Impulso e Quantidade de Movimento

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Impulso e Quantidade de 
Movimento
Princípios e Aplicações
Objetivos
Desenvolver de forma conceitual o princípio do impulso e quantidade
de movimento linear (momento linear) de uma partícula e aplica-lo à
resolução de problemas que envolvem força, velocidade e tempo;
Estudar a conservação da quantidade de movimento linear de
partículas;
Analisar a mecânica do impacto frontal entre partículas (Colisões)
“Antes de começarmos, quero lembrar que o intuito é que os
estudantes compreendam o conceito, e que não se preocupem com
as passagens matemáticas que serão mostradas aqui. Tais conceitos
necessitam apenas da compreensão do fenômeno e das leis de
conservação, e não do formalismo matemático. No entanto,
ressalto que sem uma noção mínima do fenômeno, a compreensão
e aplicação destes conceitos no futuro sejam comprometidas.
Logo, espero que não se atentem aos formalismos, mas ao que o
resultado pode levar. Apenas isso!”
Prof. Dr. Anderson Costa da Silva
Conceito de Impulso
Princípio de Impulso: 
Considere um ponto material (partícula) de massa 𝑚 submetido à forças externas.
Pela 2ª Lei de Newton, a resultante destas forças externas é dada por
෍ Ԧ𝐹 = 𝑚 Ԧ𝑎 →෍ Ԧ𝐹 = 𝑚
𝑑 Ԧ𝑣
𝑑𝑡
→෍ Ԧ𝐹 =
𝑑 𝑚 Ԧ𝑣
𝑑𝑡
(1)
Em (1) o produto 𝒑 = 𝒎𝒗 é conhecido como “Quantidade de Movimento
Linear da partícula” ou “Momento Linear”. Logo, podemos escrever
෍ Ԧ𝐹 =
𝑑 𝑚 Ԧ𝑣
𝑑𝑡
→෍ Ԧ𝐹 =
𝑑 Ԧ𝑝
𝑑𝑡
(2)
A equação (2) é maneira como Newton realmente descreveu a 2ª Lei. Ou seja, uma
partícula só muda a sua Quantidade de Movimento se a ela for conferida forças
externas que causam essa mudança.
Princípio de Impulso 
Multiplicando (2) por 𝑑𝑡 temos:
෍ Ԧ𝐹 =
𝑑 Ԧ𝑝
𝑑𝑡
→෍ Ԧ𝐹 𝑑𝑡 =
𝑑 Ԧ𝑝
𝑑𝑡
𝑑𝑡 →෍ Ԧ𝐹 𝑑𝑡 = 𝑑 Ԧ𝑝 (3)
Note que agora a variação do momento linear é dado pelo produto entre a resultante
das forças pelo intervalo de tempo em que elas atuam. O 1º membro de (3) é
chamado de Impulso e sua unidade no SI é N ∙ s. De maneira prática podemos
trabalhar a equação (3) da forma
Ԧ𝐹𝑅 Δ𝑡 = Δ Ԧ𝑝 → Ԧ𝐹𝑅 Δ𝑡 = Ԧ𝑝𝑓 − Ԧ𝑝𝑖
Ԧ𝐼 = Ԧ𝑝𝑓 − Ԧ𝑝𝑖 → Ԧ𝐼 = 𝑚 Ԧ𝑣𝑓 −𝑚 Ԧ𝑣𝑖
Princípio do Impulso e Momento Linear
Princípio de Impulso: 
Se a força for expressa em função do tempo, o impulso é determinado por integração direta. Em
particular, se a força for constante tanto em intensidade quanto em direção, o impulso é dado por
Ԧ𝐼 = න
𝑡1
𝑡2
Ԧ𝐹𝐶 𝑑𝑡 → Ԧ𝐼 = Ԧ𝐹𝐶 න
𝑡1
𝑡2
𝑑𝑡 → Ԧ𝐼 = Ԧ𝐹𝐶 𝑡2 − 𝑡1
Problema 1: A pedra de 100 kg mostrada na figura está originalmente em repouso
sobre a superfície horizontal lisa. Se uma força de reboque de 200 N, atuando em
um ângulo de 45°, for aplicada à pedra por 10 s, determine a velocidade final da
pedra durante esse intervalo de tempo.
𝑥
𝑦
Solução: Visto que todas as forças do problema são constantes, os impulsos são
calculados fazendo o produto da intensidade da força pelo intervalo de tempo. O
diagrama de impulso para esse problema é
Na direção 𝑥:
𝑚 𝑣𝑥 1 +෍𝐼𝑥 = 𝑚 𝑣𝑥 2 → 𝑚 𝑣𝑥 1 +෍𝐹𝑥 ∆𝑡 = 𝑚 𝑣𝑥 2
100 0 + 200 ∙ cos 45° ∙ 10 = 100 𝑣𝑥 2 → 𝑣𝑥 2 = 14,1 Τm s
Colisões
Colisões
𝑥
𝑦
𝑧
Ԧ𝑟1 Ԧ𝑟𝑁
Ԧ𝐹1
Ԧ𝐹𝑁
Colisões 
“Colisão é o contato entre dois corpos que ocorre em um intervalo de tempo muito curto, durante o
qual os dois corpos exercem, um sobre o outro, forças relativamente grandes”. Para estudar colisões,
vamos considerar um sistema de 𝑁 partículas interagentes. Nesse sistema podemos aplicar a 2ª lei de
Newton da forma
Ԧ𝐹1 + Ԧ𝐹2 + Ԧ𝐹3 +⋯+ Ԧ𝐹𝑁 =
𝑑 Ԧ𝑝1
𝑑𝑡
+
𝑑 Ԧ𝑝2
𝑑𝑡
+
𝑑 Ԧ𝑝3
𝑑𝑡
+ ⋯
𝑑 Ԧ𝑝𝑁
𝑑𝑡
→ ෍
𝑘=1
𝑁
Ԧ𝐹𝑘 =
𝑑
𝑑𝑡
෍
𝑖=1
𝑁
Ԧ𝑝𝑘 (1)
Na equação (1) o 1º membro representa a soma de todas as forças no sistema de partículas, assim
como o 2º membro representa a taxa de variação da quantidade de movimento do sistema todo. O 1º
membro pode ser tratado da forma
෍
𝑘=1
𝑁
Ԧ𝐹𝑘 = ෍
𝑘=1
𝑁
Ԧ𝐹𝑘𝑖𝑛
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠
+෍
𝑘=1
𝑁
Ԧ𝐹𝑘𝑒𝑥
𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠
(2)
Em (2) o somatório de forças internas deve se anular, pois se tratam de pares de ação e reação.
Portanto
෍
𝑘=1
𝑁
Ԧ𝐹𝑘𝑖𝑛 = 0 → ෍
𝑘=1
𝑁
Ԧ𝐹𝑘 = ෍
𝑘=1
𝑁
Ԧ𝐹𝑘𝑒𝑥 (3)
Colisões
Tomando Ԧ𝑝1 + Ԧ𝑝2 + Ԧ𝑝3 +⋯+ Ԧ𝑝𝑁 = 𝑃 como a soma do todos os momentos lineares do sistema, então
podemos escrever (1) da forma
෍
𝑘=1
𝑁
Ԧ𝐹𝑘 =
𝑑
𝑑𝑡
෍
𝑖=1
𝑁
Ԧ𝑝𝑘 → ෍
𝑘=1
𝑁
Ԧ𝐹𝑘𝑖𝑛
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠
+෍
𝑘=1
𝑁
Ԧ𝐹𝑘𝑒𝑥
𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠
=
𝑑𝑃
𝑑𝑡
→ ෍
𝑘=1
𝑁
Ԧ𝐹𝑘𝑒𝑥 =
𝑑𝑃
𝑑𝑡
(4)
Na equação (4), “se a resultante das forças externas for nula”, o momento linear se conserva. Ou
seja:
෍
𝑘=1
𝑁
Ԧ𝐹𝑘𝑒𝑥 = 0 →
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 0 → 𝑃 = 𝑐𝑡𝑒 → 𝑃𝑖 = 𝑃𝑓 →෍
𝑖=1
𝑁
Ԧ𝑝𝑖𝑖𝑛 =෍
𝑖=1
𝑁
Ԧ𝑝𝑖𝑓𝑖𝑚 (5)
(5) é denominado “princípio da conservação da quantidade de movimento” ou “conservação do
momento linear”. No caso de duas partículas colidindo, podemos escrever
෍
𝑖=1
2
Ԧ𝑝𝑖𝑖𝑛 =෍
𝑖=1
2
Ԧ𝑝𝑖𝑓𝑖𝑛 → Ԧ𝑝1𝑖 + Ԧ𝑝2𝑖 = Ԧ𝑝1𝑓 + Ԧ𝑝2𝑓
𝑚1 Ԧ𝑣1𝑖 +𝑚2 Ԧ𝑣2𝑖 = 𝑚1 Ԧ𝑣1𝑓 +𝑚2 Ԧ𝑣2𝑓 (6)
= 0
Tipos de Colisões: 
As colisões podem ser distinguidas em 3: Perfeitamente Elástica, Parcialmente
Elástica e Inelástica. A diferença entre as 3 só é devida a conservação da energia
cinética, pois as quantidades de movimento sempre são conservadas.
i. Colisão Perfeitamente Elástica: quando a energia cinética é totalmente
conservada depois da colisão.
ii. Colisão Parcialmente Elástica: a energia cinética é perdida parcialmente
iii. Colisão Inelástica: Quando há perda total da energia cinética. Após essa
colisão, os corpos permanecem grudados e executam o movimento como um
único corpo.
Coeficiente de Restituição
Coeficiente de Restituição
A B A B
𝑚1 𝑚2
𝑚1 𝑚2
𝑁𝐴
𝑊𝐴
Coeficiente de Restituição
A B A B
𝑣1𝐴 𝑣1𝐵 𝑣2𝐴 𝑣2𝐵
𝑚𝐴 𝑚𝐵
𝑚𝐴 𝑚𝐵
Coeficiente de Restituição: 
Suponha uma colisão totalmente elástica, ou seja, a energia cinética é totalmente conservada. Então
𝐾1𝐴 + 𝐾2𝐴 = 𝐾1𝐵 + 𝐾2𝐵 →
1
2
𝑚𝐴𝑣1𝐴
2 +
1
2
𝑚𝐵𝑣2𝐴
2 =
1
2
𝑚𝐴𝑣1𝐵
2 +
1
2
𝑚𝐵𝑣2𝐵
2
𝑚𝐴𝑣1𝐴
2 +𝑚𝐵𝑣1𝐵
2 = 𝑚𝐴𝑣2𝐴
2 +𝑚𝐵𝑣2𝐵
2 → 𝑚𝐴 𝑣2𝐴
2 − 𝑣1𝐴
2 = 𝑚𝐵 𝑣1𝐵
2 − 𝑣2𝐵
2 (1)
Pelo princípio de conservação da quantidade de movimento, temos
𝑚𝐴𝑣1𝐴 +𝑚𝐵𝑣1𝐵 = 𝑚𝐴𝑣2𝐴 +𝑚𝐵𝑣2𝐵 → 𝑚𝐴 𝑣2𝐴 − 𝑣1𝐴 = 𝑚𝐵 𝑣1𝐵 − 𝑣2𝐵 (2)
Dividindo (1) por (2) membro a membro, temos
𝑚𝐴 𝑣2𝐴
2 − 𝑣1𝐴
2
𝑚𝐴 𝑣2𝐴 − 𝑣1𝐴
=
𝑚𝐵 𝑣1𝐵
2 − 𝑣2𝐵
2
𝑚𝐵 𝑣1𝐵 − 𝑣2𝐵
→
𝑣2𝐴 + 𝑣1𝐴 𝑣2𝐴 − 𝑣1𝐴
𝑣2𝐴 − 𝑣1𝐴
=
𝑣1𝐵 + 𝑣2𝐵 𝑣1𝐵 − 𝑣2𝐵
𝑣1𝐵 − 𝑣2𝐵
𝑣2𝐴 + 𝑣1𝐴 = 𝑣1𝐵 + 𝑣2𝐵 → 𝑣2𝐵 − 𝑣2𝐴 = 𝑣1𝐴 − 𝑣1𝐵 → 𝑣2𝐵 − 𝑣2𝐴 = − 𝑣1𝐵 − 𝑣1𝐴
𝑣2𝐵 − 𝑣2𝐴
− 𝑣1𝐵 − 𝑣1𝐴
= 1 (3) Essa equação é válida em 
uma colisão Perfeitamente 
Elástica!
Coeficiente de Restituição
No caso geral, quando a colisão é parcialmente elástica, a equação (3) pode ser
generalizada para
𝑣2𝐵 − 𝑣2𝐴
− 𝑣1𝐵 − 𝑣1𝐴
= 𝑒 (4)
Onde 𝑒 é o “coeficiente de restituição” da colisão. Na maior parte das vezes 0 <
𝑒 < 1, ou seja, varia entre 0 e 100 %. Note que no caso da colisão perfeitamente
elástica 𝑒 = 1. A tabela a seguir mostra isso
Tipo de Colisão
Coeficiente de 
Restituição
Perfeitamente Elástica e=1
Parcialmente Elástica 0<e<1
Totalmente Inelástica e=0
Problema I: Determine o coeficiente de restituição entre a bola 1 e a
bola 2. As velocidades de 1 e 2 antes e depois da colisão são as
mostradas na figura.
Solução: Primeiramente, vamos anotar os dados do problema considerando os respectivos
sentidos das velocidades. Por se tratar de um problema 1D, adotamos o sentido positivo de 𝑥
para direita.
𝑥
Antes da colisão:
𝑣𝐴 1 = +8 Τm s 𝑒 𝑣𝐴 2 = +1 Τm s
Depois da colisão:
𝑣𝐵 1 = −2 Τm s 𝑒 𝑣𝐵 2 = +9 Τm s
Logo
𝑣2𝐵 − 𝑣2𝐴
− 𝑣1𝐵 − 𝑣1𝐴
= 𝑒 →
𝑣𝐵 2 − 𝑣𝐴 2
− 𝑣𝐵 1 − 𝑣𝐴 1
= 𝑒
9 − 1
− −2 − 8
= 𝑒
𝑒 = 0,8
𝐴 𝐵
Problema II: O vagão tanque 𝐴 de 15.000 kg e o vagão de carga 𝐵,
de 25.000 kg, viajam em direção um ao outro com velocidades
mostradas.Se o coeficiente de restituição entre os para-choques é
𝑒 = 0,6, calcule a velocidade de cada vagão depois da colisão.
Solução: Pela conservação quantidade de movimento, temos
𝑝𝐴𝑥𝑖 + 𝑝𝐵𝑥𝑖 = 𝑝𝐴𝑥𝑓 + 𝑝𝐵𝑥𝑓 → 𝑚𝐴 𝑣𝐴 1 +𝑚𝐵 𝑣𝐵 1 = 𝑚𝐴 𝑣𝐴 2 +𝑚𝐵 𝑣𝐵 2
15 × 103 5 + 25 × 103 −7 = 15 × 103 𝑣𝐴 2 + 25 × 10
3 𝑣𝐵 2
15 𝑣𝐴 2 + 25 𝑣𝐵 2 = −100 (1)
Usando o coeficiente de restituição, temos
𝑣𝐵 2 − 𝑣𝐴 2
− 𝑣𝐵 1 − 𝑣𝐴 1
= 𝑒 →
𝑣𝐵 2 − 𝑣𝐴 2
− −7 − 5
= 0,6 → 𝑣𝐵 2 − 𝑣𝐴 2 = 7,2 (2)
Multiplicando (2) por 15 e somando a (1), obtemos
40 𝑣𝐵 2 = 8 → 𝑣𝐵 2 = 0,2 Τm s (→)
Voltando a equação (2)
𝑣𝐴 2 = 𝑣𝐵 2 − 7,2 → 𝑣𝐴 2 = −7 Τm s (←)