Lista 5 - MAT 342 - MAT 342 - 2019-I

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Universidade Federal de Viçosa
Centro de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
5a Lista - MAT 342 - Análise para Licenciatura - 2019/I
1) Prove que, para todo conjunto X ⊂ R tem-se int(intX) = intX, ou seja, que intX é um conjunto aberto.
2) Prove que, para quaisquer A,B ⊂ R, int(A ∪ B) ⊃ intA ∪ intB e int(A ∩ B) = intA ∩ intB. Dê um exemplo em que
int(A ∪B) 6= intA ∪ intB.
3) Dado X ⊂ R, a fronteira de X, denotada por ∂X, é definida da seguinte maneira:
x ∈ ∂X ⇔ ∀ε > 0, (x− ε, x+ ε) ∩X 6= ∅ e (x− ε, x+ ε) ∩ (R−X) 6= ∅.
Prove que A ⊂ R é aberto se, e somente se, A ∩ ∂A = ∅.
4) Prove que, se A ⊂ R é aberto e a ∈ A, então A− {a} é aberto.
5) Prove que, para todo conjunto X ⊂ R tem-se X = X, ou seja, que X é um conjunto fechado.
6) Prove que, para todo X ⊂ R, vale X = X ∪ ∂X. Conclua que X é fechado se, e somente se, ∂X ⊂ X.
7) Para todo X ⊂ R, prove que R− intX = R−X e R−X = int(R−X).
8) Sejam X,Y ⊂ R. Prove que X ∪ Y = X ∪ Y e que X ∩ Y ⊂ X ∩ Y . Dê um exemplo em que X ∩ Y 6= X ∩ Y .
9) Mostre que se X ⊂ Y então X ⊂ Y .
10) Mostre que se limxn = a e X = {x1, x2, ..., xn, ...}, então X = X ∪ {a}.
11) Prove que um conjunto A ⊂ R é aberto se, e somente se, A ∩X ⊂ A ∩X, para todo X ⊂ R.
12) Prove que se F é fechado e A é aberto então F −A é fechado.
13) Prove que se X é um conjunto limitado superiormente, então X também é e, além disso, supX = supX. Enuncie e prove
um resultado análogo para o ı́nfimo.
14) Prove que, para todo X ⊂ R, tem-se X = X ∪ X ′. Conclua que X é fechado se, e somente se, contém todos os seus
pontos de acumulação.
15) Prove que se todos os pontos do conjunto X ⊂ R são isolados então pode-se escolher, para cada x ∈ X, um intervalo
aberto Ix, de centro x, tal que x 6= y ⇒ Ix ∩ Iy = ∅.
16) Prove que, para todo X ⊂ R, o conjunto X ′ é fechado.
17) Prove que todo ponto de um conjunto aberto A é ponto de acumulação de A.
18) Prove que uma reunião finita e uma interseção arbitrária de conjuntos compactos é um conjunto compacto.
19) Prove que se X é compacto, então os seguintes conjuntos também são compactos:
(a) S = {x+ y;x, y ∈ X};
(b) D = {x− y;x, y ∈ X};
(c) P = {x.y;x, y ∈ X};
(d) Q = {x/y;x, y ∈ X}, se 0 /∈ X.
20) Uma famı́lia de conjuntos (Kλ)λ∈L chama-se uma cadeia quando, para quaisquer λ, µ ∈ L tem-se Kλ ⊂ Kµ ou Kµ ⊂ Kλ.
Prove que se (Kλ)λ∈L é uma cadeia de conjuntos compactos não vazios, então a interseção K =
⋂
λ∈L
Kλ é não vazia (e
compacta).
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