Pesquisa Operacional

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Pesquisa Operacional -Eduarda Duarte 
 
 Resposta das Atividades 
 
08/11/2022 – Lista de Exercício nº 1 
1. No programa de produção para o próximo período, a empresa Beta LTDA escolheu 
três produtos P1, P2 e P3. O quadro abaixo mostra os montantes solicitados por 
unidade de produção. Os preços de venda foram fixados por decisão política e as 
demandas foram estimadas tendo em vista esses preços. A firma pode obter um 
suprimento de 4.800 horas de trabalho durante o período de processamento e 
pressupõe-se usar três máquinas que podem prover 7.200 horas de trabalho. 
Estabelecer um programa ótimo de produção para o período. Faça a modelagem 
desse problema. 
Produto Lucro (por 
unidade) 
Trabalho (h) Uso de 
Máquina (h) 
Demanda 
máxima 
P1 2100 6 12 800 
P2 1200 4 6 600 
P3 600 6 2 600 
 
 
 
 
2100 
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2. ado o modelo de problema abaixo, resolva o problema pelo método da tabela. 
Máx F = 10x1 + 7x2 
 Sujeito a: 
2x1 + x2 ≤ 5000 
4x1 + 5x2 ≤ 15000 
x1; x2 ≥ 0 
 
Z -10 -7 
 
 
 
2X1 + X2 + XF1 = 5000 
4X1 + 5X2 + XF2 = 15000 
 
 Z X1 X2 XF1 XF2 b 
 1 -10 -7 0 0 0 
 0 2 1 1 0 5000 2500 
 0 4 5 0 1 15000 3750 
 
nlp / 0 2 1 1 0 5000 
/2 0 1 0,5 0,5 0 2500 Nova Linha Pvô - 2ª 
 
nlp * 0 1 0,5 0,5 0 2500 
10 0 10 5 5 0 25000 
 1 -10 -7 0 0 0 
 1 0 -2 5 0 25000 Nova Linha 1ª 
 
nlp * 0 1 0,5 0,5 0 2500 
-4 0 -4 -2 -2 0 -10000 
 0 4 5 0 1 15000 
 0 0 3 -2 1 5000 Nova Linha 3ª 
 
 Z X1 X2 XF1 XF2 b 
 1 0 -2 5 0 25000 
 0 1 0,5 0,5 0 2500 
 0 0 3 -2 1 5000 
 
 
 VB VNB Valor de Z 
 X1 = 2500 X2=0 Z= 25000 
 XF2 = 5000 XF1=0 
 
Não é ótimo 
Recalcular 
 
𝑋1 𝑋2 = 0 
sair 
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 Z X1 X2 XF1 XF2 b 
 1 0 -2 5 0 25000 
 0 1 0,5 0,5 0 2500 5000 
 0 0 3 -2 1 5000 166,67 
 
 
nlp / 0 0 3 -2 1 5000 
3 0 0 1 -0,67 0,33 16,67 Nova Linha Pvô - 3ª 
 
 
nlp * 0 0 1 -0,67 0,33 16,67 
2 0 0 2 -1,33 0,67 33,33 
 1 0 -2 5,00 0,00 25000,00 
 1 0 0 3,67 0,67 283,33 Nova Linha 1ª 
 
 
nlp * 0 0 1 -0,67 0,33 1667 
-0,5 0 0 -0,5 0,33 -0,17 -833 
 0 1 0,5 0,50 0,00 2500 
 0 1 0 0,83 -0,17 1667 Nova Linha 2ª 
 
 
 
 
 Z X1 X2 XF1 XF2 b 
 1 0 0 3,67 0,67 283,33 
 0 1 0 0,83 -0,17 16,67 
 0 0 1 -0,67 0,33 16,67 
 
 
 VB VNB Valor de Z 
 X1 = 16,67 XF1=0 Z=283,33 
 X2 = 16,67 XF2=0 
 
Solução Ótima 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Dado o modelo de problema abaixo, resolva o problema pelo método da tabela. 
Máx F = 2x1 + x2 
Sujeito a: 
x1 + x2 ≥ 2 
x1 + x2 ≤ 4 
x1; x2 ≥ 0 
Z -2 - 
 
 
 
x1 + x2 +XF1= 2 
x1 + x2+XF2= 4 
 
 Z X1 X2 XF1 XF2 b 
 1 -2 -1 0 0 0 
 0 1 1 1 0 2 2 
 0 1 1 0 1 4 4 
 
nlp / 0 1 1 1 0 2 
1 0 1 1 1 0 2 Nova Linha Pvô - 2ª 
 
nlp * 0 1 1 1 0 2 
2 0 2 2 2 0 4 
 1 -2 -1 0 0 0 
 1 0 1 2 0 4 Nova Linha 1ª 
 
nlp * 0 1 1 1 0 2 
-1 0 -1 -1 -1 0 -2 
 0 1 1 0 1 4 
 0 0 0 -1 1 2 Nova Linha 3ª 
 
 Z X1 X2 XF1 XF2 b 
 1 0 1 2 0 4 
 0 1 1 1 0 2 
 0 0 0 -1 1 2 
 
 VB VNB Valor de Z 
 X1=2 X2=0 Z=4 Z= 2X1 + X2 
 XF2=2 XF1=0 Z= 2.2+ 0 
 Z=4 
Solução Ótima 
 
 
 
 
 
𝑋1 𝑋2 = 0 
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4. Uma mulher tem R$10.000,00 para investir e seu corretor sugere investir em dois 
títulos, A e B. O título A é bastante arriscado, com lucro anual de 10% e o título B, 
bastante seguro, com lucro anual de 7%. Depois de algumas considerações, ela 
resolve investir no máximo R$6.000,00 no título A, no mínimo R$2.000,00 no título B. 
Construa o modelo do problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. Dado o modelo de problema abaixo, resolva o problema pelo método gráfico. 
Máx F = 2x1 + 3x2 
Sujeito a: 
x1 + 3x2 ≤ 9 
-x1 + 2x2 ≤ 4 
x1 + x2 ≤ 6 
x1; x2 ≥ 0 
X1 + 3X2 ≤ 9 -x1 + 2x2 ≤ 4 X1 + X2 ≤ 6 
X1 + 3X2 =9 -x1 + 2x2 =4 X1 + X2 = 6 
A(0 , 3) C(0 , 2) F(0 , 6) 
B(9 , 0) D(-4 ,0) G(6 , 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. Dado o modelo de problema abaixo, resolva o problema pelo método gráfico. 
Min F = 2x1 + 3x2 
Sujeito a: 
x1 + x2 ≥ 5 
5x1 + x2 ≥ 10 
x1 ≤ 8 
x1; x2 ≥ 0 
X1 + X2 ≥5 5X1+X2≥10 X1≤ 8 
X1 + X2 =5 5X1+X2=10 X1=8 
A(0 , 5) C(0 , 10) F(8 , 0) 
B(5 , 0) D(2 , 0) G(8 , 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. Representar graficamente a solução do sistema x1+3x2≤12, 2x1+x2≥16, com x1 
e x2 ≥ 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X1 + 3X2 =12 2X1 + X2 =16 
 
 
 
A(0 , 4) C(0 , 16) 
B(12 , 0) D(8 , 0) 
 
0+3x2=12 2.0+x2=16 
3x2=12 0+x2=16 
x2=12/3 x2=16 
x2=4 
 
 
x1+3.0=12 2x1 + 0 =16 
x1+0=12 2x1 =16/2 
x1=12 x1=8 
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8. Resolva o problema abaixo pelo método da tabela. 
Máx L = 4x1 + x2 
Sujeito a: 
2x1 + 3x2 ≤ 12 
 2x1 + x2 ≤ 8 
x1; x2 ≥ 0 
 
Z - 4 - 
 
 
 
2x1 + 3x2+XF1 = 12 
2x1 + x2+XF2 = 8 
 
 Z X1 X2 XF1 XF2 b 
 1 -4 -1 0 0 0 
 0 2 3 1 0 12 6 
 0 2 1 0 1 8 4 
 
nlp / 0 2 1 0 1 8 
2 0 1 0,5 0 0,5 4 Nova Linha Pvô - 3ª 
 
nlp * 0 1 0,5 0 0,5 4 
4 0 4 2 0 2 16 
 1 -4 -1 0 0 0 
 1 0 1 0 2 16 Nova Linha 1ª 
 
nlp * 0 1 0,5 0 0,5 4 
-2 0 -2 -1 0 -1 -8 
 0 2 3 1 0 12 
 0 0 2 1 -1 4 Nova Linha 2ª 
 
 Z X1 X2 XF1 XF2 b 
 1 0 1 0 2 16 
 0 0 2 1 -1 4 
 0 1 0,5 0 0,5 4 
 
 VB VNB Valor de Z 
 X1=4 X2=0 Z=16 
 XF1=4 XF2=0 
 
Solução Ótima 
 
 
 
𝑋1 𝑋2 = 0 
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9. Resolva o problema abaixo pelo método da tabela. 
Máx Z = 2x1 + 3x2 + x3 
Sujeito a: x1 + x2 + x3 ≤ 40 
2x1 + x2 - x3 ≤ 20 
3x1 + 2x2 - x3 ≤ 30 
x1; x2; x3 ≥ 0 
 
Z - 2 - 3 - = 0 
 
 
 
 
 
X1 + X2 + X3 + XF1 = 40 
2X1 + X2 - X3 + XF2 = 20 
3X1 + 2X2 - X3 + XF3 = 30 
 
 Z X1 X2 X3 XF1 XF2 XF3 b 
 1 -2 -3 -1 0 0 0 0 
 0 1 1 1 1 0 0 40 40 
 0 2 1 -1 0 1 0 20 20 
 0 3 2 -1 0 0 1 30 15 
 
nlp / 0 3 2 -1 0 0 1 30 
2 0 1,5 1 -0,5 0 0 0,5 15 Nova Linha Pvô - 4ª 
 
nlp * 0 1,5 1 -0,5 0 0 0,5 15 
3 0 4,5 3 -1,5 0 0 1,5 45 
 1 -2 -3 -1 0 0 0 0 
 1 2,5 0 -2,5 0 0 1,5 45 Nova Linha 1ª 
 
nlp * 0 1,5 1 -0,5 0 0 0,5 15 
-1 0 -1,5 -1 0,5 0 0 -0,5 -15 
 0 1 1 1 1 0 0 40 
 0 -0,5 0 1,5 1 0 -0,5 25 Nova Linha 2ª 
 
 
nlp * 0 1,5 1 -0,5 0 0 0,5 15 
-1 0 -1,5 -1 0,5 0 0 -0,5 -15 
 0 2 1 -1 0 1 0 20 
 0 0,5 0 -0,5 0 1 -0,5 5 Nova Linha 3ª 
 
 Z X1 X2 X3 XF1 XF2 XF3 b 
 1 2,5 0 -2,5 0 0 1,5 45 
 0 -0,5 0 1,5 1 0 -0,5 25 
 0 0,5 0 -0,5 0 1 -0,5 5 
 0 1,5 1 -0,5 0 0 0,5 15 
 
𝑋1 𝑋2 𝑋3 
Pesquisa Operacional -Eduarda Duarte 
 VB VNB Valor de Z 
 X2 = 15 X1 = 0 
 
 
 XF1 = 25 X3 = 0 Z= 45 
 XF2 = 5 XF3 = 0 
Não é ótimo 
Recalcular 
 
 Z X1 X2 X3 XF1 XF2 XF3 b 
 1 2,5 0 -2,5 0 0 1,5 45 
 0 -0,5 0 1,5 1 0 -0,5 25 16,67 
 0 0,5 0 -0,5 0 1 -0,5 5 -10 
 0 1,5 1 -0,5 0 0 0,5 15 -30 
nlp / 0 -0,5 0 1,51 0 -0,5 25 
1,5 0 -0,33 0 1 0,67 0 -0,33 16,67 Nova Linha Pvô - 2ª 
 
nlp * 0 -0,33 0 1 0,67 0 -0,33 16,67 
2,5 0 -0,83 0 2,5 1,67 0 -0,83 41,67 
 1 2,5 0 -2,5 0 0 1,5 45 
 1 1,67 0 0 1,67 0 0,67 86,67 Nova Linha 1ª 
 
nlp * 0 -0,33 0 1 0,67 0 -0,33 16,67 
0,5 0 -0,17 0 0,5 0,33 0 -0,17 8,33 
 0 0,5 0 -0,5 0 1 -0,5 5 
 0 0,33 0 0 0,33 1 -0,67 13,33 Nova Linha 3ª 
 
nlp * 0 -0,33 0 1 0,67 0 -0,33 16,67 
0,5 0 -0,17 0 0,5 0,33 0 -0,17 8,33 
 0 1,5 1 -0,5 0 0 0,5 15 
 0 1,33 1 0 0,33 0 0,33 23,33 Nova Linha 4ª 
 
 Z X1 X2 X3 XF1 XF2 XF3 b 
 1 1,67 0 0 1,67 0 0,67 86,67 
 0 -0,33 0 1 0,67 0 -0,33 16,67 
 0 0,33 0 0 0,33 1 -0,67 13,33 
 0 1,33 1 0 0,33 0 0,33 23,33 
 
 VB VNB Valor de Z 
 X2 = 23,33 X1 = 0 
 
 
 X3 = 16,67 XF1 = 0 Z= 86,67 
 XF2 = 13,33 XF3 = 0 
Solução Ótima 
 
 
 
 
 
Pesquisa Operacional -Eduarda Duarte 
10. Resolva o problema abaixo pelo método da tabela. 
Máx Z = 2x1 + x2 + x3 
Sujeito a: 
x1 + x2 + x3 ≤ 50 
2x1 + x2 + 2x3 ≤ 60 
3x1 + x2 ≤ 90 
x1; x2; x3 ≥ 0 
 
Z - 2 - - = 0 
 
 
 
 
 
X1 + X2 + X3 + XF1 = 50 
2X1 + X2 + 2X3 + XF2 = 60 
3X1 + X2 + XF3 = 90 
 
 Z X1 X2 X3 XF1 XF2 XF3 b 
 1 -2 -1 -1 0 0 0 0 
 0 1 1 1 1 0 0 50 50 
 0 2 1 2 0 1 0 60 30 
 0 3 1 0 0 0 1 90 30 
 
nlp / 0 2 1 2 0 1 0 60 
2 0 1 0,5 1 0 0,5 0 30 Nova Linha Pvô - 3ª 
 
nlp * 0 1 0,5 1 0 0,5 0 30 
2 0 2 1 2 0 1 0 60 
 1 -2 -1 -1 0 0 0 0 
 1 0 0 1 0 1 0 60 Nova Linha 1ª 
 
nlp * 0 1 0,5 1 0 0,5 0 30 
-1 0 -1 -0,5 -1 0 -0,5 0 -30 
 0 1 1 1 1 0 0 50 
 0 0 0,5 0 1 -0,5 0 20 Nova Linha 2ª 
 
nlp * 0 1 0,5 1 0 0,5 0 30 
-3 0 -3 -1,5 -3 0 -1,5 0 -90 
 0 3 1 0 0 0 1 90 
 0 0 -0,5 -3 0 -1,5 1 0 Nova Linha 4ª 
 
 
 Z X1 X2 X3 XF1 XF2 XF3 b 
 1 0 0 1 0 1 0 60 
 0 0 0,5 0 1 -0,5 0 20 
 0 1 0,5 1 0 0,5 0 30 
 0 0 -0,5 -3 0 -1,5 1 0 
 
𝑋1 𝑋2 𝑋3 
Pesquisa Operacional -Eduarda Duarte 
 
 VB VNB Valor de Z 
 X1 = 30 X2 =0 Z= 60 
 XF1 = 20 X3 =0 
 XF3 = 0 XF2 =0 
Solução Ótima