratura da amostra expressa em porcentagem ➔ se o 
comprimento padrão original do corpo de prova é L0 e seu comprimento na fratura é Lf:
𝑎𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 =
𝐿𝑓 − 𝐿0
𝐿0
(100%)
Comportamento de materiais dúcteis
▪ A redução percentual na área é outra maneira de especificar a ductilidade, sendo definida dentro da 
região do pescoço:
𝑟𝑒𝑑𝑢çã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑛𝑎 á𝑟𝑒𝑎 =
𝐴0 − 𝐴𝑓
𝐴𝑓
(100%)
▪ A0 é a área da seção transversal original da amostra e Af é a área do colo na fratura;
▪ O aço doce tem um valor típico de 60%;
▪ Além do aço, outros metais, como latão, molibdênio e zinco, também podem apresentar características de 
tensão-deformação dúctil semelhantes ao aço, pelo que sofrem um comportamento elástico de tensão-
deformação, cedendo sob tensão constante, encruamento e, finalmente, estriação até a fratura;
▪ Na maioria dos metais e alguns plásticos, o escoamento constante não ocorrerá além da faixa elástica ➔
um metal onde este é o caso é o alumínio ➔ ele muitas vezes não tem um ponto de escoamento bem 
definido, sendo prática padrão definir um limite de escoamento usando um procedimento gráfico chamado 
método de compensação.
Comportamento de materiais frágeis
▪ São os materiais que exibem pouco ou nenhum escoamento antes da falha:
▪ O ferro fundido cinzento e o concreto são exemplos de materiais frágeis:
▪ Tendo um diagrama tensão-deformação em tração, a fratura ocorre devido a uma trinca 
microscópica, que se espalha rapidamente pelo corpo de prova, causando fratura completa.
▪ Como o aparecimento de trincas iniciais em um corpo de prova é bastante aleatório, materiais 
frágeis não possuem uma tensão de fratura por tração bem definida ➔ em vez disso, a tensão 
de fratura média de um conjunto de testes observados é geralmente relatada.
Fonte: HIBBELER, R. C., 2018
Comportamento de materiais frágeis
▪ Comparados com seu comportamento em tração, os materiais frágeis apresentam uma 
resistência muito maior à compressão axial:
▪ Para este caso, quaisquer rachaduras ou imperfeições no corpo de prova tendem a se fechar e, à 
medida que a carga aumenta, o material geralmente incha ou se torna em forma de barril à medida 
que as deformações aumentam:
Fonte: HIBBELER, R. C., 2018
Comportamento de materiais frágeis
▪ Em geral, pode-seafirmar que a maioria dos 
materiais apresenta comportamento dúctil e 
frágil:
▪ O aço tem comportamento frágil quando contém alto 
teor de carbono e é dúctil quando o teor de carbono é 
reduzido;
▪ Em baixas temperaturas, os materiais tornam-se mais 
duros e quebradiços, enquanto que quando a 
temperatura aumenta, eles se tornam mais macios e 
mais dúcteis.
Fonte: HIBBELER, R. C., 2018
Plástico de 
metacrilato
Rigidez
▪ O módulo de elasticidade é uma propriedade mecânica que indica a rigidez de 
um material;
▪ Materiais muito rígidos, como o aço, apresentam valores elevados de E (Est = 200 
GPa), enquanto materiais esponjosos, como a borracha vulcanizada, apresentam 
valores baixos (Er = 0,69 MPa);
▪ Os valores de E para materiais de engenharia comumente usados são 
frequentemente tabulados em códigos de engenharia e livros de referência;
▪ O módulo de elasticidade é uma das propriedades mecânicas mais importantes 
➔ deve-se sempre lembrar que E, pela aplicação da Lei de Hooke, só pode ser 
usado se um material tiver comportamento elástico linear ➔ ademais, se a 
tensão no material for maior que o limite proporcional, o diagrama tensão-
deformação deixa de ser uma linha reta ➔ a Lei de Hooke não é mais válida.
Encruamento
▪ Se uma amostra de material dúctil, como o aço, é carregada na região plástica e 
depois descarregada, a deformação elástica é recuperada à medida que o 
material retorna ao seu estado de equilíbrio;
▪ A deformação plástica permanece e como resultado o material será submetido a 
uma deformação irreversível:
▪ Ex.: um fio quando dobrado (plasticamente) recuará um pouco (elasticamente) quando a 
carga for removida ➔ ele não retornará totalmente à sua posição original.
Encruamento
▪ Esse comportamento é ilustrado a seguir:
▪ O corpo de prova é carregado além de seu ponto de 
escoamento A até o ponto A’;
▪ Como as forças inter atômicas precisam ser superadas para 
alongar a amostra elasticamente, essas mesmas forças puxam 
os átomos de volta quando a carga é removida ➔ o módulo de 
elasticidade é o mesmo ➔ a inclinação da linha OA é a mesma 
da linha O’A’;
▪ Com a carga removida, a deformação permanente é OO’;
▪ Se a carga for reaplicada, os átomos do material serão 
novamente deslocados até que o escoamento ocorra na 
tensão A’ ou próximo a ela, e o diagrama tensão-deformação 
continua ao longo do mesmo caminho de antes;
▪ Embora este novo diagrama tensão-deformação, definido por 
O’A’B, agora tenha um ponto de escoamento (A’) mais alto, 
consequência do encruamento, ele também tem menos 
ductilidade, ou uma região plástica menor, do que quando 
estava em sua estado original.
Recuperação
elástica
Deformação
permanente
Região 
elástica
Região 
plástica
Fonte: HIBBELER, R. C., 2018
Energia de deformação
▪ À medida que um material é deformado por uma carga 
externa, a carga realizará trabalho externo, que por sua vez 
será armazenado no material como energia interna:
▪ Essa energia está relacionada às deformações no material ➔ é 
chamada de energia de deformação:
Fonte: HIBBELER, R. C., 2018
Energia de deformação
▪ Para aplicações de engenharia, muitas vezes é conveniente especificar a energia 
de deformação por unidade de volume do material:
▪ Isso é chamado de densidade de energia de deformação:
▪ Finalmente, se o comportamento do material for linear elástico, então a Lei de 
Hooke se aplica, σ = Eε➔ podemos expressar a densidade de energia de 
deformação elástica em termos da tensão uniaxial σ:
Módulo de resiliência
▪ Quando a tensão em um material atinge o limite 
proporcional, a densidade de energia de deformação 
é referida como módulo de resiliência:
▪ Aqui μr é equivalente à área triangular sombreada sob a 
região elástica do diagrama tensão-deformação.
▪ Fisicamente, o módulo de resiliência representa a 
maior quantidade de energia de deformação por 
unidade de volume que o material pode absorver 
sem causar nenhum dano permanente ao material:
▪ Certamente essa propriedade se torna importante ao 
projetar para-choques ou amortecedores.
Fonte: HIBBELER, R. C., 2018
Módulo de tenacidade
▪ Outra propriedade importante de um material é seu 
módulo de tenacidade, μt;
▪ Essa quantidade representa toda a área sob o 
diagrama tensão-deformação ➔ indica a quantidade 
máxima de energia de deformação por unidade de 
volume que o material pode absorver imediatamente 
antes de fraturar:
▪ Certamente isso se torna importante ao projetar membros 
que podem ser sobrecarregados acidentalmente;
▪ Ao ligar metais, os engenheiros podem alterar sua resiliência 
e tenacidade ➔ alterando a porcentagem de carbono no 
aço, os diagramas tensão-deformação resultantes mostram 
como sua resiliência e tenacidade podem ser alteradas:
Fonte: HIBBELER, R. C., 2018
Aço duro (0,6% de 
C), maior força
Aço estrutural (0,2% 
de C), maior 
resistência
Aço macio (0,1% 
de C), maior 
ductilidade
Bibliografia
▪ HIBBELER, R. C. Mechanics of Materials. 10ª edição. Editora Pearson. Harlow, 
2018.
▪ Elemento textual “Resistência dos Materiais”, Unisa.