Modelos de PL

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1. Pedro Saraiva realiza projetos de portfólios de investimentos de renda para aposentados usando 
“bonds” corporativos. Em sua última consulta com o seu cliente, ele concluiu que o cliente possuía 
um montante em ativos líquidos quando se aposentar em R$750.000 para serem investidos após a 
aposentadoria. Pedro e seu cliente concordaram em considerar obrigações futuras das seguintes 
empresas: 
 
A coluna identificada como “Retorno” representa a receita esperada de cada obrigação, a coluna 
“Anos para o vencimento” indica o prazo de vencimento das obrigações e a coluna “Classificação” 
indica a avaliação de um segurador independente quanto à qualidade ou risco associado a cada título. 
Pedro acredita que todas as empresas são investimentos relativamente seguros. Entretanto, para 
proteger a renda, Pedro e seu cliente concordaram que não mais do que 25% do dinheiro deve ser 
investido em qualquer investimento disponível. Além disso, mesmo sabendo que a DynStar, a Eagle 
Vision e a OptiPro oferecem os retornos mais altos, ambos concordaram que não mais do que 35% 
do dinheiro deve ser investido nessas obrigações, porque elas também representam os riscos mais 
altos (isto é, foram classificadas com notas menores do que “muito boa”). Também houve um acordo 
que metade do dinheiro deve ser investido em empresas com prazos maiores ou iguais a 10 anos. 
Portanto, é preciso formular o problema para maximizar o retorno com os investimentos. 
Max Z = 8.65X1 + 9.5X2 + 10X3 + 8.75X4 + 9.25X5+ 9X6 
S.A 
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 <= 750.000 
X1 <= 187.500 
X2 <= 187.500 
X3 <= 187.500 
X4 <= 187.500 
X5 <= 187.500 
X6 <= 187.500 
X2 + X3 + X5 <= 262.500 
X1 + X2 + X4 + X6 >=375.000 
X1, X2, X3, X4, X5, X6>=0 
 
2. A Agri-Pro é uma empresa que vende produtos agrícolas a fazendeiros de diversos estados. Um 
serviço que ela oferece a seus clientes é uma mistura personalizada de ração, em que um fazendeiro 
pode pedir uma quantidade especifica de ração para gado e determinar a quantidade de milho, cereais 
e sais minerais que a ração deve conter. Esse é um serviço importante porque a ração apropriada para 
os diversos animais da fazenda muda regularmente, dependendo do clima, das condições das 
pastagens e assim por diante. A Agri-Pro armazena quantidades a granel de quatro tipos de rações 
que ela pode misturar para atender às especificações de um determinado cliente. A tabela seguinte 
mostra as quatro rações, os percentuais de milho, cereais e sais minerais e o custo por libra de cada 
tipo. 
 
Na média, os cidadãos dos EUA consomem quase 70 libras de carne de frango por ano. Para continuar 
competitivos, os granjeiros devem se assegurar de que as suas criações recebam os nutrientes 
necessários e da maneira mais efetiva em termos de custo. A Agri-Pro acabou de receber um pedido 
de um granjeiro local par fornecer 8000 libras de ração. O granjeiro solicitou que essa ração contenha 
pelo menos 20% de milho, 15% de cereais e 15% de sais minerais. Modelo o problema para minimizar 
o custo. 
Min Z = 0.25X1 + 0.30X2 + 0.32X3 + 0.15X4 
S.A 
30X1 + 5X2 + 20X3 + 10X4 <= 20%*8000 
10X1 + 30X2 + 15X3 + 10X4 <= 15%*8000 
20X1 + 20X2 + 20X3 + 30X4 <= 15%*8000 
X1 + X2 + X3 + X4 = 8.000 
X1, X2, X3, X4 >= 0 
 
3. Uma companhia fabrica os produtos P1 e P2 que utilizam os mesmos recursos produtivos: 
matéria-prima, forja e polimento. Cada unidade de P1 exige 100 unidades de matéria-prima, 4 horas 
de forjaria e 2 horas de polimento. Para o produto P2, são necessárias 200 unidades de matéria-prima, 
2 horas de forjaria e 3 de polimento. O preço de venda é de R$1.900 e R$2.100 para P1 e P2, 
respectivamente. As disponibilidades totais de insumos, são: 500 unidades de matéria prima, 20 horas 
de forja e 10 horas de polimento. 
a) Modelar o problema para maximizar a receita: 
Max Z = 1900X1 + 2100X2 
S.A 
100X1 + 200X2 <= 500 
4X1 + 2X2 <= 20 
2X1 + 3X2 <= 10 
X1, X2 >=0 
 
3. A firma LCL Tintas Ltda. produz dois tipos de tinas: Seca Rápido (SR) e Super Seca (SS). Ambas 
são produzidas a partir de uma base de silicato e de óleo de linhaça, que são adquiridos pela LCL de 
vários fornecedores. Atualmente apenas duas soluções preliminares estão disponíveis no mercado, 
além dos produtos isolados. A solução do tipo A contém 60% de silicato e 40% de óleo de linhaça, e 
a do tipo B contém 30% de silicato e 70% de óleo de linhaça. O preço da solução A custa R$0,50/litro 
e a do tipo B custa R$0,75/litro, enquanto o silicato e o óleo de linhaça isoladamente custam R$1,00 
e R$1,50 por litro. Cada litro de SR requer, no mínimo, 25% de silicato e 50% de óleo de linhaça, e 
cada litro de SS requer, no mínimo, 20% de silicato e, no máximo, 50% de óleo de linhaça. Modele 
o problema de programação para determinar quantos litros de cada solução e de cada produto devem 
ser comprados para produzir exatamente 100 litros de SR e 250 litros de SS. 
Min Z = 0.5(XASR + XASS) + 0.75(XBSR + XBSS) + 1(XSSR + XSSS) + 1.5(XLSR + XLSS) 
S.A 
0.6XASR + 0.3XBSR + 1XSSR >= 0.25(XASR + XBSR + XSSR + XLSR) 
0.4XASR + 0.7XBSR + 1XLSR >= 0.50(XASR + XBSR + XSSR + XLSR) 
0.6XASS + 0.3XBSS + 1XSSR >= 0.20(XASS + XBSS + XSSS + XLSS) 
0.4XASS + 0.7XBSS + 1XLSS <= 0.50(XASS + XBSS + XSSS + XLSS) 
XASR + XBSR + XSSR + XLSR = 100 
XASS + XBSS + XSSS + XLSS = 100 
XASR ; XBSR ; XSSR ; XLSR ; XASS ; XBSS ; XSSS ; XLSS >= 0 
 
4. Uma empresa fabrica dois produtos A e B. O volume de vendas de A é de no mínimo 80% do 
total de vendas de ambos (A e B). Contudo, a empresa não pode vender mais do que 100 unidades de 
A por dia. Ambos os produtos usam uma matéria-prima cuja disponibilidade máxima diária é de 240 
lb. As taxas de utilização da matéria-prima são 2 lb por unidade de A e 4 lb por unidade de B. Os 
lucros unitários para A e B são $20 e $50, respectivamente. Determine o mix de produto ótimo para 
a empresa. 
Max Z = 20A + 50B 
S.A 
A/(A + B)>=0.8 
A <=100 
2A + 4B <= 240 
A, B >= 0 
 
5. O ChemLabs usa as matérias-primas I e II para produzir dois produtos líquidos para limpeza 
doméstica, A e B. As disponibilidades diárias das matérias-primas I e II são de 150 e 145 unidades, 
respectivamente. Uma unidade do produto A consome 0,5 unidade de matéria-prima I e 0,6 unidades 
a matéria-prima II, e uma unidade do produto B usa 0,5 unidade da matéria-prima I e 0,4 unidade da 
matéria-prima II. Os lucros por unidade dos produtos A e B são $8 e $ 10, respectivamente. A 
demanda diária do produto A varia entre 30 e 150 unidades e a do produto B, entre 40 e 200 unidades. 
Encontre as quantidades ótimas de produção de A e B. 
Max Z = 8A + 10B 
S.A 
A>=30 
A<=150 
B>=40 
B<=200 
0.5A + 0.5B <= 150 
0.6A + 0.4B <= 145 
A, B >= 0 
 
6. A Burruoughs Garment Company fabrica camisas masculinas e blusas femininas para a 
Walmark Discount Store. A Walmark aceitará toda a produção fornecida pela Burroughs. O processo 
de produção inclui cortar, costurar e embalar. A Burroughs emprega 25 trabalhadores no 
departamento de corte, 35 no departamento de costura e 5 no departamento de embalagem. A empresa 
trabalha em turnos de 8 horas por dia, 5 dias por semana. A Tabela 2 dá os requisitos de tempo e os 
lucros por unidade para as duas peças de vestuário. Determine a programação semanal ótima de 
produção para a Burroughs. 
 
Max Z = 8A + 12B 
S.A 
20A + 60B <= (25*480*5) 
70A + 60B <= (35*480*5) 
12A + 4B <= (5*480*5) 
A, B>=0 
 
7. A cidade de Mossoró enfrenta uma série carência orçamentária. Em busca de uma solução de 
longo prazo, a câmara de vereadores da cidade aprova uma melhoria da base de cobrança de impostos 
que prevê a condenação de uma área habitacional do centro da cidade e sua substituição por um 
conjunto habitacional moderno. O projeto envolve duas fases: 1) demolição das casas que estão 
aquém do padrão para liberar terreno para o novo projeto; e 2) construção do novo conjunto urbano.A seguir o resumo da situação é apresentado: 
a) Um total de 300 casas aquém do padrão podem ser demolidas. Cada casa ocupa um lote de 0,25 
acres. O custo da demolição de uma casa condenada é de $2.000. 
b) Os tamanhos de lotes para domicílios (unidades) simples, duplos, triplos e quádruplos são de 0,18; 
0,28; 0,4 e 0,5 acres, respectivamente. Ruas, espaços abertos e instalações públicas ocupam 15% da 
área disponível. 
c) No novo conjunto habitacional, as unidades triplas e quadruplas representam no mínimo 25% do 
total. Unidades simples devem representar no mínimo 20% de todas as unidades, e unidades duplas, 
no mínimo 10%. 
d) O imposto cobrado por unidade para unidades simples, duplas, triplas e quadruplas é de $1.000, $ 
1.900, $ 2.700 e $ 3.400, respectivamente. 
e) O custo da construção por unidade domiciliar simples, duplas, tripla e quadrupla é de $50.000, 
$70.000, $130.000 e $160.000, respectivamente. O financiamento acordado com um banco local será 
de no máximo $15 milhões. 
Quantas unidades de cada tipo devem ser construídas para maximizar a arrecada de impostos? 
Max Z = 1000X1 + 1900X2 + 2700X3 + 3400X4 
S.A 
0.18X1 + 0.28X2 + 0.4X3 + 0.5X4 <= (85%*.25)*X5 
X1 >= 0.2(X1 + X2 + X3 + X4) 
X2 >= 0.1(X1 + X2 + X3 + X4) 
X3 + X4 >= 0.25(X1 + X2 + X3 + X4) 
50.000X1 + 70.000X2 + 130.000X3 + 160.000X4 + 2.000X5 <= 15.000.0000 
 
8. A Acme Manufacturing Company firmou um contrato para entrega de janelas de casa para os 
próximos seis meses. As demandas para cada mês são de 100, 250, 190, 140, 220 e 110 unidades, 
respectivamente. O custo de produção por janela varia de mês para mês, dependendo do custo da 
mão-de-obra, do material e de utilidades. A Acme estima que o custo de produção por janela nos 
próximos seis meses seja $50, $45, $ 55, $48, $52 e $50, respectivamente. Para aproveitar a vantagem 
das variações no custo de fabricação, a Acme pode optar por produzir mais do que o necessário em 
determinado mês e ter as unidades excedentes para entregar em meses posteriores. Entretanto, isso 
incorrerá em custos de armazenagem de $8 por janela, por mês, considerando o estoque no final do 
mês. Desenvolve um modelo de programação linear para determinar a programação ótima de 
produção. 
Min Z = 50X1 + 45X2 + 55X3 + 48X4 + 52X5 + 50X6 + 8*(I1 + I2 + I3 + I4+ I5 + 6) 
S.A 
X1 – I1 = 100 
I1 + X2 – I2 = 250 
I2 + X3 – I3 = 190 
I3 + X4 – I4 = 140 
I4 + X5 – I5 = 220 
I5 + X6 – I6 = 110 
X1, X2, X3, X4, X5, X6, I1 I2, I3, I4, I5, I6>=0 
 
9. A Tro A Petro-Poti está construindo uma refinaria de óleos derivados do petróleo. Com isso, 
espera-se uma redução no preço dos combustíveis, que tanto afeta o bolso dos brasileiros. Na nova 
planta química serão produzidos: gasolina, lubrificantes, óleo diesel e combustível para avião. O 
Engenheiro de Produção, que faz parte da equipe, identificou que a demanda mínima (em barris/dia) 
dos produtos é de 30.000, 10.000, 14.000 e 8.000, respectivamente. A Petro-Poti tem contratos de 
fornecimento de óleo cru para a China e Chile. Por causa das cotas de produção especificadas pela 
Organização Mundial de Petróleo (OMP), a nova refinaria pode receber no mínimo 40% de seu óleo 
cru da China e a quantidade restante do Chile. A Petro-Poti prevê que a demanda e as cotas de óleo 
cru devem permanecer estáveis nos próximos 12 anos. As especificações dos dois óleos crus quando 
processados, resultam em misturas de produtos diferentes: um barril de óleo cru da China rende 0,25 
barril de gasolina, 0,1 barril de lubrificante, 0,2 barril de diesel e 0,15 barril de combustível para 
avião. O óleo cru no caso do Chile são, 0,6 para a gasolina, 0,15 de rendimento para o lubrificante, 
0,1 barril de óleo diesel; e 0,1 barril de querosene de avião. A empresa precisa determinar a 
capacidade mínima da refinaria (em barris/dia). 
Min Z = X1 + X2 
S.A 
0.4X1 + 0.6X2 >=0 
0.25X1 + 0.6X2 >= 30 
0.1X1 + 0.15X2 >= 10 
 0.2X1 + 0.1X2 >= 14 
0.15X1 + 0.1X2 >= 8 
X1, X2>=0