Monografia - Ondas Eletromagnéticas em Metamateriais e Semicondutores

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Universidade Federal do Rio Grande do
Norte
Centro de Ciências Exatas e da Terra
Departamento de Física Teórica e
Experimental
Programa de pós Graduação em Física-PPGF
Estudo dos Cristais Fotônicos Quasi-Periódicos de
Fibonacci/Octonacci em Grafenos
Everson Frazão da Silva
Natal-RN
Outubro/2013
Everson Frazão da Silva
Estudo das Sequências Quasi-Periódicas
Fibonacci/Octanacci em Grafenos
Dissertação de Mestrado apresentada
ao Departamento de Física Teórica e Experimental
da Universidade Federal do Rio Grande do Norte
como requisito para obtenção do grau de Mestre
em Física.
Orientador:
Dr. Manoel Silva de Vasconcelos
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN
Departamento de Física Teórica e Experimental - DFTE
Natal-RN
Outubro de 2016
Dedico este trabalho de monogra�a....
�A verdadeira viagem de descobrimento não consiste em procurar novas paisagens, mas
em ter novos olhos.�
Marcel Proust.
Agradecimentos
...
Resumo
Nas últimas décadas, uma nova fronteira de pesquisa surgiu: a física dos materiais
ópticos. O objetivo desta nova área é o de controlar as propriedades ópticas dos
materiais. Uma enorme gama de tecnologias e novos desenvolvimentos se tornará possível
se pudermos fabricar materiais que respondem a ondas de luz em uma faixa desejada de
frequência, re�etindo a luz perfeitamente, ou permitindo que se propague apenas em
certas direções ou con�nando-a dentro um volume especí�co [18]. Os cristais fotônicos
são estruturas arti�ciais que podem servir como um guia de ondas, são estruturas que
possuem regiões onde a luz não se propaga, os chamados photonic band gaps. Os cristais
fotõnicos são criados por meio de modulações periódicas usando dielétricos. Por outro
lado o estudo dos quasi-cristais vem se tornando um ramo de bastante interesse por
parte da física, desde a sua descoberta experimental em ligas metálicas [19]. Essa busca
continua por novos materiais com propriedades ópticas especiais, teve um grande avanço
com o desenvolvimento dos estudos com grafenos, principalmente após os trabalhos de
Geim e Novoselov em 2004 [8]. O grafeno é uma estrutura bidimensional formada por
átomos de carbono hibridizados em sp2 que formam uma rede hexagonal conhecida como
favos de mel.
No segundo capítulo vamos estudar as propriedades ópticas do grafeno. Veremos o
porque do grafeno despertar tanto interesse na física atualmente. Vamos falar sobre
hibridização do grafeno e sua estrutura, também vamos mostrar como o grafeno foi
descoberto pela primeira vez. Em seguida usaremos o modelo de Tight-Biding para
calcularmos a estrutura de bandas do grafeno. Iremos calcular a condutividade do
grafeno utilizando o modelo de Drude e da contribuiccão da inter e intrabanda para
a condutividade.
No terceiro capítulo vamos estudar os espectros de transmissividade nos quasi-cristais
fotônicos. No primeiro momento estudaremos o espectro de cristais periódicos, formados
por alternadas camadas de dielétricos com permissividades �A e �B. No segundo momento
iremos introduzir entre os dielétricos mono-camadas de grafeno (graphene sheets). O
cristal fotônico será organizado seguindo a ordem da Sequência de Fibonacci por uma
relaccão de recorrência Sj+1 = Sj, Sj−1 com S0 = B e S1 = A. Tanto no caso periódico
quanto no caso utilizando monocamadas de grafenos utilizaremos a técnica da matriz
transferência para obter o espectro de transmitância.
O quarto capítulo trata-se de uma expansão do terceiro. Nele iremos organizar a
estrutura utilizando a Sequência de Octonacci onde o enésimo estagio da multicamada
Sn será dado pela regra Sn = Sn−1Sn−2Sn−1, com n ≥ 3 com S1 = A e S2 = B. Iremos
calcular o espectro de transmissividade utilizando a técnica da matriz transferência como
no primeiro caso.
vi
Por �m deixaremos em anexo o cálculo do mapa do tracco para uma estrutura
eletrônica de phónons formada por uma rede unidimensional com ligacc�es do tipo A
e do tipo B. Faremos este cálculo considerando uma estrutura com e sem grafenos.
Palavras-chave: Cristais Fotônicos, Grafenos, Octonacci.
Abstract
In recent decades, a new frontier of research has opened up: the physics of optical
materials. The goal of this new area is to control the optical properties of materials.
An enormous range of technological developments would become possible if we could
engineer materials that respond to light waves over a desired range of frequencies by
perfectly re�ecting them, or allowing them to propagate only in certain directions, or
con�ning them within a speci�ed volume. Furthermore, the study of iteration of the
electromagnetic wave with the matter, enabled up the emergence of new e�ects such as
quasi-particles. When an electromagnetic wave excites the internal modes of the medium,
such as phonons, cause the emergence of quasi-particles known as polaritons. These
modes can be studied by using the Maxwell's classical theory of electromagnetism. In
this monograph we study the propagation of electromagnetic waves in semiconductors
(medium with positive refraction index) and metamaterials (medium with negative
refraction index) through its dispersion relation. Among many e�ects caused by the
propagation of electromagnetic waves in metamaterials (such as, negative refraction,
reversed Doppler e�ect and others), we focus here only on the propagation in �lms with
negative refraction index. Our studies lead us to conclude that only in a certain region of
the electromagnetic wave-frequency, we can see the optical e�ects of the metamaterials.
We compare our results with the case of the semiconductor �lm where the refraction
index is positive.
Keywords : Polaritons, Semicondutors, Metamaterials
Lista de Acrônimos
SPP Surface Plasmon-polariton (Polariton de Plasmon de Superfície)
TE Tranverse Electric (Modo Tranversal Elétrico)
TM Transverse Magnetic (Modo Transversal Magnético)
TO Transverse Optical (Modo Transversal Óptico)
LO Longitudinal Optical (Modo Longitudinal Óptico)
LST Lyddane-Sachs-Teller (Efeito Lyddane-Sachs-Teller)
LHM Left-handed Materials (Materiais que Obedecem a Regra da Mão Esquerda)
RHM Right-handed Materials (Materiais que Obedecem a Regra da Mão Direita)
DPS Double Positive (Meios Duplamente Positivos)
DPN Double Negative (Meios Duplamente Negativos)
ENG Epsilon Negative (Meio com �-negativo)
MNG Mu Negative (Meio com µ-negativo)
Lista de Figuras
2.1 Estrutura favo-de-mel do grafeno [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Con�guração espacial dos orbitais s e p [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Esquema da hibridização sp2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 (a) Representações da Moléula do Benzeno; (b) Ligações entre os átomos
no anel do benzeno: (b.1) Ligações do tipo σ e (b.2) Ligações do tipo π . 5
2.5 O grafeno como base de todas as estruturas grafíticas: (a) o gra�te pode ser
considerado como um empilhamento de folhas de grafeno; (b) O fulereno
consiste de uma folha de grafeno em formato de bola, a forma mais
conhecida dessa estrutura é o carbono C60; (c) Nanotubos de carbono
são folhas de grafeno enroladas, formando um pequeno tubo da ordem de
alguns nanômetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.6 Representação da técnica da clivagem micromecânica utilizada por Geim
e Novoselov: (a) Um bloco espesso de camadas de gra�te é clivado; (b) o
processo é repetido até que restem cada vez menos camadas; (c) A última
clivagem é feita sob o substrato de SiO2; (d) Amostra de grafeno . . . . 6
2.7 Primeira zona de Brillouin representada pela célula de Wigner-Seitz no
espaço recíproco de uma rede hexagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.8 Rede cristalina do grafeno (favos de mel): (a) A rede cristalina e suas duas
subredes triângulares com átomos do tipo A e átomos do tipo B, ~a1 e ~a2 são
os vetores primitivos geradores da rede e δi, com i = 1 − 3 são os vetores
que apontam de um átomo da rede para os seus vizinhos; (b) Célula de
Wigner-Seitz no espaço recíproco, o centro da zona de Brillouinde maior
é representado pelo ponto Γ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.9 Vetores de base nas sub-redes A e B [6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.10 Grá�co da dispersão do grafeno utilizando o modelo de Tight-Biding com
interação entre os primeiros vizinhos [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.11 As bandas π e π∗ em termos dos pontos de alta simetria (K, M , Γ) [12] . 14
2.12 O cone de Dirac. [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Sumário
Agradecimentos iv
Resumo v
Abstract vii
Lista de Acrônimos viii
1 Introdução 1
2 Grafeno 3
2.1 Estrutura do Grafeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 Hibridização do Carbono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.2 Descoberta do Grafeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.3 Geometria do Grafeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Modelo de Tight-Biding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 O Modelo de Tight-Biding e Dispersão nos Grafenos . . . . . . . 9
2.2.2 Energia de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Condutividade Ótica do Grafeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Modelo de Drude nos Grafenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 A Contribuição da Inter e Intrabanda na Condutividade Óptica do
Grafeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Polaritons em Semicondutores 19
4 Ondas Eletromagnéticas em Metamateriais 20
5 Conclusão 21
Referências Bibliográ�cas 22
Capı́tulo 1
Introdução
Os fenômenos elétricos e magnéticos estudados desde a Grécia antiga como fenômenos
separados tiveram sua uni�cação por volta do ano de 1820, quando o físico dinamarquês
Hans Cristian Oersted experimentalmente comprovou a relação entre estes fenômenos.
Surgia então o eletromagnetismo. Os físicos Michael Faraday, André Marie Ampère
e o próprio Oersted após numerosas experiências criaram as leis fundamentais do
eletromagnetismo.
Por outro lado, foi no ano de 1873 que tivemos um dos maiores feitos cientí�cos
de todos os tempos, quando no seu tratado [?] o físico escocês James Clerk Maxwell
desenvolveu equações matemáticas representando a uni�cação das teorias elétrica e
magnética, o que hoje conhecemos por equações de Maxwell. Mais que isso, as equações
de Maxwell possibilitaram a interpretação da luz como uma onda eletromagnética.
Os avanços na física dos semicondutores permitiu um maior entendimento sobre a
localização e trajetórias dos elétrons livres nos materiais, onde recorre-se geralmente ao
modelo de Kronig-Penney [?] que usa potenciais periódicos �nitos simulando a limitação
da circulação dos elétrons. O desenvolvimento dessas teorias em semicondutores e o
avanço recente na área de cristalogra�a e também o desenvolvimento de experimentos
com feixes moleculares [?], permitiram a criação de estruturas periódicas em tamanho
reduzido.
Os estudos da propagação das ondas eletromagnéticas em multicamadas tem recebido
bastante atenção, sobretudo a partir de 1987 com o artigo de E. Yablonovitch
[?]. Yablonovitch supôs um semicondutor capaz de guiar e con�nar a radiação
eletromagnética. Tal material �cou conhecido na literatura como Cristal Fotônico.
Os cristais fotônicos tem periodicidade bem de�nida e possuem algumas propriedades
semelhantes às encontradas microscopicamente nos semicondutores. Uma técnica teórica
muito poderosa no estudo da propagação de ondas eletromagnéticas no estudo dos CFs é
a técnica da matriz-transferência [?]. Podemos, por exemplo, encontrar o espectro óptico
(transmitância e re�ectância) da luz. Neste estudo abordaremos esta técnica em detalhes.
2
Ainda, o estudo da propagação de ondas em metais na década de 50 feitos por
Pines, D. [?] e Richie, R. H. [?], proporcionou a descoberta dos Plasmons, que são
oscilações coletivas de elétrons nas superfícies dos metais. A existência de excitações
eletromagnéticas coletivas, (por exemplo os polaritons), que são modos mistos formados
pelo acoplamento da luz com mais de uma excitação elementar, por exemplo, os plasmons,
fez surgir os chamados polaritons de plasmons. O con�namento desses modos mistos em
uma interface metal-dielétrico �cou conhecido como surface plasmons polariton (SPP)
ou polariton de plasmon de superfície. Esses modos permitem o con�namento da luz em
escalas reduzidas, que possibilita vantagens em muitas áreas da tecnologia. Esse grande
avanço permitiu o surgimento de uma nova área conhecida como plasmônica.
A busca por materiais arti�ciais com características não encontradas na natureza
tornou-se cada vez mais crescente nas últimas décadas. No ano de 1968 o físico soviético
Veselago propôs teoricamente a propagação de ondas eletromagnéticas em meios onde
a permissividade elétrica e a permeabilidade magnética são ambas negativas [?]. Nesse
estudo, Veselago concluiu que nestes meios o vetor de Pointing é antiparalelo à velocidade
de fase, o que faz gerar ondas com velocidade de grupo negativa. Os meios onde
a permissividade elétrica e a permeabilidade magnética são ambas negativas �caram
conhecidos como LHM (materiais que obedecem a regra da mão esquerda) e os materiais
que possuem permeabilidade e permissivade positivas �caram conhecidos como RHM
(materiais que obedecem a regra da mão direita), que também podem ser conhecidos na
literatura respectivamente por, meios duplamente negativos (DNG) e meios duplamente
positivos (DPS).
O trabalho de Veselago foi praticamente ignorado durante três décadas pela
comunidade cientí�ca. No entanto na década de 90 ocorreu uma revolução, com o estudo
feito por Smith e colaboradores [?], onde eles conseguiram construir arti�cialmente um
arranjo com comportamento DNG na região de microondas. Esse estudo fez com que a
propagação de ondas nos meios DNG voltasse a ser amplamente estudada nos últimos
anos. Esses novos materiais �caram recentemente reconhecidos como metamateriais.
Neste trabalho vamos investigar alguns efeitos da propagação de ondas eletromagnéticas
nos meios DNG e em semicondutores.
No capítulo 2, apresentamos a teoria das equações de Maxwell para a propagação das
ondas eletromagnéticas em interfaces, �lmes e multicamadas. Também mostramos duas
aplicações desta teoria em cristais fotônicos.
No capítulo 3, estudamos a teoria dos polaritons de superfície em semicondutores,
onde iremos obter resultados teóricos encontrados na literatura. Por �m, mostraremos
um exemplo numérico dos polaritons de plasmon de superfície.
No capítulo 4, faremos um estudo sobre a propagação das ondas eletromagnéticas nos
metamateriais e mostraremos duas aplicações mostrando características esperadas para
os materiais DNG.
Capı́tulo 2
Grafeno
O carbono é conhecido desde os tempos pré-históricos, sua importante propriedade de
ligação com ele mesmo e com outros elementos faz com que exista aproximadamente mais
de 10 milhões de compostos já identi�cados [1]. O estudo desses compostos formados por
carbono vem sendo amplamente estudados. Sobretudo o estudo sobre grafenos, que teve
sua primeira aparição na ciência dada aos primeiros estudos teóricos realizados em 1947
pelo físico canadense Wallace [2]. Neste capítulo vamos estudar a estrutura dos compostos
formados por carbono e observar algumas importantes propriedades físicas associadas a
estes compostos.
2.1 Estrutura do Grafeno
2.1.1 Hibridização do Carbono
O grafeno é um material bastante peculiar. Apesar da estrutura simples, uma
característica fundamental dos grafenos é que sua estrutura é formada por uma rede
hexagonal por átomos de carbono hibridizados em sp2. Devido sua aparência a estrutura
do grafeno também costuma ser chamada de favo-de-mel Honeycomb.
Figura 2.1: Estrutura favo-de-mel do grafeno [3]
No processo de hibridização elétrons de um determinado orbital recebem energia
2.1 Estrutura do Grafeno 4
e passam para outro orbital, os orbitais incompletosfundem-se para formar orbitais
denominados híbridos. Podemos observar da �gura 2.2 que no caso do orbital do tipo s
existe uma única con�guração espacial do tipo esférica. Já no orbital do tipo p existem
três diferentes maneiras de alinhamento, que são eles px, py e pz.
O orbital representa a região espacial onde o elétron com um dado valor de energia tem
maior probabilidade de ser encontrado. Na �gura abaixo vemos a con�guração espacial
do orbitais do tipo p e s.
Figura 2.2: Con�guração espacial dos orbitais s e p [4]
A �gura 2.3 representa o processo de hibridização sp2 onde um elétron que esta
inicialmente no estado fundamental e emparelhado com outro recebe energia passando
para o subnível 2pz. Como o elétron em estado excitado tende a voltar para um estado
menos energético, ocorre a superposição do orbital 1s com 2p originando três orbitais
híbridos em sp2, onde os três orbitais hibridizados em sp2 possuem ligação do tipo sigma
(σ) e o orbital 2px possui ligação do tipo pi (π).
Um bom exemplo para entendermos a hibridização é a molécula do benzeno. Essa
molécula consiste de um hexágono com átomos de carbono em seu vértices formando seis
ligações do tipo σ. O orbital não hibridizado 2pz é o responsável pela formação das três
ligações do tipo π, ocorrendo assim uma alternância entre ligações simples e duplas.
Figura 2.3: Esquema da hibridização sp2
2.1 Estrutura do Grafeno 5
Figura 2.4: (a) Representações da Moléula do Benzeno; (b) Ligações entre os átomos no
anel do benzeno: (b.1) Ligações do tipo σ e (b.2) Ligações do tipo π
Sabendo que é atribuída uma distância carbono-carbono para uma ligação simples
de 0,147 nm e para uma ligação dupla de 0,135 nm isso indicaria um hexagono com
imperfeições como observado pelo físico francês August Kekulé [5]. No entanto foi
constatado que a distância carbono-carbono no benzeno para todas as ligações é de 0,142
nm. Este fato so foi explicado anos mais tarde, em 1931 por Linus Pauling com um
tratamento quântico para o anel de benzeno [06]. Assim, uma folha de grafeno pode ser
entendida como uma rede de hexagonos com átomos de carbono em seus vértices.
2.1.2 Descoberta do Grafeno
Estudos envolvendo compostos que tem como base a estrutura do carbono datam de
pelo menos um século e a descoberta do gra�te em minas terrestres na inglaterra desde
o século XVI. A descoberta do fulereno em 1985 por Curl, Kroto e Smalley (citação) que
lhe renderam o prêmio nobel em 1996 foi um avanço na área por possibilitar diversas
aplicações. Também temos a descoberta dos nanotubos de carbono pelo físico japonês
Samio Iijima (citação). Todos essas descobertas foram fundamentais para o avanço dos
estudos sobre os grafenos.
Apesar da tentativa de se estudar os grafenos datarem do século XIX foi somente por
meio de um artigo em 1947 escrito pelo físico canadense Wallace (citação) que a existência
do grafeno foi prevista de maneira teórica. No entanto somente em 2004 o grafeno foi
obtido experimentalmente na Universidade de Manchester no Reino Unido por meio de
um grupo de cientistas liderados por André Geim e Konstantin Novoselov (citação mnc).
2.1 Estrutura do Grafeno 6
Figura 2.5: O grafeno como base de todas as estruturas grafíticas: (a) o gra�te pode ser
considerado como um empilhamento de folhas de grafeno; (b) O fulereno consiste de uma
folha de grafeno em formato de bola, a forma mais conhecida dessa estrutura é o carbono
C60; (c) Nanotubos de carbono são folhas de grafeno enroladas, formando um pequeno
tubo da ordem de alguns nanômetros.
A técnica utilizada por Geim e Novoselov é bastante simples, conhecida como clivagem
micromecânica. Esta técnica consiste em separar �nas camadas de grafeno e de outros
materiais utilizando uma �ta adesiva. A �gura 2. mostra como foi o processo para obter
o grafeno a partir dessa técnica.
Figura 2.6: Representação da técnica da clivagem micromecânica utilizada por Geim e
Novoselov: (a) Um bloco espesso de camadas de gra�te é clivado; (b) o processo é repetido
até que restem cada vez menos camadas; (c) A última clivagem é feita sob o substrato
de SiO2; (d) Amostra de grafeno
Como já vimos, o gra�te consiste do empilhamento de planos de grafeno que interagem
por meio de forças do tipo Van der Walls, força esta que é bem mais fraca que as
2.1 Estrutura do Grafeno 7
ligações do plano. Isso explica como é possível separar camadas de grafeno usando uma
�ta adesiva. No processo �nal da clivagem micromecânica, uma camada praticamente
invisível é novamente separada por meio da �ta adesiva e clivada na superfície de SiO2.
As interações de Van der Walls entre os �ocos e o SiO2 faz com que após uma nova
clivagem surjam �lmes muito �nos de grafeno.
O sucesso na técnica da clivagem micromecânica com o grafeno é um aparente
desacordo com a teoria de Mermim-Wagner, no qual a�rma que simetrias contínuas não
podem ser quebradas a temperatura �nita em sistemas com interações de curto alcance
em dimensões d ≤ 2 [9]. Porém o teorema faz suposições em desacordo com a experiência,
segundo o a teoria, o material bidimensional no vácuo e livre de interações não deveria
existir, no entanto como vimos no experimento a clivagem é feita sob um substrato de
SiO2, O que permite sua estabilidade.
2.1.3 Geometria do Grafeno
Dentre os sólidos conhecidos, o grafeno é o cristal bidimensional que possui ligações
interatômicas mais fortes. São atribuídas a ele propriedades mecânicas, eletrônicas e
térmicas bastante interessantes. Ele é dito como um dos materiais mais fortes, resistentes
e �exíveis além de possuir incríveis propriedades eletrônicas e térmicas.
O grafeno não é uma rede do tipo Bravais porque os átomos vizinhos não são
equivalentes, no entanto o grafeno é formado por dois tipos de átomos, que são os átomos
do tipo A e os do tipo B e eles formam sub-redes triangulares e ambas são rede de Bravais.
A célula unitária do grafeno possui a forma de um paralelogramo equilátero de lado
a =
√
3acc = 0.246nm. A distância entre os átomos de carbono é de aproximadamente
acc = 0, 142nm. Cada ponto da rede cristalina esta associado por meio da relação,
~R = m~a1 + n~a2 (2.1)
onde ~a1 e ~a2 são os vetores primitivos da rede e são dados por [10],
~a1 = a
(√
3
2
,
1
2
)
(2.2)
~a2 = a
(√
3
2
,−1
2
)
(2.3)
No espaço real, a rede cristalina é dita como rede direta. É possível encontrar
a correspondência dessa rede no espaço dos vetores de onda ~k, conhecida como
rede recíproca. A rede recíproca é portanto um conjunto de todos os vetores de onda ~k
que produzem ondas planas com uma dada periodicidade a determinada rede de Bravais.
Conhecendo os vetores primitivos da rede direta, podemos encontrar os
2.1 Estrutura do Grafeno 8
correspondentes na rede recíproca ~b1 e ~b2 por meio da expressão,
~ai.~bj = 2πδij (2.4)
assim, encontramos
~b1 =
(
2π√
3a
,
2π
a
)
(2.5)
~b2 =
(
2π√
3a
,−2π
a
)
(2.6)
que são os vetores da rede recíproca.
Para entendermos as propriedades eletrônicas do grafeno precisamos entender o que
ocorre na chamada Zona de Brillouin.
A primeira zona de Brillouin pode ser entendida como a célula primitiva de Wigner-
Seitz na rede recíproca. A célula de Wigner-Seitz é uma maneira de representar uma célula
primitiva de maneira mais geral dados os pontos geométricos em uma rede cristalina.
Figura 2.7: Primeira zona de Brillouin representada pela célula de Wigner-Seitz no espaço
recíproco de uma rede hexagonal
A primeira zona de Brillouin é um conceito importante para o estudo das bandas de
energia em sólidos. Sabe-se que são difratadas pelo cristal apenas ondas cujo vetor de
onda ~k, traçados a partir da origem, termina na superfície de uma zona de Brillouin [11].
Existem pontos de alta simetria que são de bastante interesse na zona de Brillouin,
são os chamados pontos críticos. Esses pontos são de muita importância no estudo das
propriedades eletrônicas do grafeno.
As excitações de grande comprimento de onda estão situadas na vizinhança do pontoΓ da zona de Brillouin, enquanto que as de baixa frequência se encontram centradas ao
longo dos pontos k e k'.
2.2 Modelo de Tight-Biding 9
Figura 2.8: Rede cristalina do grafeno (favos de mel): (a) A rede cristalina e suas duas
subredes triângulares com átomos do tipo A e átomos do tipo B, ~a1 e ~a2 são os vetores
primitivos geradores da rede e δi, com i = 1−3 são os vetores que apontam de um átomo
da rede para os seus vizinhos; (b) Célula de Wigner-Seitz no espaço recíproco, o centro
da zona de Brillouin de maior é representado pelo ponto Γ.
2.2 Modelo de Tight-Biding
A estrutura do grafeno é bidimensional e formada por átomos de carbono hibridizados
em sp2. Enquanto que os elétrons dispostos nas ligações do tipo σ não participam
nas propriedades de condução do material, os elétrons dispostos nas ligações do tipo
π estão livres para interagirem com os outros átomos no grafeno. São esses elétrons os
responsáveis pela banda de valência e a banda de condução presentes no grafeno [?].
Nesta seção vamos conhecer o modelo de tight-biding, que é bastante importante para o
estudo das propriedades eletrônicas do grafeno.
2.2.1 O Modelo de Tight-Biding e Dispersão nos Grafenos
O estudo das propriedades eletrônicas é de fundamental importância nos sólidos para
obtermos uma descrição detalhada sobre as bandas de energia do material. Podemos
por exemplo saber, quais os valores de energia permitida no sistema. O estudo destas
estruturas em escala nanômetrica se faz uso da mecânica relativístiva e física quântica
para resolvermos a equação de Schrodinger. Obter a equação de shrodinger em uma
estrutura cristalina é um problema computacional devido o grande número de interações
elétron-elétron, elétron núcleo, núcleo-núcleo.
É nesse cenário que surgem diversas aproximações como o método de Hartre-Fock ou
aproximação Oppenhaimer. Uma dessas apoximações que é bastante utilizada é o modelo
de Tight-Biding. O modelo de Tight-Biding para o grafeno consiste em considerar que no
grafeno existem dois átomos para cada célula unitária, os átomos do tipo A e os átomos
do tipo B e que existe interações somente com os vizinhos. Além disso, iremos considerar
que há somente um orbital 2pz para cada sítio. Isso nos leva a considerar que os elétrons
2.2 Modelo de Tight-Biding 10
�cam em regiões muito pequenas comparadas com as distâncias inter nucleares, o que
nos permite fazer aproximações de potenciais periódicos de curto alcance em torno dos
núcleo. Esse conjunto de aproximações é conhecido como Tight Biding Aproximation [?].
A idéia central é escrevermos uma função de onda como uma combinação linear dos
orbitais dos átomos que compõem o cristal. A função de bloch aplicada a equação de
shcrodinger nos da (
− }
2
2m
~O2 + υ(~r)
)
ψk(~r) = E(~k)ψk(~r) (2.7)
Podemos dividir a estrutura hexagonal do grafeno em duas sub-redes, do tipo A e do
tipo B como mostra a �gura
Figura 2.9: Vetores de base nas sub-redes A e B [6]
Os vetores ~a1 e ~a2 são dados das equações (2.5) e (2.6) respectivamente. e ~τ =
−1
3
(~a1 + ~a2) e mod τ = 3a
O vetor da rede cristalina (2.1) é responsável por localizar os átomos na sub-rede A,
vamos considerar que há interação somente com seus primeiros átomos vizinhos, assim,
os vetores que localizam os três vizinhos mais próximos da sub-rede B de um dado átomo
da sub-rede A são,
~δ1 = ~τ + ~a1 (2.8)
~δ2 = ~τ + ~a2 (2.9)
~δ3 = ~τ (2.10)
2.2 Modelo de Tight-Biding 11
ou ainda,
~δ1 =
a
2
(1,
√
3), ~δ2 =
a
2
(1, sqrt3), e~δ3 =
a
2
(−1, 0) (2.11)
a energia de bandas do sistema será dada pela Hamiltoniana para os primeiros vizinhos
no grafeno,
H = −t
∑
R
[
|~R〉 〈~R + ~δ1 + ~R〉 〈~R + ~δ2 + ~R〉 〈~R + ~δ3|+ |~R + ~δ1〉 〈~R|+ |~R + ~δ2〉 〈~R|+ |~R + ~δ3〉 〈R|
]
(2.12)
onde t é a chamada integral de Hopping e representa a interação entre os orbitais vizinhos.
Fazendo as substituições (2.8-2.10) nesta equação, podemos reescreve-la como
Ĥ = −t
∑
R
[|~R〉 〈~R + ~τ + ~a1 + ~R〉 〈~R + ~τ + ~a2 ~R〉 〈~R + ~τ |+ |~R + ~τ + ~a1〉
〈~R|+ |~R + ~τ + ~a2〉 〈~R|+ |~R + ~τ〉 〈R|] (2.13)
para encontrar os auto-estados aproximados do Hamiltoniano vamos usar uma cominação
linear dos orbitais atômicos
|~kA〉 1√
N
∑
R
expi
~k. ~R |R〉 |~kA〉 1√
N
∑
R
expi
~k. ~R |R〉+ ~τ (2.14)
onde N é o número de átomos em cada sub-rede de modo que,
|~k〉 = α |~kA〉+ β |~kB〉 (2.15)
com a condição de normalização dada por |α|2 + |β|2 = 1.
A matriz Hamiltoniana na base dos momentos é dada por,
Ĥ =
(
〈k ~A|Ĥ|k ~A〉 〈k ~A|Ĥ|k ~B〉
〈k ~B|Ĥ|k ~A〉 〈k ~B|Ĥ|k ~B〉
)
(2.16)
os elementos da diagonal serão nulos, 〈k ~A|Ĥ|k ~A〉 = 〈k ~B|Ĥ|k ~B〉 = 0. reescrevendo o
Hamiltoniano,
2.2 Modelo de Tight-Biding 12
Ĥ = −t
∑
R
[
1
N
∑
~k
∑
~k′
expi
~R(
~
k′−~k) |~kA〉 〈~k′B|+ 1
N
∑
~k
∑
~k′
expi
~R(
~
k′−~k) expi
~k. ~a2 |~kA〉 〈~k′B|+
∑
~k
∑
~k′
expi
~R(
~
k′−~k) expi
~k. ~a1 |~kA〉 〈~k′B|+ 1
N
∑
~k
∑
~k′
expi
~R(
~
k′−~k) |~kB〉 〈~k′A|] +
∑
~k
∑
~k′
expi
~R(
~
k′−~k) expi
~k. ~a2 |~kB〉 〈~k′A|+ 1
N
∑
~k
∑
~k′
exp−i
~R.(
~
k′−~k) expi
~k. ~a2 |~kB〉 〈~k′A|](2.17)
usando a relação,
1
N
∑
R
expi
~R.(~k′−~k) δ(~k′ − ~k)[?] (2.18)
que nos leva a,
−t
∑
~k
[(
1 + expi
~k. ~a1 +(1 + expi
~k. ~a2
)
|~kA〉 〈~kB|+
(
1 + exp−i
~k. ~a1 +(1 + exp−i
~k. ~a2
)
|~kB〉 〈~kA|
]
(2.19)
escrevendo em termos dos vetores ~a1e~a2 e levando em consideração que ~k = (kx, ky, 0),
Ĥ = −t
∑
~k
[
1 + exp
i
(
3
2
kxa0−
√
3
2
kya0
)
+ exp
i
(
3
2
kxa0+
√
3
2
kya0
)]
|~kA〉 〈~kB| −
−t
∑
~k
[
1 + exp
−i
(
3
2
kxa0−
√
3
2
kya0
)
+ exp
−i
(
3
2
kxa0+
√
3
2
kya0
)]
|~kB〉 〈~kA| (2.20)
ou ainda,
Ĥ = −t
∑
~k
[
1 + 2 expi
3
2
kxa0 cos
(√
3
2
kya0
)]
|~kA〉 〈~kB| −
−t
∑
~k
[
1 + 2 expi
3
2
kxa0 cos
(√
3
2
kya0
)]
|~kB〉 〈~kA| (2.21)
podemos reescrever a equação acima na forma matricial,
Ĥ = −t
∑
k
[
〈~kA| 〈~kB|
] 0 1 + 2 expi 32kxa0 cos(√32 kya0)
1 + 2 exp−i
3
2
kxa0 cos
(√
3
2
kya0
)
0
(|~kA〉
|~kB〉
)
(2.22)
2.2 Modelo de Tight-Biding 13
agora basta resolver a equação de autovalor det
(
λÎ − Â
)
= 0 e então teremos,
�2 = t2
[
1 + 2 expi
3
2
kxa0 cos
(√
3
2
kya0
)][
1 + 2 exp−i
3
2
kxa0 cos
(√
3
2
kya0
)]
(2.23)
então encontramos a dispersão do grafeno,
�± =
√√√√t[1 + 4 cos(3
2
kxa0
)
cos
(√
3
2
kya0
)
+ 4 cos2
(√
3
2
kya0
)]
(2.24)
que é a dispersão de energia do grafeno.
Os sinais de ± designam valores para a banda de valência π e da banda de condução π∗
respectivamente. Na �g. (2.10) podemos notar que as bandas de valência e de condução,
se encontram sem que haja superposição entre elas. Esse é o fato porque dizemos que o
grafeno é um semicondutor com gap zero. [8]
Figura 2.10: Grá�co da dispersão do grafeno utilizando o modelo de Tight-Biding com
interação entre os primeiros vizinhos [7]
Na �g. (2.11) vemos que no ponto k as bandas de valência e de condução se tocam,
ocorrendo assim uma degenerescência da energia. [12]
2.2 Modelo de Tight-Biding 14
Figura 2.11: As bandas π e π∗ em termos dos pontos de alta simetria (K, M , Γ) [12]
2.2.2 Energia de Fermi
A Energia de Fermi é a energia do nível mais energético ocupado pelos elétrons no
equilíbrio. Ela nos da informações importantes sobre as propriedades físicas de um sólido.
No grafeno temos 2 elétrons ocupando cada célula unitária, ou seja, temos 2N elétrons
para serem distribuídos em K-estados na zona de Brillouin. Assim podemos a�rmar que
no grafeno toda a banda de valência π esta ocupada enquanto que a banda de condução
π∗ esta vazia. A energia de fermi EF �ca localizada nos pontos onde os estados são
degenerados, nos ponto K. Em torno deste ponto K, fazemos uma expansão em série de
Taylor em (2.24), onde encontramos uma dispersão da energia de,
� = ±3
2
a0t| ~δK (2.25)
onde por uma análise dimensional identi�camos que a velocidade de fermi υF é dada por
υF = (3/2)a0t. Vale lembrar que foi feita uma simpli�cação onde tomamos } = m = 1.
Recuperando as unidades temos que a energia de fermi é dada por,
υF =
3
2}
a0t (2.26)
considerando que }≈ 0, 66 x 10−15ev e a0 ≈ 1, 42 e t ≈ 2, 7ev, temos que,
υF ≈ 106m/s. (2.27)
A equação (2.25) descreve as partículas quânticas com formalismo relativístico,
fazendo com que os elétrons comportem-se como se não tivessem massa. O Ponto onde a
banda de valência toda a banda de condução é conhecido como ponto de Dirac. [15].
O grá�co linear em torno dos pontos de Dirac é mostrado na �g. abaixo, por ter um
formato de um cone, é chamada de cone de Dirac.
2.3 Condutividade Ótica do Grafeno 15
Figura 2.12: O cone de Dirac. [14]
2.3 Condutividade Ótica do Grafeno
2.3.1 Modelo de Drude nos Grafenos
O modelo de Drude considera o movimento dos portadores de cargas regido pela
equação diferencial,
d~p
dt
=
p
τ
+ e ~E = 0. (2.28)
onde o termo τ representa o tempo de relaxação dos portadores de carga. A solução é do
tipo estacionária, ~p(t) = ~p(ω) exp−iωt que nos fornece
−iω~p(ω) + ~p(ω)
τ
= −e ~E (2.29)
2.3 Condutividade Ótica do Grafeno 16
com,
~j = ne
~p
m
(2.30)
e
n =
µ2c
π}2V 2
(2.31)
que é a densidade de portadores de carga. Isolando ~p(ω) em (2.29)
~j =
e2n~E
m( 1
τ
− iω)
(2.32)
lembrando da expressão da condutividade elétrica: ~j(ω) = σ(ω) ~E concluímos que,
σ(ω) =
σ0
1− iωτ
(2.33)
onde σ0 = ne
2τ
m
. Com um pouco de álgebra chegamos em,
σ(ω) =
ine2
m(ω + iΓ)
(2.34)
onde Γ = 1/τ e τ .
Consideramos que os elétrons no grafeno não possuem uma massa de repouso efetiva
e é mais conveniente trabalhar com a equivalência da massa-energia, de maneira que,
m = µ
V 2
. Substituindo as expressões para n e m na equação (2.34),
σ(ω) =
iµce2
π}2(ω + iΓ)
(2.35)
ou ainda, dividindo por 4�0c,
σ(ω)
4�0c
=
iµce2
4�0cπ}2(ω + iΓ)
. (2.36)
Podemos ainda reescrever o termo e
2
4c�0π} ≈
1
137
= α, conhecida como constante de
estrutura �na. Assim temos,
σ(ω)
�0c
=
4iαµc
}(ω + iΓ)
(2.37)
de�nindo }ω
mc
= Ω,
σ(ω)
�0c
=
4iα
Ω + i}Γ
(2.38)
2.3 Condutividade Ótica do Grafeno 17
Considerando Γ = 0
σ(ω)
�0c
=
4iα
Ω
(2.39)
2.3.2 A Contribuição da Inter e Intrabanda na Condutividade
Óptica do Grafeno
A condutividade ótica de uma �na camada de grafeno graphene sheet inclui a
contribuição de uma intra-banda e uma inter-banda. Para uma frequência ω, em uma
temperatura T é dada por σg(ω)σintrag (ω) + σ
inter
g (ω) [16][17] onde
σintrag (ω) = −j
e2kBT
π}2(ω − jΓ)
[
µ
kBT
+ 2 ln(exp−µ/kBT +1)
]
(2.40)
σinterg (ω) = −j
e2
4π}
ln
[
2|µc| − (ω − jΓ)}
2|µc|+ (ω − jΓ)}
]
(2.41)
onde e é a carga do elétron, } = h/2π, kB é a constante de Boltzman e µc é o potencial
químico. Γ representa a taxa de espalhamento.
Considerando que Γ = 0 e dividindo em ambos os lados as expressões para σintrag (ω)
e σinterg (ω) por um fator de 4�0c
σintrag (ω)
4�0c
= −j e
2kBT
4�0cπ}2ω
[
µc
kBT
+ 2 ln(exp−µ/kBT +1)
]
(2.42)
σinterg (ω)
4�0c
= −j e
2
4 ∗ 4�0cπ}
ln
[
2|µc| − (ω})
2|µc|+ (ω}
]
(2.43)
. Lembrando novamente do termo e
2
4c�0π} ≈
1
137
= α, que é constante de estrutura �na,
teremos,
σintrag (ω)
4�0c
= −j kBTα
}ω
[
µc
kBT
+ 2 ln(exp−µ/kBT +1)
]
(2.44)
σinterg (ω)
4�0c
= −j α
4
ln
[
2|µc| − (ω})
2|µc|+ (ω}
]
(2.45)
usando a de�nição Ω = }ω
kBT
e considerando que, β = µc
kBT
, então
σintrag (ω)
4�0c
= −j α
Ω
[
β + 2 ln(exp−β +1)
]
(2.46)
σinterg (ω)
4�0c
= −j α
4
ln
[
2|µc| − (ω})
2|µc|+ (ω}
]
(2.47)
2.3 Condutividade Ótica do Grafeno 18
escrevendo
σintrag (ω)
�0c
= σintrag (ω)
′ e
σinterg (ω)
�0c
= σintrag (ω)
′ temos,
σintrag (ω)
′ = −j 4α
Ω
[
β + 2 ln(exp−β +1)
]
(2.48)
σinterg (ω)
′ = −jα ln
[
2|µc| − (ω})
2|µc|+ (ω}
]
(2.49)
Capı́tulo 3
Polaritons em Semicondutores
Capı́tulo 4
Ondas Eletromagnéticas em Metamateriais
Capı́tulo 5
Conclusão
No capítulo 2, estudamos a propagação das ondas eletromagnéticas em
semicondutores. Concluímos que a técnica da matriz transferência mostrou-se bastante
e�caz na obtenção do espectro óptico (transmitância e re�ectância) em cristais fotônicos.
Concluímos também que em uma determinada região de frequência o sistema de
multicamadas se comporta como se fosse um espelho perfeito. Esta região é conhecida
na literatura como "band gap"e ocorre devido a periodicidade do meio. No nosso estudo,
vemos um exemplo análogo do comportamento de um semicondutor com impurezas, onde
consideramos apenas uma camada diferente no cristal fotônico. Mostramos que ocorre a
existência de um modo localizado que surge dentro da região do gap.
No capítulo 3, estudamos a teoria das quasi-partículas conhecidas como polaritons.
onde nos concentramos no estudo dos polariton de plasmon de superfície. Encontramos
os resultados obtidos na literatura, sobretudo na referência [?].
No capítulo 4, estudamos a propagação das ondas eletromagnéticas em metamateriais,
de onde podemos concluir, com nosso estudo, que os metamateriais possuem propriedades
exóticas que não são encontradas na natureza como (efeito Doppler invertido, refração
negativa). Nesse estudo mostramos dois exemplos numéricos utilizando a equação para
um �lme encontrada na teoria dos polaritons de superfície no capítulo 3. Nesses exemplos
mostramos a existência de regiões de frequência (modos) com derivada negativa, que
indica uma velocidade de grupo negativa, características inerentes aos metamateriais.
Nos dois exemplos, também vemos que o aumento na separação entre as interfaces faz
com que os modos de superfície torne-se um único modo.
Referências Bibliográ�cas
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[6] http://gildario.com/images/bloco/tese/redetihg.jpg
[7] http://oer.physics.manchester.ac.uk/AQM2/Notes/Notes-6.4.html
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[11] K. Charles Introdução à física do estado sólido (8a Edição, LTC, Cap 2, pg. 38
(2006)
[12] Amorin, Rodrigo Garcia, Estudo da in�ência de defeitos estruturais nas propriedades
de nanotubos de carbono (2009) Tese, Universidade de São Paulo.
[13] http://chemwiki.ucdavis.edu/Physical Chemistry/Quantum Mechanics/09. The
Hydrogen Atom/Atomic Theory/Electrons in Atoms/Electronic Or- bitals>
[14] https://www.cambridge.org/core/books/carbon-nanotube-and-graphene-device-
physics/ED1918C93200550E728F762DD8BB51C4
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 23
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[18] Silva, E. F. (Ondas eletromagnéticas em metamateriais e semicondutores),
monogra�a, departamento de física-DFTE, 2013.
[19] D. Shechtman, I. Blech, D. Gratias, and J.W. Cahn. Physic Rev. Lett. 53, 1951
(1984).
	Agradecimentos
	Resumo
	Abstract
	Lista de Acrônimos
	Introdução
	Grafeno
	Estrutura do Grafeno
	Hibridização do Carbono
	Descoberta do Grafeno
	Geometria do Grafeno
	Modelo de Tight-Biding
	O Modelo de Tight-Biding e Dispersão nos Grafenos
	Energia de Fermi
	Condutividade Ótica do Grafeno
	Modelo de Drude nos Grafenos
	A Contribuição da Inter e Intrabanda na Condutividade Óptica do Grafeno
	Polaritons em Semicondutores
	Ondas Eletromagnéticas em MetamateriaisConclusão
	Referências Bibliográficas