Linearização de Sistemas - Modelagem

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UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI 
INSTITUTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
Engenharia Química 
 
 
 
Bianca Magalhães Benevides 
Camila Eduarda Oliveira 
Renan de Sousa Santos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Linearização de Sistemas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diamantina 
2022 
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Engenharia Química 
 
 
 
 
Bianca Magalhães Benevides 
Camila Eduarda Oliveira 
Renan de Sousa Santos 
 
 
 
 
 
 
Extração contínua multiestágios 
 
 
Relatório de Atividades apresentado ao 
Curso de Engenharia Química, como parte 
dos requisitos exigidos para a disciplina 
Modelagem e Simulação de Processos 
Químicos. 
 
Orientadora: Anamaria de Oliveira 
Cardoso 
 
 
 
 
 
 
 
Diamantina 
2022 
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Engenharia Química 
 
1. Introdução 
 
 Segundo Fogler (2009), reatores são definidos como equipamentos utilizados para 
realizar reações químicas que oferecem a possibilidade de controlar o processo. Existem 
reatores do tipo Batelada (descontínuo), CSTR (contínuo de mistura perfeita) e PFR 
(pistonado), e a escolha criteriosa de que tipo de reator é o ideal para dado processo, pode 
resultar em um grande lucro ou um grande prejuízo para a indústria. (FOGLER, 2009) 
 Para o trabalho em questão, iremos abordar o reator contínuo de tanque agitado 
(CSTR), que é considerado um reator de mistura perfeita (o produto na saída do reator 
tem a mesma composição da mistura reacional do interior) e normalmente é operado no 
estado estacionário. Uma das principais vantagens do uso desse tipo de reator são os 
baixos custos de operação. (NOGUEIRA, 2011) 
 A utilização de métodos matemáticos é de grande importância para a indústria, 
pois através deles é possível simular, com um custo muito baixo e de forma segura, o 
funcionamento de equipamentos caros e complexos, como é o caso dos reatores químicos. 
No presente relatório será feita uma simulação para um reator CSTR que possui 
um modelo não-linear, concentrado e dinâmico. A representação esquemática do processo 
está disposta na Figura 1 a seguir: 
 
Figura 2 - Representação esquemática de um reator CSTR 
 
Fonte: Autores, 2022. 
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2. Objetivos 
 
O presente relatório tem como objetivo determinar a influência dos parâmetros de 
operação em um sistema na qualidade da aproximação linear do modelo deste em torno 
do estado estacionário. 
 
3. Metodologia 
 
 Consideramos um reator CSTR com uma única entrada e única saída, como 
mostrado na figura 1, em que ocorrem as seguintes reações em série-paralela: 
 
Figura 2 – Representação esquemática de entrada e saída de um reator CSTR 
 
 
 
Sendo: A – Cyclopentaddiene; B – Cyclopentenol; C – Cyclopentanediol; D – 
Dicyclopendtadiene. 
Com base nisto, foi adotada as seguintes hipóteses: 
 O reator é perfeitamente misturado 
 O sistema é isotérmico; 
 Não há variação do volume durante o processo; 
 𝐹/𝑉 é a taxa de diluição, na qual V é o volume do reator e F a vazão de entrada, sendo 
essa mantida na mesma proporção da vazão de saída; 
 O produto desejado é o B, logo as taxas de formação de para os subprodutos C e D são 
desprezadas. 
Como dito, o produto desejado na reação é a espécie B, produto intermediário na 
reação primária, o que aumenta a dificuldade de controle. As taxas de formação de A e B 
são assumidas como o mostrado na equação 1 e 2: 
 
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(1) 
 
(2) 
 
 
Onde k1, k2, k3 são as constantes de velocidade de reação. A corrente de 
alimentação consiste em A puro. Os balanços de massa para A e B são dados pelas 
equações 3 e 4: 
 
(3) 
 
(4) 
 
Os parâmetros do reator são mostrados na tabela 1. 
 
Tabela 1: Parâmetros do reator. 
 
 
Fonte: Autores, 2022. 
 
 Para a linearização do sistema, primeiramente teve-se que identificar no 
equacionamento os vetores de estado e de entrada. Feita essa análise, foi definido que o 
vetor de estado é dado por x = [CA CB]
T e o vetor de entrada u = [F/V CAf]
T sendo essas 
variáveis manipuladas. O vetor d, que representa a perturbação, foi dado por [K3]. 
As matrizes A, B e E de linearização encontradas para o sistema foram: 
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Para linearizar o nosso sistema devemos fazer: 
 
Assim encontramos: 
 
 
Ao derivar o sistema temos: 
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 Com as matrizes feitas, foi implementado no Scilab um modelo que permitiu a 
visualização gráfica da linearização do sistema, bem como o efeito que a variável 
perturbação exerce no mesmo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Resultados e discussão 
 
Após a implementação do código, nos foi retornada os gráficos de Ca e Cb em relação 
ao tempo representados pelo gráfico 1 e 2 a seguir: 
 
Gráfico 1 - Concentração de A pelo tempo sem perturbação. 
 
 
Gráfico 2 - Concentração de B pelo tempo sem perturbação. 
 
 
Fonte: Autores, 2022. 
 
Pelo resultado retornado pelo modelo, fica nítido que a linearização é uma boa 
aproximação, principalmente para o gráfico de Ca. Para o gráfico de Cb, vemos uma 
aproximação menos precisa da linearização, porém ambos os comportamentos são iguais 
e atingem o mesmo estado estacionário. 
Ambos os comportamentos fazem total sentindo quimicamente falando, pois 
vemos a concentração do composto A, a ser consumida com o decorrer do tempo e 
consequentemente, vemos o aumento da concentração do composto B, que antes de 
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alcançar o estado estacionário, é ligeiramente consumido para a formação do composto 
C. 
Escolheu-se K3 como sendo a variável perturbação, pois essa é a constante de velocidade 
para a formação do composto A em D. Como nosso produto de interesse é o B, quando 
mais D formado, menos B será gerado na reação, tornando ela inviável. 
 No gráfico que foi retornando conseguimos ver perfeitamente isso, vemos que a 
diferença na linearização no gráfico de Cb (gráfico 4) aumentou, e isso se deve ao fato da 
perturbação de +50% ter sido aplicada ao sistema, fazendo com que o comportamento de 
Ca (gráfico 3) continuasse o mesmo pois ele continua formando B e D, mas em 
contrapartida a concentração de B é reduzida, uma vez que aumentando K3 a produção do 
composto D é otimizada. 
 
Gráfico 3 - Concentração de A pelo tempo com perturbação +50%. 
 
 
 
Gráfico 4 - Concentração de B pelo tempo com perturbação +50% 
 
Fonte: Autores, 2022. 
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 Vemos agora com uma perturbação de -50% exatamente o oposto do que vimos 
anteriormente, a linearização de Cb, exibida no gráfico 6, está mais aproximada pelo fato 
da formação do mesmo está sendo otimizada e o componente A representado no gráfico 
5, sendo consumido de forma um pouco mais lenta. 
 
Gráfico 5 - Concentração de A pelo tempo com perturbação -50%. 
 
 
 
Gráfico 6 - Concentração de B pelo tempo com perturbação -50%. 
 
 
Fonte: Autores, 2022. 
 
 Ao se variar as variáveis manipuladas definidas no neste estudo (F/V CAf vimos 
que a linearização não muito bem ajustada devidoà importância efetiva dessas variáveis 
para todo o sistema, e por esse motivo foram criadas as hipóteses no início da 
metodologia. 
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5. Conclusão 
 
 De acordo com o estudo e a análise feita, conclui-se que para avaliar se um modelo 
linearizado possui boa aproximação, é preciso avaliar os dois modelos em relação ao 
estado estacionário e o comportamento dinâmico. Isso foi feito através dos gráficos 
retornados pela simulação, tornando possível a visualização e comprovação de que o 
comportamento dos modelos até atingir o estado estacionário são semelhantes. 
Além disso, o estado estacionário atingido pelo modelo linearizado é bem próximo ao 
mesmo atingido pelo modelo não linearizado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. Referências 
 
FOGLER, H. S. Elementos de engenharia das reações químicas. 4ª ed. Rio de Janeiro, 
LTC, 
2009. 
 
SUJA MALAR, R. M. THYAGARAJAN, T. Modelling of continuous stirred tank reactor 
using artificial intelligence techniques. International Journal of Simulation Modeling, 
volume 8, p. 145-155, 2009. 
 
NOGUEIRA, A. L. Modelagem matemática e simulação numérica de um sistema 
reacional composto por reatores tipo tanque agitado e tubular em processos de 
polimerização. Campinas, SP: [s.n.], 2001.