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1 ANÁLISE REAL 1 SUMÁRIO NOSSA HISTÓRIA ................................................................................................................................ 2 1. NÚMEROS REAIS .................................................................................................................. 3 1.1 Teoria dos Conjuntos.................................................................................................... 3 1.1.2 Conjunto Vazio ......................................................................................................... 3 1.1.2 Subconjunto .............................................................................................................. 4 1.1.3 Operações entre conjuntos ..................................................................................... 4 1.1.4 Conjuntos Complementares .................................................................................... 5 1.1.5 Relações Binarias .................................................................................................... 6 1.3 Supremo e Intimo........................................................................................................... 9 2. NOÇÕES DE TOPOLOGIA ..................................................................................................13 3. SEQUÊNCIA NUMÉRICA .....................................................................................................14 3.1 Convergência de Sequência Numérica ....................................................................17 3.2 Calculando o Limite da Sequência ............................................................................17 3.3 Sequência Monótona ...................................................................................................21 3.4 Sequência Limitada ......................................................................................................22 3.5 Sequência Monótona e Limitada ...............................................................................23 4. SÉRIE NUMÉRICA ................................................................................................................27 4.1 Série de Convergência .................................................................................................27 4.2 Série Telescópica..........................................................................................................28 4.3 Série Harmônica ............................................................................................................29 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA .................................................................................................30 2 NOSSA HISTÓRIA A nossa história inicia com a realização do sonho de um grupo de empresários, em atender à crescente demanda de alunos para cursos de Graduação e Pós-Graduação. Com isso foi criado a nossa instituição, como entidade oferecendo serviços educacionais em nível superior. A instituição tem por objetivo formar diplomados nas diferentes áreas de conhecimento, aptos para a inserção em setores profissionais e para a participação no desenvolvimento da sociedade brasileira, e colaborar na sua formação contínua. Além de promover a divulgação de conhecimentos culturais, científicos e técnicos que constituem patrimônio da humanidade e comunicar o saber através do ensino, de publicação ou outras normas de comunicação. A nossa missão é oferecer qualidade em conhecimento e cultura de forma confiável e eficiente para que o aluno tenha oportunidade de construir uma base profissional e ética. Dessa forma, conquistando o espaço de uma das instituições modelo no país na oferta de cursos, primando sempre pela inovação tecnológica, excelência no atendimento e valor do serviço oferecido. 3 1. NÚMEROS REAIS 1.1 Teoria dos Conjuntos Recebe o nome de conjunto toda e qualquer coleção de elementos. Estes elementos não se limitam a números, pode ser pessoas, figuras, animais, qualquer tipo de objeto e etc. Relação de Pertinência é como é chamado a relação básica entre um conjunto e o elemento. Se um elemento pertence a um conjunto A, dizemos então que x pertence a A. Quando x não eh um elemnto desse conjunto, dizemos então que x não pertence a A. Para estabelecer uma definição dos elementos com seus conjuntos, a forma mais fácil e utilizar as propriedades comuns para todos os elementos. 1.1.2 Conjunto Vazio O conjunto vazio eh representado por uma propriedade onde não eh possível gerar elementos. 4 Qualquer elemento de A pertence aos naturais, porém não podemos dizer que nos naturais existem números entre 1 e 2. 1.1.2 Subconjunto Os elementos de A no assunto anterior então nos números naturais, dizemos então que A eh um subconjunto dos Naturais, ou seja, A eh um subconjunto dos naturais, ou seja A está contido no conjunto N. 1.1.3 Operações entre conjuntos União de Conjuntos: Dizemos que a união de conjuntos é quando juntamos dois elementos. Representação da união no Diagrama de Venn Figura 1: União de Conjuntos. Fonte: (LESSA, SD). 5 Interseção de conjuntos: A interseção apresenta os elementos comuns entre os dois conjuntos. Figura 2: Interseção de conjuntos. Fonte: (LESSA, SD). 1.1.4 Conjuntos Complementares A diferença entre dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. 6 Figura 3: Diagrama de Venn. Fonte: (LESSA, SD). 1.1.5 Relações Binarias Supondo que o conjunto A = {1,2} e B = {3,4,5}, co A, B ⊂ ℕ. Sendo o produto cartesiano de A x B. 7 Figura 4: Representação no plano cartesiano. Fonte: (LESSA, SD). Sugestão da Professora! Realize os exercícios no link abaixo. https://www.infoescola.com/matematica/teoria-dos-conjuntos/exercicios/ 8 Corpos Seja K um conjunto munido de duas operações, denotadas por “+” e “.”. Diz-se (K,+,.) eh um corpo se satisfazer as condições seguintes: Figura 5: Corpos. Fonte: (TERRA, SD). Figura 6: Corpos. Fonte: (TERRA, SD). Figura 7: Corpos. Fonte: (TERRA, SD). 9 1.2 Desigualdades 1.3 Supremo e Intimo O objetivo agora é introduzir os conceitos de supremo e intimo em ℝ. Ambos são similares, então abaixo segue as noções de supremo. Figura 8: X é um subconjunto de ℝ. Fonte: (BUSS, 2012). Figura 9: Em ℝ são equivalentes. Fonte: (BUSS, 2012). DICA! Clique aqui para uma sula sobre corpos ordenados. https://www.youtube.com/watch?v=RNeTdxrOTMk 10 Figura 10: Em ℝ são equivalentes. Fonte: (BUSS, 2012). Figura 11: X ⊂ ℝ um conjunto limitado superiormente. Um elemento b ∈ ℝ eh dito supremo de X, se valem: Fonte: (BUSS, 2012). Geometricamente temo a visualização da caracterização do supremo. 11 Figura 12: Caracterização do supremo. Fonte: (BUSS, 2012). Na linguagem coloquial S.1’ – b é cota superior de X. S.2’ é qualquer numero menor que b não é cota superior de X. Figura 12: Seja Y ⊂ ℝ um conjunto limitado inferiormente. Um elemento a ∈ ℝ é dito infinito de Y. Fonte: (BUSS, 2012). Figura 13: Representação geométrica. Fonte: (BUSS, 2012). 12 Figura 14: Não existe um número racional p tal que 𝑝2 = 2. Fonte: (BUSS, 2012). DICA! Vídeo aula sobre Supremo e Intimo. https://www.youtube.com/watch?v=NhNrwGe35G8 13 2. NOÇÕES DE TOPOLOGIA Para Camargo, “O conceito de espaço topológico nasceu do estudo da reta real, espaço euclidiano e funções contínuas aplicadas sobre esses espaços. Definiremos espaço topológico e estudaremos algumas formas de se construir uma topologia sobre um conjunto” (CAMARGO, 2013, p. 1). Uma topologia sobre um conjunto X é uma coleção τ de subconjuntos de X tendo s propriedades abaixo. Figura 15: Propriedades. Fonte: (CAMARGO, 2013). O conjunto X nessas condições, é chamado de espaço topológico. DICA! Uma sugestão de aula para ampliar os conhecimentos em topologia. https://www.youtube.com/watch?v=AzY7-B-O_zA 14 3. SEQUÊNCIA NUMÉRICA Uma sequência numérica é uma sucessão de números. Denicol, Schneider e Andrade expressam que, “Ela pode ser pensada como uma lista de números escritos em um ordem definida a1, a2, a3, . . . , an, . . . .” . Os valores atribuídos para a, são os termos da sequência. Uma sequência de números reais (𝑎𝑛) é uma função a : N → R que associa a cada número natural n um número real 𝑎𝑛. Figura 16: Exemplo. Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). Obs: Em algumas ocasiões e favorável que o primeiro termo seja dado por 𝑎0. Sendo a sequência será, 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2 … 15 Figura 17: Solução Letra A. Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). Figura 18: Solução Letra B. Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 16 Figura 19: Solução Letra C. Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). Figura 20: Solução Letra D. Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 17 3.1 Convergência de Sequência Numérica São ditas como convergência as sequencias que os termos se aproximam de um valor limite, quando não possuem limite são ditas como divergência. Figura 21: Definição de sequência convergente. Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 3.2 Calculando o Limite da Sequência As sequências são funções reais cujo domínio está restrito ao inteiros positivos. Abaixo algumas propriedades. Figura 22: Regras da soma e diferença. Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 18 Figura 22: Regra do produto e quociente. Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). Figura 23: Teorema para convergência de sequência numérica. Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). Figura 24: Aplicação da regra de L’Hospital. Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 19 Figura 25: Exemplos. Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). Figura 26: Solução de a e b. Fonte: (CAMARGO, 2013). 20 Figura 27: Solução de c e d. Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). Figura 28: Teorema do Confronto. Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 21 3.3 Sequência Monótona Uma sequência é denominada não decrescente se, para todo numero natural. Uma sequência é denominada crescente se, para todo número natural. Uma sequência é denominada não crescente se, para todo o número natural. Uma sequência é denominada decrescente se, para todo número natural. Uma sequência é denominada monótona se for não crescente ou não decrescente. Figura 29: Exemplo. Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). Dica! Um pouco mais sobre a sequência numérica. https://www.youtube.com/watch?v=FPkxy_6wQug 22 Figura 30: Solucao a e b. Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). Figura 31: Solução c. Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 3.4 Sequência Limitada Uma sequência é limitada se existe um número real positivo M tal que |𝑎𝑛| ≤ 𝑀, ∀𝑛 ∈ ℕ. O numero M é chamado de cota superior da sequencia. 23 Figura 32: Sequência convergente limitada. Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 3.5 Sequência Monótona e Limitada Toda sequencia Monótona e limitada é convergente. 24 Figura 33: Sequência monótona limitada e convergente. Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). Figura 34: Exemplo. Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). 25 Figura 35: Solução a. Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). Figura 36: Solução b. Fonte: (DENICOL, SCHNEIDER, ANDRADE, 2017). Obs: Seja n um inteiro positive, então n fatorial é definido por 𝑛! = 1𝑥2𝑥3𝑥 … 𝑥(𝑛 − 1). 𝑛. Zero fatorial é, por definição, igual a 1, isto é, 0! = 1 26 Dica! Um pouco sobre sequência monótona. https://www.youtube.com/watch?v=Pqag0n6lCgM 27 4. SÉRIE NUMÉRICA A operação da adição e soma é inicialmente definida como a aplicação que a cada par de números reais faz corresponder com um número real, de acordo com determinadas regras. A definição de soma de um numero finito de parcelas é feita por recorrência. Figura 37: Soma de número finito. Fonte: (CERCOMP, 2004). 4.1 Série de Convergência Seja dada uma sucessão numérica, que é chamada de serie gerada por 𝑎𝑛 a sucessão 𝑆𝑛 definida do modo seguinte: Figura 38: Série. Fonte: (CERCOMP, 2004). A serie ∑ 𝑎𝑛 diz – se convergente se existir e for finito o limite. 28 lim 𝑛→ + ∞ 𝑆𝑛 = lim 𝑛→+∞ ∑ 𝑎𝑛 ∞ 𝑛=1 Se este limite não existir ou não for finito a série é divergente. S = lim 𝑛→+∞ 𝑆𝑛 = ∑ 𝑎𝑛 ∞ 𝑛=1 Em caso de convergência chama-se soma da série ao valor, S, do limite, isto é: 𝑆 = lim 𝑛→ + ∞ 𝑆𝑛 = ∑ 𝑎𝑛 ∞ 𝑛=1 Figura 39: Exemplo. Fonte: (CERCOMP, 2004). 4.2 Série Telescópica A soma da série telescópica é sempre 1. Elas geralmente são resolvidas em frações parciais. 29 Figura 40: Telescopica. Fonte: (CERCOMP, 2004). 4.3 Série Harmônica A soma dos termos da sequência geométrica 1, 2, 4, 8,... é um bom exemplo de uma série divergente. Por outro lado, a seqüência geométrica dos inversos desses números, ou seja, 1, 1/2, 1/4, 1/8,... constitui uma seqüência cuja soma das parcelas converge para o número dois. Tal convergência pode ser verificada da seguinte forma: se chamarmos de S a soma de todos os termos da seqüência, poderemos dizer que 2S = 2 (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +...) ou ainda que 2S = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 +... Desse resultado, concluímos que 2S = 2 + S, ou seja, que S= 2. DICA! Vídeo aula de serie telescópica. https://www.youtube.com/watch?v=42v_XmuZGJA Dica! Aprenda um pouco mais sobre serie harmônica matemática. https://www.youtube.com/watch?v=jLRGg9V7pWM 30 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA LESSA, Jose Roberto. Info Escola. Sem data. Teoria dos conjuntos. Disponível em: <https://www.infoescola.com/matematica/teoria-dos- conjuntos/#:~:text=Existem%20alguns%20conjuntos%20que%20s%C3%A3o,1%2C 5%2C%20por%20exemplo.>. Acesso em: 16/08/2020. BUSS, Mirian; Goncalvez, Daniel. Elementos da Analise. Universidade Federal de Santa Catarina. 2012. Disponível em: <http://mtm.ufsc.br/~daemi/Cursos%20Ministrados/Int_Analise/Livro/Elementos%20d a%20An%E1lise%20-%20Versao%20Preliminar.pdf>. Acesso em: 16/08/2020. CAMARGO, Fabio Augusto. Introdução a Topologia. Universidade Federal de São Carlos. 2013. Disponível em: <https://www.dm.ufscar.br/dm/index.php/component/attachments/download/22>. Acesso em: 16/08/2020. DENICOL, Barbara; SCHNEIDER, Cinthya Maria; ANDRADE, Cristina. Sequencias Numéricas. Editora da furg. 2017. Disponível em: <https://lemas.furg.br/images/seq2311.pdf>. Acesso em: 16/08/2020. https://www.infoescola.com/matematica/teoria-dos-conjuntos/#:~:text=Existem%20alguns%20conjuntos%20que%20s%C3%A3o,1%2C5%2C%20por%20exemplo. https://www.infoescola.com/matematica/teoria-dos-conjuntos/#:~:text=Existem%20alguns%20conjuntos%20que%20s%C3%A3o,1%2C5%2C%20por%20exemplo. https://www.infoescola.com/matematica/teoria-dos-conjuntos/#:~:text=Existem%20alguns%20conjuntos%20que%20s%C3%A3o,1%2C5%2C%20por%20exemplo.
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