Alexandre, Allione e Eduardo final

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MINISTÉRIO DO ENSINO SUPERIOR, CIÊNCIA, TECNOLOGIA E INOVAÇÃO 
ESCOLA SUPERIOR PEDAGÓGICA DO BIÉ 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXACTAS 
SECTOR DE MATEMÁTICA 
 
 
TÍTULO: Conjunto de exercícios para o desenvolvimento de habilidades no 
cálculo das derivadas nos alunos da 12ª classe Opcção Ciências Físicas e 
Biológicas na escola do II° Ciclo do Ensino Secundário Liceu “Rei Ndunduma”, 
Município do Cuito/Bié. 
 
(TRABALHO DE FIM DE CURSO PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE 
LICENCIADO EM CIÊNCIAS PEDAGÓGICAS NA OPÇÃO DE 
MATEMÁTICA) 
 
 
 
AUTORES: 
Alexandre Kawenha Vissapa Cassinda 
Allione Adriano Handa Francisco 
Eduardo Mateus Avelino 
 
(Versão final após a defesa) 
 
 
 
CUITO-ANGOLA, 2020 
 
 
 
 
 
MINISTÉRIO DO ENSINO SUPERIOR, CIÊNCIA, TECNOLOGIA E INOVAÇÃO 
ESCOLA SUPERIOR PEDAGÓGICA DO BIÉ 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXACTAS 
SECTOR DE MATEMÁTICA 
 
 
TÍTULO: Conjunto de exercícios para o desenvolvimento de habilidades no 
cálculo das derivadas nos alunos da 12ª classe Opcção Ciências Físicas e 
Biológicas na escola do II° Ciclo do Ensino Secundário Liceu “Rei Ndunduma”, 
Município do Cuito/Bié. 
 
(TRABALHO DE FIM DE CURSO PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE 
LICENCIADO EM CIÊNCIAS PEDAGÓGICAS NA OPÇÃO DE MATEMÁTICA) 
 
 
AUTORES: 
Alexandre Kawenha Vissapa Cassinda 
Allione Adriano Handa Francisco 
Eduardo Mateus Avelino 
 
 
TUTOR: MSc. Ezequias Adolfo Domingas Cassela. (Assistente) 
CO-TUTOR: MSc. Caíres Alberto Sassupe. (Prof. Auxiliar) 
 
 
 
CUITO-ANGOLA, 2020 
 
 
FICHA CATALOGRÁFICA 
 
Autores: 
CASSINDA, Alexandre Kawenha Vissapa 
FRANCISCO, Allione Adriano Handa 
AVELINO, Eduardo Mateus 
 
Título 
Conjunto de exercícios para o desenvolvimento de habilidades no cálculo das 
derivadas nos alunos da 12ª classe Opcção Ciências Físicas e Biológicas na escola do 
II° Ciclo do Ensino Secundário Liceu “Rei Ndunduma”, Município do Cuito/Bié. 
 
Trabalho de Fim de Curso para obtenção do grau de Licenciado em Ciências da 
Educação na Opção de Matemática. 
 
TUTOR: MSc. Ezequias Adolfo Domingas Cassela.(Assistente) 
CO-TUTOR: MSc. Caíres Alberto Sassupe. (Prof. Auxiliar) 
 
Palavras-chave: Processo de Ensino-Aprendizagem, derivadas, conjunto de 
exercícios, desenvolvimento de habilidades, cálculo; 
 
O presente trabalho contém (60) páginas. 
 
 
 
FICHA DE APROVAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
MINISTÉRIO DO ENSINO SUPERIOR, CIÊNCIA, TECNOLOGIA E INOVAÇÃO 
ESCOLA SUPERIOR PEDAGÓGICA DO BIÉ 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXACTAS 
SECTOR DE MATEMÁTICA 
Autores: 
CASSINDA, Alexandre Kawenha Vissapa 
FRANCISCO, Allione Adriano Handa 
AVELINO, Eduardo Mateus 
Tema: 
Conjunto de exercícios para o desenvolvimento de habilidades no cálculo das 
derivadas nos alunos da 12ª classe Opcção Ciências Físicas e Biológicas na escola 
do II° Ciclo do Ensino Secundário Liceu “Rei Ndunduma”, Município do Cuito/Bié. 
Objectivo geral: 
Elaborar um conjunto de exercícios para o desenvolvimento de habilidades no cálculo 
das derivadas nos alunos da 12ª classe Opcção Ciências Físicas e Biológicas na 
escola do II° Ciclo do Ensino Secundário Liceu “Rei Ndunduma”, Município do Cuito-
/Bié. 
Data de Aprovação__________/_____________/_______________ 
Data de aprovação __________/____________/___________ 
 
Corpo de júri 
Presidente: __________________________________________________ 
1.º Vogal: ____________________________________________________ 
2.º Vogal: ____________________________________________________ 
Secretário: ___________________________________________________ 
 
 
 
DEDICATÓRIA 
À minha namorada Laureta pelo amor, carinho e conselhos que tem me 
proporcionado para mim melhor viver a vida. E aos meus filhos, minha filha 
Alehandra e meu filho Fenislau que têm sido uma das minhas fontes de motivação 
para realizar este trabalho e aos meus queridos irmãos, que foram os mais 
prejudicados com a minha ausência durante os meus cincos anos de formação. 
Aos meus pais: Maurício Cassinda (em memória), João Tulumba e Sebastião 
Correia, a minha querida mãe Olga Vissapa, a minha avó, aos meus irmãos, família 
e amigos por tudo que têm feito por mim. 
O meu magnífico tutor, que sem medir o grau de dificuldades que podíamos 
enfrentar aceitou tutorar o presente trabalho, obrigado pela atenção, conselhos e 
entrega nesta difícil tarefa, que Deus o abençoe e ilumine o seu caminho. 
Aos meus colegas de luta, pelo amor e apoio, que me deram e para todos aqueles 
que directa ou indirectamente contribuíram para que este sonho se torna-se 
realidade. 
Alexandre Kawenha Vissapa Cassinda 
 
 
 
 
 
DEDICATÓRIA 
À minha mãe Noémia em particular e a família em geral, a minha mãe pois desde 
o princípio tem desempenhado o papel de mãe e pai ao mesmo tempo de forma 
incondicional pelo carinho, educação, amor, proteção e sustento, a minha família 
por fazerem parte da minha vida, em especial a minha amada filha Noêmia Chopeto 
Any que sempre foi minha motivação pra continuar nos momentos difícil que pensei 
desistir. 
A minha mãe Milhama que também sempre fez papel de mãe sempre que precisei, 
ao meu irmão Zé que tem sido não só irmão mais velho mas também pai ao mesmo 
tempo, ao meu irmão Agostinho Mussile José que também tem sido irmão e amigo 
a minha inspiração. 
 
 Allione Adriano Handa Francisco 
 
 
 
DEDICATÓRIA 
À minha mãe Marta Nahombo (em memória), pela educação, amor, carinho, 
dedicação e confiança que depositava em mim. Aos meus pais João Avelino e 
Idalina Eyala, pelo apoio incondicional em todas minha decisões, sustento e 
conselho, Aos meus pai Paulo Ferramenta e Victória Ferramenta. Ao meu irmão 
caçula Alberto (em memória), que sempre dizia ser como eu, a minha irmã Emiliana, 
Sara, Tetê, Fatima, Firmino e todos que não mencionei. 
Ao meu mestre, minha fonte de inspiração, Armando Ferramenta pela força e 
grande coração que tem, e sua esposa Arleth Loidh. Ao meu irmão Albertino, 
Gabriel Chivangulula e Salomão Daniel e a todos que me apoiaram nos meus 
estudos. 
 
 Eduardo Mateus Avelino 
 
 
 
 
 
AGRADECIMENTOS 
Primeiramente à Deus que nos deu saúde, força e coragem para que este trabalho 
fosse realizado. 
Ao nosso tutor Msc. Ezequias Adolfo Cassela e Co-tutor. Caíres Alberto Sassupe, 
que sempre nos estimularam com suas maneiras de ser. Para nós nossos 
encontros foram fantásticos, guiados de aprendizagem dia pós dia, aperfeiçoando 
assim os nossos conhecimentos na área da educação e a todos professores do 
curso de Matemática, que com sabedoria e delicadeza, guiaram-nos a trilhar este 
caminho do saber, fazendo assim com que este trabalho fosse realizado. 
Aos nossos saudosos pais, que sempre estiveram ao nosso lado, dirigindo o nosso 
pensamento a este lindo saber da matemática. Mãe, pai, jamais nos esqueceremos 
dos vossos sábios ensinamentos e conselhos desde pequenino, que desde então 
ensinavam-nos a contar e escrever os números dando-nos explicação de 
matemática. 
Aos nossos irmãos e amigos e em especial as nossas famílias que entenderam a 
nossa ausência durante esse todo tempo que estávamos a nos formar emigrando 
para outro lugar estando distante dos nossos pais. 
Às nossas companheiras, que forão capazes de suportar a nossa ausência e 
estimular-nos, de acordo as suas maneiras de ser, estar e agir perante aos desafios 
da vida. 
E aos nossos colegas que ajudaram-nos nessa longa caminhada que com certeza 
não foi fácil, apesar das dificuldades a nossa amizade prevaleceu ajudando uns 
aos outros neste triunfo individual numa luta colectiva. 
Os autores 
 
 
 
RESUMO 
A presente investigação refere-se ao Processo de Ensino-Aprendizagem (PEA) da 
Matemática, concretamente na abordagem relacionada com o desenvolvimento de 
habilidades no estudo das derivadas nos alunos da 12.ª Classedo Curso de 
Ciências Físicas e Biológicas da Escola do IIº Ciclo do Ensino Secundário “Liceu 
Rei Ndunduma”, Município do Cuito/Bié. A mesma tem como objectivo propor um 
conjunto de exercícios para o desenvolvimento de habilidades no cálculo das 
derivadas, nos alunos alvo do referido processo. Para a sua realização utilizou-se 
o modelo misto da investigação e do tipo descritivo, e para o alcance do objectivo 
definido fez-se o uso de um conjunto de métodos científicos entre eles os métodos 
teóricos: histórico-lógico, indutivo-dedutivo e o analítico-sintético. Além destes, 
utilizaram-se os métodos empíricos e técnicas: análise documental, inquérito aos 
alunos e aos professores, prova pedagógica e observação às aulas. A mesma foi 
encaminhada de modo a dar resposta ao problema científico determinado, tendo 
em conta as exigências que se manifestam nos documentos normativos da actual 
Lei de Bases do sitema Educativo angolano, tendo como premissa fundamental a 
concepção pedagógica que dá espaço ao papel protagónico do aluno na sua 
própria aprendizagem. A constatação do estado real do problema determinou-se 
através dos métodos estatísticos-matemáticos. 
 
 
ABSTRACT 
The present investigation refers to the Teaching-Learning Process (TLP) of 
Mathematics, specifically in the approach related to the development of skills in the 
study of derivatives in students of the 12th Class of the Physical and Biological 
Sciences Course at School of IIº Secondary Education Cycle “Liceu Rei 
Ndunduma”, Municipality of Cuito / Bié. It aims to propose a set of exercises for the 
development of skills in calculating derivatives, in the target students of the referred 
process. For its realization, the mixed model of investigation and descriptive type 
was used, and to achieve the defined objective, a set of scientific methods was 
used, among them the theoretical methods: historical-logical, inductive-deductive 
and the analytical-synthetic. In addition to these, empirical and technical methods 
were used: document analysis, inquiry to students and teachers, pedagogical test 
and observation to classes. It was addressed in order to respond to the determined 
scientific problem, taking into account the requirements that are manifested in the 
normative documents of the current Basic Law of the Angolan Educational system, 
having as a fundamental premise the pedagogical concept that gives space to the 
protagonist role of the student in your own learning. The verification of the real state 
of the problem was determined through statistical-mathematical methods. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÍNDICE Pág. 
INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 1 
CAPÍTULO I. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ....................................................... 7 
1.1 Enquadramento teórico do Processo de Ensino-Aprendizagem (PEA) à luz 
das tendências pedagógicas contemporâneas ................................................ 7 
1.1.1 Processo de Ensino-Aprendizagem da Matemática. Um olhar ao 
contexto angolano .......................................................................................... 11 
1.2 Desenvolvimento de habilidades no Ensino-Aprendizagem das derivadas
 ....................................................................................................................... 13 
1.2.1 Abordagem científica das derivadas ..................................................... 14 
1.3 Enquadramento teórico do conjunto de exercícios na aprendizagem da 
Matemática ..................................................................................................... 21 
CAPÍTULO II: ANÁLISE DOS RESULTADOS DO DIAGNÓSTICO E PROPOSTA
 ............................................................................................................................. 28 
2.1 Análises dos resultados do diagnóstico ................................................... 28 
2.2 Fundamentação da proposta ................................................................... 41 
2.3 Proposta de um conjunto de exercícios. .................................................. 44 
CONCLUSÕES GERAIS ...................................................................................... 59 
RECOMENDAÇÕES ............................................................................................ 60 
BIBLIOGRAFIA 
ANEXOS 
 
 
 
1 
 
INTRODUÇÃO 
A sociedade actual como nunca antes, enfrenta os desáfios que impõe o 
desenvolvimento científico-técnico o qual experimenta um ritmo de crescimento 
sem precedentes. Esta problemática transcende a escola, a qual tem entre os seus 
objectivos preparar as novas gerações para dar respostas as exigências actuais. 
Neste pensamento, é notória a chamada de atenção relativamente a 
responsabilidade da escola como espaço onde se garante a formação do homem, 
em primar por um processo de Ensino-Aprendizagem que esteja em altura das 
exigências actuais. 
Tal desiderato só será possível se a escola ajustar os programas curriculares, no 
sentido de se incluir novas formas de organização de um processo de Ensino-
Aprendizagem que abra a mente e que prepara os alunos para desenvolverem 
pensamentos lógicos e abstractos bem como a aplicação de conhecimentos 
científicos para a resolução de problemas de vida prática. 
O pensamento anterior está pautado na Lei de Bases do Sistema Educativo 
angolano, Lei nº 17/2016 de 7 de Outubro que faz mensão a perspectiva de formar 
um indivíduo capaz de compreender os problemas nacionais, regionais e 
internacionais de forma crítica e construtiva para a sua participação activa na vida 
social a luz dos princípios democráticos (Assembleia Nacional, 2016). 
Em concordância com as exigências estabelecidas pela nova Lei, vários autores 
têm conduzido várias investigações no sentido de se quebrar o paradigma 
tradicional do ensino para se dar espaço à um ensino que coloque em relevo o 
papel do aluno como um sujeito activo na investigação, no desenvolvimento das 
hipóteses e sua aplicação, na tomada de decisões bem como o seu compromisso 
pessoal com as posições críticamentes assumidas. 
Ao lado destes investigadores, os autores deste trabalho, tendo consciência da 
particular importância atribuída pela Lei de Bases do Ensino angolano ao ensino 
da Matemática como uma disciplina que contribui para o desenvolvimento do 
pensamento lógico do aluno, decidiram realizar esta investigação para quebrar com 
os paradigmas de um ensino da Matemática descontextualizado, revestido de 
padrões rotineiros que levam o aluno a aprender apenas pela reprodução e primar 
 
2 
 
por uma Matemática que relacione os conhecimentos aprendidos em sala de aula 
com o dia-a-dia do aluno. 
A ideia anterior é reforçada por Ferreira e Buriasco, (2016) que ao citarem 
Freudentthal, afirmam que “a Matemática deve ser conectada com a realidade, 
estar próxima dos alunos, ser relevante para a sociedade e ser de valor humano”. 
(p.241). 
Para os mesmos autores, a Matemática é uma actividade humana, onde os alunos 
devem ter a oportunidade guiada para reinventá-la, em lugar de serem 
considerados como receptores de uma Matemática já “pronta” e “acabada”. Por 
outro lado, argumentam que, se os alunos aprendem a Matemática de forma 
isolada, divorciada de suas experiências, ela será esquecida e não serão capazes 
de aplica-la. 
Nesta conformidade, de acordo com as ideias anteriores, os autores deste trabalho, 
olhando para o processo de Ensino-Aprendizagem da Matemática promovido na 
Escola Liceu “Rei Ndunduma”, Município do Cuito/Bié, notaram-se algumas 
dificuldades manifestadas fundamentalmente no Ensino-Aprendizagem das 
derivadas, facto que motivou a realização da presente investigação cujo foco 
principal é a contribuição para amelhoria do dito processo. 
Nesta perspectiva, os autores fazendo uma revisão das últimas investigações 
realizadas na Escola Superior Pedagógica do Bié, verificaram alguns temas 
relacionados com a presente investigação como as dos seguintes autores Benilde 
Tchissoca, Ermelinda Chicapa e Joaquim Chanica, (2017), que debruçaram-se 
sobre a interpretação do conceito da derivada de uma função num ponto, mas, 
entretanto, ainda determinadas abordagens relacionadas ao tema em questão, 
carecem de um nível de profundidade necessário para o desenvolvimento de 
habilidades requeridas. 
É assim que partindo de um contacto preliminar dos autores com o campo alvo 
desta investigação, concretamente os professores da disciplina, os alunos, bem 
como a observação de aulas e análise de alguns documentos normativos para o 
processo, constataram-se as seguintes dificuldades: 
 
3 
 
 Insuficiente conhecimento para o asseguramento do nível de partida no 
estudo das derivadas por parte do professor; 
 Dificuldades manifestadas por parte de alguns estudantes no cálculo das 
derivadas aplicando as regras nas funções exponenciais e irracionais; 
 Debilidades manifestadas na relação entre o conceito de derivadas e o 
coeficiente angular, o que limita, a interpretação geométrica das derivadas; 
 A fórmula para o cálculo da derivada por definição é dada de forma pronta e 
acabada, levando o aluno à aprender pela memorização, o que limita, a 
criactividade na aplicação destes conhecimentos em situações que tem a 
ver com o seu contexto; 
 São insuficientes as actividades que exploram o nível de interpretação, 
raciocínio lógico dos alunos na aplicação do cálculo das derivadas para a 
resolução de problemas variacionais. 
De realçar que o anteriormente descrito converteu-se na força motriz para a 
determinação do seguinte Problema Científico: Como contribuir para o 
desenvolvimento de habilidades no cálculo das derivadas nos alunos da 12ª Classe 
Opção Ciências Físicas e Biológicas na escola do IIº Ciclo do Ensino Secundário 
Liceu “Rei Ndunduma”, Município do Cuito/Bié? 
Diante do qual, definiu-se o seguinte Objecto de Estudo: Processo de Ensino-
Aprendizagem da Matemática. 
Campo de acção: Desenvolvimento de habilidades no cálculo das derivadas nos 
alunos da 12ª Classe Opção Ciências Físicas e Biológicas na escola do IIº Ciclo do 
Ensino Secundário Liceu “Rei Ndunduma”, Município do Cuito/Bié. 
E como alvo a se alcançar nesta investigação, tem-se o seguinte Objectivo Geral: 
Propor um conjunto de exercícios para o desenvolvimento de habilidades no cálculo 
das derivadas nos alunos da 12ª Classe Opção Ciências Físicas e Biológicas na 
escola do IIº Ciclo do Ensino Secundário Liceu “Rei Ndunduma”, Município do 
Cuito/Bié. 
Como via de solução para o problema científico determinado, elaboram-se as 
seguintes Perguntas Científicas: 
 
4 
 
1. Quais são os fundamentos teóricos no Processo de Ensino-Aprendizagem 
da Matemática que sustentam o desenvolvimento de habilidades no cálculo 
das derivadas? 
2. Qual é o estado actual do desenvolvimento de habilidades no cálculo das 
derivadas nos alunos da 12ª Classe Opção Ciências Físicas e Biológicas na 
escola do IIº Ciclo do Ensino Secundário Liceu “Rei Ndunduma”, Município 
do Cuito/Bié? 
3. Como contribuir para o desenvolvimento de habilidades no cálculo das 
derivadas nos alunos da 12ª Classe Opção Ciências Físicas e Biológicas na 
escola do IIº Ciclo do Ensino Secundário Liceu “Rei Ndunduma”, Município 
do Cuito/Bié? 
Visando cumprir com o objectivo proposto neste trabalho se realizam as seguintes 
Tarefas de Investigação: 
1. Sistematização dos fundamentos teóricos que sustentam o Processo de 
Ensino-Aprendizagem da Matemática para o desenvolvimento de 
habilidades no cálculo das derivadas. 
2. Diagnóstico do estado actual do desenvolvimento de habilidades no cálculo 
das derivadas nos alunos da 12ª Classe Opção Ciências Físicas e Biológicas 
na escola do IIº Ciclo do Ensino Secundário Liceu “Rei Ndunduma”, 
Município do Cuito/Bié. 
3. Elaboração de um conjunto de exercícios para o desenvolvimento de 
habilidades no cálculo das derivadas nos alunos da 12ª Classe Opção 
Ciências Físicas e Biológicas na escola do IIº Ciclo do Ensino Secundário 
Liceu “Rei Ndunduma”, Município do Cuito/Bié. 
A investigação ajusta-se ao Modelo misto, a qual engloba a investigação 
qualitativa e a quantitativa como uma unidade dialética. O tipo de investigação é 
descritivo. 
Para o cumprimento do objectivo proposto, assim como à realização das tarefas 
científicas expostas, empregaram-se os seguintes Métodos, Procedimentos e 
Técnicas durante a investigação. 
 
 
 
5 
 
MÉTODOS DE NÍVEL TEÓRICO 
Histórico-Lógico: Para o estudo da evolução das teorias assumidas e suas 
aplicações no Processo de Ensino-Aprendizagem. 
Indutivo-Dedutivo: Utilizado no processo de sistematização de conceitos centrais, 
por meio da dedução, bem como no processamento dos resultados dos 
instrumentos aplicados, permitindo as possíveis inferências para se dar resposta 
ao problema científico. 
Analítico-Sintético: Aplicou-se para a revisão bibliográfica, com vista a distinguir 
as partes do problema, descobrir relações e características gerais entre as partes 
para criar a fundamentação acerca do Processo de Ensino-Aprendizagem da 
Matemática na 12ª Classe, e as características do conjunto de actividades a serem 
propostas. 
MÉTODOS EMPÍRICOS E TÉCNICAS 
Observação: obter informações respeitantes ao nível de orientações oficiais 
relacionadas com o estudo das derivadas na classe e escola em causa. 
Análise Documental: Verificar como está concebido o programa de Matemática 
da 12ª Classe utilizado na escola em estudo. 
Inquérito aos professores: Obter informações acerca do desempenho dos 
professores relativamente ao Processo de Ensino-Aprendizagem das derivadas. 
Inquérito aos alunos: Obter informações acerca das principais debilidades que se 
têm manifestado na aprendizagem dos conteúdos relativos ao estudo das 
derivadas na 12ª Classe. 
Prova pedagógica: Diagnosticar o grau de dificuldade relativamente ao estudo das 
derivadas nos alunos da 12ª Classe Opção Ciências Físicas e Biológicas na escola 
do IIº Ciclo do Ensino Secundário Liceu “Rei Ndunduma”, Município do Cuito/Bié. 
Além dos métodos anteriormente mencionados empregaram-se os 
Procedimentos Estatísticos-Matemáticos: Para a determinação da amostra da 
investigação; a organização, representação, resumo e análise dos dados obtidos 
do diagnóstico através das fontes de indagação empírica e extrair deles o máximo 
de informação para chegar a determinadas insuficiências. 
 
6 
 
População e Amostra 
Participantes População Amostra % 
Tipo de 
amostragem 
Critério de 
amostragem 
Professores 2 1 50 
Não 
probabilístico 
Intencional 
Alunos 300 200 66,7 Probabilístico 
Aleatória 
simples 
 
Contributo prático: Consiste no conjunto de exercícios de acordo ao nível de 
desempenho cognitivo dos alunos, que podem servir de material de consulta para 
o professor no tratamento do tema derivadas e de recurso bibliográfico para os 
alunos, uma vez que na instituição em estudo observou-se uma insuficiência de 
material de apoio para a disciplina de Matemática no que diz respeito ao conteúdo 
em estudo. 
Estrutura do trabalho: 
Como estrutura da presente monografia, apresenta-se uma introdução e dois 
capítulos. No primeiro capítulo, se apresenta a fundamentação teórica atinente ao 
objecto de estudo e ao campo de acção. No segundo capítulo, se apresenta a 
análise dos resultados, fundamentação teórica da proposta, a proposta, conclusões 
do capítulo; posteriormente seguem-se as conclusões gerais, as recomendações, 
a bibliografia e anexos. 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
CAPÍTULO I. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
O presente capítulo tem como objectivo sistematizar os referentes teóricos que 
sustentam o desenvolvimento das habilidadesno cálculo das derivadas, bem como 
analisar o seu estado no processo de Ensino-Aprendizagem, buscando os seus 
antecedentes históricos, conceituais e contextuais. 
1.1 Enquadramento teórico do Processo de Ensino-Aprendizagem (PEA) à 
luz das tendências pedagógicas contemporâneas 
O binómio inseparável Ensino-Aprendizagem, remonta desde antiguidade. Desde 
os primórdios das civilizações humanas que deram fortes evidências da sua 
existência notabilizando-se fundamentalmente na transmissão de experiências 
acumuladas pelas sociedades, em períodos historicamente determinados, isto é, 
da velha para a nova geração. 
Quanto ao seu caracter epistemológico, acredita-se que inicialmente esteve 
assente na base de conhecimentos rudimentares de determinadas tradições 
culturais. Mas com desenvolvimento das sociedades, passou de uma simples 
transmissão de valores culturais, para um complexo sistema escolarizado 
caracterizado pela interação entre professores e alunos. 
A presença de dois componentes neste processo, o professor e o aluno, 
determinaram a parição de duas actividades fundamentais, “o ensino” e 
“aprendizagem”. 
A interdependência destes dois conceitos, bem como a sistematização de leis e 
princípios que regulam estas actividades, influenciaram com que tomassem um 
caracter de processo e por sua vez, fosse objecto de estudo de uma área de 
conhecimento, chamada Didática. 
Actualmente tem sido alvo de estudo na perspectiva de diferentes investigadores 
que são conduzidos através das suas investigações a caracteriza-los em diferentes 
períodos e contexto, tal como afirma Pilar Rico Monteiro e Margarita Silvestre 
Oramas: (1997) 
“ (...) O processo do Ensino-Aprendizagem tem sido historicamente caracterizado 
de formas diferentes, as que vão desde a sua identificação como processo do 
Ensino-Aprendizagem, marcada exclusivamente pelo papel do professor como 
transmissor de conhecimento, até as concepções mais atuais em que se concebe 
 
8 
 
como um todo integrado, no qual se põe em relevo o papel protagónico do aluno 
como um sujeito activo da sua própria aprendizagem.” (P. 68) 
Relactivamente a sua conceitualização, Zayas (1996), estabelece uma distinção 
entre o Processo Docente-Educativo e o Processo de Ensino-Aprendizagem. Não 
obstante, se refere de maneira particular ao termo Processo Docente-Educativo 
como aquele processo de formação sistemática das gerações de um país. (P. 168) 
O Processo de Ensino-Aprendizagem por sua vez constitui uma unidade que tem 
como propósito essencial contribuir para a formação integral da personalidade do 
aluno. Esta tarefa é uma responsabilidade social em qualquer país, pois constitui a 
integração do instrutivo que é o processo de formar homens capazes e inteligentes 
bem como do educativo que é o processo de formar valores e sentimentos que 
identificam o homem como ser social, (Fernández, et al., 2004). 
De realçar que ambos permitem falar de um Processo de Ensino-Aprendizagem 
que tem como finalidade a formação multilateral da personalidade do homem para 
dar resposta às exigências da sociedade de acordo com os objectivos de um 
determinado País. 
Por sua vez, os autores como Zilberstein (2002), enfatizam a apropriação de 
conhecimentos, habilidades, hábitos, normas de relação, de comportamento e 
valores como resultado fundamental do Processo de Ensino-Aprendizagem, no 
entanto, se alcança o vínculo entre actividades docentes e extradocentes. 
O mesmo tem lugar no transcurso das disciplinas e constitui a via mais mediadora 
fundamental para a aquisição de conhecimentos, procedimentos, normas de 
comportamento e valores ligados pela comunidade, cujo seu propósito essencial 
consiste em contribuir para a formação integral da personalidade do aluno. 
Segundo Monteiro e Oramas (1997), a integridade do processo em questão, se 
alcança, precisamente, quando este dá resposta, ao mesmo tempo, para as 
exigências do desenvolvimento intelectual e físico do aluno e para a formação de 
sentimentos, qualidades e valores, dando cumprimento aos objectivos da 
educação, no sentido geral e no particular, aos objectivos em cada nível de ensino 
e tipo de instituição para que o mesmo esteja ao nível das necessidades sociais do 
momento. 
 
9 
 
Diante desta perspectiva, o homem enquanto resultado de um Processo de Ensino-
Aprendizagem é designado para dar resposta aos intentos da sociedade em que 
está inserido em conformidade com o carácter classista da própria educação. Neste 
particular, torna-se necessária a devida atenção que se deve prestar às quaisquer 
influências impostas de forma consciente ou inconsciente pelas diferentes 
tendências pedagógicas, no sentido de se filtrar entre elas uma que se adapte ao 
actual modelo educativo definido pelo Estado angolano. 
Ainda na mesma linha de pensamento, com vista a manter a clarividência das 
diferentes teorizações ligadas as tendências pedagógicas, os autores deste 
trabalho de fim de curso com base as leituras feitas em manuais de diferentes 
autores e monografias já defendidas na Escola Superior Pedagógica do Bié, 
decidem reproduzir em seguida um resumo de algumas ideias previamente 
concebidas à elas inerentes. 
Primeiramente destaca-se a tendência pedagógica tradicional, nela o centro do 
processo é o professor como protagonista, o aluno é um sujeito passivo. A escola 
é a principal fonte de informação para o aluno, o professor transmite verdades 
acabadas e imutáveis, que este deverá assumir aprendendo de memória sem 
reflexão possível (Zilberstein, 2002). Nesta tendência é possível perceber que os 
objectivos estão dirigidos ao professor e não estabelecem as habilidades que o 
aluno deve adquirir, o que releva a personalidade do professor como sujeito do 
processo. 
Outra tendência pedagógica é a Escola Nova, cujos postulados se devem às ideias 
de Paulo Freire. Esta promove a acção como condição e requisito essencial da 
aprendizagem. Para os seus seguidores o aluno aprende a praticar, pelo que chega 
a absolutizar a prática e um excessivo activismo (Zilberstein, 2002). 
Nesta tendência se destaca a teoria de aprendizagem construtivista de Piaget, a 
qual considera a inter-relação sujeito-meio como elemento essencial no processo 
de aquisição de conhecimentos. Uma das implicações desta teoria é que a 
aprendizagem mais eficiente ocorre quando o professor combina a complexidade 
da matéria com o desenvolvimento cognitivo dos seus alunos, sendo que nem 
todos os alunos possuem o mesmo estado de desenvolvimento intelectual. 
 
10 
 
Nesta teoria segundo Zilberstein, (2002) a aprendizagem é o resultado de um 
conjunto de modificações sucessivas de estruturas cognitivas, que em interacção 
com outras, determinam a conduta do aluno. 
Outra teoria digna de destacar é a aprendizagem significativa de David Ausubel, 
definida por Ostermann e Cavalcanti (2010), como “um processo através do qual 
uma nova informação se relaciona de maneira não arbitrária e substantiva a um 
aspecto relevante da estrutura cognitiva do indivíduo”. (P. 34;35) 
Neste sentido, a nova informação aprendida interage com a informação que o 
indivíduo já possui na sua estrutura cognitiva, ou seja, o novo conhecimento se 
incorpora em conhecimentos relevantes pré-existentes na estrutura cognitiva do 
indivíduo. 
Segundo Ausubel, este tipo de aprendizagem é por excelência o mecanismo 
humano para adquirir e reter a vasta quantidade de informações de um corpo de 
conhecimentos. Uma abordagem do Processo de Ensino-Aprendizagem das 
derivadas de acordo a esta teoria levaria o professor pelo menos a quatro etapas 
fundamentais: A primeira seria organizar o conteúdo sistematicamente, uma 
segunda etapa seria identificar quais são os conhecimentos prévios relevantes à 
aprendizagem dos conteúdos a serem ensinados que o aluno deveria ter na sua 
estrutura significativa para poder aprender significativamente. 
Outra etapa importanteseria determinar dos conhecimentos relevantes para 
aprender os conteúdos de nova aquisição quais são os que estão disponíveis na 
estrutura cognitiva do aluno. Finalmente, utilizando recursos e princípios que 
facilitem a assimilação da estrutura da matéria de ensino por parte do aluno e a 
organização da sua estrutura cognitiva através de significados claros, estáveis e 
transferíveis. 
Relacionada com esta teoria, está a teoria de aprendizagem Histórico-cultural de 
Vygotsky (1987-1988), a qual por sua vez concebe o papel do professor como o de 
formar diferentes personalidades e que sejam activas, independentes, criativas, 
sensíveis e comprometidas com que acontece no seu contexto. 
De evidenciar que um dos conceitos importantes da teoria de Vygotsky é o de Zona 
de desenvolvimento próximo (ZDP), entendido como “a distância entre o nível real 
 
11 
 
de desenvolvimento, determinado pela capacidade de resolver independentemente 
um problema, e o nível de desenvolvimento potencial, determinado através da 
resolução de um problema sob a orientação de um adulto ou em colaboração com 
outro companheiro mais capaz” (Vygotsky, 1987, p.211; 1988b, p.202). Ou seja, se 
trata de um desnível intelectual dentro do qual o aluno como o auxílio directo ou 
indirecto de uma pessoa mais capaz de realizar tarefas que sozinho não seria 
capaz de desenvolver por estarem acima do seu nível de desenvolvimento. Outro 
conceito importante desta teoria relacionado com o de ZDP, é o conceito de 
mediação o qual se refere ao conjunto de influências que se dão no PEA. 
As duas últimas teorias têm em comum a consideração dos conhecimentos 
prévios dos alunos necessários a aquisição de novos conhecimentos. 
Estas teorias se refletem na presente investigação, pois nela se tem em conta as 
relações entre os agentes do PEA, a determinação dos conhecimentos prévios 
que permitem identificar o nível de desenvolvimento actual dos alunos, sobre os 
quais se define o sistema de ajudas necessárias para alcançar o nível de 
desenvolvimento desejado que se dá num processo de retroalimentação entre os 
alunos e entre o professor e os alunos. 
Nesta particular torna-se necessário direcionar esta abordagem para uma área 
específica de conhecimento, objecto de reflexão nesta monografia cuja a 
descrição deixa-se ao cuidado da epígrafe que se segue. 
1.1.1 Processo de Ensino-Aprendizagem da Matemática. Um olhar ao 
contexto angolano 
O Processo de Ensino-aprendizagem da Matemática de uma forma genérica tem 
sido alvo de debates olhando para as influências que tem sofrido, motivadas pelas 
diferentes tendências pedagógicas. Muitos investigadores como é o caso de Fetzer 
e Brandalise (sd), acreditam que “aprender e ensinar matemática são processos 
indissociáveis e devem ser constitutivos dos saberes associados à prática do 
professor de Matemática. Portanto, novas formas de ensinar e aprender os 
conceitos matemáticos devem ser no actual contexto social uma das preocupações 
dos docentes.” (Fetzer e Brandalise, 2010, p.317). 
 
12 
 
Este tipo de debate tem fundamento na linha de pensamento que procura promover 
um ensino da Matemática que dá espaço para a valorização do conhecimento que 
o aluno traz para a sala de aula, proveniente do seu contexto social em detrimento 
do ensino tradicional e estruturalista, cuja preocupação é notória na seguinte 
afirmação do Professor universitário de nacionalidade brasileira Ubiratan 
D’ambrósio, (1989, p.15). 
“ (...) Sabe-se que a típica aula de matemática a nível de primeiro, segundo ou 
terceiro graus ainda é uma aula expositiva, em que o professor passa para o quadro 
negro aquilo que ele julgar importante. O aluno, por sua vez, copia do quadro para 
o seu caderno e em seguida procura fazer exercícios de aplicação, que nada mais 
são do que uma repetição na aplicação de um modelo de solução apresentado pelo 
professor. Essa prática revela a concepção de que é possível aprender matemática 
através de um processo de transmissão de conhecimento. Mais ainda, de que a 
resolução de problemas reduz-se a procedimentos determinados pelo professor”. 
A justificação do debate que se leva acabo em torno do ensino-aprendizagem da 
Matemática tem lugar nos ideais que procuram mudar essas práticas, promovendo 
uma aprendizagem significativa para o aluno através da vivência de situações 
investigativas, de exploração e descoberta. 
No contexto angolano também é notória esta preocupação, uma vez que os 
programas de Ensino-Aprendizagem concebidos a partir da política educacional do 
estado, são definidos com base a determinadas tendências pedagógicas que 
exploram a criatividade cultural dos alunos como consequência das várias reformas 
educativas que se opõem ao ensino tradicional que durante anos esteve 
amplamente difundido na realidade pedagógica angolana. 
A partir de um olhar atento dos autores deste trabalho ao programa de Matemática 
da Classe alvo desta investigação, é possível constatar o desejo que se tem de se 
elevar o grau motivacional para aprendizagem ao se firmar na ideia de que é 
fundamental que se crie um clima favorável entorno do estudo da Matemática, com 
a utilização de recursos disponíveis que fazem parte do contexto sociocultural do 
aluno. 
De igual modo, se considera o relativo desenvolvimento da autonomia na 
aprendizagem baseada na criatividade. Neste sentido se assinala que o aluno deve 
aprender a analisar os problemas, encontrar por si mesmo os meios para resolvê-
 
13 
 
los, cuja resolução não se converta na realização de exercícios rotineiros que não 
estimulam a iniciativa, independência e a criatividade. 
Deste ponto de vista, os autores deste trabalho almejam com está investigação um 
Ensino-Aprendizagem da Matemática com particular realce ao das derivadas que 
propicie conhecimentos, habilidades e formas da actividade mental, como é o caso 
dos procedimentos lógicos, heurísticos e metacognitivos que estimulem os alunos 
para um ambiente interativo, reflexivo, com vista a planificação de hipóteses, 
conjecturas e avaliá-las, de modo que a resolução de problemas não seja só um 
meio para a fixação dos conteúdos, mas sim uma adequada sistematização que 
tenha em conta o desenvolvimento alcançado pelos alunos, suas potencialidades, 
bem como a necessidade de uma adequada motivação para uma aprendizagem 
significativa. 
1.2 Desenvolvimento de habilidades no Ensino-Aprendizagem das derivadas 
Segundo Krutetskii (1976), habilidades “são características psicológicas individuais 
de um sujeito, que favorecem um domínio rápido e fácil de uma determinada 
atividade (por exemplo, uma atividade Matemática) ”. Este pensamento relaciona-
se com o ponto de vista dos autores que enfatizam habilidades como conjunto de 
capacidades cognitivas que o indivíduo desenvolve por intermédio de práticas para 
executar certas actividades ou solucionar certos problemas. (p. 74) 
Leontiev, (1989) afirma que, a assimilação de uma habilidade na qualidade de tipo 
específico de actividade humana supõe três momentos bem definidos: 
 O momento inicial ou de planificação; 
 O momento da execução; 
 O momento do controlo. 
Na mesma senda o autor encara actividade como processo sujeito-objecto dirigida 
a satisfação da necessidade do sujeito (externas e internas) guiado pela sua 
motivação. O mesmo diz que a estrutura da actividade é conformada por dois 
componentes: os intencionais e os processos. Na sequência afirma que o homem 
como um ser social a sua personalidade se forma e se desenvolve na actividade 
que o sujeito realiza. (P. 35) 
 
14 
 
Nessa perspectiva relacionando o conceito de habilidade e o conceito de actividade 
de Leontiev observa-se que o indivíduo desenvolve habilidades realizando certas 
atividades para a formação da sua personalidade. 
Tendo em conta que uma actividade e todo um exercício prático precisa de certas 
habilidades para sua solução por partede quem a prática, é necessário a 
operacionalização conjunta de várias habilidades e capacidades nesse processo 
de resolução. Assim sendo é comum considerar que a habilidade está 
intrinsecamente ligada a actividade. De realçar que para este estudo, os autores 
deste trabalho ater-se-ão fundamentalmente nas habilidades matemáticas 
conforme se descreve abaixo. 
A habilidade Matemática é a construção, pelo aluno a partir do seu modo de atuar 
inerente a uma determinada atividade Matemática, que lhe permite buscar ou 
utilizar conceitos, propriedades, relações, procedimentos matemáticos, utilizar 
estratégias de trabalho, realizar raciocínio, juízos que são necessários para resolver 
problemas matemáticos. 
Para a determinação das habilidades matemáticas, Hernandez, H. (2001) teve em 
conta aquelas que devem ser usadas frequentemente no processo de Ensino-
Aprendizagem da Matemática; que são tidas como gerais, tais como se 
apresentam: Interpretar, identificar, recodificar, algoritmizar, definir, demostrar, 
modelar, comparar, resolver, optimizar. (P. 38;41) 
Das habilidades mencionadas pela autora, os autores deste trabalho pretendem 
desenvolver com o conjunto de exercícios as seguintes: Calcular, relacionar e 
analisar, demostrar, identificar e interpretar. 
1.2.1 Abordagem científica das derivadas 
Do ponto de vista etimologicamente, de acordo com o Dicionário Etimológico, 
(2008-2020 7 Graus), o termo derivada teve a sua origem do latim de (a partir do) 
mais rivus (riacho). A palavra derivus ou derive significa literalmente “aquele que 
flui”. Daí o termo latino derivative, em inglês fluxions e em francês derivative. Os 
autores deste trabalho consideram pertinente antes de fazer um tratado científico 
relativamente a este conteúdo, apresentar uma caracterização histórica a ela 
inerente na perspectiva de diferentes autores, tal como abaixo se descreve: 
 
15 
 
O conceito das derivadas foi introduzido no século XVIII, por Newton (1643-1727) 
e Leibniz (1646-1716) quase ao mesmo tempo e de maneira independente, sendo 
o conceito de limite conforme conhecido hoje formulado apenas no século seguinte 
por Cauchy (1789-1857). O conceito das derivadas tem sido de fundamental 
importância nas várias áreas de conhecimento matemático, como é o caso da 
análise Matemática, tendo em conta as suas múltiplas aplicações. Nesta senda 
baseando-se nas investigações feitas pode-se mencionar duas abordagens 
conceituais das derivadas (abordagem algébricas e/ou abordagem geométricas). 
A Leibniz se deve o símbolo 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
 como notação para derivada da função 𝑓(𝑥) em 
relação a variável 𝑥, que se tornou bastante adoptada e aceite por facilitar a 
manipulação algébrica. Neste trabalho, no entanto, será utilizada a notação 
introduzida por Lagrange (1736-1813), 𝑓′(𝑥0). 
Outras notações que podem ser usadas para calcularem a derivada num ponto: 
𝐷𝑥𝑓(𝑥); 𝐷𝑥𝑦; 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
. 
Nesta abordagem, reconhece-se como clássica a definição de derivada usualmente 
adoptada nos dias atuais, ainda que uma definição análoga a que aqui é 
denominada por alternativa tenha sido utilizada nos séculos XVII e XVIII. No seu 
cálculo, os conceitos de função e limite de função eram fundamentais. Ele definiu 
a derivada como o limite de um quociente e apresentou uma definição satisfatória 
de função contínua que é análoga à utilizada nos dias de hoje. (Boyer, 1991, P. 
114). 
Os autores deste trabalho apoiando-se nas investigações realizadas observaram 
duas abordagens para a construção do conceito de derivada: a primeira, 
denominada de definição clássica (encontrada nos textos didáticos de cálculo) e a 
segunda, denominada por definição alternativa (dada pelo segundo termo da 
expansão de uma função), nesta perspectiva, os autores deste trabalho, entendem 
que antes de se apresentar uma abordagem conceitual do ponto de vista clássico 
e alternativo, torna-se necessário evidenciar algumas ideias relactivas ao 
coeficiente angular de uma recta dada. 
 
 
16 
 
Coeficiente angular de uma reta 
Considere-se a recta 𝑟 que passa pelos pontos 𝐴(𝑥0, 𝑦0) e 𝐵(𝑥, 𝑦), com 𝑥0 ≠ 𝑥, e 
que forma com o eixo 𝑥 um ângulo de medida 𝛼, tal que 0º < 𝛼 < 90º. 
Representando os pontos 𝐴 e 𝐵, num sistema de coordenadas rectangulares 
temos: 
 
 
 
 
 
Figura 1: declive de uma recta 
Fonte: Própria 
Pelo gráfico é possível verificar que o triângulo 𝐴𝐵𝐶 é rectângulo em 𝐶, nesta 
perspectiva temos: 
𝑡𝑔𝛼 =
𝐶𝐵̅̅ ̅̅
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
=
𝐵 − 𝐶
𝐶 − 𝐴
=
𝑦 − 𝑦0
𝑥 − 𝑥0
 
Seja 𝑚 o valor numérico da tangente, então: 
𝑚 =
𝑦 − 𝑦0
𝑥 − 𝑥0
 
O valor numérico da tangente, no caso 𝑚 é concebido como o coeficiente angular 
ou declive da recta 𝑟, tal como se confirma na abordagem que se segue: 
Recta tangente 
Seja 𝑓 uma função definida numa vizinhança de 𝑎. Para definir a reta tangente de 
uma curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) num ponto 𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎)), consideramos um ponto vizinho 
𝑄(𝑥, 𝑓(𝑥)), em que 𝑥 ≠ 𝑎 e calculamos a inclinação (ou coeficiente angular) da reta 
secante 𝑃𝑄 (definida como a recta que tem dois pontos em comum com a curva em 
questão) que é obtida por: 
 
17 
 
𝑚𝑃𝑄 =
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
 
Em seguida, faz-se 𝑄 aproximar-se de 𝑃 ao longo da curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) ao obrigar 
𝑥 tender ao ponto a. Se 𝑚𝑃𝑄 tender a um número 𝑚 (valor limite), define-se a 
tangente 𝑡 como sendo a reta que passa por 𝑃 e tem inclinação 𝑚, com forme as 
imagens que seguem: 
Logo, podemos definir o coeficiente angular de uma recta dada como o quociente 
entre a variação da ordenada com a variação da abcissa, o que se vai concluir nos 
parágrafos subsequentes que o mesmo tem relação com a derivada de uma função 
num ponto, cujas definições abaixo se descrevem. 
 
 
 
 
 
Adriana Cherri (Pag. 61) 
Nesta perspectiva a recta tangente a uma curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) em um ponto 𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎)), 
é a reta por 𝑃 que tem a inclinação m = lim
 𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
, desde que esse limite exista. 
Definição Clássica de derivada 
A derivada de uma função 𝑓é a função denotada por 𝑓´, tal que seu valor em 
qualquer número 𝑥 do domínio de 𝑓 seja dado por 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
 
se esse limite existir (Leithold, 1994). (P. 118) 
A definição alternativa de derivada 
Sejam 𝑓 𝑒 𝑔 funções reais tais que 𝑓(𝑔(𝑥)) esteja definida. Dizemos 
 
18 
 
Que a função 𝑧𝑒𝑟𝑜 mais rápido do que 𝑔 se 
lim
𝑔(𝑥)→0
𝑓(𝑔(𝑥))
𝑔(𝑥)
= 0 
que será denotada por 𝑓 = 𝑜(𝑔(𝑥)) (Griffel, 2002). (P. 119) 
Embora as duas definições sejam equivalentes, observa-se que a definição 
alternativa perpassa algumas dificuldades técnicas sobre o conceito e o cálculo de 
limites indeterminados, que devem ser enfrentadas quando se opta pela definição 
clássica de derivada. 
Estas dificuldades acerca do conceito de limites constituem uma dificuldade 
adicional para a apropriação do conceito de derivada. Além do mais, as regras de 
derivação podem ser obtidas de maneira mais simples e direta através da definição 
alternativa. Como observado previamente, o conceito de derivada proposto por 
Newton e Leibniz no século XVIII antecipou-se aos conceitos atuais de limite e 
função, que foram formalizados apenas no século XIX, por Cauchy e Riemann, 
respectivamente. 
Os autores deste trabalho, reconhecendo as potencialidades da definição 
alternativa de derivada, no contexto actual, entendem que tendo em conta as 
dificuldades identificadas na classe investigada, é necessário repensar esta 
abordagem, prestando maior atenção em alguns requisitos necessários para o seu 
estudo, como é o caso do coeficiente angular e do limite de uma função, aspecto 
bastante explorado neste âmbito, diante dos quais considera-se o seguinte 
conceito: 
Conceito da derivada 
Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥) uma função real e limitada num intervalo 𝐼 que está contido no 
conjunto dos números reais e 𝑥0a abcissa de um ponto nesse intervalo. Tomando 
no intervalo uma abcissa 𝑥 de um outro ponto nesse intervalo, tal que 𝑥 ≠ 𝑥0, à 
diferença 𝑥 − 𝑥0, que em geral se representa por 
∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 
 
19 
 
Chama-se o acréscimo ou incremento da variável independente da função. De 
forma análoga e relativamente aos mesmos pontos, a diferença 
∆𝑦 = 𝑦 − 𝑦0 ↔ ∆𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0) 
chama-se o acréscimo ou incremento da função entre 𝑥 e 𝑥0. À razão entre o 
incremento da função e o incremento da variável independente relativamente aos 
mesmos pontos, isto é, a razão 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)
∆𝑥
 chama-se razão incremental. 
Como em ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0, isolando 𝑥, temos 𝑥 = 𝑥0 + ∆𝑥, a razão incremental pode 
escrever-se na forma 
 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0)
∆𝑥
 
Definição 
Seja 𝑓 uma função num intervalo aberto 𝐼 e 𝑥0 um elemento de 𝐼. Chama-se 
derivada de 𝑓 no ponto 𝑥0 o limite 
lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)
∆𝑥
 
se este existir e for finito. 
Proposição 
Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥) uma função real definida num intervalo 𝐼 contido no conjunto dos 
números reais e 𝑥0 um ponto desse intervalo. Considera-se que a função é 
derivável no ponto 𝑥0 tal que a sua razão incremental admite um limite finito ao 
tender 𝑥 para 𝑥0 em 𝐼. Se o limite dessa razão incremental 
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)
∆𝑥
 existir e for 
finito em 𝑅, então a derivada da função no ponto 𝑥0, denota-se por 𝑓′(𝑥) e escreve-
se: 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)
∆𝑥
 
Demonstração: 
Hipótese: se o limite da razão 
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)
∆𝑥
 existir e for finito em 𝑅. 
 
20 
 
Tese: A derivada da função no ponto𝑥0, denota-se por 𝑓′(𝑥) e escreve-se: 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)
∆𝑥
 
Pela hipótese, tem-se que 
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)
∆𝑥
 é a razão incremental. Sabendo que 
∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0, temos: 
𝑥 = 𝑥0 + ∆𝑥 
Logo a expressão da razão incremental escreve-se por: 
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)
∆𝑥
 
Na sequência, vamos estender a abordagem algébrica para a geométrica. 
Consideremos 𝐶 o gráfico da função 𝑓(𝑥) e 𝐴 e 𝐵 dois dos seus pontos: 𝐴 um ponto 
fixo da abscissa 𝑥0 e 𝐵 um ponto móvel da abcissa 𝑥0 + ∆𝑥 com ∆𝑥 > 0 temos: 
 
 
 
 
 
Figura 1: Curva C, recta tangente e secante 
Fonte: Própria 
Pelo gráfico é possível observar que os dois pontos definem uma semi-recta 𝐴𝑆, 
chamada de semi-secante à direita, que em determinadas condições, tende ao 
deslocar-se de 𝐵 para 𝐴, para a posição limite 𝐴𝑇̅̅ ̅̅ , chamada de semi-tangente à 
curva à direita de 𝐴. Vejamos em que condições isso acontece: Designamos 𝜃′ e 𝜃 
os ângulos que a semi-secante e a semi-tangente fazem respectivamente com o 
eixo 𝑂𝑋 , neste sentido, tem-se: 
 
21 
 
𝑡𝑔𝜃′ =
𝐷𝐵
𝐷𝐴
=
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)
∆𝑥
 
Quando ∆𝑥 tender para zero, o ponto 𝐵 tende para 𝐴 a semi-secante 𝐴𝑆̅̅̅̅ tende para 
a semi-tangente 𝐴𝑇̅̅ ̅̅ e, por consequência, 𝜃′ para 𝜃. Tomando então limites na 
expressão anterior, quando ∆𝑥 tende para zero, tem-se: 
lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)
∆𝑥
= 𝑓′(𝑥0) = 𝑡𝑔𝜃 = 𝑚 
Como queríamos demonstrar. 
O resultado obtido, mostra claramente que a derivada de uma função de variável 
real é numericamente igual ao coeficiente angular da semi-tangente. De sublinhar 
que associada a determinação da derivada de uma função por definição está a 
determinação por regra ou por tabela, usada com alguma frequência pelos alunos 
cujas unidades curriculares abarcam estes conteúdos. 
1.3 Enquadramento teórico do conjunto de exercícios na aprendizagem da 
Matemática 
A palavra exercício tem sido uma das mais usadas nas aulas de Matemática e 
provavelmente em todas as unidades curriculares. Ocasionalmente o seu termo 
tem sido associado ao de tarefa a qual é apresentada aos estudantes como uma 
proposta a ser solucionada. Relativamente a sua perspectiva conceitual, apresenta-
se em seguida algumas definições clássicas à luz de diferentes autores: 
Bal (1990), no seu livro “Teoria de exercícios para a aprendizagem”, considera que 
“um exercício… é um tipo de tarefa específica que se propõe aos estudantes, 
geralmente exige dos mesmos a acção mental mais ou menos ampla (produtiva ou 
reprodutiva)”. (pp. 6-8). 
Koliaguin (2011), na sua obra “Exercícios no ensino da Matemática” faz referência 
a outras definições dadas por outros autores russos: Fridman define o exercício 
como um modelo de sinais da situação problemática. Leontiv considera o exercício 
como o objectivo dado em determinadas condições. 
 
22 
 
Pushkin afirma que exercício é o resultado de uma etapa determinada da acção 
mental da pessoa, e o grau de dificuldade depende de como foi formulada a 
situação problemática. 
Como se pode observar, em todas as definições dadas, há algo em comum, isto é, 
que cada um dos diferentes autores, declara que num exercício há determinadas 
exigências que se apresentam ao estudante, para atuar. Em alguns casos, faz-se 
referência ao objectivo, em outros ao conteúdo e condições para as acções 
(exigências que o exercício apresenta aos estudantes, dadas entre outros aspectos 
pelo grau de dificuldade). 
Tendo em conta à diversidade de critérios existentes em torno ao que é um 
exercício, neste trabalho se assume a definição de exercício dada por Müller (1978) 
no seu trabalho “Aspectos Metodológicos Acerca do Trabalho com Exercícios no 
Ensino da Matemática”, segundo a qual “por um exercício no ensino da Matemática 
se entende como toda a exigência para actuar que é caracterizada por: objectivo 
das acções, conteúdo das acções e condições das acções” (p. 12). O objectivo de 
todas as acções, na realização de um exercício é transformar uma situação inicial 
(o dado) numa situação final (o buscado) utilizando uma determinada via de 
solução. O conteúdo das acções na resolução de um exercício está caracterizado 
pelo objectivo das acções, que o indivíduo deve desenvolver para sua solução. 
Como objectos das acções, os que aparecem nos exercícios do ensino da 
Matemática são: 
 Elementos de matéria Matemática, quer dizer, definições, teoremas e 
procedimentos. 
 O vínculo com a prática. 
 Procedimentos heurísticos. 
As condições para as acções são as exigências que o exercício estabelece ao 
estudante e os recursos psíquicos que este possui. Estas estão dadas pela 
complexidade das mesmas, os meios matemáticos necessários para a solução ou 
do processo de pensamento; pelo grau de actualidade dos conhecimentos 
necessários, pela quantidade ou extensão das operações a realizar. Tudo isto se 
expressa no grau de dificuldade do exercício. Uma classificação de exercícios pode 
 
23 
 
obter-se quando se combinam os diferentes tipos de acções (exercícios de 
identificação, fundamentação e demonstração). 
Segundo a complexidade dos conteúdos de ensino ou de aprendizagem, podem 
ser classificados em exercícios sobre grupos, grupos conscientes) e segundo o 
grau de dificuldade: exercícios básicos, de diferente grau de dificuldade e com 
carácter de problema. De qualquer forma, em cada uma das classificações feitas, 
é necessário referir-se aos elementos estruturais que compõem o exercício: 
situação inicial, via de solução e situação final. No presente trabalho se toma em 
consideração a classificação dada por Müller, por ser a que mais que se aproxima 
às necessidades e que são mais operativas, que a seguir se expõe: 
Como já foi referido, num exercício no ensino da Matemática se destacam três 
elementos estruturais a saber: 
 A situação inicial, que são os dados ou premissas que se dão no mesmo. 
 A via de solução, que são os diferentes procedimentos ou métodos de 
demonstração e estratégias que são necessárias utilizar para a resolução do 
exercício. 
 A situação final, consistente nos elementos buscados no exercício, ou a tese. 
Cada um destes elementos pode ser conhecido ou desconhecido pelo estudante. 
Em virtude de que existem estas duas variantes,haverá exatamente possibilidades 
relacionadas a determinadas categorias conhecidas ou desconhecidas aos três 
elementos estruturais do exercício, logo, segundo seja conhecido ou não cada um 
dos elementos estruturais, há oito tipos de exercícios, que são indicados mediante 
trio da forma (si, vs, sf). O tipo de exercício, onde cada uma das coordenadas é um 
elemento do conjunto {conhecido – c, desconhecido – d}. 
 Exercício completamente resolvido (c, c, c). 
 Exercício de determinação de carácter algorítmico (c, c, d). 
 Exercício de demonstração ou de construção de um procedimento (c, d, c). 
 Exercício de dedução ou problema de determinação (c, d, d). 
 Exercício inverso do tipo 2 (d, c, c). 
 
24 
 
 Exercício relacionado com o trabalho para trás ou exercício inverso do tipo 
4 (d, d, c). 
 Exercício de formar um exercício (d, c, d). 
 Situação problemática (d, d, d). 
Dado ao carácter trivial de formulação do primeiro tipo, serão apresentados neste 
trabalho exemplos ilustrativos dos restantes sete. Lavigne (1999) na sua tese de 
doutoramento afirma que nos últimos tempos, em todas as latitudes, se tem 
cobrado forças o interesse dos pedagogos, psicólogos e matemáticos, pelo estudo 
e tratamento metodológico dos chamados “problemas” no ensino, por esta razão, 
cabe perguntar-se se na classificação proposta estão contemplados os referidos 
problemas. 
A análise dos critérios de alguns prestigiosos autores sobre o significado do termo, 
permite posicionar-se quando se trata de um exercício ou um problema. 
Polya (1978, P. 5;6), no seu livro “Como formular e resolver problemas?” identifica 
os termos exercícios e problemas e revela a existência de quatro tipos deste último 
termo: 
 Problemas por resolver, cujo propósito é descobrir certo objecto, a incógnita 
do problema. Os elementos estruturais deste tipo de problemas são a 
incógnita (o buscado), os dados (o dado) e a condição (a via de solução). 
 Problemas por demonstrar, cujo propósito é mostrar, de um modo 
conclusivo, a veracidade ou falsidade de uma afirmação claramente 
enunciada. Os elementos estruturais são a premissa e a conclusão. Podia-
se pensar incluir também como um dos elementos estruturais os métodos 
de demonstração, de tal forma que em ambos os casos haveria 
determinadas condições iniciais, finais e uma ou mais vias de solução para 
o problema. 
 Problemas de rotina, que é todo aquele que se pode resolver quer seja 
substituindo simplesmente novos dados no lugar dos de um problema quer 
resolvido, seja seguindo passo a passo, sem nenhuma originalidade, 
proveniente de um exemplo velho. 
 
25 
 
 Problemas práticos ou de aplicação à prática. Para Sanjuán (1987), 
matemático e pedagogo: “um problema representará uma verdadeira 
situação nova” (p. 1). De acordo com Antibi (1990), outro matemático e 
pedagogo: “um problema é toda tarefa que requer de um esforço por parte 
do estudante para ser resolvido (p. 23). 
Para o matemático e pedagogo Alam (1993): “um problema se refere aquelas 
coisas que são verdadeiramente problemáticas para as pessoas que trabalham 
com elas, se assume que estas não têm na mão um procedimento de rotina para a 
solução” (pp. 104-121). O pedagogo Majmutov (1983) afirma que “o problema é 
uma forma subjectiva de expressar a necessidade de desenvolver o conhecimento 
científico” (p. 58). 
Para o psicólogo Rubistein (1998): “um problema tem esse carácter, perante tudo 
porque apresenta pontos desconhecidos nos quais é necessário colocar o que falta” 
(p. 24). O linguista de Galiano (1991) considera que “problema é a proposição que 
se fórmula para a partir de certos dados conhecidos, achar o valor numérico ou 
resultado correspondente à questão ou pergunta formulada” (p. 835). Da análise 
dos critérios anteriores se infere que um exercício do tipo 4 é um problema. As 
analogias entre as diferentes definições dadas, permitem concluir que, um exercício 
é um problema se e somente a via de solução é desconhecida para a pessoa, 
definição que se assume neste trabalho. 
Quer dizer, por exemplo, um exercício do tipo 2 (c, c, d) pode constituir um problema 
para algumas pessoas e não para outras, em dependência de que se recorde ou 
não o algoritmo para resolvê-lo. Desta forma se tem definido o termo problema 
como um objecto do Processo de Ensino-Aprendizagem da Matemática, outro 
aspecto bem diferente é o relativo à resolução desses problemas pelas pessoas, 
facto que corresponde à determinadas análises psicopedagógicas. 
Aplicação das derivadas na vida prática 
Na sequência apresenta-se uma descrição sobre a aplicação das derivadas na vida 
prática, seguindo os pressupostos apresentados por Diego Sutil de Jesus (2015). 
As derivadas têm um campo variacional de aplicação na vida prática, a sua 
operacionalidade é notória em vários ramos da ciência, como é o caso das ciências 
 
26 
 
físicas, da ciência da computação, estatística, engenharia, economia, medicina e 
em outras áreas, principalmente quando um problema é modelado 
matematicamente, no sentido de se encontrar uma solução óptima desejada. Um 
exemplo concreto da última consideração é o modelo matemático usado no actual 
contexto imposto pela pandemia da Covid-19, pelas autoridades sanitárias, no 
sentido de se estudar o seu comportamento epidemiológico. Este modelo é 
determinado com o auxílio das derivadas. 
Uma explicação detalhada sobre este facto, reside no seguinte: na esfera da 
medicina, a derivada pode ser usada para encontrar o ângulo óptimo na ramificação 
dos vasos sanguíneos para maximizar a circulação. Na geometria analítica, o 
estudo dos gráficos de funções, a derivada é usada para encontrar pontos máximos 
e mínimos, a inclinação, concavidade e pontos de inflexão. Na economia a derivada 
permite a determinação do lucro máximo fornecendo uma fórmula para calcular 
facilmente tanto o custo marginal quanto a renda marginal. 
Um exemplo mais prático e histórico, que se verifica nos dias actuias das derivadas 
na física é a segunda lei de Newton que usa a expressão "taxa de variação" que se 
refere à derivada: A taxa de variação do momento de um corpo é igual à força 
resultante que age sobre o corpo e na mesma direção. em diante a expressão 
comum da segunda lei de Newton como Força = Massa × Aceleração envolve o 
cálculo diferencial porque a aceleração pode ser expressa como a derivada da 
velocidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
Conclusões Parciais do Capítulo I 
Neste capítulo abordaram-se os diferentes fundamentos teóricos que sustentam 
o objecto de estudo e o campo de acção determinados na presente investigação, 
partindo da apresentação de diferentes conceitos inerentes as derivadas, através 
dos quais, os autores afirmam a sua importância como via para contribuir ao 
desenvolvimento de habilidades, neste âmbito, proporcionando desta forma, a 
influência instrutiva e educativa necessária para se alcançar a qualidade de 
aprendizagem nos alunos. Diante desta perspectiva assume-se a linha 
pedagógica histórico-cultural de Vygotsky a qual por sua vez concebe o papel do 
professor como o de formar diferentes personalidades e que sejam activas, 
independentes, criativas, sensíveis e comprometidas com que acontece no seu 
contexto. Não obstante, é importante ressaltar que as reflexões anteriormente 
apresentadas sobre o campo de acção, reafirmaram a necessidade de se levar a 
cabo um processo de recolha de dados através da aplicação dos diferentes 
instrumentos, cuja abordagem deixa-se ao cuidado do capítulo que se segue. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
CAPÍTULO II: ANÁLISE DOS RESULTADOS DO DIAGNÓSTICO E PROPOSTA 
Neste capítulo faz-se uma análise minuciosa da problemática da presente 
investigação partindo da análise dos resultados derivados do diagnóstico 
realizado, com vista a determinação das debilidades que justificam o problema 
apresentado. Os resultados obtidospermitirão caracterizar o estado actual do 
desenvolvimento de habilidades no cálculo das derivadas nos alunos da 12ª 
Classe da Escola em causa. 
2.1 Análises dos resultados do diagnóstico 
Para a obtenção da informação necessária, precisou-se analisar os resultados 
obtidos a partir dos diferentes métodos e técnicas empregues com vista a conhecer 
as principais causas que estão na base do problema científico e consequentemente 
dar uma resposta ao mesmo (problema). 
Neste âmbito, apresenta-se primeiramente a análise relacionada ao Anexo 1, 
correspondente a análise documental com o propósito de fazer um estudo dos 
documentos reitores aprovados pelo Ministério da Educação angolano para 
conhecer o estado actual do desenvolvimento de habilidades no cálculo das 
derivadas nos alunos da 12ª Classe Opção Ciências Físicas e Biológicas na escola 
do IIº Ciclo do Ensino Secundário Liceu “Rei Ndunduma”, Município do Cuito/Bié. 
De salientar que a organização da exposição dos resultados de cada um dos 
métodos e técnicas empregues fez-se a partir dos itens de forma independente e 
posteriormente apresentam-se as debilidades obtidas a partir da análise integral 
dos mesmos, tal como se verificam nos parágrafos que se seguem. 
Análise documental (Anexo 1) 
Para a análise documental, se teve em conta os seguintes documentos 
normativos: Plano Curricular do IIº Ciclo do Ensino Secundário Geral; Programa 
da disciplina de Matemática, INIDE (2013) e o Manual do aluno, Neves (2012). 
Fez-se uma análise minuciosa dos documentos da disciplina com o intuito de 
constatar a planificação de estudo, estrutura do programa, o tratamento 
metodológico dos conteúdos do tema em causa e os exercícios que estão 
presentes no Guia do Professor e no Manual do aluno. 
 
 
29 
 
Plano Curricular do IIº Ciclo de Ensino Secundário 
A partir da revisão deste documento conseguiu-se verificar que a organização 
curricular apresenta bases orientadoras importantes, adequadas as novas 
exigências estabelecidas pela Lei de Bases do Sistema Educativo angolano. De 
igual modo, constatou-se que os objectivos gerais do Ilº Ciclo de ensino 
secundário estão organizados em áreas de conhecimentos de acordo com a 
natureza dos cursos. Este documento contém o esboço de um alvo 
completamente definido que se pretende atingir com o ensino angolano cuja 
intenção está encaminhada para uma formação média sólida e eficaz 
conducente a continuidade dos estudos nos níveis subsequentes, bem como o 
ingresso do estudante no mercado de trabalho. 
Nas Orientações Didácticas Gerais é possível notar a intenção da 
implementação de uma metodologia colaborativa que sugere uma aprendizagem 
baseada na realidade do aluno, uma vez que o mesmo realça o processo de 
construção de conhecimento no qual o sujeito, em interacção com os outros, tem 
o papel protagónico. Essa construção é concordante com os processos de 
desenvolvimento do indivíduo, conducentes à uma autonomia cognitiva e ética 
em colaboração com os seus colegas e professores. 
Programa de Matemática da 12ª Classe Opção Ciências Físicas e Biológicas 
na escola do IIº Ciclo do Ensino Secundário Liceu “Rei Ndunduma”, Município 
do Cuito/Bié. 
O programa da Disciplina de Matemática da 12ª Classe elaborado por INIDE 
(2013), segue a sequência: objectivos gerais e objectivos específicos, mas com 
pouco enfoque no desenvolvimento de habilidades, fundamentalmente no 
cálculo das derivadas, isto é, a derivada por definição, regras de derivação e 
suas aplicações para obter uma profundidade nos conhecimentos e habilidades 
nos alunos, no tocante as derivadas. As orientações das actividades para a 
apropriação de conhecimentos através de situações contextuais são 
insuficientes. 
Apesar disso, admite-se que o programa apresenta temas que proporcionam ao 
professor uma visão global e planificada. Assim, cada tema compreende uma 
lista de itens, a saber: pré-requisitos, objectivos, conteúdos, meios, sugestões 
 
30 
 
metodológicas, gestão de tempo e instrumentos de avaliação. 
Com relação a sua estrutura, de maneira geral, não se apresenta uma 
fundamentação da disciplina e das suas características em correspondência 
com o nível de ensino e antecedentes dos conteúdos. Tanto os objectivos gerais 
quanto os específicos classificam-se como educativos e instrutivos, esta 
confusão conceitual denota uma insuficiência que não favorece a possibilidade 
do desenvolvimento da personalidade que brindam estes conteúdos para a 
formação integral dos alunos. 
Com respeito à estrutura do tema, se percebe a partir do programa que os 
subtemas conexos não obedecem uma sequência lógica, do ponto de vista 
sistemático e de asseguramento do nível de partida, uma vez que o programa 
sugere inicialmente alguns conceitos elementares para a introdução do conceito 
de derivadas, determinação da expressão Matemática da derivada por definição 
e as regras de derivação a posterior, o que culminaria com as aplicações das 
derivadas na vida prática, mas tal sistematização não segue uma sequência 
lógica o que limita o desenvolvimento de habilidades no tratamento das 
derivadas por parte dos alunos. 
As orientações metodológicas indicadas carecem de uma sistematização 
detalhada que possibilite o professor o desenvolvimento das suas actividades 
em obediência à uma explicação passo-a-passo a favor do desenvolvimento de 
habilidades no tema em questão. 
Manual do aluno 
A partir da análise do manual do aluno, Neves (2012), fez-se inicialmente no 
âmbito do tratamento das derivadas uma apreciação de alguns conhecimentos 
prévios para o seu estudo, começando com o tratamento do conceito de 
derivada, onde constatou-se que, para este tema inicia-se com a definição de 
derivada de uma função num ponto e o significado de derivada de uma função 
num ponto, obtendo assim a definição de derivada sem ter em conta a sequência 
lógica de passos a ela inerentes, o que dificulta a aprendizagem de um campo 
mais específico deste tema, no caso concreto da relação entre a derivada e o 
coeficiente angular da recta tangente, bem como a taxa de variação. 
 
31 
 
A lógica do tratamento que se faz do conteúdo, dificulta a apropriação eficaz do 
conceito de derivada pelos alunos, pois não permite a boa interpretação através 
da linguagem corrente, formando uma imagem não real do que é e do que não 
é uma derivada. Outrossim, verificou-se uma falta de rigor científico na 
sistematização dos conteúdos ligados as regras de derivação e aplicações das 
derivadas, no que tange ao cálculo das mesmas, o que limita o nível de 
habilidades necessárias para as derivadas. 
Além disso, a proposta de conteúdos sobre as derivadas que aparece no 
programa é bastante resumida, pois não faz alusão a interpretação gráfica da 
derivada de uma função num ponto tendo em conta as suas variadas tipificações, 
tudo isto faz com que os alunos tenham dificuldades no reconhecimento do 
conceito de derivada, sua identificação a partir do seu gráfico, em cada ponto de 
variação de direcção de uma curva, o que limita a aplicação deste conhecimento 
nas situações do seu contexto. Isto demonstra a necessidade de um conjunto 
de exercícios para o melhoramento deste processo. 
Observações às aulas (Anexo 2) 
As observações às aulas foram feitas com o propósito de saber como os 
professores da Escola em referência administraram às suas aulas com respeito 
ao tratamento das derivadas, olhando para a sua definição, regras de derivação 
e aplicações das derivadas, sua interpretação bem como a sua vinculação com 
a realidade do aluno. 
Foram observados alguns indicadores que segundo o critério dos autores 
devem-se ter em conta durante as aulas, conforme a indicação do referido 
anexo. 
A mesma foi feita a partir de um guia pré-definido (Anexo nº 2), o qual serviu-se 
das seguintes categorias: M (Mau), M (Mediucre), S (Suficiente) e B (Bom), nos 
aspectos a observar ao professorbem como aos alunos. 
Os meios de ensino utilizados são apenas os estabelecidos, sem ter em conta o 
contexto e o meio que os rodeia, o que motiva pouco os alunos no estudo das 
derivadas na 12ª classe. Foram realizadas quatro (4) observações: 
Na primeira e a segunda aula a motivação dos alunos teve a letra S (Suficiente) 
 
32 
 
como indicação porque não houve rigor na ligação entre o asseguramento do 
nível de partida, motivação, orientação aos objectivos e o tratamento da nova 
matéria, sendo as considerações necessárias para a condução eficiente do PEA. 
As duas aulas posteriores eram práticas que na perspectiva dos autores deste 
trabalho mereceram a indicação S (Suficiente) porque observaram-se 
determinadas dificuldades por parte dos alunos durante ao cálculo de exercícios, 
uma vez que os alunos não conseguiam responder as questões expostas pelo 
professor, e não manifestavam dúvidas, o que demonstrava falta de interesse 
na obtenção do conhecimento do tema em causa. 
Nestas observações verificaram-se que alguns alunos têm dificuldades em 
calcular as derivadas por regras e resolver determinados problemas variacionais 
do dia-a-dia aplicando as derivadas, visto que, alguns fazem-no de forma 
reprodutiva. 
Inquérito aplicado ao professor (Anexo 3) 
Aplicou-se este inquérito com o objectivo de obter informações acerca do 
desempenho dos professores relativamente ao Processo de Ensino-Aprendizagem 
das derivadas. O mesmo foi dirigido à um professor que lecciona Matemática da 
escola e Classe em referência. 
O instrumento foi constituído por oito (8) itens (Anexo nº 3). 
No que diz respeito aos aspectos relacionados com a sua formação, o professor 
afirma ter uma licenciatura em ensino da Matemática, o que mostra competência e 
pericia pedagógica para a administração de aulas neste nível de ensino. 
No que concerne ao item 1, o professor considera o grau de dificuldade ao ministrar 
o tema relacionado com o estudo das derivadas relativamente fácil, o que ressalta 
a ideia da existência de uma determinada complexidade neste aspecto. 
Relativamente ao item 2, que procurou saber acerca das orientações das aulas e 
actividades para a fixação dos conteúdos das derivadas, o professor afirmou que 
sim tem orientado as aulas e as atividades. 
Quanto ao item 3, referente ao distanciamento entre os conteúdos de Matemática 
ensinada nas escolas e a praticada no quotidiano dos alunos que pode contribuir 
 
33 
 
para o insucesso escolar dos mesmos no estudo das derivadas, o professor afirmou 
que algumas vezes o distanciamento entre os conteúdos de Matemática ensinada 
nas escolas e a praticada no quotidiano dos alunos podem contribuir para o 
insucesso escolar dos alunos. Facto que demonstra o reconhecimento da 
importância da contextualização do ensino como factor preponderante para 
despertar a motivação dos alunos por parte do professor. 
No item 4 que procurou saber se o professor tem implementado actividades que 
levam os alunos a exercitarem a capacidade de pensar e buscar soluções dos 
problemas apresentados relacionando-os com as suas vivências, o professor 
afirmou algumas vezes. 
Quanto ao item 5, que procurou saber se o professor considera importante a 
incorporação de actividades relacionadas com o ambiente sócio-cultural dos alunos 
para despertar sua motivação nas aulas relacionadas ao estudo das derivadas, o 
professor afirmou que sim. Facto muito importante porque incorporando as 
actividades do ambiente sócio-cultural dos alunos contribui para a aprendizagem 
significativa. 
No que tange ao item 6, que procurou saber se o professor ao lecionar as aulas 
das derivadas, tem relacionado com a vivência dos alunos, o professor afirmou que 
sim tem relacionado. O mesmo professor ainda justifica dizendo o seguinte (para 
que os alunos entendam melhor as aulas lecionadas na escola temos que 
relacionar com a vivência dos alunos). Atitude esta que favorece um bom 
desempenho por parte dos alunos. 
Quanto ao item 7, que procurou saber por parte do professor quais são as principais 
dificuldades apresentadas pelos alunos no tema relacionado ao estudo das 
derivadas, o mesmo afirmou que os alunos apresentam muitas dificuldades em 
calcular as derivadas de algumas funções por definição e por tabela. 
Quanto ao item 8, que procurou-se saber do professor qual foi a via usada para dar 
a conhecer aos alunos a fórmula inerente a derivada por definição, o professor diz 
que primeiramente dá-se a definição da derivada de uma função num ponto, 
apresenta-se a expressão Matemática da derivada por definição, indicam-se as 
regras por tabelas e a continuidade parte-se para o cálculo de exercícios. 
 
34 
 
Inquérito aplicado aos alunos (Anexo nº 4). 
Aplicou-se este inquérito com o objectivo de obter informações acerca das 
principais debilidades que se têm manifestado na aprendizagem dos conteúdos 
relativos ao estudo das derivadas na 12ª Classe. 
O instrumento foi constituído por sete (7) itens (Anexo nº 4). 
Relactivamente ao item Nº1 quando se procurou saber acerca da auto-avaliação 
do aluno quanto ao seu desempenho na aprendizagem das derivadas, verificou-se 
que de uma amostra de 200 alunos, 30% (60) consideram bom, 42,5% (85) 
consideram mau e 27,5% (55) consideram regular. As cifras obtidas denotam que 
a maioria dos alunos selecionados para amostra não tem bom desempenho na 
aprendizagem do tema em estudo. 
No item Nº2, quando se procurou saber acerca da orientação das actividades para 
a fixação dos conteúdos das derivadas, constatou-se que de uma amostra de 200, 
28% (56), confirmam que nunca são orientadas as actividades para a fixação dos 
conteúdos das derivadas, 40% (80) afirmaram que sim são orientadas as 
actividades para a fixação dos conteúdos das derivadas 32% (64) afirmam que 
algumas vezes são orientadas as actividades para a fixação dos conteúdos das 
derivadas, de igual modo a maioria dos alunos nega tal possibilidade, facto que 
indica uma certa contradição com a resposta dada pelo professor no Anexo 3. 
Quanto ao item Nº3 do mesmo Anexo, foi possível verificar que não tem havido 
vinculação entre os conteúdos ensinados em sala de aula com o contexto social 
dos alunos, uma vez que 10% (20) afirmam sim que quando lhes são lecionados 
os respectivos conteúdos tem havido relação com as suas vivências, 41,5% (83) 
afirmam algumas vezes e 48,5% (97) afirmam nunca. 
No que concerne ao item Nº4 do mesmo Anexo, que procurou saber a forma como 
tem sido ensinada a derivada por definição, verificou-se que 31,5% (63) afirmam 
que a fórmula da derivada por definição tem sido ensinada algumas vezes através 
de uma demonstração e 68,5% (137) afirmam que a fórmula da derivada por 
definição tem sido ensinada de forma pronta e acabada. 
No item Nº5 do mesmo Anexo, que procurou saber se a contextualização do ensino 
das derivadas pode contribuir significativamente na aprendizagem dos estudantes, 
 
35 
 
verificou-se que, 25% (50) afirmam algumas vezes, 45,5% (91) afirmam que sim e 
29,5% (59) afirmam nunca. 
Quanto ao item Nº6 do mesmo Anexo, que procurou saber se a vinculação entre o 
que se ensina na escola com o contexto pode contribuir para a intensificação da 
interação entre estudantes e professores, foi possível verificar que 47,5% (95) 
afirmam nunca, 25,5% (51) afirmam algumas vezes e 27% (54) afirmam sim. 
No item Nº7, que procurou saber sobre as principais dificuldades encontradas na 
aprendizagem das derivadas, verificou-se que as principais dificuldades têm lugar 
no cálculo da derivada de funções trigonométricas, derivadas por definição, 
derivadas de funções irracionais, derivadas de funções exponenciais e 
principalmente como aplicar as derivadas no nosso dia-a-dia. 
Prova pedagógica (Anexo nº 5) 
Foi aplicada a prova pedagógica com o objectivo de diagnosticar o grau de 
dificuldade relativamente ao estudo das derivadas nos alunos da 12ª Classe Opção