Corpos redondos

Prévia do material em texto

Matemática 
Corpos Redondos 
 
❖ Esfera 
A esfera é possivelmente o sólido mais conhecido de todos na geometria espacial. Está 
intensamente presente no nosso cotidiano, desde a bola utilizada nos jogos de futebol 
mundo afora até o próprio formato do nosso planeta! 
 Definição: Seja um ponto 𝑂 qualquer no espaço e uma distância R considerada. Uma 
esfera é o conjunto de todos os pontos cuja distância até o ponto 𝑂 seja no máximo 𝑅. 
OBS: O ponto 𝑂 é chamado de centro da esfera e a distância 𝑅 é o seu raio. 
Definição 2: Seja um ponto 𝑃 qualquer no espaço e considere um ponto 𝑂 como o 
centro de uma esfera de raio 𝑅. Se a distância entre 𝑃 e 𝑂 for menor que 𝑅, 𝑃 é 
interior à esfera. 
Definição 3: Seja 𝑃 um ponto qualquer no espaço e considere um ponto 𝑂 como o 
centro de uma esfera de raio 𝑅. Se a distância entre 𝑃 e 𝑂 for maior que 𝑅, 𝑃 é 
exterior à esfera. 
Dúvida: Mas e o caso do ponto 𝑃 citado estiver exatamente na mesma distância 𝑅 do 
centro da esfera? Neste caso, ele pertence à superfície da esfera. Ela (também 
chamada de superfície esférica) nada mais é do que o conjunto de todos os pontos no 
espaço que estão à distância 𝑅 do centro da esfera. E é justamente na superfície 
esférica que estamos interessados no momento: sua área vai determinar a área da 
esfera como um todo. Para calcular a área da esfera de raio 𝑅, fazemos uso da 
seguinte equação: 
𝐴𝑒𝑠𝑓 = 4𝜋R² 
Uma vez determinada a área, para calcular o volume ocupado pela esfera, utilizamos a 
equação abaixo: 
𝐴𝑒𝑠𝑓 = 4/3𝜋R³ 
Exercício Resolvido: 
 Uma esfera de raio 𝑅 possui uma área esférica 𝐴 e um volume 𝑉. Se dobrarmos o 
valor do seu raio, quanto que a área e o volume serão aumentados? 
Resolução: 
Note que essa esfera de raio 𝑅 possui as seguintes equações associadas: 
𝐴𝑒𝑠𝑓 = 4𝜋R² 
 
𝐴𝑒𝑠𝑓 = 4/3𝜋R³ 
Se dobrarmos o seu raio (denotando o novo raio como 𝑅’ = 2𝑅), teremos: 
𝐴′ = 4𝜋𝑅′²= 4𝜋(2𝑅)² = 4.4𝜋𝑅² = 4.A 
V′ = 4/3𝜋𝑅′³ = 4/3𝜋(2𝑅)³ = 8.4/3𝜋𝑅³ = 4.V 
❖ Cone 
Tirando a bolinha colorida no topo desse chapéu, ele tem o formato de um cone. 
Definição: Considere um plano α que contenha um círculo C e um ponto 𝑃 fora de α. 
Dizemos que um cone é um sólido formado pela união entre os segmentos de reta que 
partem do círculo e chegam até 𝑃. 
Obs.: O círculo do cone contido no plano é chamado de base e o ponto 𝑃 é chamado 
de vértice. 
Na figura. Como a base do cone é um círculo, ela possui um raio 𝑅 
associado. Além disso, o segmento de reta perpendicular que une o vértice à um 
ponto da base é chamado de altura ℎ do cone. Por fim, os segmentos de reta que 
unem o vértice a um ponto na circunferência da base são chamados de geratrizes, 
denotadas abaixo por 𝑔. 
 
 
 
 
TIPOS DE CONE : 
Os cones podem ser classificados em retos, quando o segmento de reta que une o 
vértice e o centro da base é perpendicular ao plano, e oblíquos no caso deste 
segmento de reta não ser perpendicular ao plano. Observe na ilustração abaixo estes 
dois tipos de cones. 
 
 
 
PERÍMETRO E ÁREA DO CONE : 
O perímetro da base é o perímetro de um círculo: 
P base = 2𝜋𝑅 
A área da base é dada pela seguinte equação: 
A base = 𝜋𝑅² 
Na figura abaixo, ao “retirarmos” a lateral do cone e colocarmos sobre um plano, vemos 
que ela possui um formato de um setor circular com um ângulo α associado (em graus). 
Perceba também que o comprimento do arco desse setor circular é exatamente igual 
ao perímetro da base, ou seja, de 2𝜋𝑅. 
 
Sabendo disso, podemos agora calcular a área lateral do cone, que nada mais é do que 
a área deste setor circular: 
360° − 𝜋𝑅² 
𝛼 – 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎l 
Temos então: 
𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎l = ( Alfa/360°) . 𝜋𝑅² 
 
A área total do cone é a soma da área lateral encontrada com a área da base: 
𝐴 𝑐𝑜𝑛𝑒 = 𝐴 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 + 𝐴 base 
O volume do cone é calculado de forma igual no caso da pirâmide: 
V = ⅓ A base.h 
Exercício Resolvido: 
Calcule o valor da geratriz de um cone equilátero de volume 15𝜋 𝑐𝑚³ e altura 5 𝑐𝑚. 
Resolução: 
Para calcular o valor da geratriz do cone equilátero, basta encontrarmos primeiro o 
valor do raio de sua base. Como o exercício nos forneceu seu volume, temos: 
V = ⅓ A base.h 
15𝜋 = ⅓𝜋. 𝑅².5 
45 = 𝑅².5 
𝑅² = 9 
𝑅 = 3 
Logo, com o valor do raio, calculamos sua geratriz: 
𝑔 = 2 . 𝑅 
𝑔 = 2 . 3 
𝑔 = 6 𝑐m 
TRONCO DE CONE: 
Observe a figura abaixo, a qual ilustra-se um cone de altura 𝐻 e raio da base 𝑅. 
 
O tronco de cone é o sólido que resta ao realizarmos um “corte” na seção transversal 
do cone “inteiro”. Este corte separa o tronco (parte de baixo) e um novo cone (parte de 
cima). Na figura abaixo, é representada o tronco de pirâmide obtido quando realizamos 
este corte na pirâmide da imagem anterior. 
 O novo cone e o cone maior anterior possuem algumas relações entre si: 
Onde 𝐴𝑏 é a área da base do cone menor e 𝐴𝐵 é a área da base do tronco (que coincide 
com a área da base do cone maior, anterior ao corte). Além disso, 𝑉𝑝 é o volume do 
cone menor e 𝑉𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 é o volume do cone maior (antes do corte). 
Vamos examinar com mais detalhes a forma do tronco de cone. Representamos algumas 
grandezas importantes na figura abaixo. 
 
Denotamos como ℎ𝑇 a altura do tronco de cone, 𝑅 como o raio da base “maior” e 𝑟 
como o raio da base “menor”. Além disso, este tronco possui uma geratriz que 
chamamos de 𝑔𝑇. Observe na figura abaixo que a lateral do tronco de cone é formada 
por uma coroa circular onde a circunferência de “dentro” possui raio 𝑟 e circunferência 
de “fora” possui raio 𝑅: 
Assim, para calcular a área lateral do tronco de cone, utilizamos a seguinte relação: 
𝐴 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝜋.(𝑟 + 𝑅)𝑔t 
Além disso, a área total do tronco é a soma da área lateral com as áreas das duas bases 
(de baixo e de cima): 
𝐴 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 = 𝐴 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 + 𝐴𝑏 + 𝐴B 
Por fim, o volume deste sólido, o tronco de cone possui um volume que pode ser 
calculado como o volume do cone total (antes do “corte” do tronco) subtraído do 
volume do cone menor obtido: 
𝑉𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 = 𝑉𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 – 𝑉p 
Calcula-se, através de algumas deduções, o volume do tronco de cone e chegamos no 
seguinte resultado: 
𝑉𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 = ht/3 . (Ab + {raíz Ab . AB} + AB) 
 Exercício Resolvido: 
Considere um cone qualquer de volume igual a V. Se fizermos um corte na seção 
deste cone exatamente na metade da sua altura, qual será o volume do tronco de 
cone obtido após este corte? 
Resolução: 
Antes de calcular o volume do tronco de cone, sabemos que o volume do cone 
menor e do cone total se relacionam com a altura através da seguinte fórmula: 
 
 
Como a altura do cone menor é exatamente a metade da altura do cone total, temos: 
 
 
Como o corte foi feito exatamente na metade da altura do cone maior, o cone menor possui 
apenas um oitavo do volume do cone maior. 
Assim, calculamos o volume do tronco de cone: 
 
 
 
 
❖ Cilindro 
O cilindro é o nosso próximo objeto de estudo, e vamos começar definindo como 
identificamos que um determinado sólido é, de fato, um cilindro. 
 
Definição 1: Considere dois planos paralelos e uma reta secante entre os mesmos. 
Considere ainda dois círculos, um deles contido no primeiro plano e o outro no 
segundo plano. Um cilindro é o sólido formado pelo conjunto de todos os segmentos 
de reta paralelos à reta secante, com extremidades nos dois círculos 
correspondentes. 
A região compreendida entre as bases do cilindro é a sua lateral. Além disso, o 
segmento de reta perpendicular entre as bases é a altura do cilindro, representada pela 
variável ℎ na figura abaixo. Por fim, como cada base é um círculo, elas possuem um raio 
𝑅 associado. 
 
 
Os cilindros podem ser classificados em retos, quando sua altura é paralela ao eixo 
central do cilindro, e oblíquos, quando sua altura não é paralela ao eixo central do 
cilindro. Observea figura abaixo, que mostra a diferença entre os dois tipos de cilindros. 
 
O perímetro da base é o perímetro de um círculo: 
𝑃𝐵=2𝜋𝑅 
A área da base correspondente à seguinte equação: 
𝐴𝐵=𝜋𝑅² 
Note na figura abaixo que, ao “retirarmos” a lateral do cilindro e colocarmos sobre um 
plano, vemos que ela é um retângulo de lados ℎ (altura do cilindro) e 2𝜋𝑅 (perímetro 
do cilindro): 
 
ÁREA E VOLUME: 
Logo, podemos calcular a área lateral do cilindro como sendo a área desse retângulo: 
𝐴𝑙 =2𝜋𝑅.ℎ 
A área total do cilindro, então, é obtida pela soma das áreas das bases com a área 
lateral. 
𝐴=2.𝐴𝐵+ 𝐴l 
O volume deste sólido é calculado da mesma forma que no caso dos prismas, ou seja, 
é o produto da área da base com a sua altura: 
𝑉=𝐴𝐵.ℎ 
𝑉=𝜋𝑅².ℎ 
 
TRONCO: 
Por fim, o sólido denominado tronco de cilindro. Ele é formado como 
o sólido “restante” de um corte feito transversalmente em um cilindro, de maneira que 
faça intersecção com a circunferência da base, conforme a figura abaixo mostra. 
 
Após este corte, o tronco de cilindro passa a ter diferentes “alturas”, denominadas 𝑎 e 
𝑏, representadas abaixo. 
 
O volume desse tronco de cilindro naturalmente, pode ser definido como o volume total 
do cilindro subtraído de seu volume descartado: 
𝑉𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 = 𝑉− 𝑉𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑑o 
O volume descartado é a subtração do cilindro de altura maior com o de altura menor, 
dividido por dois: 
Logo, calculamos o volume do tronco: 
 
 
Exercício Resolvido: 
Um cilindro equilátero possui 250𝝅 cm³ de volume. Calcule o valor da sua altura. 
Resolução: 
Primeiro, se o cilindro é equilátero, sabemos que o valor da sua altura é igual à do 
diâmetro da base: 
ℎ=2𝑅 (1) 
O exercício nos forneceu o valor de seu volume. Inserimos esta informação na 
equação do volume do cilindro: 
250𝜋=𝜋𝑅².ℎ (2) 
Substituindo (1) em (2): 
250𝜋=𝜋𝑅².(2𝑅) 
250𝜋=2𝜋𝑅³ 
𝑅³ =125 
𝑅=5cm 
Logo, como o raio da base equivale à 5 𝑐𝑚, temos como solução que a altura deste 
cilindro equilátero é de 10 𝑐𝑚.